CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 4.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-170-177
Оценки отклонения для рациональных сеток, приближающих
алгебраические1
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. Н. Кормачева, Н. М. Добровольский
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Кормачева Антонина Николаевна — аспирант, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: juska789@mail.ru
Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Аннотация
Данная работа посвящена получению оценок отклонения параллелепипедальной сетки, которая является рациональной сеткой, приближающей алгебраическую сетку квадратичного поля.
Поставлены новые задачи для дальнейших исследований.
Ключевые слова: квадратичные поля, приближение алгебраических сеток, функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка, множество Быковского, сумма Быковского, локальные минимумы решётки, минимальные решения сравнения.
Библиография: 17 названий. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. Н. Кормачева, Н. М. Добровольский. Оценки отклонения для рациональных сеток, приближающих алгебраические // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 170-177.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а и при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области по Договору ДС/294 от 16.11.2021 г.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-170-177
Deviation estimates for rational grids approximating algebraic?
A. N. Kormacheva
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Kormacheva Antonina Nikolaevna — postgraduate student, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: juska789@mail.ru
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru
Abstract
This paper is devoted to obtaining estimates of the deviation of a parallelepipedal grid, which is a rational grid approximating the algebraic grid of a quadratic field. New tasks have been set for further research.
Keywords: quadratic fields, approximation of algebraic grids, quality function, generalized parallelepipedal grid, Bykovsky set, Bykovsky sum, local lattice minima, minimal comparison solutions.
Bibliography: 17 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, A. N. Kormacheva, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "Deviation estimates for rational grids approximating algebraic", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 170177.
1. Введение
Метод оптимальных коэффициентов появился в 1959 году и первые публикации Н. М. Коробова [13] и Н. С. Бахвалова [1] были сделаны в 4 выпуске Вестника Московского университета.
В 1976 году в работе [17] К. К. Фролова появились алгебраические сетки. В 1979 году в кулуарах после защиты кандидатской диссертации К. К. Фролова одним из авторов была сформулирована задача о приближении алгебраических сеток рациональными.
Решению этой задачи посвящен ряд работ А. Н. Кормачёвой и А. В. Михляевой [10], [15], [16] и другие работы этих авторов.
В 1984 году Н. М. Добровольский получил общие оценки отклонения параллелепипедаль-ных сеток через гиперболический параметр решёток [4].
Цель данной работы — получить оценки отклонения для рациональных сеток, приближающих алгебраические для случая квадратичного поля из работы [10].
Все обозначения и определения соответствуют работам [10], [12], в которых приведены необходимые сведения из теории цепных дробей, о скобках Эйлера и о наилучших приближениях второго рода.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a. and with the financial support of a grant from the Government of the Tula region under the Agreement DS/294 dated 16.11.2021.
2. Необходимые сведения
Прежде всего сформулируем теорему об оценке отклонения из работы [4].
Теорема 1. Пусть для решётки Л справедливо неравенет,во д(Л) > 1 для её гиперболического пара метра, тогда для отклонения обобщённой параллелепипедальной сетки М (Л) Л
дда < 2 + 2^(11 + 51п^лг) , (1)
N = ёе1Л + 0(Л) (V-1 + 2^1^(11 +51пёе1Л)^ , (2)
где N — количество точек сетки М(Л) и |#(Л)| ^ 1.
В работе [15] рассматривалось квадратичное поле Р = Q(Л/p), где р — простое число ш р = 2 ми р = 3 (шоё 4) Для него кольцо целых алгебраических чисел Ър имеет вид: Ър = [п + кЛ/р\п, к € Ъ}.
Через Л(^) обозначается алгебраическая решётка поля Р:
Л(^) = [(в(1), в(2))|в = в(1) €Ър}
и в(1), в(2) — целые алгебраически сопряжённые числа.
Таким образом, в(1) = п + к^/р, в(2) = п — к^р п,к € Ъ и в(1), в(2) — корни уравнения х2 — 2пх + п2 — рк2 = 0. Базис решётки Л(^) имеет вид: Л1 = (1,1) Л2 = (у/р, —у/р), а детерминант решётки ёе1Л(^) = 2^[р.
