Научная статья на тему 'Условия отсутствия решений некоторых неравенств и систем с функциональными параметрами и сингулярными коэффициентами на границе'

Условия отсутствия решений некоторых неравенств и систем с функциональными параметрами и сингулярными коэффициентами на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
120
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА / ELLIPTIC INEQUALITIES / ПЕРЕМЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНИ / VARIABLE EXPONENTS / ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ / NONEXISTENCE OF SOLUTIONS / СИНГУЛЯРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ / SINGULAR COEFFICIENTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Галахов Евгений Игоревич, Салиева Ольга Алексеевна

Рассматривается проблема отсутствия положительных решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области. При этом главные части исследуемых неравенств представляют собой операторы p(x)-Лапласа с переменными показателями степени. Младшие члены рассматриваемых неравенств могут зависеть как от значений искомой функции, так и от ее градиента. Предполагается, что коэффициенты младших членов обладают сингулярностями на границе. Насколько известно авторам, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались. Получены достаточные условия отсутствия положительных решений в терминах показателя степени p(x), порядка сингулярности и других параметров задачи. Для доказательства полученных условий используется авторская модификация метода нелинейной емкости, предложенного С.И. Похожаевым. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой постановке задачи и на алгебраических преобразованиях полученных выражений. Это позволяет получить асимптотически оптимальные априорные оценки решений, приводящие к противоречию при определенном выборе параметров, из чего и делается вывод об отсутствии решений в этой ситуации. Приведено обобщение полученных результатов на случай нелинейных систем с аналогичными условиями на операторы и коэффициенты.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Unsolvability conditions for some inequalities and systems with functional parameters and singular coefficients on boundary

We consider the problem on nonexistence of positive solutions for some nonlinear elliptic inequalities in a bounded domain. At that, the principal parts of the considered inequalities are p(x)-Laplacians with variable exponents. The lower terms of the considered inequalities can depend both on the unknown function and its gradient. We assume that the coefficients at the lower terms have singularities at the boundary. To the best of the authors’ knowledge, the conditions for nonexistence of solutions to inequalities with variable exponents were not considered before. We obtain the sufficient conditions for nonexistence of positive solutions in terms of the exponent p(x), of the order of the singularities and of parameters in the problem. To prove the obtained conditions, we employ an original modification of the nonlinear capacity method proposed by S.I. Pokhozhaev. The method is based on a special choice of test functions in the generalized formulation of the problem and on algebraic transformations of the obtained expression. This allows us to obtain asymptotically sharp apriori estimates for the solutions leading to a contradiction under a certain choice of the parameters. This implies the absence of the solutions. We generalize the obtained results for the case of nonlinear systems with similar conditions for the operators and coefficients.

Текст научной работы на тему «Условия отсутствия решений некоторых неравенств и систем с функциональными параметрами и сингулярными коэффициентами на границе»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 14-24.

УДК 517.957

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

НА ГРАНИЦЕ

Е.И. ГАЛАХОВ, O.A. САЛИЕВА

Аннотация. Рассматривается проблема отсутствия положительных решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области. При этом главные части исследуемых неравенств представляют собой операторы р(ж)-Лапласа с переменными показателями степени. Младшие члены рассматриваемых неравенств могут зависеть как от значений искомой функции, так и от ее градиента. Предполагается, что коэффициенты младших членов обладают сингулярностями на границе. Насколько известно авторам, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались.

Получены достаточные условия отсутствия положительных решений в терминах показателя степени р(х), порядка сингулярности и других параметров задачи. Для доказательства полученных условий используется авторская модификация метода нелинейной емкости, предложенного С.И. Похожаевым. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой постановке задачи и на алгебраических преобразованиях полученных выражений. Это позволяет получить асимптотически оптимальные априорные оценки решений, приводящие к противоречию при определенном выборе параметров, из чего и делается вывод об отсутствии решений в этой ситуации. Приведено обобщение полученных результатов на случай нелинейных систем с аналогичными условиями на операторы и коэффициенты.

Ключевые слова: эллиптические неравенства, переменные показатели степени, отсутствие решений, сингулярные коэффициенты.

Mathematics Subject Classification: 35J60, 35К55, 35R55

1. Введение

Проблема достаточных условий отсутствия решений нелинейных эллиптических уравнений, неравенств и их систем рассматривалась многими авторами.

Для оператора Лапласа с точечной сингулярностью внутри области первые результаты в этой области были получены X. Брезиеом и X. Кабре [1] с помощью принципа сравнения.

