Разрешимость краевой задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

Н.Р. Пинигина

Целью работы является доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для систем уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами с пространственным вырождением. А.И. Ко-жановым были рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами второго порядка, действующими по пространственным переменным. В его работах были доказаны существование решения при выполнении условий «характеристической выпуклости» границы области относительно пространственных операторов. Техника, используемая в настоящей работе, будет близка к технике работ вышеуказанного автора. Для исследования вырождающихся систем уравнений соболевского типа используется также сочетание метода регуляризации и метода априорных оценок. С помощью метода регуляризации строится семейство приближенных решений вырождающихся уравнений. Анализ интегральных неравенств, при получении априорных оценок, основан на интегрировании по частям, применении неравенств Коши - Буняковского и Гельдера и неравенства Юнга. Также применяются свойства весовых соболевских пространств.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение соболевского типа, регулярные решения, априорные оценки.

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до п).

В случае эллиптико-параболического оператора А подобные уравнения рассматривались в работах А.И. Кожанова [1-5] с действительнозначной функцией /(ж,Ь); техника, используемая в настоящей работе, будет близка к технике вышеуказанных работ.

Пусть О есть ограниченная область пространства М” переменных ж1,...,жп с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q = О х (0, Т) - цилиндрическая область, 0 < Т < +то,£ = Г х (0,Т). Функция /(ж,Ь) имеет вид /(ж,Ь) = Д(ж,Ь) + г/2(ж,Ь). Функции Д(ж,£), /2(ж,Ь), а4'(ж), Ь4'(ж), г,^ = 1,...,п, а0(ж), Ь0(ж) действительнозначные, заданные при ж € П, Ь € [0, Т].

Будем считать выполненными условия

Рассмотрим уравнение

ААД^+^ж, і) + (—1)тВи(ж,і) = /(ж, і),

где т > 0 - целое, А = Аі + гА2 — комплексное число, ^.

Оператор А эллиптико-параболический второго порядка вида

(1)

І

(2)

оператор В эллиптический такого же вида

Ви = дХі (Ьч (ж)иЖі) + Ьо(ж)и, ^(ж)&& > т0 | £ |2, т0 > 0, ж Є П, £ Є Мга,

(3)

аІЗ(ж) = ал(ж), (ж) = Ьл(ж), ж Є П, г,^ = 1,...,п.

(4)

Первая краевая задача: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

«(ж,£) ^ = 0, (5)

«(ж, 0) = А*«(ж, 0) = ... = 0) = 0,

«(ж, Т) = А*«(ж,Т) = ... = Дт-1«(ж,Т) = 0 ж Є П.

Уравнение (1) можно свести к системе уравнений

А1А^2т+1и1(ж, і) — А2АА2т+1и2(ж, і) + (—1)тВи1(ж, і) = /1(ж, і), )42т+Ч(ж,і) + А^А?’

А2А^2™+1и1(ж, і) + А^А^+^^І) + ( —1)тВи2(ж,І) = /2(ж, і),

(6)

(7)

и именно эта система в дальнейшем будет анализироваться.

Через У0 будем обозначать анизотропное пространство Соболева с нормой

Нк = (/ (М2 + !»<!2 + 1А2”“+1»!2 + Ё А2”‘+Ч,*., |2)<*ий I .

Ниже через V = (у1,..., уп) будем обозначать вектор внутренней нормали к границе Г в текущей точке ж.

Теорема 1. Пусть для операторов А и В выполнены указанные выше условия (2)-(4)■ Кроме того, пусть выполняются условия

/в (ж, і) Є ЫЗ), А /в(ж,і) Є £2(^),...,А4т+2/Дж,і) Є ЫЗ), /** є £2(3), (ж,і) є І2(д),..., А4т+2/вЖі є І2(д);

(8)

(9)

Д(ж, 0) = А/Дж, 0) = ... = Б^/Дж, 0) = 0,

Д(ж, Т) = БД(ж, Т) = ... = А4т-1Л(ж, Т) = 0, ж € О, 5 = 1, 2.

