Отсутствие глобальных решений для квазилинейных обратных параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.945

Отсутствие глобальных решений для квазилинейных обратных параболических уравнений

Б. Б. Тсегау

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Данная статья посвящена отсутствию глобальных решений квазилинейных обратных параболических уравнений для оператора р-Лапласа: = — <Иу (|Ди|р 2 Ии^ + Н9-1 и, (х, 6 О х (0, те) с граничным условием Дирихле и = 0 на границе дО х (0, те) и интегрируемой начальной функцией и(х, 0) = и0(х), где О является гладко ограниченной областью в . Мы также рассмотрим эту задачу в случае О = .

Проблема анализируется с использованием метода пробных функций, разработанного Э.Л. Митидиери и С. И. Похожаевым [Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. МИАН. — М.: Наука, 2001. — Т. 234, N0 3. — 362 с.]. Он основан на получении априорных оценок для решений путём алгебраического анализа интегральной формы неравенства с оптимальным выбором пробных функций. С помощью этого метода мы получаем условия отсутствия решений, основанные на слабой постановке задачи с пробными функциями вида ф(х,~£) = {±и±(х,~£) + е) фв,(х,~£) при е > 0, 8 > 0, где и+ и и-являются положительной и отрицательной частями решения и задачи, а — стандартная срезающая функция, носитель которой зависит от параметра К > 0.

Ключевые слова: квазилинейные обратные параболические уравнения, оператор р—Лапласа, метод пробных функций, априорные оценки и отсутствие глобальных решений.

1. Введение

В последние годы теория локальной и глобальной разрешимости параболических уравнений в частных производных получила значительное развитие. Прямые и обратные параболические уравнения для диффузионных процессов являются двумя классами уравнений в частных производных, характеризующих динамику процесса диффузии.

В данной работе, применяя метод пробных функций, мы получим необходимые условия разрешимости обратных квазилинейных параболических задач с эллиптической главной частью в виде оператора р-Лапласа:

иг = —Ари + \и\я 1 и, и(х, ¿) = 0,

(х,Ь) е П х (0, то), (х,г) е дП х (0, то),

^и(х, 0) = и0(х), и0 е Ь^ос(П), х е П

(1)

(М) е х (0, то), х е

(2)

{иг = -Ар и + \и\я 1 и, и(х, 0) = и0(х), и0 е Ь\ос

где П — ограниченная область в с гладкой границей дП, 1 < р < то и ц > р — 1. Здесь Ари := ёгу (\Ви\р~2 Би^ обозначает оператор p-Лапласа.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2013 г.

Автор выражает благодарность Е. И. Галахову за постановку задачи, руководство и полезные обсуждения результатов работы.

и

Начнём с уже известных результатов для обратных параболических задач и соответствующих прямых параболических задач. Большое количество замечательных результатов для прямых параболических задач были получены несколькими авторами (см., например, работы [1-9] и ссылки в них). Достаточные условия для разрешимости некоторых обратных параболических задач были также получены в ( [10-15] и ссылки там).

Пусть П — открытая ограниченная область в с гладкой границей дП. Для скалярных функций и(х,Ь) и /(х,Ь,и, Vu) было показано (О. Зубелевич [15]), что краевая параболическая задача

= — Аи + /(х,Ь,и, Vu), х е П, Ь > 0, и(х,г) = 0, ж е дП, г > 0, ()

имеет решения в Н0(П) при условии, что |Щ',£)||я1(п) <

Кроме того, доказано, что существует не более одного решения (3), если / удовлетворяет условию монотонности, т.е.

(/(-,г,и, Vu) — /(-,г,у, Vv),u — и)Ь2(П) > 0, Уи,у е Н1(П), V > 0.

Вопросы существования неотрицательных целых решений (т.е. решений, определённых для всех х е и £ е К) уравнения пористой среды:

ut - А(ит) = ир, х е R , t е R, и > 0, же RN, te R,

где р > т > 1, изучал П. Супле [8]. Было показано, что при p/m > ps (4) допускает целые решения, но при 1 < p/m < ps не имеет нетривиальных неотрицательных ограниченных радиальных решений, где ps — критический показатель Соболева:

+ 2)/(N - 2), если N> 2,

PS = 1 . Д Т 10 (5)

если iv = 1,2.

При m = 1 П. Полачик и П. Квиттнер [7] доказали, что не существует никаких положительных ограниченных целых решений (4) в классе радиально-симметричных функций при 1 < р < ps, тогда как при р ^ ps такие решения существуют.

Всякий раз, когда мы рассматриваем знакопеременные решения, нелинейность ир интерпретируется как |и|р-1и. В случае наличия нелинейного члена решения уравнения могут разрушаться, а именно, решения могут быть неограниченными на конечных временных интервалах.