Для операторов высоких порядков, не удовлетворяющих принципу сравнения, С.И. Похожаевым [9] был предложен метод нелинейной емкости. Позднее он был развит в совместных работах с Э. Митидиери и другими авторами (см. монографию [8] и ссылки в ней). Этот метод позволил получить ряд новых точных достаточных условий неразрешимости нелинейных неравенств в частных производных в различных функциональных классах. Метод основан на получении асимптотически оптимальных априорных оценок

E.I. Galakhov, O.A. Salieva, Unsolvability conditions for some inequalities and systems with

functional parameters and singular coefficients on boundary.

© Галахов Е.И., Салиева O.A. 2018.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (Соглашение 05.Y09.21.0013 от 19 мая 2017).

Поступила 28 декабря 2016 г.

путем алгебраического анализа интегральной формы рассматриваемого неравенства при специальном выборе пробных функций. Приложения этого метода к различным типам эллиптических неравенств и систем можно найти, например, в [2, 3, 4, 7].

В настоящей работе используется модификация метода нелинейной емкости для получения достаточных условий отсутствия решений для некоторых нелинейных эллиптических неравенств в ограниченной области с переменными показателями степени и коэффициентами, обладающими сингулярностью на границе. Насколько нам известно, ранее условия отсутствия решений для неравенств с переменными показателями степени не рассматривались.

Для доказательства результатов об отсутствии решений методом нелинейной емкости строятся пробные функции с различной геометрической структурой, учитывающей специфический характер рассматриваемой задачи. Наши первые результаты в этом направлении были опубликованы в [5, 6],

Оставшаяся часть статьи состоит из двух параграфов, В §2 мы получаем результаты об отсутствии решений для скалярных нелинейных эллиптических неравенств, а в §3 - для систем таких неравенств.

Замечание об обозначениях. Здесь и далее буква с обозначает различные положительные константы, которые могут зависеть от параметров рассматриваемых задач.

2. Скалярные неравенства

Рассмотрим задачу

-а1у(|Дм|р(ж)-2Дм) > р-а(х)ид(х)10и1з(х), х е П,

(1)

и(х) > 0, х е П,

где П - ограниченная область с гладкой границей, р(х),д(х), з(х) е С(П) - функции с положительной точной нижней гранью, р(х) = 5П), а е К.

Решения задачи (1) будут пониматься в слабом смысле (распределений) в соответствии со следующим определением.

Определение 2.1. Неотрицательная функция, и е (П) называется, слабым ре-

шением (в смысле распределений) задачи, (1), если р~ е Ь11ос(П) и для любой

неотрицательной, пробной, функции ф е С^П) выполняется неравенство

J 1Ви1р(х)-2(Ии, Бф) <1х >1 р-а(х)ид(х^1Ви1з(х)ф Ах. (2)

п п

Замечание 2.1. Аналогично [8] можно показать, что если, такое решение существу -

П

ф = и1 р с 7 е К и р е С1(П). Если и обращается в ноль где-либо в П и ^ < 0, можно использовать пробные функции ф = (и + 5)1 р и устремить 8 ^ 0+, что приводит к таким же результатам, как и в предыдущем случае. Поэтому далее мм будем предполагать, что и > 0, если, оно существует.

Введем обозначение

Пкг] = [х е П : р(х) > кг/} (гц> 0,к = 1, 2).

Предположим, что

Ш р(х) > 1, хеп

Ш(д(х) — р(х)) > 1. хеп

Обозначим

b ,х) = р(х)(д(х) +1) — s(x)(j - 1) 1 q(x) + s(x) — р(х) + 1 '

с (х) = Р(х) + 1 — 1

Cl (Х) q(x) + s(x) — р(х) + 1' (3)

Db,,l}= j t<<-<-

Тогда имеет место

Теорема 2.1. Пусть существует 70 < 0 такое, что для, 7 Е (70, 0)

ИшД7' V) = 0. (4)

Тогда неравенство (1) не имеет нетривиальных решений.

Пример 2.1. Пусть П = B^0), р(х) = р = const q(x) = q = const s(x) = 0. Тогда, р(х) = 1 — |х|, и неравенство (1) принимает вид

— Ари > uq(1 — |х|)"а (х Е Bi(0)), (5)

а, условие (4) выполняется в точности при а > q+1. Легко видеть, что при нарушении

а — р

этого условия (т.е. при а < q + 1) неравенство (5) имеет решение вида, С(1 — |х|) р+i с соответствующей константой С = С(р,q,a) > 0, т.е. полученное условие отсутствия решений неравенства (5) является, оптимальным.

