CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 5.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-365-373
Об обобщённых неравномерных сетках Коробова1
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульскй государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Аннотация
В работе рассмотрены обобщённые неравномерные сетки Коробова. Рассмотрены три новых конструкции: произведение неравномерных сеток по взаимно простым модулям; модифицированные неравномерные сетки; произведение неравномерной сетки и параллелепипедальной сетки по взаимнопростому модулю.
Установлен парадоксальный результат о величине математического ожидания погрешности приближенного интегрирования по модифицированным неравномерным сеткам.
Показано, что алгоритм приближенного интегрирования с помощью произведения неравномерной сетки и параллелепипедальной сетки по взаимнопростому модулю является ненасыщаемым с порядком
Ключевые слова: гиперболическая дзета-функция сетки, неравномерные сетки Коробова, гиперболическая дзета-функция решётки.
Библиография: 4 названия. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Об обобщённых неравномерных сетках Коробова // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22, вып. 5, С. 365-373.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004^р^а.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 5.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-365-373
On generalized non-uniform Korobov grids2
N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University; Tula State University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Abstract
Generalized non-uniform Korobov grids are considered in the paper.
Three new constructions are considered: the product of non-uniform grids by mutually simple modules; modified non-uniform grids; the product of an uneven grid and a parallelepipedal grid by a mutually simple module.
A paradoxical result is established about the value of the mathematical expectation of the error of approximate integration over modified non-uniform grids.
It is shown that the algorithm of approximate integration using the product of an uneven grid and a parallelepipedal grid in a mutually simple module is unsaturated with the order f.
Keywords: hyperbolic zeta function of the grid, uneven Korobov grids, hyperbolic zeta function of the lattice.
Bibliography: 4 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "On generalized non-uniform Korobov grids" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 365-373.
1. Введение
В 1956 — 1960 годах при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Ef (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье, состоящий из функций f(х\,... ,xs), имеющих по каждой из переменных х\,... ,xs период, равный единице, и для которых их ряды Фурье
те
f (xx ,...,XS)= ^ С (mi,...,ms)e27Ti(miXl+-+msXs) (1)
удовлетворяют условиям
с
|с(™i--"s)K (=—^. Р)
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.
где константа С не зависит от т\,..., т3, и для веществе иных т полагаем т = тах(1, |ш|). Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, а поэтому для любого (а > 1) они представляют непрерывные функции.
Рассмотрение классов периодических функций в теоретико-числовом методе в приближенном анализе не является случайным. Дело в том, что особая роль теории чисел в вопросах интегрирования периодических функций была выявлена ещё сто лет тому назад в знаменитой работе Г. Вейля, с которой начинается теория равномерного распределения по модулю 1, и в которой получил общее развитие метод тригонометрических сумм, возникший в работах К. Ф. Гаусса ещё в 1811 г.. Фактически интегральный критерий Г. Вейля, доказанный сто лет тому назад, является предшественником теоретико-числового метода Н. М. Коробова в приближенном анализе, который начал создаваться на семинаре трёх К в 1956 году через 40 лет после работы Г. Вейля.
Позднее Н. Н. Чепцов, один из трёх руководителей семинара трёх К, предложил метод периодизации задач численного интегрирования, который позволил расширить класс функций, для которых можно применять методы теории чисел. С этими методами можно ознакомиться по монографиям [3], [4] и работе [2].
Введение неравномерных сеток для построения многомерных квадратурных формул позволило с помощью оценок полных рациональных тригонометрических сумм получить гарантированную оценку погрешности приближенного интегрирования, аналогичную оценке для метода Монте-Карло.
2. Определения и основные свойства
Классические неравномерные сетки М (Р) Коробова, координаты точек которых выражаются через степенные функции по модулю Р:
где Р = р ми Р = р2 и р — нечетное простое число, имеют для нормированной тригонометрической суммы соотношение
Поведение рациональных тригонометрических сумм достаточно сложное, поэтому мы не можем дать исчерпывающее описание разбиения Коробова для неравномерных сеток. Можно утверждать только следующее: К4 = 0, К\ = РZs, при Р > (в — 1)2 имеем К0[] К3 Э \ Если Р = р, то К2 = 0. Если Р = р2, то К2 С рЪв \ PZS.