Результаты о глобальном существовании и разрушении решений полулинейных параболических уравнений

'ut - Аи = Нр-1 и, (x,t) е П х (0,Т), Т> 0, и(х, t) = 0, (х, t) е дП х (0, Т), (6)

и(х, 0) = и0(х), х е П,

были получены в работах [3-5]. Из стандартной теории мы знаем, что существует локальное (по времени) положительное решение задачи (6) с критическим показателем Соболева ps, определённым в (5). В зависимости от начального данного ио было показано, что решение существует глобально, если uq мало, а если uq велико в некотором подходящем смысле, то соответствующее решение и разрушается за конечное время.

Для П = С. И. Похожаев [6] изучал разрушение глобальных знакопеременных решений уравнения (6) в классе функций, удовлетворяющих условию

и(х,г) > -аехр (с21x12), х е , г е (0,т) при т> 0,

ио(х) е Ь1ос(Км), ио(х) > -Мо,

где С1, С2 и Мо — положительные константы. Он доказал, что если начальная функция ь0(х) := и0(х) + М0 удовлетворяет неравенству

АрЯ*+2-2р' — Я* I уо(Щ) (1 -|£|2У ^ < 0

для некоторых Я = Я* > 1, константы Ар > 0, ¡3 > 0 и Т0 := М)-р/(р — 1) > Я*, то существует ^ Я1 такое, что

г

J J \u(x,t)\p d:rdt ^ +œ при t ^ Та

0 и^д*

Глобальное существование и разрушение решений обратного параболического уравнения с бигармоническим оператором

fut + А2и = \и\р 1 и, (x, t) G Rn х (0, œ),

\u(x, 0) = uo(x), x G Rn (7)

изучали Ф. Гаццола, Х. К. Грюнау [11]. Было доказано, что существует глобальное решение и задачи (7), если р > 1 + 4/N, N > 2 и существует а > 0 такое, что

а

ЫХ)1 ^ 1 + В • (8)

Кроме того, было показано, что если а достаточно велико и в (8) имеет место равенство, то любое положительное решение уравнения (7) разрушается за конечное время. Результат для задачи (7) может быть легко распространён на общие полулинейные параболические задачи более высокого порядка

fut + (-А)ки = \и\р~1 и, (x,t) G RN х (0, œ), \и(х, 0) = ио(х), x G Rw,

где p > 1 + 2k/N. Как и в бигармоническом случае, можно доказать для (9) тот же результат, что и для задачи (7), с заменой 1 + 4/N на 1 + 2k/N и 4/(р — 1) на 2к/(р — 1) (см. [10]).

Г. Кай, Х. Пан и Р. Син [14] исследовали проблему несуществования решений для полулинейнной параболической системы уравнений более высокого порядка с переменной времени на R. Они доказали, что если две функции и G L'j[oc(RN+1) и V G L|Oc(Rw+1) удовлетворяют параболической системе уравнений

fut + (—А)ти = \v\p , (x,t) G Rn х R,

\vt + (—A)mv = \u\q , (x,t) G Rn х R, ( )

то глобальное решение (10) тривиально (т.е. и = 0, V = 0) при т > 1 и р, д > 1 таких, что

N ^ ( р + 1 q + 1

- ^ ma^-,-

2т [pq — 1 pq — 1

Условия для локальной и глобальной разрешимости полулинейных эволюционных задач следующего типа также были изучены в [13]:

fut = -(—A)ß/2u - V (х)и + ta h(x)up + W (x,t), (x,t) G RN x (0,T), \u(x, 0) = u0(x), x G Rn, (11)

где 0 < T < +то, 0 < ß < 2, W(x,t) = Pw(x) > 0, 7 > -1 и потенциал V удовлетворяет условию

limsup |У(ж)| |ж|а < +то, а > 0.

Результат работы [13] показывает, что для любого а > -1, р > max {1,1 + а} задача (11) не имеет глобального решения, если

lim up0-1h(x) ^(i+^iM (12)

или

lim WP-1h(X) \х\ЫР-1)+Р+°\^М = (13)

| х | —

Было также доказано, что если и0(х) удовлетворяет условию (12), любые возможные локальные решения задачи (11) разрушаются за конечное время для любой локально интегрируемой функции W.

Э. Митидиери и С. И. Похожаев [1] и В. Галактионов и Дж. Л. Васкес [9] изучали отсутствие нетривиальных слабых положительных решений задачи

ut - div (\Du\m-2 Du) > uq, (x, t) e RN x (0, то), u(x, t) > 0, (x, t) e RN x (0, то), (14)

u(x, 0) = uo(x) > 0, x e Rn.

