Исследование устойчивости экстремальных поверхностей вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

принадлежат П(<5) и для каждого Г к конкретной группы существует натуральное Ьь, что Г к = Г + И к, где Г — некоторый фиксированный прямоугольный контур из этой группы. Аналогичное построение проводится и для второй полуполосы из леммы 4. Построенные в ней контуры обозначим через Гк (к = -1,-2,...).

Лемма 13. Пусть J — любой конечный набор достаточно больших по модулю целых чисел.

Тогда имеет место оценка

keJ

Е /г. R{ß)fdß < C, равномерная по J.

Лемма 14. Система с.п.ф. оператора Ь полна в Ь|[0,1].

Из лемм 13 и 14 так же, как в [7], следует

Теорема 2. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в Ь|[0,1]. При этом в скобки следует объединять те с.п.ф., которые соответствуют собственным значениям \т, для которых числа г\т/\[й[ попали внутрь контуров Гк области Б ив аналогичные контуры из оставшихся нерассмотренных областей.

Библиографический список

1. Хромов А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Доклады РАЕН. 2004. № 4. С. 80-87.

2.Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.

3. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1982. № 6. С. 12-21.

4. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в гранич-

УДК 514.772.2+517.97

ных условиях // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.

5. Рапоппорт И.М. О некоторых асимтотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР. 1954.

6. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием// Математика. Механика: Сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 80-82.

7. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с интегральным краевым условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С.61-63.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Н.М. Медведева

Волгоградский государственный университет, кафедра информатики и экспериментальной математики E-mail: natasha_medvedeva@volsu.ru, nmedv@mail.ru

В данной работе вычисляются первая и вторая вариации функционала типа площади для поверхностей вращения; формулируется признак устойчивости и неустойчивости в терминах локальных координат на основе оценок специальных интегралов. Приводятся примеры нахождения областей устойчивости и неустойчивости, в том числе и для р-минимальных поверхностей.

Research of Stability for Extremal Rotation Surfaces N.M. Medvedeva

In this work we obtain the first and second variations of area type functional for rotation surfaces formulas. We proof the feature of stability and instability in the terms of the local coordinates and special integrals. We consider some examples by application our results for research if stability for rotation surfaces.

Рассмотрим С2-гладкую поверхность М С К3, заданную радиус-вектором т(ч,у), где и, V — главные направления поверхности, и С2-гладкую функцию ф : К3 ^ К, £ е К3, ф(-£) = ф(£).

Если обозначить через £ = (£1, £2, £3) поле единичных нормалей к поверхности М, то для любой

С2

-гладкой поверхности М определена величина

ПМ) = У ф(£3 )с1М, (1)

м

где йМ — элемент площади на М. Заметим, что величина (1) не зависит от выбора нормали £.

Будем говорить, что поверхность М является экстремальной (или — экстремалью функционала (1)), если первая вариация функционала (1) равна нулю (ниже подробно приведено построение вариаций).

© Н.М. Медведева, 2007

Данная работа посвящена исследованию устойчивости экстремалей функционала типа площади (1). Рассматриваемые здесь функционалы являются многомерными, простейшим примером которых служит функционал площади [1, гл. 6, §37] (это частный случай функционала (1) при ф(£3) = 1) на двумерной поверхности J л/EG — F2 dxdy, где D с R2(x,y) — область изменения параметров

D

x, y; f (x, y) е R3 — двумерная поверхность; E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Отметим, что при ф(£3) = 1 экстремалями функционала (1) являются минимальные поверхности, и соответствующая вариационная задача ставится на минимум. Если же ф(£3) = \/2£3 — 1, то экстремалями функционала (1) являются максимальные поверхности [2] в пространстве-времени Минковского Ri, для которых вариационная задача ставится на максимум.

