КОНЕЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ И ОСНОВНАЯ МЕРА КАЧЕСТВА ДЛЯ СЕТОК КОРОБОВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 2.

УДК 511.3+511.43 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-2-56-73

Конечное отклонение и основная мера качества для сеток

Коробова1

Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, Геофизический центр РАН (г. Москва). e-mail: т. dobrovolsky@gcras.ru,

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Аннотация

В работе рассматриваются четыре новых понятия: модифицированная основная мера качества набора коэффициентов, абсолютно оптимальные коэффициенты индекса s, математическое ожидание локального отклонения параллелепипедальной сетки и дисперсия локального отклонения параллелепипедальной сетки.

Показано, что не менее чем (р 21) различных наб оров (а1,... ,as) целых чисел, взаимно простых с модулем р, будут абсолютно оптимальными наборами индекса s с константой В = 2s.

Установлено, что любой абсолютно оптимальный набор оптимальных коэффициентов индекса s является оптимальным набором оптимальных коэффициентов индекса s, при этом любой его поднабор из si коэффициентов является оптимальным набором оптимальных коэффициентов индекса si.

Для конечного отклонения, введенного Н. М. Коробовым в 1967 году, для параллеле-пипедальных сеток получены новые формулы и оценки.

В работе впервые рассмотрено понятие математического ожидания локального отклонения и найдена удобная формула для его вычисления.

Также впервые рассмотрено понятие дисперсии локального отклонения.

В работе намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.

Ключевые слова: конечное отклонение, основная мера качества, сетки Коробова, конечные ряды Фурье.

Библиография: 17 названий. Для цитирования:

Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Конечное отклонение и основная мера качества для сеток Коробова // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23, вып. 2, С. 56-73.

1 Работа подготовлена по гранту РФФИ № 19-41-710004_р_а и при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области по Договору ДС/294 от 16.11.2021 г.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 2.

UDC 511.3+511.43 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-2-56-73

The final deviation and the main quality measure for Korobov

grids2

N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula State University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Dobrovol'skii Mikhail Nikolaevich — candidate of candidate of physical and mathematical sciences, Geophysical centre of RAS (Moscow). e-mail: m.dobrovolsky@gcras.ru

Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Abstract

The paper considers four new concepts: a modified basic measure of the quality of a set of coefficients, absolutely optimal coefficients of the index s, the mathematical expectation of the local deviation of the parallelepipedal grid and the variance of the local deviation of the parallelepipedal grid.

It is shown that at least of different sets (a1,... ,as) integers mutually prime with

the module p will be absolutely optimal sets of the index s with the constant B = 2s.

It is established that any absolutely optimal set of optimal coefficients of the s index is an optimal set of optimal coefficients of the s index, while any subset of its s1 coefficients is an optimal set of optimal coefficients of the s1 index.

For the finite deviation introduced by N. M. Korobov in 1967, new formulas and estimates are obtained for parallelepipedal grids.

In this paper, for the first time, the concept of the mathematical expectation of a local deviation is considered and a convenient formula for its calculation is found. The concept of local deviation variance is also considered for the first time. The paper outlines the directions of further research on this topic.

Keywords: finite deviation, the main measure of quality, Korobov grids, finite Fourier series. Bibliography: 17 titles.

For citation:

N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "The final deviation and the main quality measure for Korobov grids" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 2, pp. 56-73.

2This work was prepared under a grant from the RFBR № 19-41-710004 _r_a. The work was supported financially by a grant from the Government of the Tula Region under Contract flC/294 dated November 16, 2021.

1. Введение

Как указывалось в работе [7]: "Метод оптимальных коэффициентов построения для многомерного куба многомерных квадратурных формул с параллелепипедальными сетками фактически основан на самых простых фактах теории сравнений. Этот метод был заложен Н. М. Коробовым в работах [10], [11], [12], и его развитие продолжается и по настоящее время.

Важной особенностью метода оптимальных коэффициентов является тот факт, что алгоритм численного интегрирования с помощью квадратурных формул с параллелепипедальными сетками является ненасыщаемым. Свойство алгоритма быть ненасыщаемым относится к числу его важных качеств (более подробно см. [2] и [16]) и заключается в том, что точность алгоритма связана с гладкостью функции и не имеет ограничений на параметр гладкости. Параллелепипедальные сетки М<а, р), состоящие из точек

М = <* = 1.2,....,), (!)

имеют ещё более простой вид, чем неравномерные сетки, но уже требуется не только условие взаимной простоты коэффициентов сетки {<а^,р) = 1 <] = 1, 2,..., ,в)), но и выполнение принципиального условия оптимальности, которое формулируется в терминах основной меры качества Зр<а1,..., а3) набора коэффициентов (а1,..., а3). вр<г 1,..., г3) выражается через

ч

СУММУ

Р2 _ , .

8Р< *1,..., гв) = Г 6р <" 1т1_ + ••1_+ ^, (2)

^ т1.. .т8

т,1,...,т3=-р1

где ¿1, ..., - произвольные целые, т = тах<1, |т|) для любого вещественного т, р1 = р2 = [|] и символ Коробова 5Р<Ъ) задан равенствами

р-1 2

^ < {л = ( 0, если Ь ф 0 <тоё р), . .

