ОБ ОЦЕНКАХ БЫКОВСКОГО ДЛЯ МЕРЫ КАЧЕСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 4.

УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-178-187

Об оценках Быковского для меры качества оптимальных

коэффициентов1

А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский,

Т. А. Морозова

Кормачева Антонина Николаевна — аспирант, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: juska789@mail.ru

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет (г. Тула).

e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Морозова Татьяна Анатольевна — старший преподаватель, МИРЭА — Российский технологический университет (г. Москва). e-mail: morozova_t@mirea.ru

Аннотация

Данная работа посвящена получению оценок типа оценок Быковского для меры качества оптимальных коэффициентов.

Намечены пути для получения аналогов оценки Быковского для конечного отклонения парраллелепипедальной сетки.

Ключевые слова: функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка, множество Быковского, сумма Быковского, локальные минимумы решётки, минимальные решения сравнения.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский, Т. А. Морозова. Об оценках Быковского для меры качества оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 178-187.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а. и при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области по Договору

ДС/294 от 16.11.2021 г.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.

UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-178-187

On Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal

coefficients2

A. N. Kormacheva

Kormacheva Antonina Nikolaevna — postgraduate student, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: juska789@mail.ru

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Morozova Tatiana Anatolyevna — senior lecturer, MIREA — Russian Technological University (Moscow).

e-mail: morozova_t@mirea.ru

Abstract

This work is devoted to obtaining estimates of the type of Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal coefficients.

The ways to obtain analogs of the Bykovsky estimate for the finite deviation of the parallelepipedal grid are outlined.

Keywords: quality function, generalized parallelepipedal grid, Bykovsky set, Bykovsky sum, local lattice minima, minimal comparison solutions.

Bibliography: 15 titles. For citation:

A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, T. A. Morozova, 2022, "On Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal coefficients", Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 178-187.

Посвящается 65-летию Виктора Алексеевича Быковского.

1. Введение

Метод оптимальных коэффициентов появился в 1959 году и первые публикации Н. М. Коробова [9] и Н. С. Бахвалова [1] были сделаны в 4 выпуске Вестника Московского университета.

Параллелепипедальные сетки М(а,р), состоящие из точек _* = ({f}.....{f}) = ^ <>>

2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a. and with the financial support of a grant from the Government of the Tula region under the Agreement DS/294 dated 16.11.2021.

имеют ещё более простой вид, чем неравномерные сетки, но уже требуется не только условие взаимной простоты коэффициентов сетки ((а.,р) = 1 (] = 1, 2,..., ,в)), но и выполнение принципиального условия оптимальности, которое формулируется в терминах основной меры качества Зр(а1,..., а3) набора коэффициентов (а1,..., а3). вр(г 1,..., г3) выражается через

сумму

P2 _ , .

SP( Zl,..., Za)= Г 6р (Z iml_ + Zsms), (2)

^ mi.. .ms

mi,...,ms=-pi

где zi, ..., zs - произвольные целые, m = max(1, |m|) для любого вещественного m, pi = P2 = [p] и символ Коробова 5p(b) задан равенствами

P-i 2

г /,ч Г 0, если b Ф 0 (mod р),

P ( ) =

I 1, если о = 0 (mod р).

Количественной мерой качества набора коэффициентов ао, а1,..., а5 параллелепипедаль-ной сетки называется величина

"м^ЕП (1 (")

Р к=07=0 4 У. р ) /

3+1 5

которая равна приближенному значению интеграла от функции И(х) = П (1 — 2х.) по

7=о

квадратурной формуле с параллелепипедальной сеткой

1=И-И*s й i1 - Ч })2

к=0j=0

где Др[^1 — погрешность приближенного интегрирования.

Выбор функции h(x) и велитаьi Н(р, а) связан с тем, что функция h(x) является граничной функцией класса E^ ^^ (подробности см. fill).