Рассмотрим разложение ^/р в цепную периодическую дробь:
1
л/р = до + [(<71, ...,Чп, 2qo)] = до +----.
Я1 +
+
1
2 до +-
1
41 + —
с периодом (д1,... , дп, 2д0). Через обозначается т-ая подходящая дробь к ^/р. Таким образом,
р^ (—1)-вт q = + (-1)^ п + П2 , чтл/ р = + _ Ут Vт ^
^Р =ТТ"+ П2 , Ят^Р = Рт + ' ^ , 0 <вт < 1 (т = 0, 1,...). (3)
Через Лт(Р) обозначается алгебраическая решётка заданная равенствами: Лт(Р) = [(Ят(п + к^р), Ят(п — к^р))^, к € Ъ} , а через Лт(р) — целочисленная решётка заданная равенствами:
Лт(р) = [(ЯтП + кРт, ЯтП — кРт) |п, к € Ъ} .
Базис решётки Лт(Р) имеет вид Лт,1 = (Ят,Ят), Ат,2 = (Ят^/р, —Ят^/р), а детерминант решётки ёе!Лт(^) = Нетрудно видеть, что для гиперболического параметра справедливо равенство д(Лт(Р)) = 0>2т.
1
Отсюда следует, что для алгебраической сетки М(Am(F)), которая является обобщённой параллелепипедальной сеткой, для её отклонения справедлива оценка
D2(N) < 2 (4 + 4^р(11 + 5(ln 2 + 2 ln Qm + ln ^p)2) , а для количества точек —
N = 2Q2m^f) + d(Am(F)) (4 + 4Vp(11 + 5(ln 2 + 2 ln Qm + ln ^p)2) .
Для целочисленной решётки Am (p) базис имеет вид \m,\,z = (Qm,Qm), А m,2,Z — (Pm, —Pm), а детерминант решётки detAm(p) — 2QmPm.
Как известно (см. [8], стр.165) множество всех s-мерных решёток образуют полное метрическое пространство относительно метрики р(А, Г), которая задана равенствами
р(А, Г) — max(ln(1 + ß), ln(1 + и)), ß — inf \\A — Es\\, и — Inf \\B — Es||,
Л=А-г В-л=г
es =
( 1 ... 0 \
= (iij)1<„<s , Sij — ^ 1 пръг = J' ||A|| = s • max laijl J' 1< г <s j у о пр и! = J, 1<г ,j<s
\ 0 ... 4
В работе [10] найдено расстояние p(Km(F), Лт(р)) для любого натурального т и простого р гада р = р = 3 (mod 4).
Теорема 2. При Рт ^ 2, Qm ^ 2 справедливо равенство
p(Am(F I Ат(р)) = 1^1 + max Л *" Q , ^А
\ \ ( 1) ит + 1 т^т 1 т^т /
В работе [15] найден алгоритм вычисления функции качества за 0(\JN(Рт, Qm)) арифметических операций, а в работе [16] построен алгоритм вычисления значений функции качества за 0(1n N(Рт, Qm)) арифметических операций. Центральным моментом в этой работе было доказательство, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая алгебраическую квадратичную сетку, является параллелепипедальной сеткой. Оптимальный коэффициент ат по модулю Nm, = 2PmQm в этой работе задавался по формуле
— ^
2PmQm-i — 1 при т — нечетном,
2Pm(Qm — Qm-1) — 1 пр и m — четном.
В работе [9] были доказаны две теоремы о соответствующих цепных дробях. Теорема 3. При нечетном т справедливо равенство
nm
Qm +
Qm-1 +
+
1
Q1 +
1
1
2qo +-
1
41 +-
1
+ — Qm
a
m
1
1
1
Теорема 4. При четном т, справедливо равенство
N„
1 +
qm - 1 +
Qm-1 +
+
Qi +
2qo +
qi +
1
1
'• + — Qm
3. Множество Быковского для двумерной решётки линейного сравнения
Для решётки решений Л(а, N) решений линейного сравнения mi + ат,2 = 0 (mod N) в работе [12] доказана следующая теорема.