Известно, что одной из задач теории минимальных поверхностей является задача об определении условий устойчивости. Устойчивость понимается как знакоопределенность второй вариации функционала (1) при всех бесконечно малых деформациях поверхности М с фиксированием границы дМ. Имеется ряд работ, посвященных исследованию устойчивости минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах: А.А. Тужилина, А.Т. Фоменко, Ю.А. Аминова, В.А. Кля-чина, В.М. Миклюкова, В.Г. Ткачева, А.В. Погорелова, do Carmo M., C.K. Penga, S.T. Yau, R. Finn, J. Simons и др. Подобные вопросы тесно связаны с физическими задачами о равновесии различных систем и описании их устойчивых и неустойчивых состояний. В большинстве случаев решение сводится к исследованию положительной определенности второй вариации специального функционала, связанного с потенциальной энергией системы.

Рассмотренные в данной работе экстремали функционала типа площади также имеют физический смысл и непосредственное применение в теории капиллярных поверхностей.

Введем понятие вариации функционала.

Пусть V — С2-векторное поле, определенное в окрестности поверхности М и такое, что выполнены условия: V\дм = 0; V\м = h • £, где h е C2(М), £ — поле единичных нормалей к поверхности; интегральными кривыми поля V являются прямые линии и вдоль каждой интегральной кривой \ V \ = const.

Ясно, что любое векторное поле V = h • £, заданное вдоль М, можно продолжить в некоторую окрестность М так, что будут выполнены сформулированные выше условия.

Пусть gt (x) : R3 ^ R3 — однопараметрическая группа локальных диффеоморфизмов векторного поля V, то есть gt(x) является решением задачи Коши:

dgt(x) т// / \\ / \|

dt = V (gt(x)), gt (x)\t=o = x.

Положим М*; = gt(М). Ясно, что М0 = М.

Определение 1. Поверхность М является экстремальной, если первая вариация функционала (1)

d '........... =0.

t=0 Mt

Определение 2. Экстремальная поверхность М устойчива (неустойчива), если вторая вариация d2 f

функционала (1) -г-2 Ф(£) dMt знакоопределена (не является знакоопределенной) при всех

dt2 J t=o

Mt

бесконечно малых деформациях поверхности М с фиксированием границы дМ.

Замечание. Отметим, что возможен и иной подход к определению устойчивости экстремальной поверхности. Например, в работах [3], [4] применяется понятие индекса. Индекс минимальной поверхности определяет степень ее неустойчивости. Если индекс не равен нулю, то минимальная поверхность неустойчива.

Далее будем рассматривать поверхность М, заданную радиус-вектором

r(u, v) = {r(u) cos v, r(u) sin v, u}, (2)

где u е (a, b) с R, v е (0, 2n), r(u) — C2-гладкая функция на (a, b) и функционал (1).

Обозначим

Ф1 = ф; тл/ 1 + г2 + ф(1 + r2), Ф2 = Ф" + Ф1,

/ \ -г r rr + r2 + 1 (3)

a = a(u) = ф2 (1 + r2)3/2 , в в(u) = Ф1 r(1 + r2)5/2 .

равна нулю, т. е. — Ф(£) dMt

На основе работы [5] были получены следующие результаты.

Теорема 1. Поверхность M, заданная радиус-вектором (2), является экстремальной тогда и только тогда, когда Ф1 = Ф2 rr/(1 + r2). Экстремальная поверхность M устойчива тогда и только тогда, когда квадратичная форма

Г ъ

/ (ah/2 — в^2} dt (4)

J a

знакоопределена в классе липшицевых функций h : M ^ R, таких что h(a) = h(b) = 0.

Следствие 1.1. Экстремальная поверхность M, заданная радиус-вектором (2), является устойчивой, если ав ^ 0.

Теорема 2. Поверхность M, заданная радиус-вектором (2), является экстремалью функционала (1), тогда и только тогда, когда выполнено одно из равенств:

Ф1 = Ф2 rr'/(1 + r2) или ф/ / Г + ф) / Г | = 0.

1 2 П 7 du VV VT + r2 V угг^^2У

На основании теоремы 1 и определения устойчивости имеет место еще одна теорема об устойчивости поверхности вращения, которая в отличие от следствия 1.1 является признаком устойчивости

(неустойчивости) для других классов поверхностей, у которых ав ^ v.