В работе [2] В. А. Быковский получил принципиально новые оценки для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования с помощью квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе E". Фактически В. А. Быковский получил оценки сверху и снизу для гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения через сумму по конечному множеству минимальных решений, которое мы в своих работах называем множеством Быковского. В работе [3] оценки Быковского были перенесены на случай гиперболической дзета-функции произвольной решётки.

Цель данной работы — получить аналог оценок Быковского для основной меры качества наборов оптимальных коэффициентов и уточнить оценку Быковского для количественной меры качества.

2. Множество Быковского и вспомогательные леммы

Рассмотрим сравнение

aimi + ... + asms ф 0 (mod N) (5)

относительно целочисленных переменных mi,..., ms. Его ненулевое решение называется минимальным, если не существует другого ненулевого решения (mi,..., m's), для которого

|mi| ^ Imil,..., |m's| ^ |ms|; |mi| + ... + |m's| < |mi| + ... + |ms|.

З3десь и далее У]' означает суммирование по системам (т1,... , ms) = (0,... , 0).

Множество всех минимальных решений сравнения (5) будем обозначать через Вn(ai,..., as).

Нетрудно показать, что при (|ni| + 1)... (|ns| + 1) > N сравнение (5) имеет хотя бы одно ненулевое решение mi,..., ms такое, что

|mi| ^ |ni|,..., |ms| ^ |ns|.

Поэтому для любого минимального решения выполняется неравенство mi... m7 ^ N, где для любого вещественного ж полагаем ж = max(1, |ж|). Отсюда следует конечность Вn(ai,..., as) — множества всех минимальных решений. Нетрудно видеть, что для решетки Л(а^ ..., as; N) — решений сравнения (5) множество Вn(ai,..., as) минимальных решений сравнения совпадает с множеством локальных минимумов В (Л).

Пусть rhj = (mi j,..., msj) (1 ^ j^ r), r = r^(ai,..., as) есть все минимальные решения для данного набора коэффициентов ai,..., as сравнения (5). Величина

q^ (ai,...,as) = min mT7 .. .mTj

i^j^r

является гиперболическим параметром решетки Л^г, ..., as; N), а норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с соответствующей параллелепипедальной сеткой выражается через гиперболическую дзету-функцию целочисленной решётки Л = Л^г,..., as; N):

W 5n ( aimi + ... + asms) Ся (а|Л) = £ (mr ■...■ h+D« , (6)

mi.....m,=-M

где

I 1, если a = 0 (mod m),

Om(a) = <

10, если a ^ 0 (mod m),

— символ Коробова их = max(1, |ж|) для любого веществ енного ж.

Периодическая функция /(ж) = 3(1 — 2{ж})2 имеет разложение в обычный ряд Фурье вида

/(ж) = 1 + ¿'

6

g2-Kimx

^2m2

В работах [14, 15] доказана лемма о конечном ряде Фурье для функции /(ж) = 3(1 — 2{ж})2. Лемма 1. Для конечного ряда Фурье

2 П2

3(1 — 2{ж}) = ^ С(m)е2™^ (ж = 0,1,...,п — 1) (7)

— 2^-И =

-п

m=-ni

справедливы равенства пг = f^-^], п2 =

С (0) = 1 + П2, (8)

6

С(m) = 2 т , (m = 0, —ni ^m ^ n2). (9)

n2 sin2 ж

Из этой леммы следует теорема о конечном ряде Фурье для функции Н(р, а).

