CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 1.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-164-179
Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе
в приближенном анализе1
Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: chebQtspu,.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: dobrovolMtsput.ru,
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: i_rebrova@mail.ru
Родионов Александр Валерьевич — старший преподаватель кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: rodionovalexandr@m,ail. ru,
Аннотация
В работе для каждого моноида М натуральных чисел определён новый класс периодических функций М", который является подклассом известного класса Коробова периодических функций Ef. Относительно нормы ||/класс М" является несепарабельным банаховым подпространством класса Ef.
Установлено, что класс М" замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и s-ю степень дзета-функции моноида М. Получены оценки на параметр А, при которых интегральный оператор A\j является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.
В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором Q ^ ,..., ^ j в пространстве М", который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида Мдд чисел сравнимых с 1 по модулю q квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю q точна та классе Более того, это утверждение
остается верным и для класса M^a s с 1 < а < q,KOгда q — простое число. Так как функции из класса с 1 < а < q та имеют нулевого коэффициента Фурье С(0), то при простом
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
д сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.
Ключевые слова: классы функций, квадратурные формулы, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164-179.
СНЕВУЗНЕУБКИ ЗВОИШК Уо1. 20. N0. 1.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-164-179
Monoids of natural numbers in the numerical-theoretical method
in the approximate analysis2
N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, A. V. Rodionov
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate Professor of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula.
e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor, dean of the faculty of mathematics, physics and computer science, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: i_rebrova@mail.ru
Rodionov Alexandr Valer'evich — senior lecturer of the Department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula. e-mail: rodionovalexandr@m,ail. ru,
Abstract
For every monoid M of natural numbers defined a new class of periodic functions M", which is a subclass of a known class of periodic functions Korobov E". With respect to the norm ||/(x)||b^, the class M" is an inseparable Banach subspace of class E".
It is established that the class M" is closed with respect to the action of the Fredholm integral operator and the Fredholm integral equation of the second kind is solvable on this class.
In this paper we obtain estimates of the image norm of the integral operator, which contain the kernel norm and the s-th degree of the Zeta function of the monoid M. Estimates are obtained for the parameter A, in which the integral operator A\,f is a compression. The theorem
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
on the representation of the unique solution of Fredholm integral equation of the second kind in the form of Neumann series is proved.
The paper deals with the problems of solving the partial differential equation with the differential operator ,..., in the space M", which depends on the arithmetic
properties of the spectrum of this operator.
A paradoxical fact is found that for a monoid Мдд of numbers comparable to 1 modulo q, a quadrature formula with a parallelepiped grid for an admissible set of coefficients modulo q is exact on the class M"l s. Moreover, this statement remains true for the class with
1 < a < q when q is a Prime number. Since the functions of class M" with 1 < a < q do not have a zero Fourier coefficient С(0), then for a simple q the sum of the function values at the nodes of the corresponding parallelepipedal grid will be zero.
Keywords: classes of functions, quadrature formulas, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers.
Bibliography: 15 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, A. V. Rodionov, 2019, "Monoids of natural numbers in the numerical-theoretical method in the approximate analysis" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 164-179.
Посвящается 70-летию академика Литовской АН, профессора, Антанаса Лауринчикаса,
1. Введение
В данной работе преследуется цель — показать, что теория дзета-функций моноидов натуральных чисел связана с теоретико-числовым методом в приближенном анализе. Для этого вводится новый класс периодических функций многих переменных Mf, соответствующий моноиду М натуральных чисел, v которого множество номеров экспонент, входящих в комплексный ряд Фурье, задается этим мультипликативным моноидом натуральных чисел. В результате мы получаем некоторый подкласс известного класса периодических функций многих переменных Ef. Относительно нормы ||/(ж)У^а класс Mf является несепарабельным банаховым подпространством.
Как известно, класс Es определяется как объединение всех классов Ef при а > 1. С одной стороны, класс Es состоит из непрерывных периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье. С другой стороны он замкнут относительно действия интегральных операторов Фредгольма и подкласс дифференцируемых функций при действии дифференциальных операторов переходит в некоторый подкласс класса Es .