р< ) \ 1, если Ьф 0 <тоё р).

Согласно определению, если существуют константы [ = [<в) и В = В<в) т,а,кие, что

1п^ 'О

Бр<а1,...,а8) ^В (4)

р

то целые а1,..., а3 называются оптимальными коэффициентами индекса, [ по модулю р. Известно (см.[15] стр. 81), что для любых целых а1,... ,а3 выполняется оценка

1п5 р

вр<а 1,...,а3) ^ Во-, (5)

Во

Важную роль в современной теории метода оптимальных коэффициентов играют работы [3]-[6], [9].

Цель данной работы — рассмотреть четыре новых понятия: модифицированная основ-

математическое ожидание локального отклонения параллелепипедальной сетки и дисперсия локального отклонения параллелепипедальной сетки. Изучить их свойства и взаимосвязь.

З3десь У]' означает суммирование по системам (т\,... , та) = (0,... , 0).

2. Абсолютно оптимальные коэффициенты

Мы дадим определение нового понятия — абсолютно оптимальные коэффициенты индек-

ЭР

са в следующим образом. Через (г1,... ,г.) обозначим и-ую компоненту основной меры

качества

Р2 Р2

У У' ...У ^^ + ...^ ^) (2 < * <

р —' —' —' т.л т.„ Ы,]1<...<]„ ^.т^ =-р1 т]1> = -Р 1

Ясно, ЧТО

v=2

Определение 1. Модифицированной основной мерой качества назовём величину 8**(г1,..., г.), заданную равенством

s с(у)

с*(7 ~ ) = У^

°р Аи Си (21п р + 27 - 21п2У

v=2

где 7 — константа Эйлера.

Определение 2. Набор коэффициентов (а1,..., а.) будем называть абсолютно оптимальным индекса, в с константой В по модулю р, если выполняется оценка, для модифицированной меры качества вида

В

8*(а\,.. .,as) ^ —. р р

Нетрудно видеть, что каждый абсолютно оптимальным набор коэффициентов (а\,..., а.) индекса 8 с константой В по модулю р будет оптимальным набором коэффициентов индекса 8 с констант ой 2

Действительно, если (а\,..., а.) — абсолютно оптимальный набор коэффициентов индекса 8 с константой В по модулю р, то из определения следует, что

В Р

Отсюда вытекает, что

8^(а1,...,а3) < С. (21п р + 27 - 21п2)и ■ - (2 < V < 8).

8Р(аг, ...,ав) = £ 8^(аь..., а.) < £ С*. (21п р+2,-2 Ы 2Г ■- < В(21п Р + 21 - 2^п2 + 1),

v=2 v=2 Р Р

и утверждение доказано.

Более того, легко показать, что каждый поднабор (а31 ,...,а^и) с 1 ^ ,]1 <...<$„ ^ в также будет оптимальным набором коэффициентов индекса V с константой С. 2иВ. Действительно,

V V

8р(ап,..., а3„) < £ (ап ,...,а3„) < £ 8(/)(а1,..., а.) < ^=2 ^=2

< ± С. СЩ2Ы V + 27 - 21п2Г ■ В < с; В(21п Р + '2-<~ 2Ы2 + 1Г.

Следующая лемма, доказательство которой фактически повторяет доказательство известной леммы Коробова (см. [13], лемма 20), доказывает существование абсолютно оптимального набора коэффициентов индекса 8 с константой В = з по простому модулю р.

Лемма 1. Пусть р — произвольное нечетное простое число, р ^ 8, тогда существуют взаимно простые с р целые числа, = <р) <и = 1,..., в) т,а,кие, что

Б*<а1,... ,а3) ^ -. р р

Доказательство. Действительно, пусть при Х1 = а^, ..., х3 = а3 достигается минимум

модифицированной меры качества Б*<Х1,..., г3) по всем наборам Х1, ..., х3 взаимно простых

1 Р-1 8 1

Б:*<а1 ,...,а3) ^ --— > Б*< г1,..., г3) = > ^ , ,-:—— х

рК и ' ^ <р - 1)* рК и ' ^ С?<21пр + 2'у - 21п2)1

2*1,...,2д-1 1-2

1 Р-1 3 1

х-^ Е ^*1 ■,*>) = £ 1

<р - 1)821.^а-1 Р <21п Р + 27 - 21п 2)1

Р2 / Р2 / 1 1 р-1

£ Х? - £' ^ + - + **т-) ^

1^]1<...<]„ --Р1 т^--Р1 х1,...,ха = 1

о Р2 Р2

_1_ V У' ...у' _1_£

р- 1^пСу. <21пр + 27 - 21п 2)1 ^ ^ ^ Ш1 . ..т3

1 1-2 1 1 ' Ы,] 1<...<^ --Р1 т^--Р1 1 ь

У —1-1-¡—V" Т <21пр + 27 - 2 1п 2)1 = —

Р- 1^2^<21пр + 27 - 21п 2)1 ^¿^Р ' ) Р- 1 Р

□

Из доказательства видно, что не менее чем (р 21 различных наб оров <а1,...,а8) целых В = 2

Отметим, что доказательство аналогичного утверждения для произвольного составного модуля требует преодоления значительных технических трудностей, как и в случае леммы Коробова.