Было показано, что при т > 1 задача (14) не имеет нетривиальных слабых положительных решений, если

max {1, m — 1} < q < т — 1 + ^.

В настоящей работе глобальная (при £ > 0) разрешимость обратных параболических задач (1) и (2) в классе знакопеременных функций представляет особый интерес. Применяя метод пробных функций [1], мы получим условия отсутствия глобальных решений для этих задач с ограниченными интегрируемыми исходными данными.

Работа организована следующим образом. Во втором разделе мы определим слабые решения уравнений (1) и (2), получим необходимые оценки и введём пробные функции для последующего использования. Раздел 3 посвящён исследованию отсутствия решений обеих задач (1) и (2). Подробные формулировки основных результатов и их доказательства содержатся в этом разделе.

2. Предварительные оценки и определения

В этом разделе дадим определение слабого решения задач (1) и (2), а затем получим некоторые оценки, которые будут играть важную роль в следующем разделе. Большинство исследований уравнения р-Лапласа имеют дело со слабыми решениями (см. [1]). Хорошо известно, что решения уравнения р-Лапласа, как правило, принадлежат классу С 1'а, и уравнение следует понимать в слабом (обобщённом) смысле.

В этой статье всюду можно считать, что П является ограниченной областью в с гладкой границей дП. Будем предполагать, что параметры р и в наших задачах удовлетворяют соотношению д > р — 1 для 1 < р < то.

Определение 1. Функция и Е (П х [0, то); К) пЦОс (П х [0, то); К) называется слабым решением задачи (1), если следующее интегральное тождество:

У У | и |4 1 иср ёхё£ =

11 [\Би\р~2 ( Би,В(р) + ид^ — ^о(х)ф(х, 0)ёх (15)

| и

0 П

сю

ее/

,р-2

I

0 П

выполняется для любой пробной функции ф Е ШьС*2 (П х [0, то);К+) с компактным носителем, удовлетворяющей условию ф(х, ¿) = 0 надП х [0, то), где предполагается, что все интегралы существуют. Символ К+ обозначает множество неотрицательных действительных чисел.

Определение 2. Функция и Е ШО'* х [0, то);К) П Ь\ос х [0, то);К) называется слабым решением задачи (2), если следующее интегральное тождество:

\и\д 1 иф ёхё£

= —II (\Еи\Р 2 ( Ви,Б(р) + ид^ — ^ ио(х)<р(х, 0)ёх (16)

о

выполняется для любой пробной функции ф Е ШК1О'С° х [0, то);К+) с компактным носителем, где предполагается, что все интегралы существуют.

Всюду в дальнейшем будем обозначать константы, не зависящие от К,х и£, символами Сi,i = 1, 2,.... Прежде всего построим пробную функцию на П х [0, то) и получим некоторые оценки. Позже введём подобную пробную функцию, но определённую на , и будем использовать соответствующие оценки для доказательства теорем 1 и 3 соответственно.

Пусть $ > 0 и К > 0. При достаточно больших Х1, Х2 > 0 выберем срезающую функцию фя, определённую по формуле

фя(х, €)= е1^К») , х Е П, 1Е [0, то), (17)

где е Сд°([0, то); [0,1]) - две гладкие функции такие, что 0 < £(в) < 1, —С1 < £'(в) < 0 и

!1, если 0 ^ в ^ 1,

0, -> 9 , (18) 0, если в > 2,

0 < г}(т) < 1, —Сх < г)'(т) < 0 и

■П(т) =

'1, если 0 ^ т ^ 1, 0, если т ^ 2.

(19)

Замечание 1. Отметим, что параметр Л выбран так, что {(х,Ь) е П х [0, то): |ж| < 2Д, Ь < 2Л*} полностью лежит в П х [0, то).

Непосредственным вычислением мы получим

^ ()))

ёг

<

с1

К

^ (£)

<

№,

где г = |ж|.

Далее при а > 1 и ¡3 > 1 установим оценки для ^р^3 и

Эуд

эг

,„1—а. Ун :

3, 1—3

1 Ун

Ш ^1 © © ^ШГ <

.

< с2(\1,^)я—р е1-13 ( -

Поскольку 0 ^ ^ ^ 1, имеем

|3 3 < С2(Л1,^)Д—3 при Л1 >Р.

Аналогично

дф

н

дИ

у)—а < Сз(\2,а)К—*а при Л2 > а.