Целью данной статьи является перенос этих свойств на новый класс функций.
2. Моноиды натуральных чисел и классы периодических функций
Пусть М — произвольный моноид натуральных чисел. Определим класс функций М" следующим образом. Этот класс периодических функций состоит из функций /(х), которые задаются многомерным рядом Фурье вида3
/(Я) = ^ СУ2^™^ = ^ _С(т)^ е2Пг(гп,х),
т,.....т., т,.....т., (Ш1 . . . Г
т^еМ, (^ = l,...,s) т^еМ, (v = l,...,s)
Здесь и далее для вещественных т полагаем т = max(1, |то|).
где коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам
II/(¿0II
Е?
\с(m)\ ^ '"Е\ 1 v л (ml ...т;У
НЖ)Не? = sup \C(rm)\(mi ...ms)a = sup \c(m)\ < те. т^ем, (v=1,...,s) mем, (v=1,...,s)
Если им — абсцисса абсолютной сходимости дзета-функции ((М\а) моноида натуральных чисел М, то для любого а > им ряд Фурье для функции f (ж) G М" абсолютно и равномерно сходится для любого х G Rs.
Таким образом, справедливо вложение М" С As, где As — пространство периодических
Рассмотрим пространство Ms периодических функций от s переменных, заданное равенством Ms = Ua>aM М". Ясно, что Ms С As.
Нетрудно видеть, что для нормы ||/(ж) Не = sup^eRS \ f (ж)\ справедливо неравенство
II/(¿OIIc < I(1 + 2((М\a))s.
Рассмотрим оператор вложения Аа1,а2 пространства М"1 в пространство Mf2 при ai > a2-Естественно, что нормой оператора вложения AabQ,2 называется величина, определяемая равенством
II = sup
f (£)ем°
II Ж)! I Ж)Н
ЕГ
Лемма 1. Для любых а1 > а2 > им для нормы оператора вложения пространства Mf1 в пространство Mf2 справедливо равенство
I = 1.
Доказательство. Действительно, если /(ж) = С, то I/(ж)ЦЕ«2 = If(x)IIEa1 = С
значит,
^а1,а2 I
^ 1.
С другой стороны, если /(ж) G Mf1 и
то
поэтому
/(ж) = £ С (m )е
2жг (т, х)
m1,...,ms,
т^еМ, (v = 1,...,s)
\Ст<"/(a°IE; 1 v л (mi...m;)a1
IIЖ)^ = sup \C(m)\(mI...ms)"2 <
т^ем, (v=1,..,s)
^ sup m^ем, (v=1,...,s)
II f(x)II Еа1 (m1... ms)"2
HJ ( ):Es ( 1 .-— < II/(ж)НЕ«1
(m1 ...ms)"1 IUV nIE°
и IAQ,1,Q,21 ^ 1. Следовательно,
,"2
II =1 □
Очевидно, что для любого а > 1 пространство периодических функций М" является подпространством периодических функций Е". Соответствующий оператор вложения будем обозначать через Аа. Ясно, что этот оператор имеет единичную норму: ||Аа|| = 1.
и
э
1
1
3. Замкнутость относительно оператора Фредгольма
Одним из важных классов интегральных уравнений является уравнение Фредгольма второго рода, то есть уравнение вида
р{Г) = АJJ Ка (Г и) р (и) (1и + / (Г) ,
св
(1)
где С3 = [0; 1)5.
Характерная особенность уравнения (1) — его линейность: неизвестная функция р входит в него линейно.
Мы будем исследовать уравнение (1) для случая, когда свободный член £ и ядро К3 (1т, и) этого уравнения принадлежат, соответственно, классам М"(С\) и М"3(С2)-
Первые работы по применению теоретико-числовых методов для приближённого решения уравнение (1) принадлежат Н. М. Коробову (см. [10], [12]).
Сопоставим уравнению (1) оператор определяемый равенством:
А^р Г =9 (Г) .