А1 > 0, | А |> 0, (10)

3 а*(ж) : а* > 0, С^ж)^2 < а7(ж)&£,- < С2а*(ж)£?, С > 0, ж € О, £ € Мга; (11)

1а£к(ж)| < а*(ж), ж € О, г,;,Л = 1,...,п; (12)

а7(ж)^^ =0 Уж € Г; (13)

а0(ж) < —а0 < 0, 60(ж) < — 60 < 0 Уж € О; (14)

а* (ж) € С2(а), 6*^ (ж) € С2(а), ао(ж) € С (а), Ьо(ж) € С (а). (15)

Тогда существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (5), (6) и принадлежащее пространству Уо.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации. Пусть е есть положительное число, а*(ж), г,; = 1,...,п, есть функции

а%е (ж) = а* (ж) + е67 (ж),

Ао, Во, Аое и Ае есть операторы задаваемые равенствами

^0^ = дж* (а*^ (ж)«*.), Вой = (&• (ж)^.),

д • •

Ао£и = — (а*-7 (ж)иж.), А£и = Ао£и + ао(ж)и.

джг

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти решение системы уравнений

Г ЛіАє^2т+1иі(ж, і) - А2А£А2т+1и2(ж,;£) + (—1)™Ви1(ж,і) = /і(х, і) )

\ А2А£Д2т+1и1(ж,і) + А^Д2™^-^^^) + (—1)тВи2(ж,і) = /2(х,і), ( £)

удовлетворяющее условиям

«1(ж,і) І5 = 0, И2(ж,і) І5 = 0,

«8(ж, 0) = А«8(ж, 0) = ... = Дт«8(ж, 0) = 0, (16)

«8(ж, Т) = АиДж, Т) = ... = Дт^иДж, Т) = 0, ж Є П, 8 = 1, 2.

Система (7Є), регуляризирующая систему (7), является системой псевдопараболических уравнений. Поскольку оператор Аоє - эллиптический, то эта система разрешима в пространстве У0 - см. [6]; более того, эту систему можно дифференцировать по переменной і столько раз, сколько позволяет правая часть (вновь см. [6]).

Возникающие ниже постоянные Кг, г = 1,11, будут определяться коэффициентами операторов А и В, функциями /1(ж,і) и /2(ж, і), а также числом Т и числами А«, і = 1, 2.

Покажем, что для краевой задачи (7Є), (16) имеют место «:хорошие> априорные оценки. Умножим первое уравнение (7Є) на (—1)т(Т—і)[А1И1 — А2М2], второе — на (—1)т(Т—і)[А2И1 + Л1И2І и сложим. Интегрируя в получаемом равенстве по частям, используя условия теоремы, неравенство Юнга, получаем первую априорную оценку

. . а! [Ати1х; + ДГи2Жі ДГи2х^ ] (ж(і+

т 0 П „ т (17)

+ И К + и2] (ж(і + Ё I /(Т — і) Кхі + иУ (ж(і < К1.

о П 12 «=1 о п

На следующем шаге 2т + 1 раз продифференцируем систему уравнений (7Є) по переменной і. Заметим, что вследствие условий (9) и (10) для функций Д2™+1и1, будут выполняться условия (16). Умножим первое уравнение на (—1)т(Т — ^[А^^™^^ — А2д2т+1И2], второе уравнение на (—1)т(Т — і)[А2Д2™+1и1 + А!^2™^1^] и сложим. Полученное равенство также интегрируем по области ^. Выкладки, аналогичные тем, которые привели к неравенству (17), дают вторую априорную оценку

т . а!7 [Д3т+Чхг Д^+Чх, + Д3т+1И2хг Д3™^^ ] (ж(і+

оП

+/. [(А2т+Ч)2 + (Д^+Ч)2] (ж(і+ (18)

оП

п Т

+А? £ //(Т — і) [(Д2т+Ч,,)2 + (В,2т+1«.2я)2] < к.