Теорема 5. Для множества Быковского В(а, N) справедливо равенство В* (а, N) = {((-1)m[qm+2,..., qn\{n-m-i),Qm)\m = 0,..., п-1}, В(а, N) = В* (a, N)U-B *(а, N). Кроме этого, r(a,N) = 2п.
Следствие 1. Для гиперболического параметра q^(a,N)) двумерной решётки Л(а,Ы) решений линейного сравнения справедливо равенство
q^a^)) = mm Aq^^
0<т<п— 1
i—m—1) • Q*
Кроме этого, всегда, q(Л(a, N)) ^ а для 1 ^ а < (а, N) = 1.
Здесь — знаменатель т-ой подходящей дроби к числу а [дт+2,... ,Яп](п-т-1) ~ скобки Эйлера порядка п — т — 1.
Если через а (р) обозначить величину максимального неполного частного разложения ^/р в цепную дробь, то, повторяя рассуждения из работы [12], получим оценку снизу для гиперболического параметра решётки Лт(р), а именно,
д(Лт(р)) ^
2PmQm а(р) + 2.
Отсюда следует, что для отклонения параллелепипедальной сетки М(Лт(р)) справедлива оценка
) < 2 (4 + 4(а(р) + 2)(11 + 5(1п2 + 1пдт + 1пРт)2)) , а для количества точек —
N — 2ЯтРт.
Так как параллелепипедальная сетка М(Лт(р)) является рациональной сеткой, приближающей алгебраическую сетку М(Лт(Р)), то поставленная цель достигнута.
1
а
т,
1
1
1
1
1
1
4. Заключение
Аналогичные утверждения справедливы и для решёток произвольного квадратичного поля, но необходимо рассматривать случаи, как и в работе [11].
В данной тематике возникает несколько вопросов.
Во-первых, можно ли для отклонения параллелепипедальных сеток усилить оценки работы [4] и получить оценки типа оценок Быковского из работ [2] и [3].
Во-вторых, в двумерном случае получены алгоритмы вычисления гиперболического параметра за 0(1п N) от количества точек сетки. Возникает вопрос, а можно ли усилить результаты работ [6] и [7]?
Аналогичный вопрос возникает о возможности переносов результатов работы [5] на большие размерности.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3-18.
2. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышев-ский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27-33.
3. О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130-138.
4. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089-84.
5. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51-71.
6. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.
7. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 3. Тула, 1999. С. 38-51.
8. Касселс Д. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. 422 с.
9. Кормачева А. И. О неполных частных одной цепной дроби // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 293-301.
10. А. И. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 366-373.
11. А. И. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками — II // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 215-222.
12. А. Н. Кормачева, И. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168-182.
13. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.
14. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960.№ 5. С. 1009-1012.
15. Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
16. Михляева А. В. функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307-312.
17. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818 - 821.
REFERENCES
1. Bakhvalov, N.S. 1959, "On approximate computation of multiple integrals", Vestnik Moskov-skogo universiteta, no. 4, pp. 3-18.
2. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.
3. O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolskv, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebvshevskv Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.
4. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids", Dep. v VINITI, no. 6089-84.
5. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R., Pikhtil'kov, S.A., Rodionova, O.V. к Ustvan, A.E. 1999, "On a single algorithm for finding optimal coefficients", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 51-71.
6. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Teoriva priblizhenij i garmonicheskij analiz: Tezisv doklada Mezhdunarodnoj konferentsii (Approximation theory and harmonic analysis: proceedings of the International conference), Tula, Russia.
7. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 3, pp. 38-51.
8. Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometrivu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.
9. Kormacheva, A. N., 2019, "About the partial quotients of one of the continued fractions" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 293-301.
10. A. N. Kormacheva, 2019, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 366-373.
11. A. N. Kormacheva, 2020, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices — II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 215-222.
12. A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "On the hyp erb olic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons", Chebvshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168-182.
13. Korobov, N.M. 1959, "The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients", Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19-25.
14. Korobov, N.M. 1960, "Properties and calculation of optimal coefficients", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009-1012.
15. Mikhlvaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
16. Mikhlvaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.
17. Frolov, K.K. 1976, "Upper bounds on the error of quadrature formulas on classes of functions", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 231, no.4, pp. 818-821.
Получено: 17.06.2022 Принято в печать: 8.12.2022