Это означает, что:
д (Г) = АК}р (Г) = А Л К ) р(й)сЫ + / (Г) . (2)
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Пусть а > ом, К3{Г,и) е М"3; / (Г) , р (Г) е М" тогда
АК1р (Г) е М"
\\AxjP (О < !!/ (Г) ||е? + |А| ■ ||Кв (гГ,и) ||е- ■ ||р (Г) ||е? ■ (1 + 2((м\2а)у. Доказательство. Пусть С2 = ||К8 (Г,и) ||е«, С1 = || / (Г) ||е?, С = ||р (Г) ||е?, тогда
К3(Г,и) = Е С (т,п)е
2 т((т,1)+(п,и))
т^ ЕМ, (^=1 ,...,з)
/(Г) = Е °1(гй)
т^ЕМ, (1^=1,...,в)
р Г = Е с (^)
^2■кí(rn,t)
т, ,...,т8 , т^ЕМ, (и = 1,...,а)
^(rn,п)\ --—;
(т1... т3п1... п3)а
|С1(т)| < --. ;
1 1171 (т1 ...т3)а
С
^ (Щ ^----.
1 у (т1.. .т8)а
Подставим данные равенства в соотношение (2): (
ГГ = А
с3
\
С (т,п)е
2 ш((т,£)+(п,й))
. т,.....,п 1 ,...,п8
\ т^ ,п^ ЕМ, (и = 1 ,...,в)
)
Е С(к) е2^й)
к1,...,к3 , \кйЕМ, (и=1,...,а)
йи+
+ Е °1(гЛ)
/
,,2жг(т,Р)
т1 ,...,т8 , т„ ЕМ, (¡/ = 1,...,а)
и
Перемножим абсолютно сходящиеся ряды и почленно проинтегрируем их произведение, получим:
= Л Е С (гп,п)С [[ е^^сМЛ ^ Сг(гп) е2*^.
т-1.....та,
m ,n,K ^ i
,nv еМ, (v=i ,...,s)
Gs mv eM, (v = i,...,a)
Так как
e 2ni (n+k,u)dg I 1 при n + к = 0,
I 0 при n + к _ 0,
os K
то для g (i) справедливо равенство:
зЮ =X E C (m,n)C (—n) e2ni ^ + ^ Ci (m ) e2ni ^
mi,...,ms ,ni,...,ns mi,...,ms,
mv eM, (v=i,...,s) m^ eM, (v = i,...,s)
/ \
E Ci( m ) + Л ^ C (m, n)C (-n)
mi,...,ma, ni,...,ns,
veM, (v=i,...,s) \ w^eM, (v=i,...,s) /
= E C2 (rr )
ç2iri(m,t) _
тщ;ем, (v = i,...,a)
Оценим модуль коэффициента С2(т)•
|С2(т)| = |С1(гп) + Л Е С(т,п)С(-п)| <
ni ,...,ns , п^ем, (v=i,...,s)
^—+ л e c c
(mi ...ms)a n-^ns, (mi ...msni ...ns)a (-ni... -ns )c
nv ем, (v=i,...,s)
1
(mi... ms)c
( \
C + ^2C (ni .. lns)2".
\ п^ем, (v=i>...,s) )
Ci + ЛC2C (1 + 2((M |2g))s (mi.. .ms)a
Таким образом показано, что функция д (¿) = Аx,fр (¿) принадлежит классу М" и ь (Г) ||е? < ||/ (0 ||е? + Л ■ (1 + 2С(М|2а))а ■ ||р (Г) ||я? ■ ||К ) ||е£.
А, следовательно, доказано, что оператор Ад,/ при достаточно малом Л является сжимающим отображением. □
Лемма 3. Пусть |Л| ^ ^—(1+2СМ\2аУ)° и ^ < 1 тогда оператор А\,/ является
сжатием, то есть 8
ЦАХ>1^1 - Ах>1^2Це% < ЧЦ^Р1 - Р2ЦЕ4.