1 2 «=10 п

Для получения третьей априорной оценки первое из уравнений системы (7Є) умножим на (—1)т(Т — і)[А1В0и1 — А2В0и2], а второе - на (—1)т(Т — і)[А2В0и1 + А1В0и2], и сложим. Также интегрируя по частям как в левой, так и в правой части полученного равенства, применяя неравенство Юнга, нетрудно перейти к неравенству

.т . [ ]

J J а«7^ хк Д™«1х№ + хк ДГИ2хгХі] (ж(і

0 п

Т Г 1

+е// (В0ДГи1)2 + (В0^Ги2)2 (ж+ (19)

0 п 1

+ Л2Л|1Л2 //(Т — і) (В0и1)2 + (В0и2)2 (ж(і < К5 + |11| + |121 + |13| + |1Г1,

1+ 2 0 П 1 -1

где

11 = //ах_ (ж)ьы (ж) (а"^ а"^^+а"-^^. а"^^) ^ж^, 0 п т 12 = // а4 (ж)ЬХ' (ж) (А"и1хг А^и^х + А""«2хг А""^^ ж,) Йж^, 0п /а = //аХ_ (ж)ь“ (ж) (А""и1х А""и1хг + А""и2х АГи2хг) Йж^ 0п

т

1г = я а4'(ж)А"и1хл.^ (Ь^1(ж)А"и1хО - а^(ж^и^. ^ (Ьы(ж)А"и1*г) ^+

о г 1 1

+ а^(ж)А"^^дХ- (ЬЫ (ж)А""и2хО - а^(ж)А""и2^ дхг (Ьы(ж)А"и2*г) ^

Поскольку и(ж,£) = 0 при ж € Г, то А4и(ж,£) = ... = А""«(ж,£) =0 и, далее, А""их^.^ = А""их_^ (в силу обращения в нуль касательной производной). Отсюда и из условия (13) граничный интеграл в (19) будет равен нулю. Проанализируем слагаемые |Д|, 1121, |1з| правой части неравенства (19). Для |Д| условие (12) и оценка (17) дают оценку

1/ / аХ_(ж)Ьы(ж)А"и1ЗД А"^.^жЙ^| < М / / А"^*^||Ь^г(ж)|| А"и1Ж^|М <

0 п 0 п

< Т // а"(ж)(А"ги1х4хг)2йж^ + / /(Ьы(ж))2(А"и1х,)2<йж^.

0 п 0 п

Также будет и для слагаемых с функцией И2(ж,£).

Во втором интеграле, вследствие неравенства Коши - Буняковского и условия (11), будет

т

/.

0п

11*21 < К6// (аг^ (ж)А"и1х4хй А""и1х^ж_) 2 (а4 (ж)А""«1хг А""и1хг) 2 ^ж^ <

2 П Т 2 П Т

< ^ Е / /аЧж)(АГи1ад+ 2# Е //(АГи1хг)2йж^ й=1о п г=1о п

аналогично для интеграла с функцией И2(ж,£) (здесь и ранее 5 - произвольное положительное число). Далее, |/з| есть конечные величины — в силу оценок (17) и (18). Суммируя, получаем неравенство

т

|/1| + |/2| + |1з| < 5^ I I а"(ж) ((А"^*,)2 + (А"и2х4х1 )2) ^ + С,

1=10 п

(20)

в котором 51 есть произвольное положительное число, число же С определяется числом 51 и коэффициентами а4(ж),^-7(ж), ао(ж), Ьо(ж). Учитывая (20), из неравенства (19) получаем оценку

т

/ / а"(ж) (А"и1хгх_)2 + (А"и2хгх_)

0 п 1

+е т / [(ВоА"и1)2 + (ВоА"и2)2 о п 1 + Л2Л|1Л2 //(Т - ^ (Вои1)2 + (Вои2)2

1 2 о п 1

(21)

Далее, 2т + 1 раз дифференцируем уравнения системы (7е) по переменной £. Умножим первое уравнение на (—1)"(Т — ^[А^оА^^1^ — А2ВоА2"+1и2], а второе - на (—1)"(Т — ^)[А2ВоА2"+1и1+А1ВоА2"+1и2], сложим и проинтегрируем. Сделав выкладки, аналогичные тем, которые привели к оценке (21), получим следующую оценку

т

//а"(ж) (А3"+Чхгх_Г + (А3т+1и2хгх_У

оп

т

оп т

+ Л^ЛзИ (ВоА^+'и,)2 + (ВоА^+Ч)'

12 о п 1

(22)

Умножим первое уравнение системы на (—^"[А^ои — А2Аои2], а второе - на (—1)"[А2Аои1 + А1Аои2] и сложим

(—1)т(А2 + а2) (А£А2"+1 и^ои + А^А^+^Ао^) + А1 (Ви1Аои + Ви^Аои^) = = ( —1)т [А1/1Аои1 — А2ЛАои2 + А2/2Аои1 + А1/2Аои2] .

