CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 39
www.mai.ru/science/trudv/
УДК 533.6.011.6
Падение тел на Землю из дальнего космоса
С.Л. Горелов, Зея Со
Аннотация
В работе вычисляются траектории движения тел, падающих на Землю из дальнего космоса на примере сферических метеоров. Расчеты проводятся для разных прицельных расстояний, скоростей на бесконечности и разных размеров тел. Для вычисления силы сопротивления и тепловых потоков при движении тел в атмосфере используются новые зависимости от чисел Рейнольдса, построенные на основе самоподобной интерполяции. Анализируется возможность разрушения метеоров от сил давления и нагрева в атмосфере.
Ключевые слова
Уравнения движения; зависимость сопротивления сферы и тепловых потоков от числа Рейнольдса; самоподобная интерполяция.
Введение
Интерес к задачам, связанным с падением тел из дальнего космоса на Землю, появился в последнее время в связи с разнообразными проектами полетов к планетам солнечной системы (марсианские проекты, проект "Фобос-грунт", и т.п.). Наиболее близкими к таким искусственным телам, падающим на Землю, являются природные падающие тела - метеоры. В работе рассматривается падение сферических тел из дальнего космоса на Землю. Хотя уравнения движения таких тел в поле притяжения Земли давно известны и много раз решались (см., например, [1]), в постановке данных задач есть свои особенности.
Для решения уравнений движения спуска орбитальных искусственных спутников Земли, как правило, задается угол входа (угол между вектором скорости спутника и горизонтом на определенной высоте), который определяется тормозным импульсом. В задачах движения тел из дальнего космоса удобнее задавать прицельное расстояние, то есть расстояние между вектором скорости на бесконечности и прямой, параллельной вектору скорости, проходящей через центр Земли.
Поскольку скорости входа в атмосферу Земли тел из дальнего космоса существенно выше орбитальных (минимальная скорость входа в атмосферу это вторая космическая скорость), то силы сопротивления и тепловые потоки к таким телам будут существенно выше чем при орбитальном движении. В работе приводятся новые зависимости коэффициента сопротивления сферы и коэффициента теплового потока от чисел Рейнольдса, построенные с помощью самоподобной интерполяции [2, 3].
В работе вычисляются траектории движения тел в атмосфере на примере падения метеоров. Считается, что метеоры каменные, состоящие либо из трахитов (магматическая порода), либо из гранитов (горная порода) с плотностью рт = 2.5 х 103кг/м3. В расчетах
варьировались скорости на бесконечности, прицельные расстояния и размеры метеоров. Оценивались давление, тепловой поток и температура поверхности метеоров. Были сделаны выводы о высотах, на которых возможно разрушение метеоров либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества метеоров, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше.
1. Зависимость угла входа от прицельного расстояния
Пусть метеор падает на Землю с прицельным параметром Ь (Рис. 1)
Рис. 1
Уравнения движения имеют вид
Г -тв2 +^ = ¥г
тв + 2тв = ¥в
Вычислим угол входа метеора в атмосферу. Будем считать границу атмосферы на высоте к = 120 км . На высотах больших 120 км воздух крайне разрежен и будем считать, что метеор не испытывает сопротивления. Тогда уравнения движения (1.1) упрощаются
Г - тв2 +^ = 0
7 (*) =0
(12)
Эти уравнения легко один раз проинтегрировать
2 , 2^ У>2
Ув =
УЬ
(1.3)
Здесь Уш - начальная скорость метеора. Подставляя в (1.3) величину т0 = Я + к (Я - радиус Земли), вычисляем Ут0 и Ув0, получаем угол входа р
р = arccos-
Ув
= arcsm-
Ут
т0
- — Ш ^0111 I
у 2 + У2 #то+у в
(14)
г
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75
Рис. 2
На Рис.2 изображена зависимость угла входа от прицельного параметра Ь для разных значений а = (м = 3.986х 1014м3/с2, Я = 6.37х 106м) .