Доказательство. Обозначим через А\ оператор Ад,/ при / = 0. Из определения А\
следует , что это линейный оператор и
АХ,;Р (Г) = Ахр (Г) + / (Г)
Отсюда следует, что:
А\^Р1 - АХ)1р2 = Ахр1 - Ахр2 = Ах(р1 - Р2)
Применяя лемму 2 при / = 0, получим
||АА(р1 - р2)||е? < |А|((1 + 2((М^а))*)^ (Г) - р2 (Г) ||Е? ■ ||К* ) ||Е§
Тогда при
|А| < "
||К* (Г,и) ||е?(1 + 2((Мра))*
справедливо неравенство:
Н Ад,/р1 - Ах,}Р2ЦЕ% ^ яЦр1 - р2|е?,
что и требовалось доказать. □ Теорема 1. Пусть д < 1 и
|А| <----. (3)
|| ||К* ) ||е?(1 + 2((М№))*
Тогда уравнение Фредгольма (1) имеет единственное решение и для него справедливо представление в виде ряда Неймана
р(Г) = f (Г) А-к К* (Г,и1 )К3(и1,П2) ...К*(ик-1 ,ик )1'(йк )(1й1 ...йик.
А
ратор Ад^ является сжатием полного пространства Е", то он имеет единственную неподвижную точку, то есть уравнение
АХг1р (Г) = р (Г) р ГГ
Как известно, для любой точки хо полного пространства Е и сжимающего отображения А последовательность {хп}, где хп = Апхо, сходится к неподвижной точке оператора А в норме пространства Е. Применяя это к пространству Е = Е", оператору А = точке Хо = / (¿) и норме || ■ Не«, получим, что
8 АЫ' Г ^ р (Г)
р
Нр - ^||е? ^ 0, при п ^ то. (4)
Так как
Н9(х)Цс < (1 + 2С(2а))'Нд(х)Це? для любой функции д(х) е Ето из (4) следует, что
Нр -АП^/Не ^ о, п ^то.
Другими словами, последовательность А™^/ равномерно сходится к решению уравнения (1). Докажем по индукции, что
А\,// = / (Г) + ^Ак Л К* (Г, щ) Кs(йl,й2)... К^-ьи; )/(щ )(и1... (Шк. (5)
к=1 п
^вк
п = 1
Ах,{/ = / (Г) +лЦ Ка (Г й) /(й)<М
Далее имеем:
Апх+Ч = АЛ,/(А^/) = = А\,f I / (Г) + Е Лк [[ Ка(Г,П1)Ка(П1 ,Щ) . . . Ка(ик-1, Пк )/(ик )<и1 . . . «йк
V к=1 Се
= / (Г) + АЛ I / (Г) + Е Л // Ка(Г, П1)Ка(й1,й2) . . . Ка(ик-1,ик)/(ик )<1йЬ1 ... <Ык
к=1 дв
= ^^ + Л Ц Ка (Г, й ) Кй)<й+
п ( \
+ Т.Лк+1 Ц К3{Ы) ^ К а(й,1,й,2) . .. Ка(йк-1,йк+1) ¡(йк+1)с1й,2 . . . «йк+1 <Щ.
к=1 Са \Сак /
Так как для непрерывных функций порядок интегрирования произвольный, то
/ \
^ Ка(ГГ,й1) Ц Ка (й,1,й,2) ...Ка(йк, йк+1) / (^+1)^2 . . . «йк+1
\Свк /
Ц Ка(Г,й,1)Ка(й1,й2) . ..Ка(йк,йк+1)/(йк+1 )с1й,1 . . . «йк+1
<й1 =
С(к+1)а
Из равномерной сходимости последовательности следует, что
р(Г) = / (Г) ^ Е Л // Ка (Г,й1 )Ка(й1,й2) . . . Ка(йк-1 ,йк )/(Ик) (Ш1 . . . <!йк,
к=1 у?
Сак
и этот ряд равномерно сходится на Са. Теорема полностью до казана. □
Следствие 1. Пусть выполняется условие теоремы, тогда для решения уравнения (1) справедливо соотношение
Р (Г) = / (Г) + ^Лк ^ Ка(Г, й,1)Ка(й,1, й2) ... Ка(йк-1,йк)/(йк )(й,1 . . . (Ык +
к=1 п
С ак
+ ^ ^ .А |в|< (1+2«2а)Г
Доказательство.