Интегрируя это равенство по частям, получим неравенство

т

// (Ао£А"и1)2 + (Ао£А"и2)2 оп т + Л2+Л2 / / [а"^'{и1х1хци 1х^’х_ + и2хгх; и2х^х_)] йж^ <

оп

< 2|//аХ_(ж)Ьы(ж)А"и1х^ А"и2х4хгйж<йт| +2| / / а'(ж)^.(ж)А""и1х^х_А""и2хгйж<йт| +

о п о п

+1 / / ах_(ж)Ь“(ж)А"и2х,.А"и1хгЙЫт| + | / / ах'-(ж)^(ж^и^.А"и2хг^т| + о п о п

+ 1/ / Га"'(ж)А""и1хл.^гдх_ (ьы(ж)А""и2хг) — а"'(ж^и^(ЬЫ (ж)А""и2хг) V, + о г 1 г

+ а'(ж)А"и2х,^гдх- (Ь,г(ж)А""и1хО — а"'(ж)А"и2х,- (Ьы(ж)А""и1хг) ^т| + К9.

(23)

Первый интеграл в правой части (23) будет оцениваться с помощью неравенства Юнга, условия (12) и оценок (17), (21). Второй интеграл оценивается также неравенством Юнга, оценками (17), (21) и условием (11). Третий и четвертый интегралы - конечены в силу оценки (17). Граничные интегралы также будут равны нулю, в силу условий (13) и (15). Получим следующую оценку

т

/ / (Ао£А""и1)2 Йж + (Ао£А"и2)2 оп

^ж^£ < К1о.

Оценка (24) означает, что

АоА""и1 + еВоА""и1 = <£ч(ж,£) € ^(ф), )"и2 + еВоА"

АоА""и2 + £ВоА""и2 = ^2(ж,£) € ^2(ф).

(24)

(25)

Рассмотрим равенство

т

/

оп

/ / ((АоА""и1АоА""и1 + АоА""и2АоА""и2) + е(ВоА""и1АоА""и1 + ВоА"ги2АоА""и2)) ^ж^ = т = //(^1(ж, ^)АоА""и1 + <^2(ж,£)АоА"и2 )^ж^£. оп

Повторяя для интеграла

т

611 (ВоА^ЛА""^ + ВоА"и2АоА"и2)^ж^ оп

все выкладки, которые делались при анализе аналогичных интегралов правой части неравенства (19), получим, что следствием включений (25) и условий теоремы будут включения

АоА"и1 € £2(3), А А"и2 € £2(3).

Далее, 2т + 1 раз дифференцируем уравнения системы (7е) по Ь. Умножим первое уравнение системы на (—1)" [А1АоеА2"+1и1 — А2АоеА2"+1и2], а второе уравнение на (—1)"[А2АоеА2"+1и1 + А1АоеА2"+1и2] и сложим.

Повторяя все выкладки, которые делались при анализе неравенства (19), придем к оценке

// [(Ао£А3"+1 и1)2 + (Ао£А3"+1и2)2] ^ж^ < Кп. (26)

оп

Оценка (26) означает справедливость включений

АоА3"+1и1 + бВоА3"+1и1 € £2(3), АоА3"+1и1 € £2(3),

АоА3"+1и2 + бВоА3"+1и2 € £2(3), АоА3"+1и2 € £2(3).

Заметим, что из этих включений и оценок (17), (18), (21), (22) следуют включения ВоА""и1 € £2(3), Во А"и2 € £2(3). Повторяя рассуждения [7], касающиеся второго основного неравенства для эллиптических операторов, получим, что для функций и1(ж,£) и и2(ж,£) выполняется и1(ж, Ь) € £2(0, Т; ^|(0)), и2(ж, Ь) € £2(0, Т; ^|(0)).

Продифференцируем уравнения системы (7е) 4т + 2 раза по переменной Ь и умножим первое уравнение системы на (—1)"[АlAоeА4m'+2Ul — А2Ао£А4"+2и2], а второе уравнение на (—1)т[А2Ао£А4"+2и1 + А1 АоеА4"+2и2]. Анализируя полученное равенство тем же образом, каким анализировалось равенство (19), получим включения

АоА5"+2и1 + бВоА5"+2и1 € £2(3), АоА5"+2и1 € £2(3),

АоА5"+2и2 + бВоА5"+2и2 € £2(3), АоА5"+2и2 € £2(3).

