Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 1.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-148-163

Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел1

Н. Н. Добровольский

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула. e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Аннотация

В работе исследуется дзета-функция £(М(р1,р2)1а) моноида М(р1,р2), порожденного простыми числами р\ < р2 гада 3п + 2. Далее, выделяется основной моноид Мзд(Р1,Р2) С М(р\,р2) и основное множество А31(р1,р2) = М(р\,р2) \ М31(р1,р2). Для соответствующих дзета-функций найдены явные конечные формулы, задающие аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме счётного множества полюсов. Найдены обратные ряды для этих дзета-функций и функциональные уравнения.

В работе даны определения трём новым типам моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы: моноиды степеней, моноиды Эйлера по модулю q и единичные моноиды по модулю q. Указаны выражение их дзета-функций через эйлеровы произведения.

В работе рассмотрен эффект Дэвенпорта — Хейльбронна для дзета-функций моноидов натуральных чисел, связанный с появлением нулей у дзета-функций слагаемых, получающихся при разбиении на классы вычетов по модулю.

Для моноидов с экспоненциальной последовательностью простых чисел доказана гипотеза о заградительном ряде и показано, что областью голоморфности дзета-функции такого моноида является комплексная полуплоскость справа от мнимой оси.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

Н. Н. Добровольский. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Чебы-шевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 148-163.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710005^р^а.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 1.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-1-148-163

One model Zeta function of the monoid of natural numbers2

N. N. Dobrovol'skii

Dobrovol'sky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professorof the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University, Tula.

e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com

Abstract

The paper studies the Zeta function ((M(pi,p2)la) of the monoid M(pi,p2) generated by Prime numbers p\ < p2 of the form 3n + 2. Next,the main monoid M3,1(p1,p2) C M(pi,p2) and the main set A3,1 (pi,p2) = M(p\,p2)\M3i1(p1,p2)aredistinguished. For the corresponding Zeta functions, explicit finite formulas are found that give an analytic continuation on the entire complex plane except for the countable set of poles. Inverse series for these Zeta functions and functional equations are found.

The paper gives definitions of three new types of monoids of natural numbers with a unique decomposition into simple elements: monoids of degrees, Euler monoids modulo q and unit monoids modulo q. Provided the expression of the Zeta functions using the Euler product.

The paper discusses the effect Davenport — Heilbronn Zeta-functions of monoids of natural numbers that is associated with the appearance of zeros of the Zeta-functions of terms obtained by the classes of residues modulo.

For monoids with an exponential sequence of primes, the barrier series hypothesis is proved and it is shown that the holomorphic domain of the Zeta function of such a monoid is the complex half-plane to the right of the imaginary axis.

In conclusion, topical problems with zeta-functions of monoids of natural numbers that require further investigation are considered.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers, Euler product.

Bibliography: 16 titles. For citation:

N. N. Dobrovol'skii, 2019, "One model Zeta function of the monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 148-163.

2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710005_r_a.

Посвящается 70-летию академика Литовской АН, профессора, Аптапаса Лауринчикаса

1. Введение

Пусть р\ < р2 — два простых числа вида 3п + 2. Например, р\ = 2, р2 = 5. Через М(pi,p2) обозначаем, как обычно, моноид, порожденный простыми числами р\ т р2'-

М(рър2) = [п = р3| fh> 0}, С(М(рър2)\а)= ^ \ (а = а + it,a> 0).

пем (р!,р 2)

Ясно, что моноид М(pi,p2) с однозначным разложением на простые множители, и поэтому его дзета-функция выражается через конечное эйлерово произведение:

С(М(pi,p2)\a) = Р(М(pi,p2)\a) =(l - (1 - .

Рассмотрим моноид M3,i(p\,p2) С М(р\,р2), заданный равенством

M3,i(pi,p2) = [п = 3k + 1 = р{гр%2 \ Pi + fa = 0 (mod 2)}, который для краткости будем называть основным моноидом, и основное множество

A3,i(pi,p2) = м(Р1,Р2) \ M3,i(Pl,P2) = [п = 3k + 2= р3р3 \ fh + р2 = 1 (mod 2)}.

Для моноида M3ii(p\,p2) нетрудно описать Р(M3,i(р\,р2)) — множество простых элементов: Р(M3,i(pi,Р2)) = [Qi,Q2,Q3} и состоит из псевдопростых чисел

<Zi = Р2 <Q2 = Р1Р2 <Яз = рЬ

Обозначим через Р(M3,i(pi,p2)\a) эйлерово произведение:

р(Ma,i(pi,p2)\a)= п (i - -4) i=(1 - Y1 - -4) 71 - i.