Лк Ка (Г,й1 )Ка(й1,й2) ...Ка(йк-1 ,йк )/(Ик) ((щ . . . <(йк = Акх/ (Г) .
Сак
Отсюда следует, что
к=п+1 ^
Е Лк К8(£,й1)К8(и1,й2) ...К3(йк-1,йк)1'(йк)(1й1 ...ййк
<
Е9
< Е Ф .
к=п+1
Так как А\ линейный оператор и для его нормы "Ад" по лемме (1) справедливо неравенство ||Ад|| < |Л|"Кв $й) "е2■ (1 + 2((М 12а)У < д, то "АЩ < ||Ад||п < дп.
Поэтому
<
Е Лк^ К3(£,й1)К3(й1,й2).. .К3(йк-1,йк)/(йк)(1й,1 ...(ййк
к=п+1 /~<
Е?
п+1
11 ¡ши
к=п+1
1 -ч
Отсюда следует, что
Е лк jj К3(г,й1)К3(й1,й2).. .К3(йк-1,йк)/(йк)(й,1..
к=п+1 п
^зк
чп+1И ¡(Ме?
.((йк
<
с
< (1 + 2((2а))
чем следствие полностью доказано. □
1-
4. Дифференциальные свойства классов М,
Как хорошо известно, теоретико-числовые методы применимы для решения уравнений с частными производными [11, 13, 14, 15]. Рассмотрим
(д д \ дх1,..., дх3) ^ ... ^ '
1 3/ 31=0 jз=0
дп д^
ь31,...,3 з
дх1 дх3з
(6)
— дифференциальный оператор порядка п(О) = щ + ... + п3, с максимальным порядком по отдельным переменным, не превосходящим т(О) = тах(п1,..., п3), а р(х) = р(х1,..., х3) — периодическая с периодом единица по каждому из своих аргументов функция из класса М" (а>т(Я) + 1)4 Таким образом,
р(х1,...,х3)= Е
-т,1,...,тз
2жг (т1Х1+...+тзх з)
(7)
т1 ,...,тз , т^еМ, (и = 1,...,з)
4Условие на а гарантирует, что ряд Фурье для образа -¡^,... , -¡¡¡^т^ 'р(х), полученный почленным дифференцированием, равномерно и абсолютно сходится.
и для коэффициентов Фурье выполняется оценка
Величина
11 ^ 11 Еа
I'-......-I* (w...^у ■ (8)
е* = sup |cmi,...,ms(m1...ms)al < те (9)
mi,...,ms
является нормой на пространстве М", относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.
В своей работе В. С. Рябенький предложил некоторый общий подход численного решения задачи Коши с использованием произвольных сеток, для которых выполнены специальные условия, и показал, что его конструкция применима для многомерных кубических сеток, которые ещё называют равномерными, и для параллелепипедальных сеток Н. М. Коробова.
Прежде всего найдем собственные функции и ядро дифференциального оператора
д д
Q (ctei '' дхs)'
Положим
Ms = [m G Zs | m G M, (v = l,..., s)}. Для любого m G Ms зададим величины Q(m) равенствами
ni ns n(Q)
Q(m) = Ê ••• Ê ah,:,is)jl+...+j'mj11 ...m= ^ Aj(m)(2m)j, (10)
ji =0 js=o j=0
Аз(т)= Е ...™]з . (11)
31+...+Зв=3
Заметим, что если все коэффициенты — алгебраические числа, то в силу транс-
цендентности числа к величина Q(rn) = 0 тогда и только тогда, когда А3 (т) = 0, для всех 3 = 0,...,п(О).
Лемма 4. Для любого т € М3 функция е2жг(т'х) является собственной функцией оператора ^ ^хХ[,..., -¿¡хт^ с собственным числом Q(rn), если Q(rn) = 0, или принадлежит ядру Кегд оператора, если Q(rn) = 0.