Отсюда получаем ВоАЗ"+1и1 € £2(3), ВоАЗ"+1и2 € £2(3). Следовательно, А3"+1и1 € £2(0, Т; Ж2(0)), А2"+1и2 € £2(0, Т; Ж>2(0)). Переходя к пределу по параметру регуляризации (см., например, [2, 3]), получим, что краевая задача (7е)-(16) имеет решение, для которого выполняются оценки (17), (18), (21), (22) с 6 = 0. А это и означает существование требуемого решения системы (7) и далее — уравнения (1). □

Теорема 2. Пусть выполняются условия (8)-(12), (14), (15) теоремы 1 и пусть существует такое ао > 0, что

а"(ж) > ао > 0 Уж € Г, г = 1,...,п. (27)

Тогда существует решение и(ж, Ь) уравнения (1) такое, что и(ж,Ь) € £^(0,Т; ^|(0))7 А2"+1и(ж, Ь) € £^(0,Т; Ж^(П)) и удовлетворяющее условиям (5)-(6).

Доказательство. Пусть функция ^(ж) есть функция из класса С2(!^) такая, что ^(ж) > ^о > 0 при ж € Пр, ^(ж) > 0 при ж € П2р, ^(ж) = 0 при ж € П \ П2р. Здесь Пр = {ж € П : 0 < ^(ж, Г) < р}, П2р = {ж € П : 0 < ^(ж, Г) < 2р}, р — положительное число, величину которого определим позже.

Положим

^1(ж,Ь) = ^(ж)и1(ж,Ь), ^2(ж,Ь) = ^(ж)и2(ж,Ь).

В области П2р выполняются равенства

А^А^+Ч^х, — А2A£Аt2m+1V2жiжJ + (—1)" ВА^+Ч^х, = / +А1[а' А"^ А"и1 + а' А"^ А"и1 + 2а' А"^ А"^. ] —

—А2[а' А"^ А"и2 + а' А^х, А"и2 + 2а' А"^ А"^- ] +

(28)

, С т хг С 21 ° С Т хгх, С 2 1 <=• С г хг С 2х, 1

' А"^хг А"и1 + Ь' А^х,

+(—1)"[ьх'?. А"^хг А"и1 + Ь' А"^хгх, А"и1 + 2Ь' А"^хг А"и1х, ],

А2A£Аt2m+1VlxгxJ + А^А^+Ч^х, + ( —1)" ВА^+Ч^х, = / +А2[а' А""^хг А"и1 + а' А^х, А"и1 + 2а' А"^ А"и1х; ] + +А1[а|'х; А""^хг А"и2 + а' А^х, А"и2 + 2а|' А"^ А"и2х; ] + +(—1)"[5х^. А""^хг А"и2 + Ь' А""^хгх, А""и2 + 2Ь' А""^хг А"и2х, ].

(29)

, С ' хг С 2 с С ' хгх,

х', АГ^хг А"и2 + Ь' АГ^-* ^2 -г ^ ^с

Обозначим правые части равенств (28) и (29) как £\(ж,Ь) и ^г(ж,Ь) соответственно. Заметим, что вследствие оценок (17) — (22) выполняются включения £\(ж,Ь) € £2(3), ^2(ж,Ь) € £2(3). Пусть число р настолько мало, что в П2р выполняется

а" (ж) > а2о > 0

(вследствие гладкости функций а"(ж), компактности Г и условия (27) такое р существует). Тогда оператор А в П2р будет равномерно эллиптическим. Второе основное неравенство для эллиптических операторов и оценки (17) — (22) означают, что выполняются неравенства

п р п р п р

^2 /(АГ^1хгх, (ж, Т ))2 ^ж < М^£ /(А"^1хгх, (ж,Т))2 ^ж + М2 ^ / ^х, (ж,Т) ^ж + М3, "'^п "'^п "'^п

п ^ п ^ п

У, У(А"^2хгх, (ж, Т))2 ^ж < М1б£ У(А"^2хгх, (ж, Т))2 ^ж + М^ У ^1хгх, (ж, Т) ^ж + Мз,

",'=1 п ",'=1 п "'=1

п

в которых числа М1 — М3 определяются лишь коэффициентами операторов А и В, а также областью П. Складывая эти неравенства, учитывая, что число 6 может изначально считаться сколь угодно малым, используя далее представления

т т

А"г^1хгх, (ж, Т) = У А">1хгх,- (ж, Ь) ЙЬ, А"^х,- (ж, Т) = ^ А">2хгх,- (ж, Ь) ^, оо

и, наконец, применяя неравенство Гельдера, получим априорную оценку

п .