Будем называть каноническим разложением элемента п из мультипликативного моноида M3,i(pi,p2) натуральных чисел иредставление вида п = q3q32q33. Через k(n) будем обозначать количество различных канонических представлений числа п, тогда эйлерово произведение Р(M3,ii(pi,p2)\ot) будет раскладываться в следующий ряд Дирихле

Р (M3A(pi,p2 )\а)= £ ^.

—' п"

neM3,i(pi,p2)

Так как в моноиде M3,i(pi, р2) нет однозначности разложения на простые элементы, действительно, qiq3 = то ((M3,i(pi,p2)\a) = Р(M3,i(pi,p2)\a).

Интересно, что моноид М(qi,q2) имеет однозначное разложение на множители, так как

31 32 2З1+З2 32 тг

ч2 = Pi Р2 ! чт0 доказывает однозначность разложения на простые элементы. Поэтому

с (М (qi,q2)\a)= £ ^ = £ =U - Л - 71 - -L) " = Р (М (д^Ш

пем(qi,q2) 3i,32=0 [Qi Ъ ) 4 ^ 7 4 2 7

И вообще, справедливо равенство ((М(qv,q^)\a) = Р(М(qv,q^)\a) 1 ^ v < ^ ^ 3.

Цель данной работы — найти обратный ряд Дирихле для дзета-функции ((M3,i(fji,p2)\a) и аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость. Кроме этого, в работе будет доказана гипотеза о заградительном ряде для дзета-функции моноида с экспоненциальной последовательностью простых чисел.

2. Вес, порядок и радиус в точке

Рассмотрим функцию / (а;) от комплексного аргумента в окрестности точки од и её разложение в ряд Лорана:

оо

f (а) = ^2 cv (а - «оГ, сп = 0.

Назовём порядком и вехом в точке ао величины п и сп, соответственно. Эти два функционала будем обозначать следующим образом:

ord«0 f (а) = п, Wei f (а) = сп.

а о

Нетрудно видеть, что если п > 0, то порядок функции f (а) в точке ао равен порядку нуля в этой точке. Если порядок нулевой, то вес в точке ао равен значению функции в этой точке. Наконец, если порядок отрицательный, то он со знаком минус равен порядку полюса в точке ао-

Лемма 1. Функционал порядка аддитивен:

ord«0 f (a)g(a) = ord«0 f (a) + ord«0 g(a).

Функционал веса мультипликативен:

Wei f (a)g(a) = Wei f (a) ■ Wei g(a).

од одо а о

Доказательство. Действительно, пусть функции f (а) и g(a) раскладываются в ряды Лорана:

оо оо

f (а) = ^2 cv(a - «оГ, сп = о, g(a) = ^ d^(a - ао)м, dm = 0,

v=п

тогда

те /и—п \

=п+т \^=т /

f (а)д(а) = V ( \ ] ) (а - ао)", cndm = 0.

Отсюда следует, что

ordao f (а)д(а) = п + т = ord«0 f (a) + ord«0 g(a), Wei f (a)g(a) = cndm = Wei f (a) ■ Wei g(a).

од од од

□

Обозначим через radao f (а) радиус сходимости ряда Лорана для функции f (а) в точке ао- Таким образом, если порядок функции f (а) в точке ао неотрицательный, то radao f (а) — радиус сходимости соответствующего степенного ряда в точке ао, а если он отрицательный, то ряд Лорана сходится при 0 < |а - ао| < radao f (а) и расходится при |а - ао| > radao f (а).

Из леммы 1 вытекают следствия. Следствие 1. Справедливы равенства

ordao = - ord^ f (а), Wei —Ц = 1 .

f (а) од f (а) Weiao f (а)

Доказательство. Действительно, если положить в лемме 1 д(а) = ущ и воспользоваться очевидными равенствами ordao 1 = 0 Weiao 1 = 1, то утверждение следствия следует из □

Следствие 2. Если ord«0 f (а) + ord«0 д(а) = 0; то

f (ао)д(ао) = Wei f (а) ■ Wei д(а).

од од

Доказательство. Действительно, если порядки функций f (а) и д(а) в точке ао нулевые, то их значения в этой точке равны весам и утверждение леммы справедливо. Если один порядок положительный, то это порядок нуля, а вторая функция имеет полюс в этой точке того же порядка. Поэтому в произведении он гасится нулём, а произведение весов будет значением произведения в точке. □

3. Обращение дзета-функции для основного моноида

Обращение дзета-функций для основного моноида будем осуществлять по схеме из работы

[7].