Доказательство. Действительно,
д31 д3э
dxj1 dxS
_е2жг(гп,х) = (2^i) jl+...+jsmj1 . . . mis ¿2т(т,S)
Поэтому
q( jL, . jL^ (т,х)
\дх\' ' ' ' ' dxsj
ni
ji=0 js=0
= Q(m ) e2ni (т'х)
ji+...+jSm3l mjs e2m(т,х)
□
Будем использовать обозначение Кегд для самого ядра оператора, а для множества значений т, для которых е2жг(т,х) € Кегд будем использовать обозначение Кегд.
Пусть 5 С М3 — произвольное конечное множество целочисленных векторов гп. Обозначим через То ( 5) — пространство всех тригонометрических многочленов с постоянными коэффициентами
=2жг (гп, Х)
То(5) = | Р(х) = Е Ьте2
К гпея
Ьт е С, т е 5 >.
Очевидно, что если /(х) € Кегд и /(х) = 0, то уравнение
в (к --к )«*>='(*> <12>
не имеет решений. Более того, пространство То(5) можно представить как прямую сумму подпростр анств
То(5) = То (5 \ Кегд) 0 То (5 р| Кегд) и уравнение (12) имеет решение тогда и только тогда, когда
1(х) € То (5 \ Кегд).
Теорема 2. Для пространства То(5) общим решением дифференциального уравнения
«( ятг-Ш; )'ф) = /
} (3)= £ Ьт ¿" *Т',Х) € То (в \ Ке гд), -к < х„ < к ^=1,.,,, а) (13)
теЗ\Ке Гд
является тригонометрический многочлен
и(х)= Е ТГрГ е2™(тх + Е сте2™(т,х\ (14)
тея\Кегя ) тея пкегя
где ст — произвольные числа,.
Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен й(х) € То(5):
< х) = Е
т ея
Тогда
д д
й(х) = у ст е2™(тх.
) й(х) = Е ст,Я(т)е2т
' г^а С
^^ )й(х) ^ ' г-п(т )<> ™(тх
дх дх3' т ея
= Е ст$(т) е2™(тх = 1(х)= Е ьт е2™ (т,3)-
т ез\Кег я т ез\ке гя
Таким образом, приравнивая коэффициенты тригонометрических многочленов слева и справа, получим
_ Ьт
ст
Я(т)
для каждого т € Б \ Кег^ и ст — произвольное число, если т € 5 П Кегд, что и доказывает утверждение теоремы. □
Вопрос о переходе от пространства То (5) к пространству М" требует дополнительного анализа, так как связан с арифметическими свойствами спектра дифференциального оператора @ (Ш1,''', ъХг^ на пР0СТРанстве Мот которых зависит сходимость тригонометрического ряда формального решения
^т, р 2ж% (т,х) | \ 1 п р 2ж% (т, х)
Еит 2жг (т,х) + V^
Q(m ) + ^
т ема \Кег Q т еКе гд
для произвольной функции
/(X) = Е ьтe2ni(т,х) е Mf.
т Е.Ме\Ке rq
5. О погрешности квадратурных формул на классе Мf для некоторых моноидов М
Пусть q > 3s и моноид M = Mq,i, состоящий из натуральных чисел сравнимых с 1 по
Mq,i = [m \ m = 1 (mod q)}. Рассмотрим квадратурную формулу с параллелепипедальной сеткой
на классе Mf:
1 1 q-1
& {¥}-- M) * = 0,1'...--1
f(x)dx = qr f (*0'{(f}'---'{5-r}) - Rq If (X)]' № е M 0 0 1 q J
a
q [ J (x)]' J (x) е Ms .
(15)
0 0 k=o
Если
f(x) = E C(mm)e2m(тх) = E __е2ш(т,х)
mi,...,ms, mi,...,ms,
m^eM, (v = 1,...,s) m^eM, (v = 1,...,s)
( mi... ms)a
то для погрешности приближенного интегрирования Rq[/(X)] справедливо равенство
с( т)
Rq [/(X)] = Е 7=-Sq (mi + a\m2 + ... + as-ims),
^ „ (mi... ms)a
т^ ,...,ms ,m = 0, mv eM, (v=1,...,a)
где символ Коробова 5q(m) задан равенствами
5q(m) = j
1, если m = 0 (mod q), Jq( m) Ч о, если m ф 0 (mod q).