(20)

(21)

Поскольку £ = 1, когда г < Д, и ц = 1, когда £ < Д*, мы знаем, что Б(рн(х, ¿) = 0 при г ^ Л и д^н(х, ¿) = 0 при £ ^ Д*, и мы имеем

вирр(ря) С {ж е П : |ж| < 2Д} х е [0, то) : г < 2Д*} , рр(|£ря|) С {ж е П : Д < |ж| < 2Д} х {г е [0, то) : Ь < 2Д*} ,

^ ^ ^ С {ж е П : |ж| < 2Д} х {г е [0, то) : Я* < г < 2Л*}

(22)

вирр

Отсюда следует, что

Л ^^х,^3 ч>%—3(М)ёаё

зирр(|Оуя|)

А

2

V

а

2 К°

C2(\i,ß)R-ß J j dxdt ^C4(Xi,ß,§)RN+^-ß, (23)

0

/I Ö^D | \

suPP(\ ~öt I)

dpR(x, t)

dt

p]-a(x, t)dxdt

2 R

C3(\2,a)R

dxdt < C5(\2,a,§)RN

(24)

R8 {шеП:|ш|<2Д}

Теперь предположим, что функция u Е ^0'С(П х [0, то);R) nLj?oc(П х [0, то); R) является нетривиальным слабым решением задачи (1) в смысле определения 1. Для любого такого решения и обозначим его положительную часть как

u+(x, t) := max {u(x, t), 0}

и его отрицательную часть как

и- (x, t) := min {u(x, t), 0} .

Введём множества

D+(n) := {(x, t) Е П х [0, то) : u(x, t) > 0} , D-(Ü) := {(x, t) Е П х [0, то) : u(x, t) < 0} , До+(П) := {x Е П : uo(x) > 0} , Do-(n) := {x Е П : uo(x) < 0} .

Аналогично можно определить ), ) ) на-

следующие леммы играют важную роль в доказательствах наших результатов об отсутствии решений. Рассуждая аналогично [1, Лемма 33.1], можно доказать следующие леммы.

Лемма 1. Пусть и — слабое решение (1), и пусть 5 > 0. Тогда для любой неотрицательной пробной функции ри Е Ш^ (П х [0, то);М+) с компактным носителем выполняется следующее неравенство:

j j \u\q-lu (u+)SpR dxdt + Ce JJ {u+)S 1\Du+\ppR dxdt <

0 П D+(n)

<C7|I' (u+)p-1+S \D'Pr\p p]-p dxdt + Csj[ (u+)m dpR

D+ (П)

D+(Q)

d xd

1 + S

j (u+Г1 R) dx,

(25)

Dq+(n)

где \u|q-lu (u+), \Du+\p (u+)S 1 Е Ь}ос(П х [0, то)) и Ci = Ci(S) > 0, i = 6, 7, 8 для данного 6 > 0.

а

1

Доказательство. Пусть и — нетривиальное слабое решение (1) и 5 > 0. Если и+ > 0, то возьмём пробную функцию (м+)* рн, иначе положим

и+(х, £):=и+(х, V) + £, £> 0, (х, V) е П х [0, то). Функцию ре определим следующим образом:

Ре(х, £) := (и+) (х, £)(ря(х, г),

(26)

где рн — пробная функция, заданная в (17) с компактным носителем, удовлетворяющая условию >рн(х, ¿) = 0 на дПх [0, то); функции >ре могут быть использованы в качестве пробных функций в определениях 1 и 2.

Предположим, что и+ не тождественно равна нулю на П х [0, то). Умножая (1) на (ре и интегрируя по частям на П х [0, то), получаем

/ / ^ и(и+) <рн + // (и+ У-1 1 Би+ 1р

о п о+ (П)

< Ц («+ )*| Ви+ | - 1|DpR|dxdt+T^) Ц («+ Г

£>+(П)

£>+(П)

ёжё—

1

У ё®|4=0 + е* Л (Ы'Рн + |Д«Г"1 0 (27)

1 + 5 '

Ос+(П)

(П)

До сих пор нам не требовались никакие условия на параметр , за исключением положительности.

Применяя неравенство Юнга с параметром ц > 0 к первому интегралу в правой части неравенства (27), получаем

Л (и+)*1 Би+ | р 1 |DpR| ёхёг Ц )* 11Ви+1Ррн

£>+(П)

+ («+Г1+* ^рнГ'/н^ёхЫ.

О+(П)

£>+(П)

Теперь выберем ц так, что ц < 5. Тогда из неравенства (27) получаем

У У |и|9 1 и (и+)8 <рн ёхёЬ + С\0(ё,ц) Л (и+)* 1 |Du+|P <

£>+(П)

о п

<с9(ц) Л (и+Г1+* Р^нГ^Гё^+Т+7 // («+)*+1

£>+(П)

О+(П)

д(р

н

1

У ё®|4=0 + е* Л (Ы'-Рн + 1 0 ^ (28)

1 + е Оо+(П)

О-(П)

где С10(5,ц) := <5 — ц и Сд(ц) — положительные постоянные.