Рассмотрим дзета-функцию ((M3,i(pi,p2)\a), заданную равенством

с(M3,i(Pi,P2)\a) = ^ -1 (а = а + it, а > аМз, 1(Р1,Р2)), (1)

пеМз1(р1,р2)

где ам31(р1,р2) ^ 1 ~ абсцисса абсолютной сходи мости дзета- ряда, и через (* (M3,i(pi,p2)\a) обозначается обратный ряд, то есть (*(M3,i(pi,p2)\a) = (-i(M3,i(pi,p2)\a).

Лемма 2. Для произвольного числа п = р^1 р^2 £ M3,i(pi,p2) и числа к(п) канонических представлений п = q^1 q2,2q3,3 справедливо равенство

I min(^^2)+i, npuf3i = ¡32 = 1 (mod 2), = j шН^Н2, при ^ = р2 = 0 (mod 2).

Доказательство. Действительно, так как п = р^1 р^2 £ M3}i(pi,p2), то

ft + fa = 0 (mod 2).

Рассмотрим два случая.

Пусть = р2 = 1 (mod 2) тогда л2 = 1+а, = 2ai+1+а, @2 = 2лз+1+л. Следовательно, л = 2а', 0 < л' < ^^М-1 и k(n) = min(^12f2)+i.

Пусть fa = р2 = 0 (mod 2) тогда \2 = 2 а, ft = 2ai + 2а, ft = 2л3 + 2а. Следовательно, 0 ^ л < min(^2) и k(n) = min(^^2)+\ □

Ряд Дирихле для произведения Эйлера

min(P1,^2) 2

+1

р(Мз,1(Р1,Р2)\а) = £ ( ^ р2\»

^1+^2=0 (mod 2) (Pi Р2 )

абсолютно сходится при а > 0 и является мажорирующим рядом для вещественных а > 0 дзета-ряду ((M3tl(pi,p2)\a). Поэтому абсцисса абсолютной сходимости дзета-ряда С(M3i(pi,p2)\a) будет аМз 1(Р1 ,Р2) = 0. По теореме Ландау (см. [13], стр. 156) в точке а = = ам31(р1,р2) = 0 будет особая точка дзета-функции ((M3>l(pi,p2)\а), хотя это и так очевидно в силу бесконечности моноида M^ti(pi,p2).

Лемма 3. При а > 0 справедливо представление

= {1 + ц) i1 - «?) (1 - и) .

Доказательство. Действительно,

<(Ms,i(p ь Р2)\а)= £ ^ = £

neM3,i(pi,P2) 31+32 =0 (mod 2)

Ж 1 Ж 1

( 2 3 2 Яп \? +

(23i 232\at—> (г>233 i+i 232+iY 3i,32=0 [Pi P2 ) 3i ,32=0 [Pi P2 )

= + ) (£tHY?) (E

{p23iY) \i=> {рГ2)

^ + (PH2)a) i1 - p!?) (1 - 71?) =(1 + $?) i1 - 9?) (1 - 9?)

□

Лемма 4. Лрм ст > 0 справедливо представление

«^ь^Чh+i1 -p) \1 "

^^lu -^i (1 - 4'

1 мл ^- i ^ 1

p? p?)

i1 9?) (1 9?)

Доказательство. Действительно,

((Aa,i(p 1, P2)\a)= ^ = ^ 1

n? ^ (J3iJ32\'

■пеАз,1(р1,Р2) 3i+32 = i (mod 2) [Pi P2 J

ж 1 ж 1

( 2 3 +1 2 во \? +

□

31,32=0 Kp23i+ip2^32)a ,62=0 (pf1 pf^J

= (^ + Щ) ^ (E Щ

= (fl +n) С - (1 - Яр) = (P'? + P?) i1 - 9?) (1 - 9?) .

Лемма 5. Лрм ст > 0 справедливо представление

С (M3i(P-P2 № = + Уi i1 - W) i1 - W) = = f1 + 1 Vi(1--\ (i-~\ =i--+vtDl-vv^

V 9?; V 9? А 9? У 92? ¿2 92? ^^ 9?9г? ^з?922?'