Доказательство. Предположим, что существует нетривиальное решение и неравенства (1), Введем семейство функций е С0(П; [0,1]) гада ф(ж) = £^(х) с

- (ж)={1 (ж е П:;))' о

«(х)1<сП-1 (х е П) (7)

и достаточно большим Л > 0, Тогда получим

/ г-„х)и".чв.г-,.,х < / «««ш.«,,. „ „ =

,, ГЧ* +

п п

откуда следует

J р—а(х)и(х) +7 | «и| з(х)'^<1х + |7| J и7-1| Ои\р(х)^(1х < I и7| «и|р(ж)-1| Б^вхХ. п п п

Представляя подынтегральную функцию в правой части этого неравенства в виде

У(х) (<г(г)+7)у(г) , \ ау(х) у(х) -1в(х)-{д(х)+~1)у(х)1 . ау(х) —

2—^ р~ • 2^ |«и|р(ж)—1—у(х) «фг,| • р.

( х)

телем в(х)/у(х) (далее будет показано, что в(х)/у(х) > 1 при соответствующем выборе

у(х)), получим

1 / I отьу ^ и-,-1 от ь <

п п

/1в(х)-(д(х)+1)у(х) , (р(х)-1-у(х))в(х) в(х) ау(х) --у(х)

и а(х)-у(х) 1^и\ '(х)-у(х) ^(рг, I *(х)-у(х) • р.(х)-у(х) ф- '(х)-у(х) ¿X.

п

Применим неравенство Юнга с показателем г(х) еще раз:

1в(х)-(я(х)+~1)у(х) ш (р(х)-1-у(х))а(х) я(х) ау(х)

у(х)

С и .(х)-у(х) 1^и\ -(х)-у(х) ^фг, I я(х)-у(х) • ря(х)-у(х) ^п'(х)-у(х) ¿X <

< ^ I и е(х)-у(х) 10и\ е(х)-у(х) ^ ¿Х + ^

п

|7 I Г (~1в(х)-(.д(х)+1)у(х))г(х) (р(х)-1-у(х))в(х)г(х)

п

Г в(х)г'(х) ау(х)г'(х) 1—

+с |^(х)-у(х) • рз(х)-у(х) ^ °(х) у(х) ¿х,

где -К + = 1.

Выберем у(х) и г(х) так, что

(р(х) — 1 — у(х))з(х)х(х) = р(х)(в(х) — у(х)),

уз(х) — (д(х) + 7 )у(х) в(х) — у(х)

т, е,

з(х)(р(х) + 7 — 1)

г(х) = 7 — 1,

у(х) = у1 (х) г(х) = г7 (х)

р(х)(д(х) + 7) — в(х)(^у — 1)}

р(х)[р(х)(д(х) + <у) — я(х)(у — 1) — (р(х) + 7 — 1)] (р(х) — 1)(р(х)(д(х) + 7) — $(х)(у — 1)) — в(х)(р(х) + 7 — 1)

Отметим, что при 7 = 0 в силу наших предположений об д(х), р(х) и в(х) для любого х е П имеем

з(х) р(х)д(х) + 8(х) р(х)д(х) + з(х) в(х)

—- =-—---> -—-= р(х) + -;-т > Р(х) > 1

у0 (х) р(х) — 1 д(х) д(х)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и

^,) = Р(х)(д(х) — 1) + з(х) + 1 = 1 + з(х) + 1 > 1 р(х)(д(х) — 1) р(х)(д(х) — 1)

Отсюда по непрерывности при достаточно малых |7| будем иметь > 1 и (х) > 1 для всех х е П, что и требуется для применения неравенства Юнга,

Для таких у(х) и г(х), при со свойствами (6), (7) и доетаточно большим Л > 0 из (8)

следует

1У р—а(х)ид(х)+710и1з(х)<Рч ¿х + и7—11Ви1р(х)<Рч ¿х < сО(1,т1).

пп

Устремляя ц ^ в силу (4) для 7 е (70,0) получим противоречие с предполагаемой нетривиальностью и, что доказывает теорему, □

3. Системы неравенств

Далее рассмотрим систему неравенств

-сЦу(10и1 р(х)-2Ии) > р-а(х)ьС11(х)1Иу|

\Я2(х)

х е О,

-&\(1Иу|"(х)-2Иь) > р-3(х)иР1(х)10и1Р2(х), х е О,

и, V > 0,

х е О,

где О - ограниченная область с гладкой границей.