Пусть sup ав = v2 < +^ (случай v = 1 был рассмотрен в [5]). Тогда справедлива следующая

(а,ъ)

теорема.

Теорема 3. Пусть экстремальная поверхность M задана радиус-вектором (2). Для положи-

_ .. „„ъ dt п

тельных функций а, в поверхность M является устойчивой, если — < —, и неустойчивой,

a а v

ъ

если Jв dt > nv.

a

Прежде чем перейти к доказательству сформулированных результатов, приведем обозначения и теоремы, на которые будем ссылаться. Теоремы 4 и 5 были доказаны в работе [5].

д2 ф 3

, E — главные направления поверхности,

i,j = 1

обозначим Dф = | ,д£3)' D^ =

д£, д£

k, — главные кривизны поверхности.

Теорема 4. C2-гладкая поверхность М с R3, заданная радиус-вектором f(u,v), где u, v — главные направления поверхности, является экстремальной тогда и только тогда, когда

2Нф = МЩ (dU КЛф ТЙ\2 0 + dv (\f“\\f- ^ф, 1^ 0) • (5)

Экстремальная поверхность М будет устойчивой (неустойчивой) тогда и только тогда, когда знакоопределена (не является знакоопределенной) квадратичная форма

J {D^(Vh, Vh) + (ф — -рф,£}) ( \Vh i2 + (k2 + k-2)) —

м

—h2 (k2d2ф(^,^) + k2d2ф(^2,^p))} \ fu\ \ fv\dudv (6)

в классе функций h е С2(М).

Следующее утверждение обобщает известное свойство гармоничности координатных функций минимальных поверхностей. Для p-минимальных поверхностей в работе В. Г. Ткачева аналогичное равенство было положено в основу их определений (см. [6]).

Теорема 5. Пусть f = x3 и ф = ф(£3). Тогда в метрике экстремальной поверхности М выполнено равенство &у((ф — ф;£3)Vf) = 0.

Доказательство теоремы 1. Запишем (5) и (6) для поверхности, заданной радиус-вектором (2), и функционала (1).

С этой целью вычислим H, ^ф, fu/ \ fu\ 2) и ^ф, fv/ \ fv \ 2}. Обозначая ru = f и ruu = f, получим fu = {icos v,f sin v, 1}, fv = {—f sin v,r cos v, 0},

|ru|2 = r2 + 1, |fv|2 = r2, (fu,rv) = 0, ]| = гл/ТГТ2. (7)

fu í Г Г . 1 1 fv í 1 . 1

Тогда очевидно, что . ^ .0 = <--------^ cos v,---^ sin v,-------^ ^ .0 = < — sin v, - cos v, 0

|ru|2 [1+ Г2 1+ Г2 1+ r2J |rv |2 [ r r

Используя равенства (7), запишем первую квадратичную форму d$M поверхности M, заданной

радиус-вектором (2), dSM = (1 + r2)du2 + r2dv2. Используя стандартные формулы (см., например,

r 1

[7, гл. 2, §5]), находим главные кривизны поверхности M: fci = 7---0. „ /0 , k2 =---- и

(1 + Г2 )3/2 rV 1+ Г2

rr — r2 — 1

среднюю кривизну поверхности 2H = —-------------- , .

r(1 + Г2 )3/2

Так как функция ф зависит только от третьей координаты единичной нормали, то имеем Вф = = (0, 0, ф') , ( Вф, ,fu0 / = ^гг2 , \ ) =0. Подставляя подсчитанное в (5) получаем уравнение

\ |fu |2/ 1+Г \ |fv |2/

экстремалей поверхности M

ф" rr + ф;т \/1 + i2 (ff — "i2 — 1) + ф(1 + i 2)(ff — f2 — 1) = 0. (8)

Далее приступим к записи второй вариации. С этой целью вычислим выражения, требуемые для (6).