2. Зависимость точки входа от прицельного расстояния
Для решения уравнений движения с учетом силы аэродинамического сопротивления требуется задать начальные скорости и координаты входа в границу атмосферы. Пусть
граница атмосферы задана на расстоянии г0 от центра Земли (г0 = Я + И, И = 120км) и
найдены начальные скорости Уг и Ув (1.3). Для того чтобы задать начальный угол в
требуется решить уравнения (1.2) относительно г и в . Проинтегрировав один раз уравнения (1.2) получаем
г2 + Ь2У - 2М= Г2
г в = ЬУГГ,
(2.1)
Введем безразмерные переменные
€= г ^, €= г, Ь= Ь,
г г г
'0 '0 '0
м
а0 = тт2
У г
' ю'0
Исключая время / из уравнений (2.1) и вводя новую переменную w = Ь/ € получаем (опуская крышечки)
dw L 2a0 2 — = . 1 + —0 w - w dd \ b
(2.2)
Отсюда
w
e0 = J
dx
<Jl + 2ac
x - x
= = arctg I O-]- arctg
С Í.2 >
a - b
b^ 1 - b2 + 2a,
(2.3)
0 ]
Минимальное расстояние на которое метеор может приблизится к Земле находим прировняв производную в (2.2) нулю
rm =-acc +
Подставляя вместо rm величину r0 находим максимальное значение bm такое, что при b > bm метеор пролетит мимо Земли.
bm =V1 + 2a0
Отметим, что величина b0 = sin (в0) отличается от b даже при больших скоростях. На рис.3 нанесены зависимости b0 (b), отнесенные к r0 для разных a0 (величина a0 обратно пропорциональна V2rj )
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
Рис.3
3. Расчет траектории падения метеора с учетом сопротивления атмосферы
Уравнения движения (1.1) запишем более детально
¿2 , М
г - г в2 +^ = К =-
„ рСйЗ . г~2 Т&2 К = - —-г\} г + г в
2 т
гвв + 2вв = К в = 0у1 г2 + г2 в2
2 т
(3.1)
Здесь р(И)- плотность воздуха на высоте И, Сё (Яе0) - коэффициент сопротивления, Яе0-
число Рейнольдса, Яе0 = рУ гт /м0, У = V г2 + г2в2 - скорость метеора, т - масса метеора, £ -площадь миделя, /и0 - коэффициент вязкости при температуре торможения Т0 (адиабатически заторможенного газа), гт- радиус метеора, м = 3.986 х1014 м3/с2 .
Введем характерные величины: радиус Земли Я = 6.37 • 106м, скорость метеора на бесконечности - Ую, характерное время t0 = Я / Ую, характерная плотность воздуха р0 = 0.001075 кг/м3 (плотность воздуха при И = 50 км), коэффициент сопротивления в свободномолекулярном случае Сёст = 2 . Обезразмерив величины, входящие в (3.1), получим
г + а - гв2 = -5р1Сё1гVг2 + г2в2 а = М 8=р°ССЯ
г У2 Я 2т
___Сё (3.2)
г в + 2в в = -8р1Сё1г г2 + г2 в2 р1 = Р, Сё1 С
р0 Сёа
Безразмерный параметр а определяет степень влияния силы притяжения Земли на траекторию полета. При больших начальных скоростях траектория полета метеора меняется мало и этой силой можно пренебречь [4]. На рис. 4 представлена зависимость величины а от начальной скорости метеора.
и а
0.4
0.2
20 40
Рис. 4
Безразмерный баллистический коэффициент 5 определяет степень торможения метеора в плотных слоях атмосферы. Он обратно пропорционален произведению плотности вещества метеора рт на радиус метеора гт. Будем считать, что плотность вещества метеора
равна рт = 2.5 х103 кг/м3. Будем считать, что размеры метеоров меняются в пределах
10-2 ^ 1м. Тогда, принимая за характерную плотность на высоте 50км : р50 = 0.001075кг / м3,
а коэффициент сопротивления Сё = 2, получаем что баллистический меняется в пределах 5 = 1 - 500.
4. Параметры, входящие в уравнения движения
В гиперзвуковых течениях разреженного газа в качестве основного критерия
подобия принято использовать число Рейнольдса Яе = рГт , где р, V- плотность и
/(Т0 )
скорость набегающего потока, /- коэффициент динамической вязкости, 70 - температура торможения. Для приближенной оценки коэффициента сопротивления сферы и коэффициента теплового потока используется метод самоподобной интерполяции [2].