1

Доказательство. Действительно, из леммы 3 следует, что

'1-4 ^ и-

=(1+яГ I1 - £ )(1 - и )■

Далее имеем:

Поэтому

(1 + = Е , ^ = V к=0

—, Ч1Ч3 — ч2

0.2

о^ ( 1 \ к оо /■ -1 \ к оо / "1 \ к оо / "1 \ к

с *(Мзд(^,Р2)|«)— Е т - Е з - Е + Е н-ща —

к=0 ^2 к=0 к=0 д3 42 к=0 Ч2 '

^ (-1)к 2 ^ (-1)к ^ (-1)к

па + / „ка / „а „ка / ^а^ка '

Ь к=2 ^ к=0 ^ ^ к=0 д3 Ч2

□

Обозначим через £(М(р1,р2), M3,1(p1,p2)|a) отношение двух дзета-функций:

С (М ^1,Р2),Мз,1^1,р2)|а) — С (М (р1,Р2>|а)С "ч^срЬ^О)

Обозначим коэффициенты соответствующего ряда Дирихле через у(п):

с(М(Р1,Р2),М3,1(Р1 ^^а) — 1 + V ^, у(1) — 1. (2)

п=2

Теорема 1. При а > 0 справедливо равенство

С (М (РЬР2), 1 (^1, Р2) |— (1 + 1 )(1 + щ )(1 + )"'— £ ^

где

{(—1)к, при п — р1(р1р2)к,к ^ 0, (-1)к, при п — Р2('Р1'Р2)к,к ^ 0, 0,

Доказательство. Действительно, из леммы 5 следует, что

«м(,„»),*„(„,(1 - ^)"'(1 - ^)"'(1 + )(1 - £) (1 - £) —

— / П/ 1 у1 — ^ (-1)к ^ (-1)к ^ (-1)к

— V + ра)\ + ра)\ + (Р1Р2)а) — к=0 (Р1Р2)ка + к=0 ра(Р1Р2)ка + к= ра(Р1Р2)ка+

к о к о к

+^ (-1)к —1 + V (-1)к + ^ (-1)

к=0 (Р 1Р2)(к+1)а 1Р2)ка к=0Ра(Р 1Р2)ка'

□

4. Аналитическое продолжение и функциональное уравнение

Хорошо известна производящая функция для чисел Бернулли (см. [3], стр. 254-257):

ж „ X вп п

ех — 1 ' п1

п=0

X

из которой несложно получить следующее разложение мероморфной функции еХ_х в ряд Лорана

1 1 ^ Вп+1 п

ех — 1 х ^ (п + 1)1"

п=0

который абсолютно сходится при 0 < 1х1 < 2и, и имеет полюс первого порядка при х = 0 с вычетом равным 1. Кроме того, так как ех = ех+2 кт для любого целого к, то в каждой точке х = 2кпг для любого целого к имеется полюс первого порядка с вычетом равным 1 и разложение в ряд Лорана

1 1 : + у (х — 2Ш)",

ех — 1 х — 2кпг п + 1)1

п=0 4 '

который абсолютно сходится при 0 < 1х — 2кжг | < 2тт.

Подставляя х = —а 1пр, получим, что дзета-функция геометрической прогрессии М(р) является мероморфной функцией на всей комплексной а-плоскости с рядом Лорана

С(М(р)1а) = (1 — —1 = -1--У (—а 1пр)п = -^ + 1 — У ***(—а 1пр)п,

^ ! V Ра) а 1пр (п + 1)1 а 1пр 2 ^ (п + 1)Р 1> '

который абсолютно сходится при 0 < |а| < ^Пр, и имеет полюс первого порядка при а = 0 с вычетом равным уПр.

х = а 1п

1 1 У в 11 У в

С(М(р)1а)=1 + = 1 + У , (а 1пр)п = + 1 + У + (а 1пр)п.

41 ' ра — 1 а 1пр ¿-^(п + 1)Г а 1пр 2 (п + 1)Г 1>

п=0 у ' п=1 4 '

Эти два ряда Лорана совпадают, так как все нечетные числа Бернулли начиная с третьего номера равны нулю, и поэтому

а М (?ы = а1-Р + 2 + Е (т (а ^1

1 ,1 , ^ В2п+2

п=0

1пт 7? ^ ттг ттг Г~Г т-г ТТА гг/^ /--> -г-\ -г г- «л ^тг т-г гт тт тг/ч у-"\( - 2 п

Кроме того, так как ра = р 1п? для любого целого к, то в каждой точке а = -щр^ для любого целого к имеется полюс первого порядка с вычетом равным ^ и разложение в ряд Лорана

«Мры _- +1 + V 2(1пр)™1 (а — ^Л

' 1пр(а — Щ;.) 2 (2п + 2) V 1пр )

2п+1

а _

а 1п р1

< _2; < 1п р-

Конечное эйлерово произведение:

р(М1,P2)|a) — (1 - " (1 - -1)

п ~ЧЛ 1\1 1

1 — -Т + --- +

Ра - 1 ра - 1 (ра - 1)(ра - 1)

является мероморфной функцией на всей комплексной а-плоскости кроме точки а — 0, в которой у неё полюс второго порядка, и точек а — Щр^г, а — Цр^г, к — 0, в которых полюса первого порядка.