Заметим, что в метрике поверхности dSM = \fu\2du2 + \fv\2dv2 градиент вычисляется по формуле fu fv f т' cos v sin v f sin v cos v 1 1

Vh — hu i 12 + hv i -» 12 — I hu ¡ T2 hv , hu ¡ T2 hv , hu ¡ Г2 ( ,

\fu\2 \fv\2 I 1+ f2 f 1 + f2 f 1+ f )

hU + hV hU . hV

f 12 + f |2 ■

' U | | ' V |

данной поверхности имеет координаты

и тогда имеем |Ук|2 = 0 + • Очевидно, что единичная нормаль в метрике

Ги 2 Гу 2 1+ Г2 г2

3

r"2

и функция ф = ф(£з),

i,j = 1

Тогда несложно видеть, что (Вф, £) = — ф' . Так как В2ф =

V1 + г2

/000

то имеем В2 ф =10 0 0

\ 0 0 ф'

Далее вычислим В2ф на векторах УЛ и Е^:

уЛ) = ф''^^ ф( ^= (Т^, ^ ф( ^, ц^)=о.

Таким образом, подставляя найденные значения в (6), окончательно получим

2

hU (1+^2 (ф" + ф'^>АГ^+ф(1 + г2 )) + h2,++ ff + г2)

M v

_ft2ф'fy/TT?2 + ф(1 + rf) /2---Г------------- dudv.

г(1 + Г 2)3/2 у фи + ф' 1 + Г2 + ф(1 + Г2)

Далее, принимая во внимание введенные обозначения (3) и полагая к = к(и), получаем требуемое. Теорема 1 доказана.

Доказательство следствия 1.1. Следствие становится очевидным, если применить к формуле второй вариации поверхности (4) определение устойчивости.

Пример 1. Пусть задана функция ф(£з) = — —. Зная координатную запись единичной нормали (9),

^_____ Сз

/ г \ д/г2 +1 . 1 + Г2

будем иметь, что ф------- ' = ---:---, ф' = —Т2—. Применяя теорему 2, находим функцию

. л/1 + r ,

г (и) радиус-вектора (2) экстремальной поверхности М. С этой целью решаем уравнение

(1 + г'2 Г л/г2 + 1 \ г с

Г2 ^1 + г'2 г у ^1 + г'2 ’

где С — некоторая константа интегрирования, и находим его общее решение г = е2и/с+С1. Пусть С = 0 и С = —1. Выпишем функции а и в, обозначения которых введены в (3), для данной экстре-

(8 + е4и )е2и 1

мальной поверхности: а = —4 + е4и, в =--------------------------------------------------------й-. Видно, что а меняет знак в точке и0 = — 1п4,

4 + е 4

т. е. на интервале (—го; и0) она отрицательна, а при и е (и0; +го) принимает положительные значения; в на всем интервале отрицательна. Следовательно, применяя следствие 1.1, получим устойчивую

часть поверхности при и е (и0; +го).

Однако следует заметить, что возможен вариант, когда ав ^ 0. Тогда, как показывает приведенный ниже пример, также возможна устойчивость поверхности М.

Пример 2. Пусть задана функция

ф(Сз) = — 1. (10)

Зная координатную запись единичной нормали (9), будем иметь, что

т-т г, I 2Г Г /Г2 — 1 \ г ^ ^

Применяя теорему 2, из уравнения I — ^ 2 = ^ 2 + у ”г2+у 1 ^ ' 2 = С, где С — некоторая

константа интегрирования, находим функцию г (и) радиус-вектора (2) экстремальной поверхности М: г = бЬ и. Далее, подставляя в (11) соответствующие производные Г = еЬ и, 1 +Г2 = 1 + е-2 и, находим

для данной экстремальной поверхности функцию ф = . Затем вычисляем ее производные:

V 1 + еЬ2 и

{(1 + еЬ2 и)3/2 бЬ3 и

ф' = — 2сШ и, ф" = —2--------------- и функции а и в, обозначения которых введены в (3)

