CC BY
11
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-193-219
О трёхмерных сетках Смоляка I1
Н. Н. Добровольский, Д. В. Горбачев, В. И. Иванов
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Горбачев Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: dvgmail@mail.ru
Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: ivaleryi@mail.ru
Аннотация
Это первая статья из серии иосвящёниой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел к задачам приближенного анализа.
Рассмотрено понятие гиперболического параметра сеток с весами и аналог теоремы Ба-хвалова для гиперболического параметра сеток с весами и гиперболической дзета-функции сеток.
В данной работе получены следующие результаты:
1. доказана усиленная обобщённая теорема Бахвалова-Коробова для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток;
2. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их кратности; число узлов с учетом их весов.
3. подсчитано число узлов сетки Смоляка без учета их кратности;
4. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их весов;
5. найдена форма квадратурной формулы с сеткой Смоляка без кратных узлов и найдены явные формулы для весов этой квадратурной формулы. Показано, что количество узлов такой квадратурной формулы в 7 раз меньше, чем в случае формулы с кратными узлами.
Ключевые слова: сетки Смоляка, квадратурные формулы с сетками Смоляка, интерполяционные формулы с сетками Смоляка.
Библиография: 38 названий.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710005^р^а.
Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, Д. В. Горбачев, В. И. Иванов. О трёхмерных сетках Смоляка I// Чебы-шевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 3, с. 193-219.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-193-219
About three-dimensional nets of Smolyak I2
N. N. Dobrovol'skii, D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov
Dobrovol'sky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Gorbachev Dmitry Viktorovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: dvgmail@mail.ru
Ivanov Valerii Ivanovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: ivaleryi@mail.ru
Abstract
The work refers to the analytical theory of numbers and it deals with the application of number theory to problems of approximate analysis.
The concept of the hyperbolic parameter of grids with weights and the analogue of Bakhvalov's theorem for the hyperbolic parameter of grids with weights and the hyperbolic Zeta function of grids are considered.
In this paper the following results are obtained:
1. a strengthened generalized Bakhvalov-Korobov theorem for the hyperbolic Zeta function of three-dimensional grids is proved;
2. the number of nodes of the resin grid is calculated taking into account their multiplicity; the number of nodes taking into account their weights.
3. the number of nodes of the resin grid is calculated without taking into account their multiplicity;
4. the number of nodes of the resin grid is calculated taking into account their weights;
5. the form of a quadrature formula with a resin grid without multiple nodes is found and explicit formulas for the weights of this quadrature formula are found. It is shown that the number of nodes of such a quadrature formula is 7 times less than in the case of a formula with multiple nodes.
Keywords: grid Smolyak, quadrature formulas with grids of Smolyak, interpolation formula with grids of Smolyak.
Bibliography: 38 titles. For citation:
N. N. Dobrovol'skii, D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, 2019, "About three-dimensional nets of Smolyak I" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 193-219.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710005_r_a.
1. Введение
Данная работа посвящена изучению трёхмерных сеток Смоляка. Во введении дается изложение истории вопроса и краткое описание полученных результатов. Так как наша цель — всестороннее изучение трёхмерных сеток Смоляка, то все необходимые результаты будут сформулированы для размерности s = 3, хотя они справедливы для произвольной размерности S.
Норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования на классе Ef выражается через гиперболическую дзету-функцию сеток. В случае параллелепипедальных сеток гиперболическая дзета-функция сеток совпадает с гиперболической дзета-функцией решёток. Общая оценка величины гиперболической дзета-функции решёток по теореме Бахва-лова — Коробова дается через величину гиперболического параметра решётки. Поэтому было актуально найти аналог гиперболического параметра решёток для сеток и получить аналог теоремы Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции сеток. Это было сделано одним из авторов в работе [18]. Таким образом качество сеток стало возможно оценить в зависимости от гиперболического параметра сеток.
Сетки Смоляка относятся к числу парадоксальных сеток. С одной стороны, алгоритмы численного интегрирования по этим сеткам являются ненасышаемыми. С другой стороны, хотя они относятся к числу равномерно распределенных сеток, но величина их отклонения очень велика. Поэтому продолжение исследования этого феномена не потеряло своей актуальности.
Впервые гиперболическая дзета-функция сеток появилась в 1957 году в работе Н. М. Коробова [21], с которой ведется отсчет истории создания теоретико-числового метода. Сам термин появился гораздо позже в 2001 году в работе [14], и в более общем виде определение гиперболической дзета-функции сеток дается в работе [7]. Такая ситуация объясняется логикой развития теоретико-числового метода в приближенном анализе.