В простейшем варианте [3], метод самоподобной интерполяции позволяет построить интерполяционные формулы для функций, асимптотические разложения которых на границах полубесконечного интервала известны, и эти разложения представляют собой стандартные степенные ряды.
Предположим, что
/(X) = «0, X — 0 (4.1)
и известны несколько членов асимптотического ряда при X —ГО
/ (X) = ]ГЛ1ха- х — ГО (4.2)
1=0
К такому виду можно привести все разложения, после определенных преобразований. Построим интерполяционные формулы разных порядков.
Первый порядок.
Для интерполяционной формулы первого порядка получаем:
Га0, х — 0
* (X) = 1 0 а (4.3)
[ А X"0, X — Го
Формула будет иметь вид:
/ *( X) = («01/И1 + Б^);
Не трудно заметить, что при X — 0 /*(X) = /(X), а неизвестные Б1 и ; находятся из уравнения, которое получается при X — го и имеет вид:
б;1 Xя1 = А X"0
Отсюда
; ="0, Б = А1"0
В результате, получаем формулу
/ *( X) = (а,1'"0 + А1/а0 X )",
которая дает правильную асимптотику (4.3) как при X — 0, так и при X — го . Второй порядок.
[а0, X — 0
*(X) = 1 а , а (4.4)
[ АX"0 + АX"1, X — ГО
В этом случае интерполяционная функция будет иметь вид:
f Ч х) =
(п + Cх )"2 + B2 х2
(4.5)
Также как и в первом случае при х — 0 f *(х) = f (х), а неизвестные п1,п2,c,B2 находятся
следующим образом. При х — го главный член в формуле (4.5) приравнивается главному члену в (4.4), в результате получаем уравнение:
bn22 х2"2 = A0 х—0
Отсюда п2 = — /2, B2 = л02/а0. В круглых скобках пренебрегаем a0 по сравнению с cх при х — го, и получаем:
п1 = — (а-а0 + 2);C =
/ 2 хЦ — -— +2)
2 —-1
—А—0 А —
Интерполяционная формула второго порядка будет иметь вид
f *(х) = ((а02—0— -—0-2) + Cх)— +2 + в2х2)—/2.
Аналогично строятся интерполяционные формулы для приближений следующих порядков. Например, для приближения третьего порядка:
f ( х ) =
а0, х — 0
^х—0 + 4 х—1 + A2х—, х —^ го и интерполяционная формула будет:
fЧх)=
(a01/nl + Dх )П1/П2 + Ех
п / Пз
+ В3 х3
В случае гиперзвукового обтекания шара в режиме сплошной среды коэффициент сопротивления, согласно модифицированной теории Ньютона, равен
1 ( у-Г
У
(г+1)2
4^
1//-1
= 0.917 ( = 1.4)
В предельном случае свободномолекулярного режима коэффициент сопротивления
равен
Сёт = 2 +—А 1(—^^^ ; ^ = — (Т№ - температура поверхности шара)
Т(Л
3 V У -0
Для режима течения газа близкого к свободномолекулярному, исходя из метода первых столкновений [5, 6], имеем
п
Cd = Cdm - C1 Re0
Исходя из эмпирической формулы для коэффициента сопротивления шара [7], можно записать
Cj =(Cdm - Cdc ) 0.16
Таким образом, для построения интерполяционной формулы первого порядка,
имеем
Cdm - Cj Reo Reo ^ 0
Cd =
\Cdc Re0 ^ ro
И интерполяционная формула имеет вид
Re
Cd □ Cdm--^-г (4.6)
Cj-1 + Re0 (Cdm - Cdc )
На Рис.5 изображен график зависимости коэффициента сопротивления сферы от числа Re0 для температурного фактора ^ = 0.05 (сплошная кривая) в сравнении с
эмпирической формулой из [7] (пунктирная кривая). Отметим, что разница данных полученных по этим формулам не превосходит 5%.