вЬ и , Г1 + сЬ2 и)3/2 ^ п п /-----------~2— вЬ и і2 .ч 1 + сЬ2 и

а =---------2---;— (—2--------------------------------з-— 2 сЛ и сЬ и V 1 + сЬ и + — (1 + сЬ и)) =-2-,

(1 + сЬ2 и)3/2^ вЬ3 и а/1 + сЬ2 и У вЬ2 и ’

^ 1+сЬ2 и + вЬ2 и / ^ , г----—2— вЬ и і2 / 1 1 \

в =------------2----77“ ( —2 ctЬ и сЬ и у 1 + сЬ и+—. (1+сЬ им = —2 ( —2-------2-------^— ) ■

вЬи(1+сЬ и)5/2 V а/1 + сЬ2 и ' ^вЬ и вЬ и(1 + сЛ2и)'

Далее, применяя теорему 1, выпишем квадратичную форму (4)

{аЛ'2 — вЛ2} ¿и = [ ( (— 1 + с,Ь и ^ Л'2 + 2Л2 Г —1------------------------2-1- ) ) ¿и <

1 1 1 1 М вЬ2 и ) \вЬ2 и вЬ2 и(1+ сЛ2и)

/■6 ( .Л'2 Л2 \ , Гь ( Л'2 Л2 . ,

^ ( —2—2-+ 2—2— ) ¿и ^ — 2 I —2---------------—о— ) ¿и.

вЬ2 и вЬ2 и / А V вЬ2 и вЬ2 и

Покажем, что /аЬ -2— ( ¿и ^ 0. Тогда для всех Л будет следовать, что квадратичная форма

„ь ^ к'2 к2

, бЬ2 и бЬ2 и (4) неположительно определена.

Пусть у = еЬ и. Заметим, что ( —у— ) =---У2—, I “I— ) = — ■—т— =------У2—. Тогда очевидно,

УбЬ и) бЬ и \йЬиу бЬ и бЬ и

что для функций к(а) = к(Ь) = 0 выполнено равенство

0 = / ( -С- ■ — 1 ¿и = / 1 — ¿и — / ^ ■ к2 ¿и + 2 / — ■ ■ к«и =

бЬ и у у Л чйЬ иу у Ja бЬ и у2 Л у бЬ и

[Ь к2 Гь; 2 у '2 . ('ь у ' кк' [ь к'2 . Гь к '2 .

' аи — к „ п и аи + 2 — • —^— «и — —о— аи + —о— аи =

вЬ2 и 7а У2 вЬи 7а у вЬ2 и 7а вЬ2 и 7а вЬ2 и

Математика 29

Известия Саратовского университета. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2 ^2 h2 ) du- Íí ((—) - 2 + h'2 \ dul < í ( Д2-----------K- ) du.

бЬ и бЬ и у 1Л \ V у У у / бЬ и I .]а \бЬ и бЬ и

Таким образом, пример иллюстрирует теорему 1.

Как было замечено выше, случай ф(Сз) = \/2Сз — 1 соответствует классу максимальных поверхностей в пространстве-времени Минковского Щз, которые устойчивы и глобально максимизируют площадь в Щ (см., например, [8]).

Доказательство теоремы 2. Заметим, что используя теорему 5, уравнение экстремалей (8) можно записать в виде ((

¿(Уф'_^ + Л _^) =0. (12)

¿и л/1 + Г2 У л/1 + г'2 у

Действительно, производя непосредственное дифференцирование (12), приходим к (8). Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Так как ав ^ V2, то справедливо неравенство

ь ь

J {ак/2 — вк2 } ¿и ^ У |ак/2 — V к | ¿и.

а а

Таким образом, чтобы экстремальная поверхность вращения была устойчивой, достаточно

ь

7/2к2 ^

ак'2---------> ¿и > 0. (13)

Сделаем замену ib интегралах и рассмотрим их отношение.