Будем предполагать, что р, д, р\, д1, р2, д2 е С (О) - функции с положительной точной нижней гранью, е К.

Решения системы (9) будут пониматься в слабом смысле (распределений) в соответствии со следующим определением.

Определение 3.1. Пара неотрицательных функций (и, у) е (О) называ-

ется слабым решением (в смысле распределений) системы (9), если р-а(х)1д2(х е Ь\ос(О), р-3(х)иР1(х"11Иь 1Р2(х е Ь\ос(О) и для любых неотрицательных пробных функций ф1,ф2(х) е С0(О) выполняются неравенства

1Ии1р(х)-2(Ии}Иф1) <1х > / р-а(х)ьд1(х)1Вь 1д2(х)ф^х,

О ^х)-2(Иу, Иф2(х)) ¿х > / р-3(х)иР1(х)1Би1Р2(х)ф2(х) дхх.

(10)

Замечание 3.1. Аналогично замечанию 2.1, мы можем предполагать, что и > 0 и V > 0, если, они, существуют, и использовать пробные функции вида, ф1 = и'р и ф2(х) = ь'р с р е С1 (О).

Обозначим

С1(х) = -с3,у (х) = -(х) =

д(х) + у - 1

Я1(х) + Я2(х) - д(х) -у +1'' д(х) +7 - 1

Я1(х) + д2(х) - д(х) - у+1 р(х)р 1 (х) + Р2(х)(1 - у)

С2,7 (х) = -

С 4( х ) —

(р(х) - 1)(1 - 7)

&3(х) =

Р1(х) + Р2 (х) - р(х) - у + 1' д(х)д1 (х) + д2(х)(1 - <у)

д1(х) + д2(х) - д(х) -у + 1

¿2' (х) ¿4,<у (х)

Р1(х) + (р2 (х) - р(х) + 1)(1 - у) (д(х) - 1)(1 - 7) ,

д1(х) + (д2(х) - д(х) + Ш1 - у), р(х)р 1(х) + Р2 (х)(1 - у)

Р1(х) + (р 2 (х) - р(х) + 1)(1 - у) , д(х)д1(х) + д2(х)(1 - у)

д1(х) + (д2(х) - д(х) + 1)(1 -/у),

(г])= у '(х) •П

иг)\и2у

ЬС:>'7(х)(х) • ф'7(х) в,х, ] = 1, 2,

(гп)

^',7(х)(х) • (х) (Их, 3 = 3, 4.

0,щ\0.2ц

Тогда справедлива

Теорема 3.1. Пусть т! р(х) > 1, т{ д(х) > 1, т£ (р 1(х) + р2(х) - р(х)) > 1,

х^и х£.и х^и

т£(д^х) + д2(х) - д(х)) > 1 и существует 7о < 0 такое, что для, 7 е (70, 0)

хЕи

ИшИ„7 (г]) = 0, з = 1,..., 4. Тогда, система (9) не имеет нетривиальных решений.

(П)

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИЙ

19

Доказательство. Пусть (и, V) - нетривиальное решение системы (9), а ^^ е С^(П; [0,1]) -пробные функции того же вида, что и в доказательстве теоремы 2,1, удовлетворяющие (6) и (7).

Используя пробную функцию ф1 (х) = и1 (х)(рп (х) в первом неравенстве (10) и ф2(х) = V1 ^^ во втором, где число 7 таково, что шах(т£(1 — р(х)), т£(1 — д(х)),^0) < ^ < 0, получим

хеп

хеп

р—а(х)у'11(х)10у112(х)и' <рп ¿х < ч и(—110и\р(х)^ ¿х + и710и\р(х)—110^ | Ах, (12)

р—3 (х)иР1 (х)10и\Р2(х)ь( ^ йх < 7 у1—11Бу1 ^^ йх + V1 ^у| | (1х. (13)

Воспользуемся представлением

и11ви\р(*)—1 = иа1(х)10и1 Ь1(х)^1(х) и1—а1(х)10и1 р(х)—1—Ь1(~' ^

2(%)\

<1Щ д(х)-1 = уа2(х)1Пи1 Ь2(х)^с2( х) у1—а2(х)1Пу1 д(х) — 1—Ь2^ ^

(х) — 1—Ъ1 (х) 1 (х) — 1—Ь2(х)