Е / [(АОхгх, (ж, Т))2 + (А"^2хгх, (ж, Т))2] ^ж < М4. (30)

!п2р

Из оценки (30) равенств

^А2"+1 и1хгх, = А2"+Чхгх.,- — ^хг А^Чх, — ^х, А^+Чхг — ^х, А^+Ч,

оценок (17) — (19) и из строгой положительности функции ^(ж) в Ор следует, что выполняется оценка

(—1)т'^>(ж)[А1В0и1 — Л2В0и2], а второе-на (—1)т'^>(ж)[Л2В0и1 + А1В0 и2], проинтегрируем как по временной переменной, так и по области О, и сложим. Получим следующее равенство

В этом равенстве второй интеграл правой части представляет собой конечную величину — это легко показать, если проинтегрировать по переменной ж^ по частям и воспользоваться оценками (17) - (19). Далее, в первом интеграле правой части (32) после перехода к формально сопряженным операторам, т.е. после интегрирования по частям, с использованием свойств функции <^(ж), вновь получим конечную величину. Оценивая теперь последний интеграл правой части (32) с помощью неравенства Юнга, получим оценку

2т + 1 раз продифференцируем систему уравнений (7Є) по переменной і и повторим выкладки, которые привели к оценке (33), но, умножив первое уравнение на

п

В оценках (30), (31), (33) и (34) числа М4-М7 определяются лишь коэффициентами операторов А и В, а также областью О и числами Т, Аі, А2.

Из оценки (34) следует, что при почти всех і из (0, Т) имеют место включения

п

и1х^ (ж,і) + А2т+1и2х^ (ж,і)] ^ж < М5.

(31)

Пусть функция <^(ж) такова, что <^(ж) € С2(О), <^(ж) = 0 для ж € Г и <^(ж) > 0 для ж € О, |<^х (ж) | < Х^/<^(ж) для ж € О, г = 1,..., п. Умножим первое уравнение системы на

п

о п

+

о п

оп

У <^(ж) [(Ає^тиі(ж,і))2 + (А^^^і))2] < Мб

(33)

(—1)т+1^(ж)[А1В0^2т+1и1(ж,і) — А2В0Я2™+1и2(ж,і)], и второе - на (—1)т+1^(ж)[А2В0^2т+1и1(ж,і) + А1В0Я2™+1и2(ж,і)], получим оценку

У <^(ж) {[Ає^3т+1и1(ж, і)]2 + [Ає^3т+1и2(ж, і)]2} гіж < М7

(34)

л/^^ВДт«1(ж,і) Є £2(0), л/^(ж)В^ти2(ж,і) Є І2(О).

Из этих включений и оценки (31) следуют включения

Вдт«1(ж,і) є £2(0), В^ти2(ж,і) є £2(0);

поскольку же оператор В эллиптичен, то эти включения означают, что

и>1 (ж, і) Є £^(0,Т; ^22(0)), и2(ж, і) Є £^(0,Т; ^|(0))

причем нормы функций ui(x,t) и U2(x,t) в пространстве L^(0,T; Wf(Q)) ограничены равномерно по параметру е.

Повторяя все выкладки, которые привели к оценкам (31) и (34), но для 4m + 1 раз продифференцированной по t системы (7е), получим включения

Dt2m+1ui(x,t) € L^(0,T; W22(Q)), Dt2m+1U2(x,t) € L^(0,T; W22(Q)),

причем нормы функций Ui(x,t) и U2(x, t) в пространстве L^(0,T; W|(Q)) ограничены равномерно по параметру е.