Далее выберем

£ := £

п

! \

п JJ (\ut\pR + \Du\p-1 \DpR\) dxdt

у supp(ipR+IDipR\) )

s

0 при п ^ œ.

Отсюда имеем

е* JJ ( \ ut\pr + \Du|p-1 Dr\) dxdt <

D_(Q)

< e* JJ ( \ ut\pR + \Du|p-1 \DpR\^ dxdt=1 ^ 0 при п ^ œ.

Применяя теоремы Фату и Лебега при £ ^ 0, получаем требуемое утверждение из неравенства (28). □

Лемма 2. Пусть и — слабое решение (2) и пусть 5 > 0. Тогда для любой

пробной функции pR G W(Rn x [0, œ); R+) с компактным носителем вы-

полняется следующее неравенство:

J J \u\q-1u (u+)*pR dxdt + Сц JJ (u+)* l\Du+\ppR dxdi <

0 RN D+(Rn )

d'PR

JJ (u+)p-1+* \DpR\ppR-p dxdt + C13 JJ (u+)*+1

D+(RN ) D+(RN )

dt

d xd

db J M>i+1 dx, <29>

Do+ (RN )

где \u\q-1 u (u+)* , \Du+ \p (u+)*-1 G L1oc(RN x [0, œ)).

Доказательство. Доказательство этой леммы полностью аналогично доказательству леммы 1. □

3. Результаты об отсутствии решений и их доказательства

В этом разделе путём использования предварительных результатов и оценок, полученных в разделе 2, докажем отсутствие глобальных решений задач (1) и (2) при соответствующих предположениях.

Докажем сначала результаты об отсутствии глобального решения задачи (1). Начнём с определения допустимого класса решений задачи (1). Пусть Ô > 0 достаточно мало, 1 < p < œ и q > р — 1. Определим Wu'+ * loc(fi x [0, œ);R) как

WU'+,s, loc(fi x [0, œ); R) := {u : fi x [0, œ) ^ R,

(u+)q+* , \ Du+ \ p (u+)*-1 G LjOc(fi x [0, œ);R)} ,

где D u понимается в смысле распределений.

20 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2014. С. 11-26

Аналогично можно определить W1-s 1ос(П х [0, то);R), и положим

W^ (П х [0, то); R) := W£s> oc (П х [0, то); R) nW^ ^ (П х [0, то); R).

Следующая теорема является первым основным результатом этого раздела.

Теорема 1. Предположим, что и0 £ Ь\ос(П; R) и q > max {1,р — 1}. Если для любого достаточно малого S > 0 существуют константы С, С', Rq > 0, такие что

CR — Y+7 (КЦ+^о+т) ^ 0, C'R — т+7 II-'^ 0,

1 + 0 4 / /I Iw 4 (30)

supp U RQ С П,

где

N (q — р +1) — p(S + 1)

ш :=

q — р+1

i

( .. .. Х3^

, ., (>°+' «А,(I) г1\

\Ро±(П) /

то .задача (1) не имеет глобальных нетривиальных решений в классе Ш^'рос(П х [0, то); М). '

Доказательство. Рассуждаем от противного. Предположим, что и является глобальным нетривиальным решением задачи (1). Возьмём пробную функцию Рн0 Е (П х [0, то);М+), определённую формулой (17), удовлетворяющую (18) и (19). Заметим сначала, что

|и(х, ¿)|9-1и(х, ¿)и+(х, ¿) = (и+ (х, ¿))9+1 при почти всех (х, ¿) Е П х [0, то).

Далее, учитывая, что второй интеграл в левой части неравенства (25) неотрицателен, из леммы 1 получаем

I J \u\q 1и (и+)5 Pro dxdt = J J {u+)q+S pRо dxdt= JJ (u+)q+S pRo dxdt <

0 П 0 П D+(n)

<С7|f (u+r1+S \Dpro\ppR~0p dxdt + Cs f f (u+)'+1 dpR0

D+(n) D+ (П)

1 [ Л, + \S+1 CXi f \xl

т

1 + * / (и+)8+1 ^ (^ (31)

Оо+(П)

Применяя неравенство Юнга с параметрами 7, а > 0 к первым двум интегралам в правой части неравенства (31), получаем

Ц (и+Г 1+' 1^о 1Р'А~ор йхбг <7 // (и+У+РНо

С+(П) 0+(П)

+ С14 (7 )

|^но Г^н-рх (32)

В+(П)Пзирр(\Вури0 |)

О+(П)

Ц К)*+1 ^ ёхёг Л {и+У+*рн0 ёаё+

О+(П) + С15 (а)

др

но

т

<р1— т ёхЫ, (33)