х

3. Конечное отклонение

В работе [14] И. М. Коробов следующим образом определил конечное отклонение или меру равномерности распределения сетки. Мы приведём это определение для параллелепипедальной сетки

М = (МтЬ-М) С^О-:"- *

где <аи, р) = 1 <1 ^г/^з - 1) Для удобства далее везде полагаем а0 = 1. Пусть ,..., ^^ — число точек сетки, лежащих в области

П ^ = ^ 1 ,.. . , X 0 <0 ^ V ^ 8^

Локальное отклонение задается равенством

/ п\ пЛ

Ур''"' р )

м (т. пЛ

В ( Ш П±) - ЧР\Р'---' Р ) П1 п3

Очевидно, что при 8 = 1 локальное отклонение тождественно равно 0. По определению конечное отклонение определяется равенством

Ир

тах

\р р)

Для локального отклонения в [14] доказано, что4

(п\ п\ р2' . I 1-1

у ,...,~р) = ^ Ц(Р ^

ч 1 1 ' тл и— 1 \ 1 I* —Г

1 п -1

1 кУтУ

е 2т р | 5р(т1 + т,2<11 + ... + т.а.-\) =

т1,...,тд=-р1 V=1 =0

2

^ ^ ) I "р т1,...,те=-р1 \у=1

^ I П сп- (ту Л Ър(т,1 + Ш2й1 + ... + т.а.-1),

где р1 =

р-1

: Р2 = [ Р ]

п- 1

/ Ч 1 -2жг кт

Сп(т) = - у е р = р ^

к=0

(п-1)т , ,

г р БШ^

р бш^ р)

при т, = 0, при 1 ^ |т| ^ р2.

Так как для коэффициентов оп(т) справедлива оценка 1оп(т)1 ^ т) т0 справедлива оценка

\р р)

^ Бр (1,а1,... ,а.-1).

Отсюда следует, что для любого абсолютно оптимального набора (1,а1,..., а.-1) индекса в с В

Ир <

В(21пр + 27 - 21п2 + 1) Р

Выражение для локального отклонения представим в виде двух сумм

вА п-1 \ = и* () + П(°) (*1 , \р р) \р р; \р р;

/ П1 пЛ \p,..., р )

р2

р2

.....= £ . Т.'

,.(п1-1)т1 + ...+ (па-1)т^ Л ^ И

п

т1=-р1 т„=-р1

у=1 Р йш ^

В(0)( П1 =

V р' ' Р )

х5р(т,1 + ш,2&1 + ... + т.а.-1),

р2 £'

П Сп,(ту) 5р(т,1 + т2й1 + ... + т.а.-{).

т1,...,тв = —р1,т1^...тв=0 \у=1 /

Определение 3. Назовём к-ой компонентой локального отклонения величину

р2 р2

= Е Г ■■■ £'

^ / У1<...< = -р1 т„к = -р1

("V1 -1)т„1 +... + (■

пи1%-1)т„

е

х

п

Пу Л 81П I ^ р

^=У1,...Мк Р ) \?=1 Р Я1п [П^

5р(ту1 ау1-1 + ... + тук аук-1).

означает, что из области суммирования исключён набор (т1,... , те) = (0,... , 0).

р

е

х

р

р

х

Нетрудно видеть, что модуль к-ой компоненты локального отклонения оценивается через к-ую компоненту основной меры качества

В(к){ иг «Л

Кроме этого, справедливы следующие два очевидных равенства

В* (П1 п±^ = Вм (П1 ,...,пА

р} 'р) ' Кр1 'р) -1

п±) = у ф) (п1 п± р р) 5 V р''"' р

В(о)( П1 пА = П1 пА 3 \р' >у 1-2 3 \р7 ' р )

Лемма 2. Для, любого абсолютно оптимального набора <1,а1,..., а3—1) индекса в с кон-В

тах

Кга^ ^р в)

П3( п1

\р р)

< тах

Чр''"' р)

+

+

вВ<21пр + 27 - 2 1п 2 + 1)

1

Доказательство. Действительно, из оценки для коэффициентов сп<т) следует, что

:>(о) (П1 пЛ в \p,''', р )

Р2

< Е'

т1,...,те--р1 ,гп1^...^т3-0

5р<т1 + т2а1 + ... + т3а3-1)

т1.. .т3

1

2

Р2

ЕЕ Е ••• Е' ""

1-2 1^1<...<„ ^вт^ --Р1 т]1, —Р1

5р< гз1тз1 + ... + г^щ»)

т1.. .т3

1

1-2

3-1

)< г8) < ЕСГ <21п Р + 27 - 21п2)№ ■ В <

и-2 П

В

Р

1

^ „„ , , , sV В зВ<21пр + 27 - 21п2 + 1)5-1 К^^С- <2 1п р + 27 - 21п2)№ ■ — <-^-1 ' ^--.