Г 1о

b y(b)

Пусть y(u) = J'U dt/a(t), t e [0, b — а]. Следовательно, dy = du/a(u) и hU = hlyU = hl/a(u). Тогда

f ah'2 du / h'y dy

a_____________= _1 y(a)________________

b 2h2 V2 y(b) '

d“ J h2(y) dy

a y(a)

Применяя неравенство Виртингера [9, §7.7], получим

y(b)

2

/ h y dy

^____________ > _____"________ (14)

y(b) " /ь \2 • ( )

/ h2 (y)dy f du/a

y(a) Va /

Далее, сопоставляя (13) и (14), будем иметь неравенство для устойчивости поверхности вращения. Для доказательства неустойчивости поступим аналогичным образом.

b b ( v2 h/2 'j

Так как ав ^ v2, то справедливо неравенство / {ah/2 — в^2} du < / < —--------------------в^2 f du.

a a l в J

Таким образом, чтобы экстремальная поверхность вращения была неустойчивой, достаточно, что-

b ^v2 h/2

бы существовала функция h e C0(a, b), такая что f < —------в^2 f du < 0.

в

/и \

J в du

Рассмотрим функцию h, заданную равенством h(u) = sin

b

в du

a

J в du

. Тогда

bh'2, /в C°s2 U a------------- I du

JVdu

в n2 a \ / в du

2 a 2

V2 ----------------- = V2

J /Jft2 du в du) J в sin2 ( П ) du

J в du

6

Ъ I I J@du

J в I 1 + cos I 2п a--------- I I du

f в du

Ъ \ъ/ //edu

J в du J J в j 1 — cos | 2П

f в du

du

Ъ N

в du

Ъ I J в du

так как интегрируя по частям, получим, что / в cos | 2пa--------- | du = 0. Следовательно, при выпол-

f в du

нении условия Jвdt > nv поверхность будет неустойчива. Теорема 3 доказана.

a

Для иллюстрации полученных в теореме 3 результатов приведем пример, в ходе которого выпишем функцию ф(^з). Найдем поверхности, являющиеся экстремалями функционала, и определим области устойчивости и неустойчивости данных экстремальных поверхностей.

Пример 3. Положим на основании (9) функцию ф(^3) = ф (—Г/л/1 + r2) для поверхности, заданной радиус-вектором (2), и обозначим

т = — r

VvTTr

(15)

Замечание. В работе [5] было установлено, что гауссово отображение экстремальной поверхности является отображением с ограниченным искажением. Там же было отмечено, что коэффициенты

ф''(1 — т2)

искажения экстремальных и р-минимальных поверхностей совпадают в случае —---------------------— = р — 2.

ф — ф'т

Таким образом, решая данное дифференциальное уравнение, мы найдем такие функции, при которых экстремалями функционала (1) будут р-минимальные повехности, рассматриваемые в работе [6]. Такие поверхности характеризуются тем, что функция хз в метрике поверхности М является р-гармонической.

/ ТОО (1 _ т2(^))(р-2)/2 \

Получаем функцию ф(т) = т С* + С / ---------------------------------------------------------------------2-¿т , где С = (ф'(т(£0))т(£0) — ф(т(£0))) х

V ты т у

х (1 — т2(*0))(2-Р)/2, С* = .

т (^0)

Для того чтобы получить решение уравнения экстремалей (8), вычислим фТ и фТ'т, т. е.

п _ т2)(p-2)/2 ф/ (т) = C1 + C (---------)-------+ C

Г (t)

(1 — т 2 )(p-2)/2

dT,

ф//(т) = —C (р — 2)(1 — т2 )<p-4>/2.

(16)

(17)

Итак, мы обладаем всеми данными, чтобы записать уравнение экстремалей (8) функционала (1) с функцией (10) для поверхностей, заданных (2). Подставим значения производных (16), (17) и обозначение т из (15), тогда уравнение экстремалей (8) принимает вид —С(1+Г2)(4-р)/2((р—1)гГ—Г2 — 1) = 0. Пусть С = 0, тогда будем иметь дифференциальное уравнение второго порядка (р — 1)гГ — Г2 — 1=0, решая которое, получаем

(18)

r(t) = \/ Co r2/(p-1) — 1

dr

= t — to, где Co =

r2(to) + 1 r2/(p-1) (t0).