О+(П)Пвирр(

где

<1 + 5 , х Я + 5 , т X =—ГТ^ X =-^ т = т =

р — 1 + х — 1 ¿ + 1' ™ — 1'

Подставляя неравенства (32) и (33) в (31), а затем выбирая 7 и а достаточно малыми, получаем

У у^+^но ёхЫ <С16 [[ ^.рно Г'>/н— рх' ёхМ+

0 п

О+^Пвирр^Оупо |)

+ с

17

дерн

дЪ

О+(П)Пвирр(

^—гЬ / (-+)'+' ^'(Щ)

Оо+ (П)

(34)

где С16 и С17 — положительные константы, зависящие от ц,а,7,6,р и д.

Теперь в силу оценки (23) и (24) для /3 := рх' и а = т' можем переписать неравенство (34) как

У У (и+)9+* Рно <

0 п

< С18Е*+*—р*' + С19<+*—^ — ^ У («+)*+1 ^ (М) ёж

1 + 5 .}

Оо+ (П)

где С18 и С19 — положительные константы, зависящие от Л1, Л2, д, ц, 5, а, 7, р и ц.

Это означает, что

У У (и+)9+* рно dжdí <

0 П

< С20 (<рх' + <

)—1-Ь / Ю ^ (35)

Оо+(П)

и

т

т

о

где С20 = max {Cis,Ciq} > 0.

Легко видеть, что выражение в скобках в правой части неравенства (35) минимально тогда и только тогда, когда оба слагаемых имеют одинаковый показатель, то есть оптимальное значение § равно р(р — 1)/(q — р + 1). Отсюда следует, что

0 (и+Г+ рДо dхdí < С2оЩ - ^ I (и+)'+1 ¿х. (36)

о П Оо+(П)

Из условий (30) легко видно, что правая часть неравенства (36) является неположительной, то есть

сю

0 (u+)q+'pRo dxdi < 0.

(u

0 n

Это означает, что и+ = 0 почти всюду в П х [0, то). Следовательно, и < 0 почти всюду в П х [0, то).

С другой стороны, предположим, что и_ не равна тождественно нулю в П х [0, то), и умножая (1) на пробную функцию

Фе(х, г) := (-и_(х, ¿) + е)грдо (х, (37)

вместо (26) и интегрируя по частям на П х [0, то), получаем

У У (-и_У+5 рко dхdt + С^J (-и_У 1\Би_\Ррно dхdt < о П (П)

<С7|[ (-и- )Р" ^ |^рДо |Рр^7 dхdt+СsJ! (-и-)'"»

D_ (n) D_ (n)

dt

d xd

1 / (—uoГ iXl{R0) dx.

(38)

1 + 6

Оо-(П)

Аналогично предыдущим рассуждениям из (38) получаем

0 <уу (-и-)9+'рдо dхdí < 0, оП

откуда следует и~ = 0 почти всюду в П х [0, то) и, следовательно, и ^ 0 почти всюду в П х [0, то). В результате получаем отсутствие нетривиальных решений задачи (1), что противоречит нашему предположению. Это завершает доказательство. □

В частности, при р = 2 получаем полулинейную параболическую задачу

'щ = -Ли + |и|9_1и, (х, ¿) Е П х (0, то), и( х, ) = 0, ( х, ) Е П х (0, то), (39)

и(х, 0) = и0(х), х Е П.

Следующий результат непосредственно следует из теоремы 1.

Следствие 1. Предположим, что и0 € Ь11ос(П; К) ид > 1. Если для любого достаточно малого 5 > 0 существуют константы С, С' ,К0 > 0, удовлетворяющие условию (30), то задача (39) не имеет глобальных нетривиальных решений в

классе ^'^(П х [0, то);К).

Далее мы изучаем результаты об отсутствии решений задачи (2). Рассмотрим пробную функцию >рд € Ш х [0, то); К+), определённую как

<Уд(х, ¿) = М) Vх2 (, Я € , t€ [0, то), (40)

где г] € Сд°([0, то); [0,1]) удовлетворяет свойствам (18) и (19).

Легко понять, что соответствующие неравенства (20)—(25) справедливы и с пробной функцией (40) в области К ^ х [0, то). Мы применяем аналогичные процедуры, чтобы доказать эти неравенства.

Аналогично можно определить допустимый класс решений задачи (2) как

ШХс х [0, то); К) := ^ х [0, то); К) П (К^ х [0, то); К) ,

где 1 < р < то, и ^ > 0 достаточно мало.

Второй основной результат этого раздела заключается в следующем.