□

тельно, р1 = р2 = К Заметим, что если 5р<т + а) = 1 и |т| ^ ^—г, то

т

при ^ - < 1,

р \ -- > - р при < -- > 2

-Р ^

р-р 1 % } пр и 2 < { - }

при < 2.

Это можно записать одной формулой

т = р

1 а

2 + 1 Р.

а а 1 а 1 а

Ш. -Пр/ = 2 -П5ПрЯ = 2 -П2 + р}

Лемма 3. Справедливо равенство

^ | к

С08 Ж -

г 2 Г 2 I 3

?= Е' Е' (П

Р Р/ Ш1--Р1 тв-—р1 \у-1 ^

<п1 - 1)т1 + ... + <п3 - 1)т

'-5Р< т1 + т2а1 + ... + т3а3—{).

р

Доказательство. Так как при отображении

( т1,..., т.) ^ (-т1,..., -т.) область суммирования переходит в себя, то

(т пЛ 1 ( А' Л' (п1-1)т1+...+(п8-1)т, ( * вт [тг^ |

М^"^) =2 р Щ-^ 1 Х

т1 = -р1 т., = -р1 =1 Р вШ ^ р

р2 р2

^ (п1-1)т1 + ...+(па-1)та

е р х

х 5р( т,1 + т2й1 + ... + т.а.-1)+ ^ ... ^

т1=-р1 т3=-р

' . 8Ш (V \

Л- , р / 1 5р(гп1 + Ш2й1 + ... + т.а.-1) 1 =

= рв1п тг) )

р2 р2 / . дщ

£ ■■■ £ (П-

т1=-р1 те=-р1 =1 Р ^1п ^ рр ^

р

□

(т - 1)т1 + ... + (п. - 1)т. „ , , .

х сой^-ор(т1 + т2а1 + ... + т.а1).

Р

Лемма 4. Справедливо равенство

р2 1 . - = Е'."' (П

\Р Р / „,_ ----„,_„., .-,вОв-1^0 (шса р)\у=2 Р т

. й1п

т2,...,т3=-р1,т2О1+...+т3ов-1^0 (шоё р) =2 Р й1п ^ р ^ П1(т2О1+...+таоа-1)

х сой ж

ыпук - — ■ —

Х--^ Х

р йш I ж 2 р 8 8 1 -(п1 - 1)(т2й1 + ... + т.а.-1) + (п2 - 1)т2 + ... + (п. - 1)т.

Доказательство. Рассмотрим сумму

8Ш ^ТТ^1) (П1 - 1)т + ... + (п. - 1)т. ( + + + )

Ь = У -^-^ сой^-ор(т1 + т2а1 + ... + т,.а.-1).

т -

>

т1=-р1 рвт^ т) Р

Ясно, что она равна 0 при 6р(т2а1 + ... + т.а.-1) = 1.

Если т2й1 + .. .+т.а.-1 ф 0 (тоё р), то в этой сумме только одно слагаемое отлично от ну-

1 + т2О1+...+твОв-1

2 + р

ля. А именно, при т,1 = р - р |1 + т2О1+...+т8а18 1 | Если положить к = то т1 = -(т2а1 + ... + т.а.-1) + рк. Таким образом, для Б справедливо равенство

X

в1п , Ж П1( — (т2а1+...+твае_ 1 )+рк) \

б = _£_^ х

рё!п —(т2-1 +...+т3а.1)+рк

<п1 - 1)<-<т2а1 + ... + т3а3—1) + рк) + <п2 - 1)т2 + ... + <п3 - 1)т3 х сов I ж--——--

■

81п , Ж П1 (т2а1+...+т.,ае-0 4

= <-1)(п1—1)к -Е-^ х

Р81п(к ™*а1+...+™-а-1

х<--1)(п1—1)ь ео8 -<"1 - 1)<т2а1 + ... + т3а3—1) + <п2 - 1)т2 + ... + <п3 - 1)т3^

р

П1 (т2а1+...+т3а3-1)

8т , ■ -1,-2-1 .......

Р

-X

х сов ж

рвт[ к 2 + 1 -<п1 - 1)<т2а1 + ... + т3а3—1) + <п2 - 1)т2 + ... + <п3 - 1)т3

V Р

Отсюда следует, что

) -

ъ(п\ пЛ ( -Л 81п|к

V ~p,''',~p )= ^ 1 А! 1 / т\

т2,...,т3-—р1,т2а1+...+т3а3—1^0 (шоё р) \,1-2 Р в1п I Ж р I П1(т2а1+...+т3а3-1)

81п I Ж" р

X-^-X

Р Й1И Ж - 2 + 881

/ -<п1 - 1)<т2а1 + ... + т3а3—1) + <п2 - 1)т2 + ... + <п3 - 1)тЛ

х сов ж—--—----------- .

КРУ

□

к

ния.