1

С1(х)

1

С2(х)

(14)

(15)

чтобы применить к правым частям (12) и (13) параметрическое неравенство Юнга с показателями, обозначаемыми с1(х) и с2(х) соответственно. Выберем параметры так, что

а1(х)с1(х) = 7 — 1, Ь1(х)с1(х) = р(х),

7 — а,1(х) р1(х)

(16)

р(х) — 1 — Ь1(х) р2(х)

й2 (х)с2(х) = 7 — 1, Ь2(х)с2(х) = д(х),

7 — а2(х) д^х)

(17)

д(х) — 1 — Ь2(х) д2(х)' Замечание 3.2. Смысл этого выбора заключается в подготовке к последующему приветствующем выборе параметров J р—3 (х)иР1(х^1Ви1Р2(х^ (рп Ахи J р—а(х)ь<11(х'>1Ву1Я2(х) ¿х.

Решая системы уравнений (16) и (17), получим

(/У — 1)((Р(Х) — 1)Р1(Х) — 1Р2(Х))

а1(х) = Ь(х) = С1(х) = а,2(х) = Ьь(х) = съ(х)

р(х)р1(х) + Р2(х)(1 — 7)

р(х)((р(х) — 1)р1(х) — ЧР2(х)) р(х)р1(х) + Р2(х)(1 — 7) '

р(х)р1(х) + Рь(х)(1 — 7) (р(х) — 1)Р1(Х) — ТР2(х) ,

(/у— 1)((д(^) — 1)^1(х) — 1д2(х)) д(х)д1(х) + д2(х)(1 — '

д(х)((д(х) — 1)д1(х) — ^уд2(х)) д(х)д1(х) + д2(х)(1 — ч) '

д(х)д1 (х) + д2(х)(1 — 7) (д(х) — 1)д1(х) — ^д2(х)'

(18)

1

1

V

Подставляя (18) и (19) в (14) и (15), будем иметь представления

(1-1)((р(х)-1)р1(х)-1Р2(х)) р(х)((р(х)-1)р1(х)-1р2(х)) (Р(х)-1)Р1(х)-'УР2(х)

V? 1Би\Р(Х) — 1 =и р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) 1Би\ р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) ^Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) •

р1(х)(р(х) + 1-1) Р2(х)(р(х)+1-1) — (р(х)-1)р1(х)-1р2(х)

• ир(х)р1(х)+Р2(х)(1-~1) 1Ви\р(х)р1(х) + Р2(х)(1-~1) у р(х)р1(х) + р2(х)(1-1) ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

, ч (1-1)((д(х)-1)д1(х)-1д2(х)) д(х)((д(х)-1)д1(х)-1д2(х)) (д(х)-1)д1(х)-:<д2(х))

V11Бь 11(х) — 1 =ь д(х)д1(х)+д2(х)(1-у) | д(х)д1(х)+д2(х)(1-у) ^дд(х)д1(х)+д2(х)(1-1) •

д1(х)(д(х) + 1-1) д2(х)(д(х + -1) — (Я^)- П(хх)^ ^.х)

• уд(х)д1(х) + д2(х)(1-1) | д(х)д1(х) + д2(х)(1-~1) у д(х)д1(х) + д2(х)(1-1) .

Заметим, что при 7 = 0

= д(х)д1(х) + д2(х) > (д(х) — 1)д1(х) + д2(х) = 1 + д2(х) > ^ ^ > 1 1 (д(х) — 1)д1(х) (д(х) — 1)д1 (х) (д(х) — 1)д^х) > 1,0

и аналогично с2(х) > с2,0 > 1. Поэтому те же неравенетва с^х) > 1 и с2(х) > 1 выполняются в силу непрерывности при достаточно малых |7|, Таким образом, применяя к правым частям (12) и (13) параметрическое неравенство Юнга с показателями с^х) и с2(х) из (18) и (19) соответственно, приходим к

У р—а(х)уд1(х)10у I Ч2(х)и^ц ¿х + и1—11Ви1р(х)^ <1х <

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) ' Р1(х)(р(х)+~1-1) Р2(х)(р(х)+-у-1) Р1(х) + Р2(х)

с^ I и Р1(х)+Р2(х) IР1(х)+Р2(х) --—-Ах

— 7/11 р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-'1) '

Р1(х)+Р2(х)

р—3(х)иР1(х)10и\Р2(х)уЧфг, ¿х + ^ I ь^Бь Iд(х)(Рп ¿X <

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1) (х)+д2( х)