Cd
\ 1.8 1.6 X \ \ \ \
1.4 1 и
1.2 V ' Х- к Lg 1 tt
-1 1 ^ — 3 4
Рис. 5
Важнейшей задачей прикладной аэротермодинамики больших сверхзвуковых скоростей является исследование теплообмена в окрестности критической точки, где
реализуются максимальные величины тепловых потоков. При гиперзвуковых скоростях из-за большой энергии потока в возмущенной области течения существенными могут стать различные физико-химические процессы. Для расчета тепловых потоков в режиме разреженного газа используется метод прямого статистического моделирования решения кинетического уравнения Больцмана (Монте-Карло) [8], в режиме сплошной среды широко применяются расчеты в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя [9]. Отметим, что численные решения крайне сложны и для оценок тепловых потоков широко используются различные аппроксимационные зависимости(см., например, [9]). Для представления данных
по теплообмену часто используется безразмерный коэффициент - число Стантона q
St =----, где q - тепловой поток, h0, hw - полная энтальпия потока в условиях
(h0 - hw )
торможения и при температуре стенки в рассматриваемой точке. В области применимости
теории пограничного слоя с хорошей точностью можно принять, что St^JReo является
константой, зависящей от температурного фактора. Так, например, при малых температурных факторах (холодная стенка) в области применимости теории пограничного
слоя St^/R e0 = const«2 [9]. Использование самоподобной интерполяции в этом случае приводит к совершенно простым формулам.
Обозначая число Стантона в свободномолекулярном случае St0 , а в сплошной среде Stro [10], используя зависимость [9] для случая Re0 ^ го, получаем St0 Re0 ^ 0
St Н ,- 0 (4.7)
[Stx /^ Re
0
И в первом порядке самоподобной интерполяции имеем
St = I 2 1 2 (48)
VSt0 + Re0 Stro-2
-1
1 2 3 4 5
Рис. 6
На Рис. 6 приведены графики зависимости коэффициента теплового потока от числа Яе0
рассчитанного по формуле из [9] и по формуле (4.8). Кроме того на график нанесены точками результаты расчетов из [8]. Отметим, что разница всех этих данных не превышает 10%.
Зависимость коэффициента от температуры определяется формулой Саттерленда
/и(Т) = 0.425 Т2/3 • 10-
нс
\М
(4.9)
В расчетах используется следующая формула для определения температуры торможения
Т0 = 4.8•Ю-4V2 К (4.10)
Принимая за характерную плотность воздуха на высоте к = 50км будем пользоваться следующей формулой для зависимости плотности от высоты
Р = Р50 ехР
к - 50' 6.5
р50 = 1.075 х 10-
кг
м
(4.11)
5. Результаты расчетов
В качестве примера, были проведены расчеты траекторий движения сферического метеора радиуса гт, падающего на Землю. Плотность вещества метеора была принята
рт = 2.5 х 103кг / м3, что соответствует из магматических пород трахиту (предел прочности 60 - 70 МПа ), или из горных пород граниту (предел прочности 137 - 245 МПа ).
Вычислялись давление на поверхность падающего метеора, тепловой поток и температура в критической точке. Зная давление и предел прочности вещества метеора можно приблизительно вычислить высоту на которой происходит его разрушение.
Температура в критической точке приближенно определялась из закона Стефана-Больцмана
ц = естТ4, е = 0.8, о = 5.67 х 10-8Вт/м2К4 Считая, что при температуре 2500 - 4000 К любое вещество плавится и испаряется, можно приближенно определить высоту разрушения и сгорания метеора вследствие нагрева.
На Рис.7-9 приведены графики результатов расчетов для двух скоростей на бесконечности Уго = 1.65км / с (левые графики), что соответствует второй космической
скорости V0 = 11.2км/с входа в атмосферу Земли (к = 120км ) и Vгo = 71.15км/с (правые графики), что соответствует скорости входа 72км / с. Расчеты проводились для трех значений радиуса метеора гт = 0.01м, 0.1м, 1.0м и трех прицельных расстояний. На рисунках буквами а) обозначена зависимость величины давления, буквами Ь) -зависимость теплового потока, буквами с) - зависимость температуры от высоты полета.
Прежде всего, как это можно было предположить, чем больше скорости метеоров, тем больше величины давления и тепловых потоков.