Назовём набор коэффициентов ( a\,... ,as-i) допустимым по модулю q, если для любого набора 1 ^ щ < ... < щ ^ s — 1 при к = 1,... ,s — 1 выполнены соотношения
± aVl ± ... ± aVk ф 1 (mod q), ±aVl ± ... ± aVk ф 0 (mod q).
Теорема 3. Для любого допустимого набора (a\,..., as-\) по модулю q квадратурная, формула (15) тонна на классе М".
Доказательство. Действительно, так как т^ е М, то либо ти = ±1 (mod q), либо ти = 0. Обозначим набор 1 ^ щ < ... < щ ^ s — 1 при к = 1,... ,s — 1 таких значений г/, что ти+\ = ±1 (mod q), а для всех остальных и > 0 имеем ти+\ = 0.
Если т\ = 0, то из равенства öq(т\ +a\m2+.. .+as-\ms) = 1 следует, что ±aVl±.. .±aVk = 0 (mod q). Если т\ = ±1 (mod q), то ±aVl ± ... ± aUk = (mod q). Но оба сравнения невозможны, так как набор ( a\,..., as-\) допустимый. Следовательно, в сумме для погрешности приближенного интегрирования все слагаемые нулевые и теорема доказана. □
Доказанная теорема, а точнее метод её доказательства, позволяет получить утверждение для любой оптимальной параллелепипедальной сетки, для которой гиперболический параметр больше 1.
Пусть Л(a\,..., as-i; q) целочисленная решётка решений линейного сравнения: Л(a\,..., as-i; q) = {m е Zs| m + a\m2 + ... + as-\ms = 0 (mod q)} и q(^(a\,..., as-i; q)) — гиперболический параметр этой решётки, то есть q^( a\,... ,as-i;q)) = min jm[...ms.
m £.Л(а,1 ,...,as — i;q),m=0
( a , . . . , as- 1) q^(ai,.. .,as-\;q)) > 1 квадратурная, формула (15) тонна на классе М
Доказательство. Действительно, если q(Л(al,... ,а3-1^)) > 1, то ни один набор
(т1,..., т3) с ти € М, (и = 1,..., в) не будет принадлежать решётке л(й1, ..., а3-1; q), что и
□
6. Заключение
Из рассмотренных материалов видно.
Во-первых, с каждым моноидом M натуральных чисел связывается класс периодических функций Mf, который вложен в хорошо известный класс Ef.
Оказалось, что класс периодических функций Mf замкнут относительно интегральных операторов Фредгольма и на нем разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Во-вторых, для моноида М = Mq^ справедлив парадоксальный результат о точности квадратурной формулы с параллелепипедальной сеткой с допустимым набором коэффициентов для всего класса Mf.
Нетрудно видеть, что если через Mq,a обозначить класс вычетов т = a (mod q) при 2 ^ a ^ q — 1, то можно определить класс функций Mfa s следующим образом. Этот класс периодических функций состоит из функций f (х), которые задаются многомерным рядом Фурье вида
f(x) = Е С (т )е2т = Е (—С(т—^а е2т ^
rnv EMq,a, (v = 1,...,s) m^ EMq,a, (v=1,...,s)
где коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам
|с(т)| < ,11 1 v л (т...т)"
и
IIf(x)\\Ef = sup 1С(гт)1(Щ[...т)а = sup |с(гт)1 < ж. т^ем, (v=l,...,s) т-V еМ, (и=1,...,s)
Если амч а — абсцисса абсолютной сходимости дзета-функции
« Mq^= Е
т —_rv^ ' ± '
класса вычетов Мд,а, то для любого а > амЧ)Л ряд Фурье для функции ¡'(х) € М^а3 абсолютно и равномерно сходится для любого х € М3.