Так как при 0 < |а| < у2^ °ба ряда Лорана

(1 - —+ ^ + У 7^п±\-(а\ири)п и — 1, 2 V Р1^) а 1пр- 2 (п + 1)-

абсолютно сходятся, то перемножая их, находим

Р(М(р\,р2)\а) ^ ^а^ ^1 ^а^ а2 1п^1пр2 + 2 + 1пр2) а +

+ 1пР2 ^ Вп±1 ( . )п_1 + 1п Р1 ^ Вп±1 ( . )Г1_ 1 +

п=1 п=1

1 о В о (п~1 В В \

+ 2 £ (^ (('п^ + ('п»Л + £ £ (^('п^ »ГМ ^

п—1 п—2 \к—1 /

Отсюда следует что для вычета в точке а — 0 справедливо равенство

Ее8„р(Ми, 1, +'ПЙ) ■

Так как логарифмы двух простых чисел линейно независимы, то

-1

<(» о-) 1&) — (1 - 1 '

Ри Р»

определено и отлично от 0 при V — у, к — 0. Таким образом, дзета-функция ((М(р\)|о;) имеет в точке а — ШрГ^ П0РЯД0К -1 с весом уП^ ' а дзета-функция ((М(р2)|а) порядок 0 с

/ V1"Р1 П Р1

весом 1--• Поэтому по лемме 1 их произведение в этой точке имеет порядок -1

1п Р1 '

Р2 1 J

1

с весом 1--• Аналогичное утверждение справедливо для точек а — с

1 р: \ Р^Т1 / * 1Р2

к — 0. Поэтому для вычета дзета-функции ((М(pl,p2)|a) в точке а — Црт^ ^ — 0,^ — 1, 2 справедливо равенство

((М(pl,p2)|a) —-П— I1--| , у — 2 -

1пР" 1п Р- у рТП

2

В работе [9] доказано функциональное уравнение для дзета-функции ((М(р 1,p2)|a), которое имеет вид

/ЧЛ Л! м N ((M(pl,p2)|a) ам (р1, P2)|-a)— (р1Р2)а ■

1

Из леммы 3 следует, что дзета-функция С(Мз,1(р 1, Р2)1а) — мероморфная функция на всей комплексной а-илоскости кроме точки а = 0, где у неё полюс второго порядка, и точек а = к = 0, V = 1, 3, где полюса первого порядка.

Также из леммы 3 несложно найти функциональное уравнение

«М» („ 1, „2 )1-а) = ^ (МЫ^а) = ((Мз^а>.

Из леммы 4 мы находим функциональное уравнение для дзета-функции основного множества:

л/ , / м л ((Аз,1(р 1,Р2)1а)

аАалр1, Р2)1-а)= {рт)а .

Из теоремы 1 находим очень простое функциональное уравнение для дзета-функции ((М(р 1,Р2),М%,1 (р 1,р2)1а), из которого следует четность этой дзета-функции:

((М (р 1,р2),М3,1(р1, р2)1 - а) = ((М (р1,р2 ),М3,1(р1,р2)1а).

5. Моноиды степеней, Эйлера и единичные моноиды по модулю

Наиболее простым по своей структуре можно считать моноид Мк — моноид к-х степеней:

Мк = \пк \п е м} .

Это моноид с однозначным разложением на простые элементы и множество простых элементов Р(Мк) состоит из псевдопростых чисел:

Р(Мк) = [рк I р е Р}.

Поэтому для дзета-функции ((Мк |а) справедливы равенства

Ж 1 , 1 ч-1 1

с(Мк И = £^ = р (Мк ^МПД1 - ) =<(ка), а = а + г ^ .

Пусть ц — натуральное число больше 2. Для любого натурального числа п с каноническим разложением п = р\ ... рк", где простые Р1 < ... < рк, его эйлеровой компонентой по модулю ц назовем число Ея(п), а единичным делителем по модулю ц — число ия(и), заданные равенствами

Eq(п) = П , Uq(п) = П ^

pv = l (mod q), (pv,q) = l pv = 1 (mod q)

Через п** будем обозначать мультипликативное дополнение эйлеровой компоненты до числа п: n*q = е пп) > а чеР63 п*** — мультипликативное дополнение произведения эйлеровой компоненты на единичный делитель до числа п: п*** = е (п)и (п) • Очевидно, что выполняются сравнения

Eq(п) = Uq(п) = 1 (mod q), п = п** = п** (mod q).