т=—оо

Теорема 1. Справедливо равенство

( 2 V М21

Н (К,а)={1 + + £

т1,...,т3=-М1

5м ( а1Ш1 + ... + а3т3) ■ф(т{) ...ф(т8) :

где

■ф(т) =

N 2

N2 + 2'

при т = 0;

N2 вт2к т ,

-, при т = 0,

6

N1 =

N - 1

N2 =

N ~2

Обозначим через П(а, х) прямоугольный ,в—мерный полуоткрытый параллелепипед вида

аи ^ уи < аи + хи при аи ^ 0

П(а, х) =

I' |{

аи < Уи ^ аи + хи при аи < 0

(и = 1,..., в)|

а через Nл (а,х) — количество точек решётки Л, лежащих в этом параллелепипеде. В работе [3] доказана следующая лемма:

Лемма 2. Если гиперболический параметр решетки д(Л) > 1, то ёе1Л > 1м для точки а и для любого локального минимума х. € В (Л) справедиво неравенство

N^(3, х.) < 1. (10)

В работе [3] доказана принципиальная лемма:

Лемма 3. Пусть х. — произвольный локальный минимум второго рода, из В (Л). При а> 1 для, суммы

£ т;-^ (И)

У € Л, У1 ^ хГ],..., уГ ^ хТ]

<а) У) =

(У1... Уз)с

справедливо неравенство

т>(а)г^ ^ ^ 2 V + с-1 л ^ (х1 ] ...х ■

з])

3. Оценка мер качества

Будим использоваоь покоординатное умножение двух точек: У ■ у = (х1 ■ у!,... ,хз ■ уТ)-

1

т ... Уз

Полагаем ) = [- [^Ч , [у]]

Ял(Х]) = £

у € ЛПШ).

уТ ^ х1],..., уТ ^ хТ] тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть х. — произвольный локальный минимум второго рода, из В (Л). Для суммы Ял(х]) справедливо неравенство

2з 3 251пз N

Ял(х) < = П (1nN - 1п(2хи7) +7) < ,

х1] . . . х з ] и=1 х13 . . . хз ]

з

Доказательство. Определим величины ки =

Г[м 11 Г[ 11

[ 2 1 ,1 и = [ 2 1

] хV ]

(^ = 1,..., 5).

Проведем оценки сверху, разбивая область суммирования с помощью прямоугольных параллелепипедов П(а ■ ж=, ж=) с а € Ъв, аи = -1, 0 — 1и ^ аи ^ ки, (1 ^ V ^

Ял(жу) = ^

у € ЛП /в(Ж), 2ТТ ^ жгу,..., |77 ^ ж7=

1

Ш... Ув

Е Е

а € Z5, —1и ^ аи ^ ^^)

а^ = —1,0 (1 ^ V ^ в)

1

<

ш... Ув

^ £

а € ^ в, — 1и ^ аи ^ ки а„ = —1,0 (1 ^ V ^ в)

Жл(а ■ ж=, ж=)

ш1п(|аг|, |аг + 1|)жу ... ш1п(|а8|, |а8 + 1|)хв_?-

<

1 \ 1

^ жгу ...жВ7 ^ т!п(|а11, |аг + 1|)... ш!п(|ав1, |ав + 1|)

а € ^ , — 6 и ^ а^ ^ Ки

аи = —1,0 (1 < V < в)

1 I! (5: й+1 + Е1 • <

< =-!-= п

гу» ■ Пр -Л- -Л-

х1у . . . ХВ] и=1

(х1у|а + 11

\ в

, 3 Л рв в ов 1пв дг

2 Е 1 < й=Ц=л П (>пЖ — 1п(2Х5) + 7) <

у а=1 а! (х1= . . . хву) у=1 х1 У ...хву

так как 7 < 1п 2, и лемма полностью до казана. □ Назовём суммой Быковского выражение вида

г* 1 БВм(а1,..., ав) = V] =-=.

х1 . . . хв

у = 1

Теорема 2. Пусть х= = (ж1 у,..., жв=) (1 ^ ^ г) — все локальные минимумы из В (Л), причём, х= € В* (Л) = 1,..., V*) и ху+г * = —ж= € —В *(Л) = 1,..., г*). Тогда справедливы неравенства

2БВИ(а1,..., ав) < Яи(а1,..., ав) < 2в 1пв N ■ БВМ(а1,..., ав). (12)

Доказательство. Действительно, левое неравенство очевидно, так как

1

2БВМ (а1,..., ав) = V =-=.