справедливыми и для класса М3,а,3. Так как функции /(X) из класса М3а3 имеют нулевое значение для нулевого коэффициента Фурье С(0), то отсюда следует, что
(г{?},-,{^» =», /(х»
при этих условиях.
В-третьих, вопрос о решении дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором ^ ^,..., в пространстве М3 зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский Н. \!.. Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. - С. 6-85.
2. Добровольский Н. \!.. Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. — Т. 4, вып. 3. — Тула, 1998. — С. 56-67.
3. Добровольский И. \!.. Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. — Т. 5, вып. 1. — Тула, 1999. — С. 100-113.
4. Добровольский И. И. Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. — С. 187-207.
5. Добровольский И. И. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79-105.
6. Добровольский И. И. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142-150.
7. Добровольский И. И., Добровольский М. И., Добровольский И. \!.. Балаба И. И., Реброва И. Ю. Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106-123.
8. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2018. - Т. 19, вып. 2. - С. 123-141.
9. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевский сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95-108.
10. Коробов Н. М. О приближенном решении интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. — Т. 128, № 2. - С. 235-238.
11. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. — М.: Физматгиз, 1963.
12. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. — 2-е изд. — М.: МНИМО. 2004. - 288 с.
13. Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными // Чебышевский сборник. 2009. — Т. 10, вып. 3. - С. 84-96.
14. Рябенький В. С. Об одном способе получения разностных схем и об использовании теоре-тикочисловых сеток для решения задачи Коши методом конечных разностей // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1961. — Т. 60. — С. 232-237.
15. Теоретико-числовой метод в приближённом анализе и его реализация в ПОИВС «ТМК»: Моногр.: В 2 ч. / Реброва И. Ю., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Балаба И. Н., Есаян А. Р., Ребров Е. Д., Басалов Ю. А., Басалова А. Н., Лямин М. И., Родионов А. В.; Под. ред. Н. М. Добровольского. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016. - Ч. II. - 161 с.
REFERENCES
1. S. S. Demidov, Е. A. Morozova, V. N. Chubarikov, I. Yu. Rebrov, I. N. Balaba, N. N. Do-brovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, L. P. Dobrovol'skava, A. V. Rodionov, O. A. Pikhtil'kova, 2018, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol 18, №4(64) pp. 6-85.
2. Dobrovol'skii, N. M. k, Manokhin, E.V. 1998, "Banach spaces of periodic functions", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56-67.
3. Dobrovol'skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. к Akkuratova, S.V.1999, "On some properties of normed spaces and algebras of nets", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 100-113.
4. Dobrovolskv N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization" , Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188-208.
5. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79-105.
6. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 142-150.
7. N. N. Dobrovol'skii, М. N. Dobrovol'skii, N. М. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018, "About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106-123.
8. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 123-141.
9. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95-108.
10. Korobov, N. M. 1959, "On approximate solution of integral equations", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 128, no. 2, pp. 235-238.
11. Korobov, N. M. 1963, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.
12. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia. — 288 c.
13. Rodionov, A. V., 2009, "On the method by V. S. Rvaben'kii — N. M. Korobov approximate solutions of partial differential equations" , Chebyshevskii sbornik, vol. 10, no. 3. — pp. 84-96.
14. Rvaben'kij, V.S. 1961, "On a method for obtaining difference schemes and on the use of number-theoretic grids for solving the Cauchv problem by the finite difference method", Trudy matematicheskogo instituta im. V. A. Steklova, vol. 60, pp. 232-237.
15. "Numerical-theoretical method in approximate analysis and its implementation in POIVS "TMK" " : Monogr.: In 2 h., 2016. / Rebrova I. Yu., Dobrovolskv N. M., Dobrovolskv N. N., Balaba I. N., Yesavan A. R., Rebrov E. D., Basalov Yu. A., Basalova A. N., Lvamin M. I., Rodionov A. V.; Pod. ed. Dobrovolskv N. M. — Tula: Publishing house of Tula, state PED. UN-TA im. L. N. Tolstoy, - Part II. - 161 p.
Получено 4.12.2018 г.
Принято в печать 10.04.2019 г.