Eq

Eq = I п1(()

п = ГГ , 1 (mod q), (р, q) = 1

р\п

Назовём единичным, моноидом по модулю д множество ия, заданное равенством

Uq ={п

п = р^р, р = 1 (mod q)

р\п

Моноиды Eq и Uq имеют однозначное разложение на простые элементы. Для единичного моноида по модулю q множество простых элементов Р(Uq) состоит из простых чисел:

Р(Uq) = [р\р = 1 (mod q)}.

Это бесконечное множество простых чисел согласно теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Поэтому

С( Uq\а)=Р (Uq И= П (1 - а = ° + 11, а> 1.

p=i (mod q)

Для моноида Эйлера по модулю q множество простых элементов Р(Eq) состоит из псевдопростых чисел:

Р (Eq) = {p^(q) \ рф 1 (mod q), (р, q) = 1}.

Это бесконечное множество псевдопростых чисел согласно теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Поэтому

((Eq \а) = Р (Eq\а)= П f1 - Я^) i « = * + ^ .

p=i (modq), (р,q) = iK Р У

6. Эффект Дэвенпорта — Хейльбронна

В знаменитой работе Г. Дэвенпорта и Г. Хейльброна [16] было установлено, что дзета-функция Гурвица ((s, а) для рациональных а, 0 < а < 1, а = \ имеет бесконечно много нулей в полуплоскости абсолютной сходимости определяющего ряда Дирихле. Отсюда сразу следует, что если а = | — несократимая дробь и q > 2, то дзета-функция класса вычетов по

те 1

((Р, Ф0 = ^ ^q + р)а а = а + it, а > 1

имеет бесконечно много нулей в полуплоскости абсолютной сходимости дзета-ряда.

Таким образом, суть эффекта Дэвенпорта — Хейльбронна состоит в том, что дзета-

функция Римана разбивается на сумму слагаемых

((а) = , q\a),

=1

часть из которых имеет нули справа от абсциссы абсолютной сходимости а = 1, а дзета-функция Римана в этой области не имеет нулей.

Как следует из конечного представления дзета-функции ((М (р 1, Р2 )\а) моноид а М (р 1, Р2) натуральных чисел в виде эйлерова произведения

1 \-1 Л 1 4-1

С(М(Р1,Й)\«) = (1- ' (1- ' ,

она не имеет нулей во всей комплексной а-плоскости. Согласно определению справедливо равенство

С(М (р 1, р2)\а) = ((M3,i(p 1, Р2)\а) + ((A3,i(p 1, Р2)\а).

Теорема 2. Дзета-функция ((М3,1 (р\,р2)1а) обращается в ноль в точках а = к

Дзета-функция С(А3,1(р1,р2)1а) обращается в ноль в точках а = Ь г$е к

целое число.

Доказательство. Действительно, согласно лемме 3 имеем:

«ладный = (1 + ) (1 - £ у1 (1 - £)"1.

а

первый сомножитель обращается в ноль в точках а = щ+рк) Ь гДе к — любое целое число. Так как эти нули не совпадают с полюсами второго и третьего сомножителей, то они остаются и нулями дзета-функции ((Мз,1(р1,р2)|а). Согласно лемме 4 имеем:

(£ + ±)(1 - £) ' (1 ) 1.

а

первый сомножитель обращается в ноль в точках а = ^Рь+Ыр! ^ гДе к — любое целое число. Так как эти нули не совпадают с полюсами второго и третьего сомножителей, то они остаются и нулями дзета-функции ((Аз,11(р1,р2)1а). □

Из доказанной теоремы следует, что эффект Дэвенпорта — Хейльбронна имеет место и в этом случае, но его характер несколько изменился, так как нули слагаемых, выделяемых классами вычетов по модулю 3, появляются на абсциссе абсолютной сходимости дзета-функции основного моноида.

Другая ситуация возникает в случае моноида Эйлера Ея по модулю див случае единичного моноида ид по модулю д. Дело в том, что все элементы этих моноидов принадлежат

моноидов исключает наличие нулей в области абсолютной сходимости.

к

отдельного рассмотрения, так как здесь возможны разные постановки вопросов.

Ч1+2к)„. Ы(Р1Р2) !