Из доказанного следует, что в системе (7е) можно перейти к пределу по параметру е при е ^ 0 [1, 2]; предельные функции Ui(x,t) и U2(x,t) будут представлять собой решение системы (7), принадлежащее требуемому в теореме классу. А это и означает существование требуемого решения уравнения (1). □

Замечание 1. Если Л2 = 0, то система (7) распадается на два независимых (одинаковых по структуре) уравнения. Для таких уравнений разрешимость первой краевой задачи, в близкой к настоящей работе ситуации, рассматривалась в [5] (более точно, в [5] установлена разрешимость первой краевой задачи в весовых пространствах).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект №4402) и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России> на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609).

Литература

1. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // Докл.РАН. - 1992. - Т. 236, № 5. - С. 781-786.

2. Kozhanov, A.I. Certain classes of degenerate Sobolev-Galpern equation / A.I. Kozhanov // Siberian Adv. Math. - 1994. - Vol. 4, № 1. - P. 65-94.

3. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, неразрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 2. - С. 359-376.

4. Kozhanov, A.I. Composite Type Equation and Inverse Problem / A.I. Kozhanov. - Utrecht, the Netherlands: VSP, 1999.

5. Кожанов, А.И. Существование «почти регулярных> решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка / А.И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. - 1997. - Т. 4, № 1. - С. 29-37.

6. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985. - 220 с.

7. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа /

О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1973.

Нюргуяна Романовна Пинигина, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Высшей математики>, Северо-Восточный федеральный университет (г. Якутск, Российская Федерация), n-pinig@mail.ru.

MSC 35M12

Solvability of Boundary Value Problems for Degenerate Equations of Sobolev Type

N.R. Pinigina, North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov (Yakutsk, Russian Federation)

The aim of this work is to prove the existence and uniqueness of regular solutions of the first boundary value problem for the systems of Sobolev type equations with elliptic-parabolic operators with spatial degeneracy. By A.I. Kozhanov considered the initial-boundary value problems for Sobolev type equations with elliptic-parabolic operators of the second order acting on the space variables. The existence of solutions under the conditions «characteristic bulge» of the border area with respect to the spatial operators have been proved in the works. The technique used in this paper will be close to the technique of above author. For the study of degenerate systems of Sobolev type equations used the combination of the regularization method and the method of a priori estimates. It is constructed a family of approximate solutions of degenerate equations by the regularization method. Analysis of integral inequalities in obtaining of priori estimates, based on the integration by parts and in using of Cauchy - Bunyakovskii, Holder’s and Young’s inequalities. The properties of weighted Sobolev spaces also ate used.

Keywords: the boundary value problem, the Sobolev type equation, regular solutions, a priori estimates.

References

1. Kozhanov A.I. On Properties of Solutions for a Class of Pseudo-parabolic Equations [O svoystvakh resheniy psevdoparabolicheskikh uravneniy]. Dokl. RSA [Reports of the Academy of Sciences of the Russia], 1992, vol. 236, no. 5, pp. 781-786.

2. Kozhanov A.I. Certain Classes of Degenerate Sobolev-Galpern Equation. Siberian Adv. Math. 1994, vol. 4, no. 1, pp. 65-94.

3. Kozhanov A.I. Boundary Value Problems for Some Classes of Higher-order Equations That Are Unsolved With Respect to the Highest Derivative [O kraevykh zadachakh dlya nekotorykh klassov uravneniy vysokogo poryadka, nerazreshchennykh otnositelno starshey proizvodnoy]. Sib. Math. Jour [Sibirskiy Matematicheskiy jurnal], 1994, vol. 35, no. 2, pp. 359-376.

4. Kozhanov, A.I. Composite Type Equation and Inverse Problem. Utrecht, the Netherlands, VSP, 1999.

5. Kozhanov A.I. The Existence of an «Almost Regular> Solutions of the Boundary Problem for a Class of Linear Sobolev Equations of the Odd Order [Sushchestvovanie «pochti regulyarnykh> resheniy granichnoy zadachi dlya odnogo klassa lineynykh sobolevskikh uravneniy nechetnogo poryadka]. Mathematical notes YSU [Matematicheskie zametki YaGU] 1997, vol. 4, no. 1, pp. 29-37.

6. Yakubov S.Ya. Lineynye differentsialno-operatornye uravneniya i ikh prilojeniya [Linear Differential-operator Equations and Their Applications]. Baku, Elm, 1985. 220 p.

7. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type]. Moskow, Nauka, 1973.

Поступила в редакцию 2 сентября 2012 г.