Особенность зависимости положения максимумов давлений и тепловых потоков от прицельных расстояний при разных скоростях полета заключается в том, что при сравнительно малых скоростях (вторая космическая скорость) с ростом прицельного расстояния максимумы сдвигаются в сторону более низких высот. При больших скоростях
25 30 35 40 45 50
a)
40 50 60 70 B0
a)
q* 10- B II
35 40 45 50 55 60
b)
35 40 45 50 55 60
b)
40 50 60 70
c)
Vx = l.65; rm = 0.0l; l-b = 0.5; 2-b = l.;
40 5 0 60 70 B0 S0 100
c)
Vœ = 7l.l5; rm = 0.0l; l - b = 0.l; 2 - b = 0.5; 3 - b = l.
i
P шПа
20 30 40 50 ffl 70
q* 10- 8 1т ft'
b)
20 30 40 50 60
b)
80 100
20 40 60 80 100
c)
Vœ = 1.б5; rm = 0.1; 1 -b = 0.5; 2-b = 1.;
c)
Vœ = 71.15; rm = 0.1; 1 -b = 0.1; 2-b = 0.5; 3-b = 1.
6000 I- P Ina
20 30 40 50
q* 10- B ItI2
10 20 30
b)
b)
20 40 60 BO 100
20 40 60 E0
c)
Vx = 1.65; rm = 1.0; 1 - b = 0.5; 2 - b = 1.;
c)
Vœ = 71.15; rm = 1.0; 1 - b = 0.1; 2 - b = 0.5; 3 - b = 1.
l6
(Vx = 71.15 км / с) с ростом прицельного расстояния максимумы сдвигаются в область больших высот. Это объясняется тем, что при одних и тех же прицельных расстояниях при малых скоростях угол входа больше (более крутой вход), чем при больших скоростях (см. Рис. 2).
Отметим, что до высот 50 - 60 км кривые зависимостей давления, теплового потока и температуры от высоты для разных прицельных расстояний практически совпадают.
Критические температуры, при которых происходит плавление и испарение вещества метеоров, с ростом радиуса сдвигаются в область более низких высот и всегда эти высоты больше, чем те при которых давление становится равным пределу прочности материала ( для трахитов это 60 - 70 МПа, для гранитов 140 - 240 МПа ).
Заключение
В работе вычислялись траектории движения тел в атмосфере из дальнего космоса на примере падения метеоров. В расчетах варьировались скорости на бесконечности, прицельные расстояния и размеры метеоров. Оценивались давление, тепловой поток и температура поверхности метеоров. Были сделаны выводы о высотах, на которых возможно разрушение метеоров либо вследствие давления, превышающего предел прочности вещества метеоров, либо вследствие нагрева поверхности до температур плавления и выше.
Библиографический список
1. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. — 336 с.
2. S. Gluzman, V.I. Yukalov Unified approach to crossover phenomena. — Physical Review E. V58, N 4, 1998, p. 4197-4209.
3. Горелов С.Л. Применение метода самоподобной интерполяции к задачам динамики разреженного газа. — Прикладная математика и механика, 2005, т.69, вып.3, с.438-444.
4. Тирский Г.А. Взаимодействие космических тел с атмосферам Земли и планет. — Соросовский образовательный журнал (СОЖ), 2000, т.6, №5, с.76-82.
5. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. — 440 с.
6. Перепухов В.А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа. — В сб. Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1411, с. 54-72.
7. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа. — М: Машиностроение, 1977, — 184 с.
8. Горелов С.Л., Русаков С.В. Физико-химическая модель гиперзвукового обтекания тел разреженным газом. — Изв. РАН, МЖГ, 2002, №3.
9. Ботин А.В., Провоторов В.П. , Рябов В.В. , Степанов Э.А. Теплообмен в окрестности пространственной критической точки неравновесного вязкого ударного слоя при произвольной каталитической активности поверхности. — Труды ЦАГИ, 1993, вып. 2514.
10. Фэй Д.А., Риддел Ф.Р. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом. — В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. — М.: ИЛ, 1962.
Сведения об авторах
Горелов Сергей Львович, доцент, Московского физико-технического института (государственного университета); Контакты: (495) 556-37-86, +7 916 920-08-71, e-mail: gorelovsl@yandex.ru.
Зея Со, аспирант, Московского физико-технического института (государственного университета); Контакты: (495) 556-37-86, +7 906 771-62-47, e-mail: zayar.soee@gmail.com.