— любое

7. Область голоморфности дзета-функции моноида с экспоненциальной последовательностью простых

Р Е

М( Р Е)

С(М(РЕ)1а)= £ ^ = Р(М(РЕ)1а)= П (1 - , а = а + гI, а> 0.

пем(ре) реРЕ ^ ^ '

В работе [9] была высказана гипотеза, что дзета-функцию ((М(РЕ)1а) нельзя продолжить в левую полуплоскость а ^ 0. Другими словами, её область голоморфности совпадает с правой полуплоскостью а > 0.

Лемма 6. Пусть а0 = а0 + г— произвольная точка в правой полуплоскости а0 > 0; тогда порядок огёао ((М(РЕ)1а) = 0 и радиус в этой точке гаёао ((М(РЕ)1а) = а0.

Доказательство. Из наличия эйлерова произведения следует, что справедливо равенство

С(М(РЕ)|а) = П С(М(Р)|а), а = а + й, а> 0.

pepe

Очевидно, что для любого р Е РЕ справедливы равенства

ord«0 С(м(р)|а) = 0, WeiC(M(р)|а) = ((М(р)Ы, rad«0 ((М(р)|а) = J<J% + т$,

ап V

го - ыр

задает расстояние до ближайшего полюса jkkp'i дзета-функции

где Тр — шшкеж

ам Шо).

Нетрудно видеть, что круг К(0:0,00) — {а | ^ - < °о} является пересечением всех

кругов К (^а0, ^+ ТР^ — {а l ^ - °0| < + тр } когда р пробегает всё множество РЕ:

К(ао,ао)= Q К + тр^ .

pepe

Как известно (см. [4], стр. 59), на окружности круга сходимости всегда есть по меньшей мере одна особая точка. Так как все точки окружности круга К(ао, сто) кроме точки касания с мнимой осью принадлежат области абсолютной сходимости дзета-ряда С,(М(РЕ)|а), то особой точкой является точка касания а = г to- Лемма полностью до казана. □

Теорема 3. Областью голоморфности дзета-функции ((М(РЕ)|а) является а-полу-плоскость а > 0.

Доказательство. Из доказательства предыдущей леммы следует, что все точки мнимой оси являются особыми точками дзета-функции ((М( РЕ)|а). Отсюда следует, что мнимая ось целиком является особой линией для дзета-функции £(М(РЕ)|а). А это означает, что областью голоморфности дзета-функции £(М(РЕ)|а) является а-полуплоскость а > 0. □

Доказанную теорему можно перенести на другой класс моноидов натуральных чисел. Пусть Q — натуральное число и моноид М = М(РЕ) для произвольной экспоненциальной последовательности простых чисел РЕ Определим моноид М-д как множество натуральных чисел, не делящихся на простые р из Р(М) и больших Q. Если определить моноид М+q как множество натуральных чисел, имеющих в своём каноническом разложении только простые числа р Е Р(М), которые больше Q, то N = M-Q ■ М+q и ((а) = ((M-Q|а)((M+Q|а). Последнее равенство верно при а > 0.

Лемма 7. Пусть а0 = а0 + гt0 — произвольная точка в правой полуплоскости а0 > 0; тогда порядок orda0 ((М+qIcx) = 0 и радиус в этой точке rada0 ((М+qIcx) = а0.

Доказательство. Дословно повторяя доказательство леммы 6, получим доказываемое

утверждение, так как удаление конечного числа простых из экспоненциальной последователь-

□

Теорема 4. Областью голоморфности дзета-функции ((М+ q^) является а-полуплос-а > 0

Доказательство. Утверждение следует из предыдущей теоремы, так как для любой

экспоненциальной последовательности простых РЕ моноид М+q задается той-же последова-

□

Теорема 5. Областью голоморфности дзета-функции ((М^1а) является а-полуплос-а > 0

Доказательство. Из равенства

((а)

((М- д1а) =

<(М+а1а)

следует, что дзета-функция ((М_д1а) — аналитическая функция в а-иолуплоскости а > 0, а = 1

была шире чем данная полуплоскость, то из равенства

<(М+д1а)= С(а)

((Мя |а) □

8. Заключение

Достаточно простые соображения из первого раздела позволили нам доказать гипотезу о заградительном ряде для дзета-функции моноида с экспоненциальной последовательностью простых.

Рассмотрение модельной дзета-функции основного моноида и основного множества позволяют по-новому рассматривать вопрос о поведении соответствующих рядов Дирихле.