г00 и I ,

фо) \/СоГ2/(р-1) — 1

Заметим, что при р = 2 данное равенство задает профильную функцию минимальной поверхности вращения — катеноида.

Используя вычисления данного примера, покажем применение теоремы 3 для нахождения областей устойчивости и неустойчивости поверхности вращения.

Вычислим функции Ф* и Ф2, заданные в (3), Ф* = —С(1 + г'2)(4-р)2, Ф2 = —С(р — 1)(1 + г'2)(4-р)2. Аналогично выписываем а и в, введенные в (3), подставляя Ф* и Ф2

а = —C (р — 1)

(1 + r2 )(р-1)/2’

(19)

2

2

п

п

2

2

=v

=v

2

2

r

ß = —C

rr + r2 + 1

r(1 + T’2)(p+1)/2 •

Положим C = -1. С использованием (18) равенство (19) примет вид a =

p — 1

С,

(p-1)/2

(20)

аналогично из (20)

получим ß =

p

1

p — 1 r2£(p-1)/2

Применяя теорему 3, получаем, что р-минимальная поверхность устойчива на интервале (£0, £),

(р — 1)п

определяемом из неравенства £ — £0 < —, , .

/Ыр—27/ с0 V

Для определения интервала неустойчивости р-минимальной поверхности заметим, что £ = £(г) —

обратная функция к г = г(£), тогда ¿(£(г)) = ¿'¿г. Так как производная обратной функции опреде-

' 1 /юч , ¿г ¿г

ляется по формуле £ ' = т и, учитывая (18), получаем = — = —1 _ ^ ^ . Следовательно,

интервал неустойчивости находится из неравенства

r а/Сог2/(р-1) — 1

r(t) dr

p-1

2

/

(p — 1)Co 2 r(to) r2v/C0r p-1 — 1

Библиографический список

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. M.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. 760 с.

2. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минков-ского // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, № 1. С. 206-217.

3. Тужилин А.А. Индексы типа Морса двумерных минимальных поверхностей в R3 и H3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, № 2. С. 581-607.

4. Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991. 174 с.

5. Клячин В.А., Медведева Н.М. Об устойчивости экстремальных поверхностей некоторых функционалов типа площади. Волгоград, 2006. Деп. в ВИНИТИ

08.11.06 № 1313 - B 2006. 23 с.; Сибирские электронные математические известия. 2007. Т. 4. Статьи. С. 113132.

6. Tkachev V.G. External Geometry of p-Minimal Surfaces // Geometry from the Pacific Rim, Eds.: Berrick/Loo/Wang, Walter de Gruyter&Co., Berlin, 1997. P. 363-375.

7. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

8. Клячин В.А., Миклюков В.М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 11. С. 67-88.

9. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е, Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 250 с.

УДК 517.927

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, А.С. Ищенко*

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа * Белгородский университет потребительской кооперации E-mail: pokorny@math.vsu.ru, Ischenko-AS@Yandex.ru

В работе обсуждается нерегулярная модель стилтьесовской

x

струны -p(x)u/(x) + p(+0)u/(+0) + J u(t)dQ(r) =

о

= F(x) - F(0) на отрезке [0,1] при краевых условиях u(0) = u(l) = 0. Описываются условия разрешимости вышеуказанной задачи.

On Solvability of Certain Classes of Irregular the Second Order Variation Problems

Yu.V. Pokornyi, Zh.I. Bakhtina, A.S. Ischenko

In the work the irregular model -p(x)u'(x) + p(+0)u/(+0) +

x

+ /u(t)dQ(r) = F(x) - F(0) of the Stiltjes string on segment

0

[0,1] with boundary conditions u(0) = u(l) = 0 is discussed. The solvability conditions of the mentioned problem are described.

В работе обсуждаются условия разрешимости задачи

— (pu')' + Q'u = F'

(1)

p

© Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, А.С. Ищенко, 2007