С д1(х)(д+'!-1) д2(х)(д(х)+1-1) Ю(р„ I д1(х)+д2(

<(1т I Ьд1(х)+д2(х) | д1(х)+д2(х) —^(х^хХ-) —

д1(х)+д2(х)

где константы с7 и зависят только от р(х), д(х), р1(х), д1(х), р2(х), д2(х) и 7, Применяя неравенство Юнга с показателями

Р1(х)+ р2(х) , Р1(х)+ Р2(х)

а1(х) = -—, а1(х)

и

р(х) + 7 — 1' р1 (х) + Р2(х) — р(х) — 'у +1

,/ч ^1(х) + д2(х) д1(х) + д2(х) а2(х) = -----, а2(х) —

д(х) +7 — 1 ' д1(х) + д2(х) — д(х) — 7 +1

соответственно (отметим, что при наших предположениях для 7 = 0 имеем

Р1(х)+ р2(х) д1(х) + д2(х)

^(х) =-Г^-1— > (^1,0 > 1, й>2(Х) =-^---> а2,0 > 1

р(х) — 1 д(х) — 1

и поэтому в силу непрерывности ¿1(х) > 1 и ¿2(х) > 1 для любых достаточно малых ^^ получим

| р^^у^^уIЧ2(х\Грц ¿х + И | и^^Би^^ ¿х <

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) х) + Р2(х)-Р(х)-1

[а / , / , Г 13(р(х)+',-1) \^,п\р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

< е1 ! р—3(х^^иГ^р^х + ^ I ррм+ы*--^1 (Х)

(х}+Р2Ах) _......

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-'1) 1 Р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ РЕШЕНИИ ...

21

р-3 (х)иР1 (х)| Ии\Р2(х)у'^ йх + Ь^ I у'-11 Иь 1^х)^(1х <

д(х)д1 (х)+д2(х)(1~7)

Г / \ / \ [ а(д(х)+7-1) \Иф„\п (х)+д2(х)-д(х)-7+1

< 9- р-а(х)ь'11(х)1Иу I Я2(х)р^х + к- рд1(х)+д2(х)-д(х)-7+1 (х) 1 ^.„^ ,л-<1х.

I_

д(х)д1(х)+д2(х)(1-7) . пд1(х)+д2(х)-д(х)-7+1

1

Далее, используя пробные функции ф1(х) = ф2(х) = в (10), будем иметь

Р-3 (х)иР1(хх ^ Р2(х^ * < ¡1оП^х.

(21)

(22)

(23)

Воспользуемся представлением

1 1 $ ___

1Ии\р(х)-1 = иаз(х)1Ии\Ьз(х)р^з(х)и-аз(х)1Ии\р(х)-1-Ьз(х)(р-3рЯ)Ъ&р^у-*3™ Лз(х), (24)

Iд(х)-1 = ьа4(х)1Иь I Ь4(х)р;4(х) ь-а4(х)1Иь Iд(

х) 1 Ь4(х)( -а

)(р-а(ря )Л4(х) р*4(х) °4(

1

■) Л4(х)

(25)

чтобы применить к правым частям (22) и (23) тройное неравенство Юнга с показателями,

3( х) 3( х) 3( х) 4( х) 4( х) 4( х)

параметры так, что

аз(х) сз(х) = у - 1, Ьз(х) сз(х) = р(х), аз(х) с1з(х) = р 1 (х),

(р(х) - 1 - Ьз(х))(1з(х) = Р2(х), (26)

1

+

1

+

1

1,

Сзз(х) ¿зз(х) езз(х)

а4(х)с4(х) = у - 1, Ь4(х) с4(х) = д(х),

4( х) 4( х) = - 1( х),

< (д(х) - 1 - Ь4(х))(14(х) = д2(х),

111

+ + '

(27)

, с4(х) ¿4(х) е4(х) Решая системы уравнений (26) и (27), получим

(/У - 1)Р 1(х)(Р(х) - 1)

аз(х) = Ьз(х) = сз(х) = ¿з(х) = ез(х) =

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - у) '

р(х)р 1(х)(р(х) - 1) р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - у) ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - ч) Р1 (х)(р(х) - 1) ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 -ч)

(р(х) - 1)(1 ,

р(х)р 1(х) + Р2(х)(1 - 7) Р1(х) + (р 2 (х) -р + 1)(1 - у)

1

1

а4(х) Ь4(х) с4(х) (4(х) е 4(х)