На первом этапе его развития к задачам интегрирования периодических функций многих переменных применялись известные результаты из теории чисел о тригонометрических суммах. После введения в 1959 году Н. М. Коробовым параллелепипедальных сеток и понятия оптимальных коэффициентов стали выделяться собственно актуальные задачи теории чисел, решение которых требовалось для развития метода оптимальных коэффициентов.
Прежде всего заметим, что применение метода тригонометрических сумм при анализе вопросов численного интегрирования стал возможным благодаря выделению Н. М. Коробовым класса Е£ периодических функций с быстро убывающими коэффициентами кратного ряда Фурье.
В работе рассматриваются следующие классы периодических функций: Аз, Е2.
Аз - класс периодических функций f(х\, Х2, хз) с периодом 1 по каждой переменной и абсолютно сходящимся рядом Фурье
/ (х!,Х2,хз)= ^ С (mi ,т2,тз)е2™(т1Х1 , ^ |С (Ш1,Ш2,Шз)| < (1)
mi,m2,m3=-M mi,m2,m3=-M
На пространстве Аз рассмотрим норму
||/(Ж1,Ж2,Жз)||Аз = Y1 1С(т1,т2, тз)|, (2)
т\,т2,тз=-<х
Аз
¿з,1 комплекснозначных функций на фундаментальной решётки Z3 со сходящимся рядом из модулей значений.
В пространстве периодических функций Аз выделяется класс Е2 более гладких функций, определяемый следующими условиями на коэффициенты Фурье.
Пусть f (х\,х2,хз) € А3. Функция f (х\,х2,хз) € Е2 тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье
1 1 1
С(mi,m2,mz) = J J J f (xi,x2, 0 0 0
выполнено условие
sup |C(m1,m2,m3)l(m1M2m3)2 < ж m ez3
где для любого вещественного т полагается т = max{1, |ш|}. На классе Е3 рассмотрим две эквивалентные нормы:
||/(х)Це2 = sup |С(т,1,т2, тз)1(т,1т2Шз)2 и (3)
3 т ez3
п. = sup Ю КШЛ , П12, И13 ПЮ1 Ш1О1Ш0О1 nil I2
||Ж)||е2С1 = sup |C(ml,m2,mз)|(ClmlClm2Clm3) . (4)
т ez3
Класс функций Е2 с нормой (3) будем обозначать Е2, а с нормой (4) — Е'3(-,С1).
Пространства Е2 и E2(-,Ci) — несепарабельные банаховы пространства, изоморфные пространству 1з,— ограниченных комплекснозначных функций на фундаментальной решётки Z3, которое в силу счётности Z3 изоморфно пространству — ограниченных последовательностей комплексных чисел. Действительно, этот изоморфизм нормированных пространств Е2 и 1з,<х задается равенствами для коэффициентов Фурье
d TOj )
С(т) = ,___,2, rn е Z3, ||c(m)||те = sup ^(1^1,1^2,1^3)| < ж.
(т1Ш2тз)2 rtez3
Шар радиуса С > 0 в пространстве Е2 с нормой (3) обозначают через Е3;(С), а с нормой (4) — E2(C,Ci). Класс функций Е" ввел Н. М. Коробов. О свойствах этого класса подробно можно узнать в [25] и [27] (так же см. [13]).
Рассмотрим квадратурную формулу с вехам,и
1 1 1 N
0 0 0 k=1 Здесь через Rn [f] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла
1 1 1
-У'-'Ц
000
средним взвешенным значением функции f (Х1,Х2,Х33), вычисленным в точках
мк = Ык),Ш,Ш) (к = 1 ...N).
Совокупность М точек называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рь = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.
Для произвольных целых т,1,т2,Ш3 суммы Sm, ^(^1,^2,^3), определённые равенством
N
SM, p(ml,m2,m3) = ^ pk М+тзЫ^+ш^т, (6)
к=1
/ / / f(xl,x2,x3)dxldx2dx3 = ^ Pkf[£l(k),b(k),b(k)] - Rn[f]. (5)
1 1 1
HI' {ХЪХ2-Х3 )dXldX2dX3
называются тригонометрическими суммами сетки с весам,и.
Будем, также, рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весам,и
3*м,р(т1>т2>тз) = Зм,р(т1,т2,тз).
N
Положим р(М) = ^ \рз \, тогда для всех нормированных тригонометрических сумм сетки 3 = 1
с весами справедлива тривиальная оценка
\8*м,(Агй)\ < ^р(М).
Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать Бм (Л) и нормированная тригонометрическая сумма сетки БМ(ш).
Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [7]).3
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции f (х) сходится обсолютно, С(т) — ее коэффициенты Фурье и вм,р{'Л) _ тригонометрические суммы сетки с весам,и, тогда справедливо равенство
оо
Rn[f] = с(0)(1SMtß{0) - Л+ ± С(т)SM^m) =
^ ' mi,...,m3 =—<x>
- 1 + N ^
' mi,...,ms =
<х
= С(0) [s*M^(0) - l) + £ С(т)S*MI^{rn) (7)
mi,...,ms = -xi
и при N ^ ж погреитость Rn [f ] будет стремиться к нулю тогда, и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном, s-мерном кубе.
Из этой теоремы непосредственно следует, что для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования R^ [f ] на классе As справедливо равенство
\\RN[-]|k =max( S*MJ(0) - 1 , sup |^(m)|j . (8)
mezs\{0|
Анализ формулы (8) позволяет сделать вывод, что класс А слишком широк для рассмотрения вопросов о скорости сходимости погрешности квадратурной формулы к нулю. Как показали Н. М. Коробов и его последователи уже на классе Е" этот вопрос становится содержательным.
В работе [9] вводится понятие гиперболического параметра ц (Л) решётки Л и доказывается обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции решёток.4
Теорема 2. (Обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функци решеток) Для любой 8-мерной решетки Л справедливы оценки
(2 + 2£(а))3 • ^1+ ± ) , прид(Л) = 1]
(н №) <
(^ГУ (Ы ^рид(Л) > h
„а - 1) да(Л)
где А — наибольшее число такое, что в-мерный куб [—А; Л]5 не содержит ни одной, ненулевой Л
З3десь и далее У]' означает суммирование по системам (rni,..., rns) = (0,..., 0).
4Гиперболический параметр д(Л) решётки Л задается равенством д(Л) = min х± ■
seA,s=e
X
ö
Доказательство. См. [9]. □
Во втором разделе доказывается аналог этой теоремы для случая гиперболической дзета-функции сеток.
В теоретико-числовом методе приближенного анализа рассматриваются несколько основных классов сеток — это неравномерные сетки [21], параллелепипедальные сетки [22], комбинированные сетки [26], алгебраические сетки [31], обобщенные параллелепипедальные сетки [10], сетки Хэммерсли [37], сетки Холтона [36], сетки Фора [35], ЛПТ сетки [30] и сетки Смоляка [29]. Современный обзор всех этих сеток дан в работе [28].
Отметим важную особенность параллелепипедальных сеток, комбинированных сеток, алгебраических сеток, обобщенных параллелепипедальных сеток и сеток Смоляка. Алгоритмы численного интегрирования по квадратурным формулам с этими классами сеток являются ненасыщаемыми на классах функций Е".
В данной работе детально изучены трёхмерные сетки Смоляка, так как ранее в работе [16] и диссертации [19] были всесторонне изучены двумерные сетки Смоляка, а в работе [20]
логов результатов из работы [16] не удалось получить. Поэтому встал вопрос о рассмотрении следующего по сложности трёхмерного случая.
Рассмотрим 3-мерную простейшую декартову сетку
0 ^ кг ^ 2^ - 1, 0 ^к2 ^ 2- 1, 0 ^ к3 ^ 2- 1
(9)
из 2и1 +и2+из точек, которая, также, называется обобщенной равномерной сеткой. Очевидно, что обобщенная равномерная сетка М(и\, ь*2, т^з) является декартовым произведением соответствующих одномерных равномерных сеток:
М(иг,и2, и3) = М(иг) х М(и2) х М(и3).
Сетка Смоляка Бт(д) = Бт(д, 3) с параметр ом д ^ 5 определяется как объединение всех обобщенных равномерных сеток М(иг, у2, и3) с д - 2 ^ + и2 + и3 ^ д, таким образом
8т( з) I /'к\_ ккЛ , ) м 2^1, 2^2, 2из)
0 ^ кг ^ 2^ - 1, 0 ^ к2 ^ 2- 1, 0 ^ к3 ^ 2- 1 VI, V2, У3 ^ 1, д- 2 ^ Ь>1 + Ь>2 + У3 ^ д
)
(10)
Нетрудно видеть, что минимальной равномерной сеткой, содержащей сетку Смоляка как подсетку, является М(д - 2,д - 2,д - 2): Бт(д) С М(д - 2,д - 2,д - 2).