Из вида неравномерных сеток вытекает одно обобщение их, связанное с рассмотрением произвольного Р. Такое обобщение приводит к необходимости использовать для оценок погрешности общие рациональные тригонометрические сумм, которые имеют другой вид оценок чем сумм по простому модулю, или по квадрату простого.
Другое обобщение неравномерных сеток возникает из использования конструкции произведения сеток.
Пусть р — нечетное простое число, тогда рассмотрим сетку М2(р) = М(р)-М(р). Очевидно, что 1М2(р)1 ^ р2. Сетка М2(р) имеет вид
(3)
при (т\,..., т3,р) = 1, при (т\,..., т3,р) = р.
(4)
Для нормированных тригонометрических сумм сетки М2(р) имеем:
(8 - I)2
2(р)(™ )
(Р)(т)
^ < р
при (т1,..., т3,р) = 1, при (т1,..., т3,р) = р.
(6)
Отсюда следует, что если N = | М2 (р) |, то погрешность приближенного интегрирования с помощью обобщенных неравномерных сеток М2(р) имеет О ^аналогичную оценки погрешности неравномерных сеток Коробова.
Ещё один класс неравномерных сеток получается, если брать произведение неравномерных сеток по разным модулям. Пусть р1,...,рк — различные нечетные простые числа, тогда рассмотрим сетку
М3(р) = М3(р1,..., рк ) = М (р\) ■ ... ■ М (рк). Очевидно, что N = 1М3(р1,... ,рк)| = р1 ■ ... ■ рк. Сетка М3(р1,..., рк) имеет
М*(р 1,...,Рк)Ч иЕ%
к х2
к х3
хз
1=1 ъ (,...,Ш*
0 ^pj — 1 3 = 1, 2,...,к
(7)
Для нормированных тригонометрических сумм сетки М3('р) имеем:
( (8 — 1)*
$М3 (р)(т) =ПрМ (рз)(т)
j=l
'П V*
У=1
при (т1,..., т3, N) =
N
4
П Рзи
^ = 1
(8)
1
при (т1,..., т3, N) = N.
Теорема 1. Для дзета-функции обобщенной неравномерной сетки М3(р) справедлива оценка
в к (1 + 2 (( а))3
((а, 1|МзСр)) <
(9)
Последняя теорема позволяет сделать вывод, что наилучшая оценка погрешности получается для обычных неравномерных сеток, хотя порядок во всех этих случаях одинаковый.
3. Специальная простейшая периодизация и сетки второго рода
Известные способы периодизации либо приводят к увеличению объема вычислений интегрируемой функции, либо используют весовые функции и их производные для преобразования точек сетки.
Рассмотрим произвольную непрерывную функцию /(х), заданную та единичном «-мерном кубе С3 = [0; 1]3. Пусть у нас имеется сетка М С С3 = [0; 1)3. Дальше мы построим новую сетку М1 С С3, которая позволяет рассматривать интегрируемую функцию как "периодическую" .
Рассмотрим замкнутый куб К3 = [0; 2]3 и определим новую функцию _/1(Х) на кубе К3, осуществляющую простейшую периодизацию:
Ь(х) = 1(у), где х = (х1,...,х.3), у = (у1,..., у.3), Уj = { 2 —
при 0 ^ х ^ 1, 2 — Xj, при 1 ^ Xj ^ 2.
Ясно, что
¡(х)с1х = 1 Л / 1 (х)с1х
с3
и функция /1 (ж) периодическая на кубе К3.
Рассмотрим квадратурную формулу на кубе К3, построенную с помощью сетки из N точек М = {М\,..., М^} следующим образом:
1 ГГ 1 м
Л Ь(х)сСх = ) -Км[М,
28 „„
где Км [/1] — линейный функционал погрешности квадратурной формулы.
Так как функция /\(х) выражается через функцию /(х), то данную квадратурную формулу можно переписать как квадратурную формулу для функции /(х) с новой сеткой М* = {М*,..., М*}, узлы которой заданы равенствами:
М* = (М* м* ) м ={ 2М^, при 0 ^ ^ 1
М = (М^, ^ ), М^ = \2 - 2М^3 , при 2 < < 1,
2 - 2 М^, при 2 ^ М^- < 1,
1 N
Л ¡(х)сСх = х^т;) -В.»[Д.
Предложенную простейшую периодизацию будем называть специальной простейшей периодизацией а сетку М* = {М*,..., М*} — сеткой второго рода.