' ^ гр Л . /у» .

=1 ж1 . . . жв

Для доказательства правого неравенства заметим, что

* 1 *

Яи(а1,...,ав) ^^ ^ —-— = ^Ял(ж=^

у=1 у € ЛП /в(Ж), Ш ... Ув у=1

Ы ^ |жlj|,..., Ы ^ |жв = |

и утверждение теоремы получается из леммы 4. □ Положим

Я*Л (Ж3) = Е

у е ЛП 18(N), У1 ^ ЖТ],..., уГ ^ ХТ]

1

ф(уТ) ...ф(Уз)'

Лемма 5. Пусть Ж] — произвольный локальный минимум второго рода, из В (Л). Для суммы Я\(Х]) справедливо неравенство

Я*А(Х]) < (_ 2'

(Х\] . . . Х3])

Доказательство. Определим величины ки =

)2

Г[м 11 Г[ 11

[ 2 1 и= [ 2 1

хV ] хV ]

(и = 1,..., з).

Проведем оценки сверху, разбивая область суммирования с помощью прямоугольных параллелепипедов П(а ■ х],х]) с а е аи = -1, 0 — 1и ^ аи ^ ки, (1 ^ и ^ в):

1

тх3) = Е

у е ЛП Ш),

уТ ^ хТ] , ...,у~з ^ ХТ]

= Е Е

а е Ъз, —1и ^аи ^ ки уеЩа-х^ х)

аи = —1,0 (1 ^ V ^ в) При ки ^ аи > 0 и аи ■ хи] ^ уи < (аи + 1) ■ хи] имеем

ф(У!) ...ф(уз)

1

ф(У1) ...ф( Уз) '

6

<

6

<

1

6

1, 5 1,5 ^---^ ^

ж2(аи + 1)2 ■ Хй]2^ к2N2 ■ |Щ||2 "" Ф(Уи) ^ ып2ъ% ^ N2 ■ |Щ||2 "" а2 ■ х^]2'

При 1и ^ аи < —1 и аи ■ хи] < уи ^ (аи + 1) ■ хи] имеем

6

г2а2 . ж.. 2

<

6

<

1

6

1, 5

^ -'-гг ^

1, 5

|| ||2 "" Ф(Уи) ^ 8Ш2Ъ Щг^ || ||2 "" К + 1)2 ■ Ж

2 . х 2

N

N

^ ]

Отсюда следует, что

К\(Х3) <

<

<

Е

Nл(а ■ Х], Х]) ■ (1, 5)6

шт(|ат|, |ат + 1 |)2Ж1]2 ... шт(|аз|, |аз + 1|)2Жз/

<

1и Ни ^

аи = —1, 0 (1 < V < 8)

__(1, 5)_

(х1] . . . Хз]}

)2

Е

а е Ъз, — 1и ^ аи ^ ки

аи = —1,0 (1 < V < 8)

Ш1п(|ат|, |ат + 1|)2 ... шт(|аз|, |аз + 1|)2

(1, 5)*

П Е

(Х1] ...Жз])2 АМ , |а + 1|

и=1 \а=—1и а=1

2 -I -I

1 1 <

<

а=-

\

зз Л| ^ 1

(ж1] . . . Хз])2 и=Т

П Е

2

<

ж"' 2е

\а=! /

(х1] . . . Хз])2

2в

ж

1

Еоо 1 к2 |—|

а=1 = и лемма полностью доказана. □ Назовём суммой Быковского второго порядка выражение вида

^(аь...^)^^ 1

=1

(ж1у . . . жву)

Теорема 3. Справедлива оценка

н (ад — ^ + N2)'

к

2 в

< ^ ■ЯВ(2)(а1,...,ав)