(1 - 1)дх(х)(д(х) - 1) д(х)дх(х) + д2(х)(1 - '

д(х)дх(х)(д(х) - 1) д(х)дх(х) + д2(х)(1 - 7)'

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - 7) дх(х)(д(х) - 1) '

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - 7) (д(х) - 1)(1 '

д(х)д\(х) + д2(х)(1 - ч)

д\(х) + (д2(х) - д + 1)(1 - ^'

Отметим, что при 7 = 0

,,_Р(х)Р 1 (х)+ Р2(х)_, . Р1(х)+ Р2(х) . -

сз(х) = -Г~ТТ~Г~\-7\ = 1 +--Г~ТТ~Г~\-ГТ — с3,0 > 1

рх(х)(р(х) - 1)

р\(х)(р(х) - 1)

Р(х)Р1(х)+ Р2(х) . , Рг(х)+ Р2(х) ^ ( , . , ^ 1 ¡з(х) =-^---= Р1(х) +------— > Рх(х) — (¡30 > 1'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е 3 (х)

( х) - 1 р(х)р х(х) + Р2(х)

>

( х) - 1 Р\(х) + Р2 (х)

Рх (х) + Р2 (х) - р(х) + 1 Рх (х) + Р2 (х) - р(х) + 1

— е3,0 > 1

(29)

и аналогичные оценки имеют место для с4(х), (4(х), е4(х). Поэтому из непрерывности следует, что для достаточно малых |7| все эти показатели также превосходят 1, аналогично предыдущим рассуждениям.

Подставляя (28) и (29) в (24) и (25), получим представления

1Ви1р(х)

х)-\

(<-1)р1(х)(р(х)-1) р(х)р1(х)(р(х)-1) ,Р1(Х1(1(Х)-1п-V

= ир(х)р1(х)+р2(х)(1—/) 1^и1р(х)р1(х)+Р2(х)(1-7) ^р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) ,

Р1(х)(р(х)-1)(1-',) р2(х)(р(х)-1)(1-7) _я (р(х)-1)(1-<)

ир(х)р1(х)+р2(х)(1-1) Ди р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) (п " ) р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) •

13(р(х)-1)(1-<<) (1-р1(х)-1)(р(х)-1)

р(х)р1(х)+р2(х)(1-7^ор(х)р1(х)+р2(х)(1-7)

■Р

Iд(х)

х)-\

(1-1)Ч1(х)(д(х)-1) д(х)Ч1(х)(д(х)-1) -\

= уд(х)д1(х) + д2(х)(1-~/) | д(х)д1(х) + д2(х)(1-<<) р^(х)д1(х) + д2(х)(1-1) ^

П(х)(д(х)-1)(1-1) д2(х)(д(х)-1)(1-1) _ (ч(х)-1)(1-1)

■ у ч(х)Ч1(х)+Ч2(х)(1-1) I ч(х)д1(х)+д2(х)(1-1) (р ар ) д(х)д1(х)+д2(х)(1-'<) ■

Л. д( ■х)-1)(1-<)

(~<-ц( х)-1)( д( х)-1)

д(х)д1(х) + д2(х)(1-<<) рд(х)д1(х) + д2(х)(1-<)

и, применяя к правым частям (22) и (23) тройное неравенство Юнга с показателями с3(х), (3(х), е3(х), с4(х), с(4(х), е4(х) из (28), (29) соответственно, придем к

У р-а(х)уд1(х)10уIЯ2{х)р,(х <

<Сх I и'^^и^р^х + С2 [ (х)иР1(х)10и1Р2(х)^^(х+

' Р(р(х)-1)(1-<)

+ С3 рр1(х) + (р2(х)-р+1)(1-<) (х)

р(х)р1(х)+р2(х)(1-<) 1Д I р1(х) + (р2(х)-р+1)(1—<<)

1_

р(х)р1(х)+р2(х)(1-<) р1(х) + (р2(х)-р+1)(1-<<)

Р ,

х

х

У р—3(х)иР1(х) IОи\Р2(х)<рп ¿х <

<С\ [ ь1^ Иь ^^¿х + С5 [ p—a(x)vql(x)| Бь !12(х)р^х+

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1)

а(д(х)-1)(1-ч) I От \д1(х) + (Я2(х)-д+1)(1-1)

+с6 I рд1(х)+(д2(х)-д+1)(1-) | <Ъ.