Лемма 5. Справедливо равенство

Р2 Р2

*к)(п1 = £ £' - ( П ^ '""г '

'О ) -' *-' *-' \ 'О ^ ^ • ( т

1 7 Ыу1<...<ик --Р1 т„к--Р1 \v-V1,.... ]-1 Р в1п 1 Ж ~р~)

в1п Ж

<пц - 1)т„1 + ... + <пик - 1)т„к

х сов ж-к--др<ти1аи1—1 + ... + т„ка„к—1).

Р

Доказательство. Повторяя дословно доказательство леммы 3, получим доказываемое □

Прежде чем формулировать аналог леммы 4, введём новые обозначения. Пусть <г,]=0,...,8 - 1). Ясно, что аи,и = 1 <г = 0,... - 1).

х

х

Лемма 6. Справедливо равенство

\Р Р )

р2

Е

1Ку1<...<Ук К.

...

1^2 >...,т^к =-Р1>

Й1п Ж

йт ж

р

У2аУ2-1,1У1-1 + ...+т^ка^к-1,1У1-1^0 р)

пу1 (ту2 О„2-1,„1- 1+...+т,ук Оук -1,у1-1) \

р ) _

р

к

П . ( т„\

К3=2 Р

х сой ж

-(ПУ1 - 1)(т + ... + (Пук - 1)Шук'

Доказательство. Рассмотрим сумму

р2

* = £'

йт ж

р

т^ = -р1 рвт[ж

(Пу1 - 1)ту1 + ... + (Пук - 1)Шук соъж-—1---1--—к---к Х

х 5р(ту1а,у1-1 + ту2а,ук-1 + ... + тукаук-1).

Ясно, что она равна 0 при 5р(тУ2аУк-1 + ... + тУкаУк= 1. В новых обозначениях имеем:

5р(т,у2аук-1 + ... + тука,ук-1) = 6р(ту2а,у2-1^1-1 + ... + тука>ук-1^-1), 5р( ту1ау1-1 + ту2аук-1 + ... + тука,ук-1) = 5р(ту1 + ту2ау2-1^1-1 + ... + -1^-1).

Далее, продолжая дословно доказательство леммы 4 с очевидными изменениями, получим □

Теорема 1. Для любого абсолютно оптимального набора (1,а1,... ,а.-1) индекса в с В

Ир

тах

Ып„Кр (1КмК.)

р2

'... '

. йт [ж

П

т2,...,т8 = -р1, т2О1+...+т3Ов-1^0 (шоё р) \и=2 Р >51п

Й1п Ж

гп1(т2О1+...+т3О3-1)

р

р Й1п ^

_т2О1+...+таОа-1 р

Х сой ^

-(П1 - 1)(т2й1 + ... + т.а.-1) + (п2 - 1)т,2 + ... + (п. - 1)т.

р

+

+в

вВ(21пр + 27 - 21п2 + 1) Р

1

где0 КОК 1.

□

4. Математическое ожидание локального отклонения

Естественно рассмотреть математическое ожидание локального отклонения, заданное равенством

МБ3 = —

п1,..,п8 = 1

X

X

т

с

1

р

п^ти

р

X

X

X

)

Теорема 2. Справедливо равенство

MD, = (l--) п7 (V -

- V g( l - -) Й( l "{*}) ~{Чг)

Доказательство. Действительно, как показано в работе [14], для локального отклонения имеем равенство

(п п \ 1 р п1-1 п8-1 / 1 Ч —,...,— ) = - У" У" ... У ( 5р(к - к1) 5р(а,1к - к2)... 5р(а.-1к -к.)--. ).

Ь V) Рк=1к/=0 &0V Р.)

Отсюда следует, что

l Р i Р Ш-1 Пв-\ , i ч

MD = PS Е P ^^ 5Р(к - kl) 5P(aik ■■ fip(as-lk -ks)--j =

P ni,...,ns = 1P k=1ki=0 ks=0 P '

l ^ V1 (zn i i\ w i l (P-kl) ■■■ (p-ks)

E E ( 8p(k-ki) Sp(aik-k2)... 5p(as-ik-ks) У --- E Pi--P2T

V s V

1 k=1 k1,...,ks=0\ n1=k1+1 ns=ks + r 1

=\£ о - э П( 1 -{ *})-(Ч1У-

□

Для оценки математического ожидания локального отклонения параллелепипедальной сетки применим конечные ряды Фурье.

=1_ к ,р) р

Лемма 7. Для, функции / ^ = 1 - р справедливо разложение в конечный ряд Фурье

(к \ А 2цгкт ( р+1 ПРит = 0, /(-) = Е с(т)е р , с(т) = ) -г-^щжг при т = 0, (к = 0,...,р-

\Р / т=_р, р 1-е р I

т=-р1 I Р^ 1-е p J

Доказательство. Действительно,

( ) l^ Л k \ -2т^ J P~W 1 Прит = 0'

<т) = ~PtoV - P)e Р = \ „(iJ™*} ^т = °,

так как при т ф 0 (mod p) имеем:

1 Р-1 / 7 \ , Р-1 k 1 р-1 1 -2тгг

k\ -2жг^ l ST^ l -2rniв* l l -e p

l--e p = - > - > e p =

Р- 1 Р- 1 k Р- 1

El k \ -2mi kf = l ST^ 1 V^ -2жг bp* = ST^

I p) = P ^ P ^ = p2 ^

i—n \ f / r k=01 n=0 1 i—n

l - Sp(m) l

Л -2жг Л -2жг *

P l - - p P l - - p

□

Лемма 8. Для математического ожидания локального отклонения параллелепипедальной сетки справедливы, равенство и оценка:

р2

МБ. = ^ Пс(ту) $р(т1 +^1Ш2 + ... + а.-1т.),

т1,...,тв=-р1 у=1

МБ.I < Бр(1,а1,...,а.-1).