4. Оценки математического ожидания погрешности приближенного интегрирования на классе обобщенных неравномерных сеток Коробова
Наряду с неравномерными сетками (3) рассмотрим ещё один класс обобщённых неравномерных сеток М(Р,а), координаты точек которых имеют вид
М, (а) = ({ } , { } ..., { }) № = 1, 2,... ,Р), (10)
где Р = р ми Р = р2 и р — нечетное простое число, имеют для нормированной тригонометрической суммы соотношение
5 - 1
3*М(Р,а)(™) ^ { """ —" — -- (11)
1 при ( т\,...,т3,р) = р.
Повторяя дословно рассуждения Н. М. Коробова для неравномерных сеток получаем для произвольной сетки вида 10 такой же результат.
Теорема 2. Для дзета-функции обобщенной неравномерной сетки М(Р, а) справедлива оценка
((а, ЦМ(Р,а)) < "1 . (12)
У нас имеется Рв различных сеток М(Р,а). Из теоремы 2 следует, что если взять случайным образом произвольную сетку М(Р,а) и численно проинтегрировать произвольную функцию /(х) € Е£, то для погрешности интегрирования Кра[/(х)] справедлива оценка
\Кр^а[}(х)]| ^ -^^р-' ^03никает вопрос об оценке математического ожидания
М(Кра[/(%)])■ Получается следующий парадоксальный результат
Теорема 3. Для математического ожидания М(Крга[/(х)]) справедлива оценка,
М(КрАкт < £ + . (13)
Доказательство. Действительно, для погрешности Крд[/(х)] для сетки М(Р,а) имеем следующее представление через ряд Фурье
те р
1 ^—^ у—^ т1 (а1+*0 + ...+™а (а., + ка)
ярМ*)] = Р Е' с (т) Ее
Ш1 ,...,т. = -те к=1
те р
1 V—\ Очт^ т1а1+... + тяа.в у—л 2- т1к + ... + тдк
С (т) е2 р Р . ( )
Р
т,1,...,т8 = -те к=1
Отсюда для математического ожидания М(Кра[/(%)]) получаем
1 р-1
М(Ярмт = ^ Е
а1,...,а3=0
р .
Е, V—^ о • к + ...+т3 кь ^—«/
С (т) йр (т1)... йр (т3)^2 е ~1—35- = Е С (Рт). (15)
1 , „ - , \ 2тт1й+...+твй
р / у - V\--T-s "
т,1,...,те=-те к=1 т,1,...,те =—те
Переходя к оценке коэффициентов Фурье, получим
те
|М( КР,а[№])| < ||/(аО||в? Е'
т,1,...,те
=-теРт1... Ртзу
= ||^(1 + Шу- !) <1 ^^ (16,
и теорема полностью доказана. □
5. Модифицированные сетки и произведение сеток
Рассмотрим для произвольного вектора г сдвинутую сетку М + г и дадим следующие определения.
Определение 1. Для произвольной сетки М и произвольного г модифицированной сеткой М(Л, г) назовем множество М(г) = (М + г) П С3. Сетка = (М + г) П [-1; 1)3.
Модифицированной сеткой II рода, М'(г) назовем множество
М'(г) = {х | х = {у},у еМ1(г)}.
Определение 2. Квадратурной формулой с модифицированной сеткой II типа и весовой функцией р(х) назовем формулу вида
1 1
/.../№<М = (\М' (г)1)-1 ^ р^ (х)-Км,
0 0 х^М'(г)
где Рх = Е Р(У), (М,?) = |М' (М,г)1,
у£М1(г),{у}=х
Км'(м,г)[Д ~ погрешность квадратурной формулы.
Р
1
Квадратурные формулы с модифицированной сеткой II типа и весовой функцией р(х) естественным образом возникают в следующей ситуации. Пусть имеется сетка М\ и паралле-лепипедальная сетка М2- Рассмотрим произведение этих сеток:
М = Мх -М2 = {{х + у}\х еМъу е М2}.
Отсюда следует, что
1 1
1
(17)
/../ №<ш = М Е (\М'(г)\-1 Е р^(X) - Пи']),
0 0 \ 2| гем2\ хеМ'(?) )
'(М)[Л = |ММ] Е '(М',г)№]. (18)
Формулы (17) — (18) являются аналогами основы для концентрических алгоритмов численного интегрирования с квадратурными формулами по обобщенным параллелепипедальным сеткам (см. [1], стр. 192, 193).