,пд1(х)+(д2(х)-д+1)(1-1)

Используя (20) и (21), из предыдущих оценок получим

у р—а(х)ь 11(х) I Вь I Я2(х)р^ ¿х <С7] р—3 (x)uPl(x)| Би\Р2 (х)^ с1х+

+ (р(х)+,-1) Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1)

/рР1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1 (х) I Бф^ Р1(х)+Р2(х)-Р(х)-1+1

р(х)р1(х)+р2(х)(1-1) 1 ^Х+

. - Р1 (х)+Р2 (х)-Р(х)-1+1

Р(х)Р1(х)+Р2(х)(1-1) Г + (р(х)-1)(1-,) \Вш„\Р1(х) + (Р2(х)-р(х) + 1)(1-',)

+ С9 рр1(х) + (р2(х)-р(х) + 1)(1-,) (Х) I Р(х')р-ц (х) + Р21(х)(1--у) 1 dx,

" Р1(х) + (Р2(х)-Р(х) + 1)(1-'У)

(31)

(32)

р—3(x)uPl(x)|Ои\Р2(х)р^х < С10 p—a(x)vql(x)|Вь\п(х)^г,Ах+

д-(д(х)+'(-1) д(х)д1(х)+д2(х)(1-'1)

/рд1(х)+д2(х)-д(х)-1+1 (х) IБр^ д1(х)+д2(х)-д(х)-',+ 1

д(х)д1(х) + д2(х)(1-1) 1 ^Х +

. пд1(х)+д2(х)-д(х)-1+1

д(х)д1(х)+д2(х)(1-1)

/д(д(х)-1)(1—у) \Ош„\д1(х) + (д2(х)-д(х) + 1)(1-1)

рд1(х)+(д2(х)-д(х)+1)(1-,) (Х)| ^д^х^хш-,) 1 ^,

д1(х)+(д2(х)-д(х)+1)(1-',) 1

(33)

где константы зависят только от р(х), д(х), р1(х), д1(х), р2(х), д2(х), 7 и от выбора параметров в неравенствах Юнга,

слагаемые вида с ^ р~а(х)ь41 (х') IИьI<12(х^)р.п dx ис J р~3(х)иР1(х^Би\Р2<1х в левую часть,

при С7С10 < 1 (что можно обеспечить за счет выбора параметров в неравенствах Юнга), имеем:

4

р~а(хУ1 (х) I Бь I ^^¿х < с^Б^ (г]), (34)

3 = 1

р~3(х)иР1(х)IБи\Р2(х)<р^х < с^Б^(п). (35)

=1

Переходя к пределу при г/ ^ 0+, в силу (11) придем к противоречию, что доказывает утверждение теоремы, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н. Brezis, X. Cabré Some simple nonlinear PDE's without solutions. Boll. Un. Mat. Ital. B: Artie. Ric. Mat. 1998. V. 1, Ser. 8. R 223-262.

2. A. Farina, J. Serrin Entire, solutions of completely coercive quasilinear elliptic equations //J- Diff. Eq. 2011. V. 250. P. 4367^4408.

3. A. Farina, J. Serrin Entire, solutions of completely coercive quasilinear elliptic equations II // J. Diff. Eq. 2011. V. 250. P. 4409-4436.

4. R. Filippucci, P. Pucci, M. Rigoli Nonlinear weighted p-Laplacian elliptic inequalities with gradient terms // Commun. Contemp. Math. 2010. V. 12. P. 501-535.

5. E. Galakhov, O. Salieva On blow-up of solutions to differential inequalities with singularities on unbounded sets // JMAA. 2013. V. 408. P. 102-113.

6. Галахов Е.И., Салиева О.А. Разрушение решений некоторых нелинейных неравенств с особенностями на неограниченных множествах // Матем. заметки. 2015. Т. 98. С. 187-195.

7. X. Li, F. Li Nonexistence of solutions for singular quasilinear differential inequalities with a gradient nonlinearity // Nonl. Anal. TMA. 2012. V. 75. P. 2812-2822.

8. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука, 2001 (Труды МИЛИ им. В.А. Стек-лова. Т. 234).

9. Похожаев С.И. Существенно нелинейные, емкости, порожденные дифференциальными операторам,и // Докл. РАН. 1997. Т. 357. С. 592 591.

Евгений Игоревич Галахов, Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 117198, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Салиева Ольга Алексеевна,

Московский государственный технологический университет «Станкин»,

Вадковский переулок, д. За,

127055, Москва, Россия

E-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.