2

Доказательство. Действительно, из теоремы 1 и леммы 5 следует, что

N2

н№«) — I ! +

(! + '|= Е'

т-1 ,...,т3 = - N1

(а1Ш1 + ... + авШв) ^(Ш1) . . .^(Шв)

Е^х) < Е

к2' 2В

=1

—1 (ж1 у . . . жв = )2 (ж1 у . . . жвуО

г' к^ к2в

2 Е ^ 2 ^2 = 1-1 ■ЯВи2)(а1,...,ав)

□

2

4. Заключение

В работе [4] доказано, что локальное отклонение параллелепипедальной сетки оценивается через основную меру качества

\р р )

^ 5р(1,а1,... ,ав-1)

(13)

и следовательно для неё выполняется оценка сверху аналогичная (12).

В работе [4] получено интересное выражение для конечного отклонения парраллелепипе-дальной сетки

шах

в)

Р2

Е'"

в ЯШ к

П

т2,...,т3 = -р1,т2О,1+...+т3ав — 1^0 (шоё р) уи=2 р Я1п 1к *

Я1п к

гП1(т2а1+...+т3ав — 1)

Р

р Я1п к

_ т2а1+...+т8а8 —1 Р

X СОЯ ^к

— («1 — 1)(Ш2а1 + ... + Швав-1) + («2 — 1)Ш2 + ... + («в — 1)Шв

р

+

8 В(21п р + 27 — 21п2 + 1)

р

1

где 0 ^ в ^ 1.

Здесь открываются возможные перспективы по получению аналогов оценки Быковского для конечного отклонения парраллелепипедальной сетки.

п^т»

Р

X

X

X

)

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та,

1959. № 4. С. 3-18.

2. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышев-ский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27-33.

3. О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130-138.

4. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Конечное отклонение и основная мера качества для сеток Коробова // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23, вып. 2, С. 56-73.

5. Добровольский Н. \!.. Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51-71.

6. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.

7. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 3. Тула, 1999. С. 38-51.

8. А. И. Кормачева, И. И. Добровольский, И. Ю. Реброва, И. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168-182.

9. Коробов И. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.

10. Коробов И. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132.

1960.№ 5. С. 1009-1012.

11. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

12. Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.

13. Михляева А. В. функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307-312.

14. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 193 — 201.

15. Серегина И. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1, 2015. С. 22-29.

REFERENCES

1. Bakhvalov, N.S. 1959, "On approximate computation of multiple integrals", Vestnik Moskov-skogo universiteta, no. 4, pp. 3-18.

2. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.

3. O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolskv, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebyshevskv Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.

4. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "The final deviation and the main quality measure for Korob ov grids Chebvshevskii sbornik, vol. 23, no. 2, pp. 56-73.

5. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R., Pikhtil'kov, S.A., Rodionova, O.V. к Ustvan, À.E. 1999, "On a single algorithm for finding optimal coefficients", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 51-71.

6. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Teoriva priblizhenij i garmonicheskij analiz: Tezisv doklada Mezhdunarodnoj konferentsii (Approximation theory and harmonic analysis: proceedings of the International conference), Tula, Russia.

7. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 3, pp. 38-51.

8. A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "On the hyp erb olic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons", Chebvshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168-182.

9. Korobov, N.M. 1959, "The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients", Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19-25.

10. Korobov, N.M. 1960, "Properties and calculation of optimal coefficients", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009-1012.

11. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.

12. Mikhlvaeva, A. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.

13. Mikhlvaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.

14. Seregina N. K., 2013, "Algorithms of numerical integration with the stopping rule" , TulSU extraction. Natural sciences. Issue 3. pp. 193 — 201.

15. Seregina N. K., 2015, "On the quantitative measure of the quality of optimal coefficients" , Izvestiya TulSU. Natural sciences. Issue 1, pp. 22-29.

Получено: 17.06.2022 Принято в печать: 8.12.2022