Теорема 2. Предположим, что и0 € ¿1ос(Км; К) и 5 > 0 достаточно мало. Если

тах {1,р - 1} <д < р- 1 + Р( 6+ 1), (41)

то .задача (2) не имеет глобальных нетривиальных решений класса х

[0, то); К). '

Доказательство. Пусть и является глобальным нетривиальным решением задачи (2). Возьмём пробную функцию <рп € Ш х [0, то); К), определённую

формулой (40).

Применяя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 1, устанавливаем

Л (и+)*"%д бяк ^С^ - ^ I (и+)г+1 М) (42)

) Оо+(ШМ)

где С21 — положительная постоянная, не зависящая от К, х и ¿. Параметр ш определён в (30). Сужая область интегрирования в левой части неравенства (42) на {х € : |х| < Л} х {г € [0, то) : £ < К9}, где рд = 1, в силу (18) и (19) получаем

0 I (и+)д+д ёхё£ <С22ЛШ. (43)

0 {хеШ™ :|х|^й} Если выполнено строгое неравенство в (41), т.е.

тах {1, р — 1} < д < р — 1 + ^+—^,

то, переходя к пределу при К ^ то в (43), получаем, что правая часть неравенства (43) не является положительной. Следовательно,

У У (и+)ч+' dхdt = 0,

откуда следует, что и+ = 0 почти всюду в х [0, то). Таким образом, и < 0 почти всюду в Мм х [0, то).

Если = р - 1 + р(5 + 1)/М (т.е. ш = 0), то из неравенства (43) следует, что и+ Е Ьч+5(Мм х [0, то)).

Поскольку и является слабым решением задачи (2), из (29) имеем У у (и+)ч+рдdхdí <С12 Л (и+)Р_1+г |£рд|Рр^Рdхdí+

II <и+)г+1

+ С13 // (и

)

Применяя неравенство Гельдера, из (44) получаем

др\

т

dхdí. (44)

I I (и+)ч+*рк dхdt <

о

/

< С

12

у /

УУ (и+У+рп dхdt Ц 1Брк Г'р1-™ ) ) )

dхdí

+

/

\т ( [и

др

к

т

\

р]_т dхdí

+ С13 Ц {и+)ч+5рн dхdí

) У

где х,х',т, и ш' определены, как в (32) и (33).

Теперь, если принять во внимание наш выбор рд, из (45) следует

, (45)

/

п

У У (и+ )ч+' dхdí <

< С12 (и+)ч+5 рк dхdí I У! |^рд|Р^ р^' dхdí I +

т

+ С13 (// (и+Г'ря ¿х^ I (УУ

д р

к

1

т

р1_т dхdí I , (46)

X

1

т

т

где

DN\ г. IV™ ,- td>N

Gr := D+(Rn ) П {(x, t) e Rn x [0, то) : R < |x| < 2R, R* ^t^ 2R0} .

Поскольку u+ e Lq+S(Rn x [0, то)), существует последовательность {Rk} ^ то при к ^ то такая, что

¿Im // (u+)q+S^R dxdt = 0. (47)

Rk

Комбинируя предельное соотношение (47) с неравенством (46), приходим к

R® ж

lim I i (u+)q+Ä dxdi= / i (u+^q+S

lim J j (u+)q+5 dxdi =JJ (u+)q+S dxdi = 0. 0 {xeRN:|ж|<Д| 0 RN

Таким образом, u+ = 0 почти всюду в RN х [0, то). То есть u ^ 0.

Аналогично можно легко показать, что u~ = 0 почти всюду в RN х [0, то), с помощью пробных функций (37) вместо (26). Таким образом, u = 0 почти всюду в RN х [0, то). Но это противоречит предположению, что u является нетривиальным решением задачи (2). Это противоречие завершает доказательство. □

При р = 2 справедливо следующее предложение.

Следствие 2. Предположим, что u0 £ L11oc(RN; R) и 6 > 0 достаточно мало. Если

2( <5+ 1)

то задача

fut = -Au + |u|q-1u, (х, t) £ Rn х (0, то), \u(x, 0) = uo(x), х £ Rn

не имеет глобальных нетривиальных решений в классе ^51'iOc(RN х [0, то);R).

Литература

1. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. МИ-АН. — М.: Наука, 2001. — Т. 234, № 3. — 362 с. [Mitidieri E., Pohozaev S.I. A Priori Estimates and the Absence of Solutions of Non- linear Partial Differential Equations and Inequalities // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2001. — Vol. 234, No 3. — 362 p. — (in russian). ]

2. Gong-ming W, Zu-chi C. Nonexistence of Global Positive Solutions for QuasiLinear Parabolic Inequalities // Jou. Univ. Sc. & Tech. China. — 2004. — Vol. 34, No 3. — Pp. 2903-2916.