Доказательство. Действительно, применяя конечный ряд Фурье для функции / ^^

= 1 - ^ получим:

1

Р—1 Р2

. кт.1 + ка1Ш2 + ... + ка8_ 1т$

МВ = -рЕ Е П-т)«2"...............2р...............-(^У

к-0т1 ,...,т8-—р1 1-1 ^ 7

= Е П^т^) ¿р<т1 +а1т2 + ... + а5—¡т,).

т1,...,те-—р1 1-1

< т)

при т = 0 с<0) = Щ+1 < 1 = щ, при 1 ^ |т| ^

1 2.11

т'

1 с<т)| =

Л — 2тгг^

р (1 - е р

- = -

р в1п и р т Р

поэтому

р2 I 5 1

|МВ8| ^ Е П = ^Р<т1 + а1т2 + ... + а8—1т8) = 5Р<1, аь ..., а8—1).

т1.....та-—р1 1-1

□

5. Дисперсия локального отклонения

Дисперсия локального отклонения задаётся формулой

ад = 1 У (эА п!...^-мв)\ =

Р3П1,^-Л VР Р) )

1 £ - <МВ8)2.

р-в ' \ V Р Р

п1,___-1 4 4

Лемма 9. Для математического ожидания квадрата локального отклонения справедливо равенство

2

I и1 п8 \ ]

' я

м{о,( "1...^У

= С1 - тах )) П (' " « ({^М?};

Й <Р-кХу + 1 + к) п1 (1 - {^}) (1 + ¡, + {}) + /С2р + +1)у Ь. '2Р2 2 Ч 6Р2 )

Доказательство. Действительно,

М (п. (П1,...А))2 = - У (В (П!,...,"-))2 = - У 1х V V? р)) Р'Щ.^-Л VР р)) рзП1./~:е-1

(1 Р П1 — 1 ив — 1 , 1 ч \ 2

... ( 5Р<к - к1) 5р<а1к - к2)... 5р<а8—1к - к8)--- ) I .

Р к-1 к1-0 ка-0^ Р ' /

Имеем:

ЕЕ Е ^Р (k - kr) -^2)... öp(as—ik -ks)---

P и_ли._(л и _п V Р

( Р т — 1 Па — 1 /

p ££■■■£(<

1 к=1 к1 =0 ка=0 К

Р П1 — 1 па — 1 s

2 Е Е ... Е öp(k -kl)öp(k -k[) П 5p(av—\k -kv)öp(au—ik' -k'u)-

P

1 к,к=1к1,к'1=0 ка,к'а=0 v=2

^ Р П1 — l Па — l S n S n2

- 2 E E... E 6р ( k - ki) 6p(aik -k2)... öp(a-—ik ~ + П -ф'

P к=1 к-=0 ка=0 v=1 P v=1 P

- l - s

(/ \ \ 2 1 Р-1 пч — l Па 1

Ds(,...,1P)) = P22 E E ... Z ^-kl)öp(k'-k[):

1 к,к'=0к1,к'1=0 ка,к'а=0

x Л Sp(av—ik - kv)öp(av—ik' - k'v) Л - ma^^, -

kv kV

иР( aV— 1k kv) up\av— 1k kv) II I 1 max

v

V-1

2Р-1П-1 п-1* , , , , w , ,ЛТТ(Р-kv)(p+1+kv)

E E ... E 6р( k - ki) ^(aik -k2)... Sp(a-—ik - ks) п(P kv)(2P+ v)+

p ^ ^ ^ ^ - - ^ — ii 2p 1 к=0 к1=0 ка=0 v=1 1

+ = 1 g (1 - max (P)) g ( 1 - mK({ ^ } . {f }))

V 6p2 ) p2 кк=0\ vpp/z^v upj'ip 2Рр— (P-k)(p + 1 + k)£ i1 - {^ })(1 + 1 + { кГ }) , / (2p + 1)(p + 1) N

ул (p - k)(P + 1 + k) ^ у L р J У V Р l Р j J + (2P + 1)(P + 1M

h 2p2 2 4 6p2 ) .

p^ 2p2 ii 2

1 к=0 1 v=1

□

Теорема 3. Справедливо равенство

DD> = l|o( (1 - max (^)) П (1 - max ({ * } , }))

-Л-k V1 - p) fi (1-= f })(: - {f

2Р-Г ((P -k)(p + 1 + k)fr (l - {fr }) (l + Р + { fr})

ph 2p2 i! 2

к=0 v=l

- (1 - P) n (1 -ffl )(!Р^ )s)+()s -(P2P1 г

Доказательство. Действительно,

DD = (1 - max ())П (1 - max ({-f } ,{*£ }))

□

^ (р-к)(Р + 1 + к) ^ М^}) р + {

р А^ 2р2 А!