В работе [8] было дано определение специальных видов последовательностей простых чисел. Будем говорить, что бесконечная последовательность Р1 простых чисел

Р1 < Р2 < ... < Рп < ...

является ао-последовательностью третьего рода, если дзета-функция (^(Рх |а) имеет абсциссу абсолютной сходимости ар1 = а0.

ао

а0 го отрезка [0; 1].

Из доказательства последней теоремы следует, что для любой О-последовательности третьего рода Р1 областью голоморфности дзета-функции ((М(Р1)|а) является полуплоскость а > 0. Возникает вопрос об области голоморфности дзета-функции ((М(Р1)|а) для произ-

Р1

а > 0 а = 1

быть областью голоморфности и для 1-последовательности простых чисел. Действительно, пусть Р1 — произвольная О-последовательность простых чисел, тогда Р2 = Р \ Р1 будет 1-последовательностью простых чисел. Очевидно, что

-1/л^то м„л <(а)

С(М (Р2 )1а) = С(М (Р)|а) С-1(М (Р1)|а) =

<(М (Р^а)"

Отсюда следует утверждение об области голоморфности.

В заключении автор выражает свою признательность профессорам В. И. Иванову и В. И. Чубарикову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бомбьери Э., Гош А. Вокруг функции Дэвенпорта-Хейльбронна // У\!11. 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15-66.

2. Воронин С. \!.. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

3. Гельфоид А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. — 376 с.

4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

5. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. И., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский И. Н., Добровольский И. \!.. Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. - С. 6-85.

6. Добровольский Н. И. Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. — С. 188-208.

7. Добровольский Н. И. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79-105.

8. Добровольский Н. И. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142-150.

9. Добровольский Н. И., Добровольский М. Н., Добровольский И. \!.. Балаба И. И., Реброва И. Ю. Гипотеза о "заградительном ряде" для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106-123.

10. Добровольский И. Н., Калинина А. О., Добровольский М. И., Добровольский Н. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2018. - Т. 19, вып. 2. - С. 123-141.

11. Добровольский И. Н., Калинина А. О., Добровольский М. И., Добровольский Н. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевский сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95-108.

12. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.

13. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.

14. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. - Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.

15. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 576 с.

16. Davenport Н., Heilbronn Н. On the zeros of certain Dirichlet series //J. London Math. Soc. 1936. - Vol. 11. - P. 181-185.

REFERENCES

1. Bombieria E., Ghoshb A., 2011, "Around the Davenport-Heilbronn function", Uspekhi Mat. Nauk, 66:2(398) pp. 15-66.

2. Voronin S. M., Karacuba A. A., 1994, Dzeta-funkcija Rimana, Izd-vo Fiz-matlit, Moskva, 376 p.

3. Gel'fond A. O., 1967, Calculus of finite differences, Izd-vo Nauka, Moskva, 376 p.

4. Gurvic A., Kurant R., 1968, Teorija funkcij, Izd-vo Nauka, Moskva, 618 p.

5. S. S. Demidov, E. A. Morozova, V. N. Chubarikov, I. Yu. Rebrov, I. N. Balaba, N. N. Do-brovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, L. P. Dobrovol'skava, A. V. Rodionov, O. A. Pikhtil'kova, 2018, "Number-theoretic method in approximate analysis" Chebyshevskii Sbornik vol 18, №4(64) pp. 6-85.

6. Dobrovolskv N. N., 2017, "The zeta-function is the monoid of natural numbers with unique factorization", Chebyshevskii Sbornik, vol 18, № 4 pp. 188-208.

7. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "On monoids of natural numbers with unique factorization into prime elements" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 79-105.

8. N. N. Dobrovol'skii, 2018, "The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 142-150.

9. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, I. N. Balaba, I. Yu. Rebrova, 2018, "About «zagrobelna the series» for the zeta function of monoids with exponential sequence of simple" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 106-123.

10. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the number of prime elements in certain monoids of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 123-141.

11. N. N. Dobrovol'skii, A. O. Kalinina, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii 2018, "On the monoid of quadratic residues" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 95-108.

12. Titchmarsh E. K., 1952, Teorija dzeta-funkcii Rimana Izd-vo I-L, Moskva, 407 p.

13. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.

14. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of L-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, — 204 p.

15. Shabat B. V., 1969, Introduction to complex analysis— M.: Science, — 576 p.

16. Davenport H., Heilbronn H., 1936, "On the zeros of certain Dirichlet series" , J. London Math. Soc. Vol. 11. pp. 181-185.

Получено 4.12.2018 г. Принято в печать 10.04.2019 г.