3. Ma L. Blow - Up for Semi-Linear Parabolic Equations with Critical Sobolev Exponent // Pure and Applied Analysis. — 2013. — Vol. 12, No 2. — Pp. 1103-1110. — doi:10.3934/cpaa.2013.12.1103.

4. Fila M., Souplet P. The Blow-Up Rate for Semi-Linear Parabolic Problems on General Domains. — Basel: Birkhauser Verlag, 2001. — Vol. 8, Pp. 473-480.

5. Gazzola F., Weth T. Finite Time Blow-Up and Global Solutions for Semilinear Parabolic Equations with Initial Data at High Energy Level // Differential and Integral Equations. — 2005. — Vol. 18, No 9. — Pp. 961-990.

6. Pohozaev S. Blow-Up of Global Sign-Changing Solutions of a Nonlinear Heat Equation // Doklady Mathematics. — 2012. — Vol. 85, issue 2. — Pp. 225-228.

7. Polacik P., Quittner P. A Liouville-Type Theorem and the Decay of Radial Solutions of a Semilinear Heat Equation // Nonlinear Anal. — 2006. — Vol. 64. — Pp. 1679-1689.

8. Souplet P. An Optimal Liouville-Type Theorem for Radial Entire Solutions of the Porous Medium Equation with Source // J. Differential Equations. — 2009. — Vol. 246. — Pp. 3980 - 4005.

9. Galaktionov V., Vazquez J. L. Extinction for a Quazilinear Heat Equation with Absorption // Comm. PDE. — 1994. — Vol. 19. — Pp. 1075-1106.

10. Caristi G., Mitidieri E. Existence and Nonexistence of Global Solutions of HigherOrder Parabolic Problem with Slow Decay Initial Data // J. Math. Anal. Appl. — 2003. — Vol. 279. — Pp. 710-722.

11. Gazzola F., Grunau H. C. Global Solutions for Superlinear Parabolic Equations Involving the Biharmonic Operator for Intial Data with Optimal Slow Decay // Calculus of Variations. — 2007. — Vol. 30. — Pp. 389-415.

12. Sun F. Life Span of Blow-Up Solutions for Higher-Order Semilinear Parabolic Equations // Electronic Journal of Differential Equations. — 2010. — Vol. 17. — Pp. 1-9. — http://ejde.math.txstate.edu.

13. Guedda M., Kirane M. Local and Global Nonexistence of Solutions to Semilinear Evolution Equations // Electronic Journal of Differential Equations. — 2002. — Vol. 9. — Pp. 149-160. — http://ejde.math.swt.edu.

14. G. Cai H. P., Xing R. A Note on Parabolic Liouville Theorems and Blow-Up Rates for a Higher-Order Semilinear Parabolic System // International Journal of Differential Equations. — 2011. — Vol. 2011. — Pp. 1-9. — doi:10.1155/2011/ 896427.

15. Zubelevich O. On Weakly Nonlinear Backward Parabolic Problem // International Journal of Differential Equations. — 2009. — Pp. 9-28. — http://www. ma.utexas.edu/mp_arc/c/09/09-28.pdf.

UDC 517.945

Nonexistence of Global Solutions of Quasi-linear Backward

Parabolic Equations

B.B. Tsegaw

Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions Peoples' Friendship University of Russia 66, Mikluho-Maklay str., Moscow, Russia, 117198

This paper deals with the nonexistence of global solutions of quasi-linear backward parabolic equations for p-Laplacian operators: ut = —div (|Du|p-2 Du) + |w|9-1 u, (x,t) G Q x (0, to) with the Dirichlet boundary condition u = 0 on the boundary dQ x (0, to) and a bounded integrable initial function u(x, 0) = u0(x), where Q is a smoothly bounded domain in R^. We also consider this problem in the case of Q = R^.

The problem is analyzed using the test function method, developed by E. L. Mitidieri and S. I. Pohozaev [Mitidieri E., Pohozaev S. I. A Priory Estimates and the Absence of Solutions of Non- linear Partial Differential Equations and Inequalities // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2001. — Vol. 234, No 3. — 362 p. — (in russian).] It is based on deriving a priory estimates for solutions by an algebraic analysis of the integral form of inequalities with an optimal choice of test functions. With the help of this method, we obtain the nonexistence conditions based on the weak formulation of the problem with test functions

of the form: f(x,t) = (±u±(x,t) + e)5 <£r (x,t), for s > 0, S > 0, where u+ and u- are the positive and negative parts of the solution u of the problem respectively and ipn is a standard cut-off function whose support depends on a parameter R > 0.

Key words and phrases: Quasi-linear backward parabolic equations, p-Laplacian operators, test function method, apriori estimates and nonexistence of global solutions.