Определение 3. Для концентрической пары, сеток II типа М1 с М = М1 ■М2 и весовой функцией р(х) мультипликативной дискретной дисперсией А = А(М'(Л), М'(Л{), р(х), ¡'(х)) назовем величину
А = Е ] - Ки'М)[/]\2. (19)
\ 2\ ¿ем2
Нетрудно понять, что определение 3 согласуется с аналогичным определение из работы [1] (см. стр. 204), так как сетка М является произведением сетки М\ и сетки М2-
Теорема 4. Пусть М1 = М(Р) — неравномерная сетка, Р = р — простое число, р > 2, а М2 = М(а; N) — параллелепипедальная, сетка, для которой дзета-функция решётки (н(Л(а^)\а) < с(а, в)^—иа—^, и N < Р. Для погрешности квадратурной формулы (17) справедлива оценка,
< II 1(х)\\Е— ■ <(<*, s)ln^-l)N и - 11 \
\Ки'(М)[п\<-^--^^Р" + Р^) . (20)
Доказательство. Действительно, точки сетки М = М(Р) ■ М(а^) имеют вид
({I+£}•{?+••{Р+^И) • »<* <Р -1-»<» < N -1
Отсюда следует, что
» г/1 1 V1 V1 V4' < \ 2™(^+^^+)
РN
к=0 п=0 т!,...,т3 = -ж
Переходя к оценкам и учитывая равенство
5и (р(т\ + а\т2 + ... + а3-\т3)) = 5и (т\ + а\т2 + ... + а3-\т3) и оценку (_щ-^р^)— < ра(Ш11..Ш1) — ^и (т\,..., т3) = (0,..., 0), получим
|р т| <„ ,(х)|| 5и т + ^т2 + ... + а3-1т3) \Ки'(М)[/]\ < \\¡(х)\е— ^ -( )а-
(т1... т3)а
т1,...,т3 =—<х 4 '
1 р-1 в Р Р
^Ее2'" р
к=0
<
< II№Ы
1<х
У^' дм(т\ + а!т,2 + ... + а3-\т3) в- 1 + ^ (т... т)а /Р
\ (т1,...,т3 ,р) = 1
5м (р( т\ + а\т2 + ... + а3-\т3))
+ тД' §м(р(т\ + а\т2 + ... + а3-гт3))\ <
(рГЩ... тп;)а I ^
5м(тг + а\т2 + ... + аз-\тз) (в- 1 1 \
< 11(х )||е" Е -(гщ.+т)«--+ Р")
ГПл ю _ — — ГЧЛ 4 ' \ V /
Отсюда и из оценки гиперболической дзета-функции для решётки решений сравнения следует утверждение теоремы.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 и 0 < с < 1 сР < N < Р, тогда для погрешности квадратурной формулы (17) справедлива оценка
1Я т, < I ть? •*• с(а, в)1и"(з-1)У (М)
\КМ'(МIЛ < -ЪТ,,.^" +1-.
Са№ (М) 2+4
Доказательство. Действительно, справедливы неравенства: сР2 < N'(М) < Р2, ^УN'(М) < Р, с^/кЦы) < N. Отсюда следует, что
1П«( 3-l)N /е- 1 1 \ \иа(з-1)№ (М)
\~ТР + Р") < с?(№(М))"+4
тем самым утверждение следствия доказано. □
6. Заключение
Предложенная периодизация и новые сетки позволяют по новому рассматривать вопрос о математическом ожидании не только погрешности приближенного интегрирования по неравномерным сеткам Коробова, но также и вопрос о погрешности Фурье интерполяции непериодических функций по неравномерным сеткам и параллелепипедальным. Этому вопросу будут посвящены наши последующие работы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Добровольская Л. П., Добровольский Н. \!.. Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник, 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.
2. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Е"(с) и Н"(с). / Деп. в
3. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
4. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) / М.: МНИМО. 2004. 288с.
REFERENCES
1. Dobrovol'skaya, L. P., Dobrovol'skii, N. M. k, Simonov, A.S. 2008, "On the error of approximate integration over modified grids", Chebvshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185—223.
2. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "On quadrature formulas in classes E^(c) and Hf(c)", Dep. v VINITI, № . 609 pp. 1—84.
3. Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.
4. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.
Получено 4.07.2021 г. Принято в печать 21.12.2021 г.