1 к=0 1 у=1

кОу р

2

+

(

(2р + 1)(р + 1у 6р2

р

р2

\ 2

I О Ч) п (1 - Ш) - (^У) =

£ ((- тах (И ))П (1 - тах ({ * } , }

- I -

1 - а (1 - 3 П( 1 -{?}) (1Ч?})

2 ^ ( (р -к)(р + 1 + к) п 2р2 И

1 к=0 \ 1 у=1

- [1 - Я П( 1 -{¥})(] + (

.-1 (1-{{1+р+{^

2

\2р + 1)(р + 1) 6р 2

И

6. Двумерный случай

При 8 = 2 теорема 1 существенно уточняется

Лемма 10. Для любого набора (1,а) справедливо равенство

Ир = 2 тах

1Кп1,п2Кр

р2 йт [ж йт (п

п1тО \

р )

11 рат (к т) рып (п т)

■ сой ж

(-(п1 - 1)а + п2 - 1)т"

Доказательство. Так как

(0)

ТО

(т 'у) = (II - >)

4 ' т1,т2=-р1 ,т1т2=0 \у=1 /

02(— —^ = И* (— —^

2 V р} р ) 2 V р} р ) (

\р} Р )

Сп„ (ту) 5р(т1 + Ш2й1) = 0,

Ир

тах

1Кп1,п2Кр

Теперь утверждение леммы следует из леммы 4 и равенства

81п | Ж8Ш (ж

рвт[ ж р) рв1п1к

в1п ^ в1п (к -"р™^

р в1п (V =рт^ рэ1п (п

сой ^

(-(п1 - 1) а + п2 - 1)т4 Р ,

сой ж

-(-(п1 - 1)а + п2 - 1)т"

1

и

Р

Из доказательства леммы 10 следует, что для локального отклонения D^^, справедливо равенство

D2 (* 52) =2 V SniM^^ . «. (r (-01 - l)a + n2 - l)»>) .

V P Pj p sm(wf) Psin [к f) \ P J

Естественно рассмотреть математическое ожидание локального отклонения, заданное равенством

l Р

MD2 = l 2

n1,n2 = 1

£ dJ Hi М ,

и дисперсию локального отклонения:

DD2 = l £ - (MD2)

ni,n2 = 1 iff

Лемма 11. Для, любого набора (l,a) справедливы равенства:

Р

sin I к—- I • cos I к^--- I = т sin I к

Е( n1ma\ ( (п1 - l)am\ p f ma\

sin к- • cos к- = - sin к—

V P ) V P J 4 \ p J

1=1

EP ( n1ma\ ( (n1 - l)am\ p ( ma\

sin к- • sin к- = - cos к—

=1 4

Доказательство. Из известного равенства для символа Коробова

£ ( D = f l при Ьф 0 (mod p), = l ^ 2mi^ р( ) \ 0 при b ф 0 (mod p) p

k=1

сразу следует, что

l sr^ „ bk f l при b ф 0 (mod p), l . „ bk -> cos2ir— = ) л \ , -/ sin2i- = 0.

p ^ p { 0 при Ьф 0 (mod p) p ^ p

Отсюда следует, что

Р 7 n1ma\ ( (n1 - l)am\ l ^ ( n1ma\ ( ( n1am\ ( am\

к- • cos к- = - > sin к- cos к- cos к— +

ni= ч P J V P ) 2^ V P )\\ P J V P

E( n1ma\ ( (n1 - l)am\ l v^ / n1ma\ ( ( n1am\ ( am\

sin к- • cos к- = - > sin к- cos к- cos к—

ni= V P J V P ) 2\ P )\\ P J \ P J

n1 a m a m l a m Р n1 m a l m a

+ sin к- sin к- = — cos к- > sin 2к- + - sin к-

P P 4 P n =1 P 4 P

Р

n1 m a P m a

x У ^l - co^2tt^-J 1 ^ ^ si^ к— I

n =1

Р

P 4 P

E. ( n1ma\ . ( (n1 - l)am\ l v^ . ( n1ma\ / ( n1am\ ( am\

sin к- x sin к- = - > sin к- sin к- cos к-

n2=1 V p J V p ) 2 ^Kp )\\p)\p)

n1 a m a m l a m Р n1 m a l m a

- cos к- sin к— = — cos к— > l - cos 2к- —- si^ к— x

V p J \ p JJ 4 V V p JJ 4 Vp/

Р

n1 m a m a x > si^ 2к- = - co^ к—

n =1 4

□

Теорема 4. Для математического ожидания локального отклонения справедливо равенство

Р2

„т^ Р — 1 1 v^ ( та\ ( mN

Доказательство. Из определения математического ожидания локального отклонения имеем:

р / \

£ d2(ъъ)

72=1 \р р/

md2 =1

р2 \ р р

П1,П2 = 1

1 ^ sin(^) / (—(„1 — 1)а + п2 — 1)т

£ 2 £-~7-^--~7-V •

psinlnj) рsin ínта\

П1,П2 = 1 т=1

р2 р sin К

EIE

,nima ^

р

Р2 т=1 \ т = 1 р sin (пта

cos

2 Р2 р sin к njai

+4- £ I £ —Мч

P2á=l{nT=1 psin (пmf)

Применяя лемму 6, получим:

( „1 — 1) а т Р

— 1) а т

О

JL sm(nn2j) / („2 — 1)т' cos п-

£

,П2 = 1 psin К

^ sin ( Кn2pj)

(„2 — 1)т^

sin (п („1 -1)а^ j I £ sin

П2 = 1 psin К

mj

sin

( „2 — 1) т

+

md2 = ^ £

2 ^ 4 sin U та Р sin кт

+ п2

Р2 Р cosfn cosfnj

р т=1 Р sin ( К ja) р sinU т Р2т=1 Р sin Í К ja] Р sin f К j

— 1 1

+

16р2 16р2

ЕР2 ( та\ ( т\ ctg{n— ctg -

т=1 4 7 4 7

□

2

2

Р

7. Заключение

Заметим, что математическое ожидание квадрата локального отклонения имеет много общего с хорошо известным квадратичным отклонением, которое ввёл К. Рот в работе [17] в 1954 году. Естественно, что возникает вопрос о получении нижней оценки для математического ожидания квадрата локального отклонения параллелепипедальных сеток. В последующих работах мы планируем получить такие оценки.

В заключении выражаем свою благодарность В. Н. Чубарикову за внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авдеева М. О. Оценка количества локальных минимумов целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5 вып. 4(12). С. 35 — 38.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

3. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3 вып. 2(4). С. 27 — 33.

4. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Докл. РАН. 2003. Т. 389. N.2. С. 154 - 155.

5. Горкуша O.A. Критерий конечности множества локальных минимумов решетки / / Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. VI Междунар. конф., посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова (Саратов, 13 — 17 сентября 2004 г.). — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 47.

6. Горкуша О. А. Критерий конечности множества локальных минимумов решетки // Че-бышевский сборник. Тула, 2002. Т. 5 вып. 3(11). С. 15 — 17.

7. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский Н. \!.. Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 6-85.

8. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090 - 84.

9. А. И. Кормачева, Н. И. Добровольский, И. Ю. Реброва, И. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168-182.

10. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124,№ 6. С. 1207-1210.

11. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.

12. Коробов И. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132. 1960. № 5. С. 1009-1012.

13. Коробов И. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. / М.: Физмат-гиз, 1963.

14. Коробов Н. М. О некоторых вопросах теории диофантовых приближений // УМН. 1967. Т. 22, 3 (135). С.83-118.

15. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.(второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

16. О. В. Локуциевский, М. Б. Гавриков Начала численного анализа / М.: ТОО "Янус" 1995

17. Roth К. F. On irregularities of distribution // Mathematika. 1. 1954, P. 73-79.

REFERENCES

1. Авдеева M. О. Оценка количества локальных минимумов целочисленных решеток // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5 вып. 4(12). С. 35 — 38.

2. Babenko, K.I. 1986, Osnovv chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.

3. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebyshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.

4. V. A. Bvkovskii, 2003, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Dokl. Math., 67:2, 175-176.

5. Gorkusha O. A. 2004, "Criterion of finiteness of the set of local lattice minima", Algebra and Number Theory: Modern Problems and Applications: Thesis of the sixth International Conference dedicated to the 100th anniversary of N. G. Chudakov (Saratov, 13 — 17 September 2004). — Saratov: Sarat Publishing House, un-ta, p. 47.

6. Gorkusha O. A. 2002, "Criterion of finiteness of the set of local lattice minima", Chebyshevskij sbornik, Vol. 5, issue 3(11). p. 15-17.

7. Demidov S. S., Morozova E. A., Chubarikov V. N., Rebrov I. Yu., Balaba I. N., Dobrovol'skii N. N., Dobrovol'skii N. M., Dobrovol'skava L. P., Rodionov A. V., Pikhtil'kova O. A., 2017, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol. 18, № 4. pp. 6-85.

8. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "The hyperbolic Zeta function of lattices", Dep. v VINITI, no. 6090-84.

9. A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "On the hyperbolic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168-182.

10. Korobov, N.M. 1959, "On approximate computation of multiple integrals", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207-1210.

11. Korobov, N.M. 1959, "The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients", Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19-25.

12. Korobov, N.M. 1960, "Properties and calculation of optimal coefficients", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009-1012.

13. Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.

14. Korobov, N.M. 1967, "About some questions of the theory of Diophantine approximations", Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. 22, no. 3(135), pp. 83-118.

15. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.

16. Lokutsievskij, О. V. k, Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO "Yanus", Moscow, Russia.

17. Roth, K.F. 1954, "On irregularities of distribution", Mathematika, 1, pp. 73-79.

Получено 12.03.22 Принято в печать 22.06.2022