Трёхмерные сетки Смоляка Бт(д) являются частным случаем з-мерных сеток Бт(д, в), которые использовались в работе [29] для построения квадратурных и интерполяционных формул с весами и на них были получены результаты на различных классах функций, сравнимые с наилучшими из известных.
Естественно изучить величину отклонения этих сеток, как меры равномерности распреде-
кратности точек в объединении, без их учета и, наконец, с весами из квадратурной формулы. В работе [19] для первых двух случаев сформулированы общие результаты о величине отклонения сеток Смоляка и впервые было дано решение этой задачи об отклонении сеток Смоляка, а в работе [16] была найдена точная формула для отклонения двумерных сеток Смоляка и в
Для двумерных сеток Смоляка в работе [19] найдены точные значения тригонометрических сумм сеток. Оказываются, что они принимают только три значения — 0, 1 ж -1. Пользуясь этим легко найти точные значения гиперболических параметров сетки Смоляка. Для
гиперболических параметров двумерной сетки Смоляка выполняются равенства:
дз(3т(д), р(х)) = ж, д1(8т(д), р(х)) = д2(Бт(д), р(х)) = д(Бт(д), р(х)) = 2я-1. (11)
Квадратурные формулы с двумерными сетками Сомоляка выглядят достаточно просто (см. [16], стр. 122).
Целью данной серии работ является:
• получение оценок для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток Смоляка;
• получение новых оценок погрешности интерполяционных и квадратурных формул для трёхмерных сеток Смоляка;
• получение явной формулы выражения через элементарные функции граничной функции класса Е2 с нормой (4) для сеток Смоляка и вычисление нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с сетками Смоляка.
Во втором разделе мы даём новую усиленную форму обобщённой теоремы Бахвалова-Коробова для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток.
Третий раздел посвящён подсчёту количества узлов в трёхмерной сетке Смоляка, при этом это сделано в трёх случаях: число узлов с учетом их кратности; число узлов без учета их кратности; число узлов с учетом их весов.
Последний случай имеет принципиальную важность для приложений, так как позволяет записать квадратурную формулу по сеткам Смоляка без повторения узлов и с явным видом весов.
2. Гиперболический параметр сетки с весами
2.1. Гиперболический крест и гиперболические параметры
В трёхмерном пространстве усеченной нормой называется величина д(х) = Х1Х2Х3. Гиперболическим крестом называется область Кз(Ь) = {х \ д(х) ^ Ц, а величина Ь — его параметром. Назовем г-ой компонентой гиперболического креста Кз(Ь) подмножество
4Г)(1) = {х \ д(х) ^ I, ровно г координат х отличны от 0}. Ясно, что справедливо следующее разбиение гиперболического креста:
= I I \к3;\г)
(и K3r)v) 1>0}.
С понятием усеченной нормы и гиперболическим крестом связано понятие гиперболического параметра множества.
Определение 1. Для произвольного подмножества К фундаментальной решётки Z3 гиперболическим параметром д(К) называется величина,
д(К) = min т^т^Щ. (12)
тЕК
Для пуст,ого множества К полагается д(К) = ж.
Ясно, что гиперболический параметр д(К) имеет простой геометрический смысл — он равен наименьшему значению параметра Ь гиперболического креста К33(Ь) такого, что на границе Кз(Ь) имеются точки множества К, а внутри отсутствуют.
Важную роль в применении понятия гиперболического креста играет количество целых точек в гиперболическом кресте.
Обозначим через КZз(t) множество всех целых точек принадлежащих гиперболическому кресту К33 (1), а терез Кz3p (£) - множество всех целых точек принадлежащих г-ой компоненте К^ (1) гиперболического креста К (^ • Таким образом
кzз(t) = К3(г) п z3, кz¡r)(t) = К{{)(г) п z3.
Для t ^ 1 положим:
в3 (t) = Ti, (13)
здесь суммирование проводится только по натуральным значениям переменных ..., mj. Ясно что
В± (1) = Щ. (14)
Из разбиения гиперболического креста на г-ые компоненты и определения величин В^ (Ь) получим равенство для величины |КZз(t)| — количества целых точек в гиперболическом кресте:
3 3
_ 1 I \ 4 гугг,г ;
3
г=1 г=1
lKZ3(t)l = 1 + £ lKz3r\t)l = 1 + £сг3ГВг(t). (15)
В работе [15] найдено число целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 ^t < 21.
2.2. О гиперболическом параметре сетки
Мы рассматриваем класс A3 всех периодических функций f(x) с периодом 1 по каждой переменной, v которых их ряд Фурье (1) абсолютно сходится. Пространство A3 относительно
1
— всех абсолютно суммируемых комплексно-значных последовательностей (см. [13]).
Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е3(С) (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Е3(С) обозначается множество функций из Е3 с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Е3 радиуса
с
Банахово пространство Е3 состоит го функций f(xi,x2,x3) из A3, для которых их ряды Фурье (1) удовлетворяют условиям
sup |С(mi,m2,m3)l(mim2m3)a = ||¡(Х)\\е$ < те. (16)
т ez3
Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как
\\/Шяз < II№Ы(1 + 2((а))3,
а поэтому для любого а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, С(аа) — дзета-функция Римана.
Относительно нормы || /(х) ||пространство Е" является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству I— всех ограниченных комплексно-значных последовательностей (см. [13]).
Для дальнейшего мы будем рассматривать класс Ез = У Е". Очевидно Ез С Аз. Ясно,
а>1
что класс Ез незамкнут в пространстве Аз относительно нормы ||/(х)Цщ, но является всюду плотным множеством.
Усеченной норменной поверхностью с параметром £ ^ 1 называется множество
Щ (г) = {х\д(х) = г,х = 0},
которое является границей гиперболического креста Кз (Ь). Для натурального £ па усеченной норменной поверхности имеется т*(Ь) целых ненулевых точек, где
т*(г)= 1 (17)
— число представлений натурального числа Ь в виде Ь = т,1 • т,2 • Шз.
Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции
\\Ж)\\
Справедливо равенство
\\/(х)\\Е« = тах(\С(0)\, жр (г • тах ^\С(^А) . 3 V V ле^(г) ))
Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция /(х) из Е"(С) по модулю ограничена величиной С • (1 + 2£(а:))3, при этом данная оценка достижима па функции
I (¿А = V ° (_—
^^ (т1 • Шз • тз)а
т=—<х
в точке х = 0.
Очевидно, что Е"(С) С Е% (С) при а ^ Для любой периодической функции /(х) € Е"(С) С Ез (С) справедливо неравенство для норм
\\>\\¡(Х)\\Е,.
Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида
¡(х) = С(0) + ^ С(т)
т еNз(1)
В работе [7] дано следующее определение дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р > 1
Определение 2. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 называется функция ((а,р\М, р), заданная в правой полуплоскости а = а + И (а > 1) рядом, Дирихле
((а,Р\М,Я= Г !ВМ ^ 'Г = V ^ , (18)
где
3*(р, М, р, п) = ^ \3*м^(гп)\р. (19)
mеN (п)
Непосредственно из определения следует неравенство
((ра,р1М,р) < (р(а, ЦМ,р) (а > 1).
(20)
Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р ( а, | М)
Теорема 3. Если ¡(х1,х2,х3) € Е3^(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка
[ПК С
1вм>?(д) -1
Е'
I зм,р(т )|
+ С
N ' (т1т2т3)с
т\,т2,тз=-<х 4 '
= С
$мМ - 1 +С ■ ((а, ЦМ,р),
(21)
где сумм,а, вм,р(т) определена равенством (6). На, классе Е3^(С) эт,у оценку нельзя улучшить. Другими словами теорему 3 можно сформулировать так:
Для нормы [ линейного функционала, погрешности приближенного интегриро-
вания, по квадратурной формуле (5) справедливо равенство
[ /]||я? =
^мАв) -1
Е'
1$м,р(т )|
1
N ^ (т1т2т3)с
т\,т2 ,тз=-те 4 '
3*м,о(0) - 1 +С(а, ЦМ,р).
(22)
Если рассмотреть при а > класс Е3^'я с нормой
\\/(х)||
Е^'4 =
( ™ I V
|С(о)|9 + |С(т)^(т1т2тз)(9-1)а < те,
\ т1,т2,тз=-те /
то справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если ¡(х) € Е3^'д и ^ + 1 = 1, то для, погрешности квадратурной формулы
справедлива оценка
[/]|<|| ¡(ХШ^
(
^мАв) -1
Е'
I вмЖт )1Р
р
N ^ (т1т2т3)с
т,1,т,2,тз=-те 4 '
1
+ (,(а,р\М,р)\ р ,
(23)
= ||¡(х)\\е«"> (|^(0)
где сумм,а, вм,р(т) определена равенством (6). На, классе Е3~'я эту оценку нельзя, улучшить. Доказательство. Действительно, по теореме 1
те
^мАв) -1) + N Е' С(т)БмАт) =
' т-1,т2,тз=-те
___, и вмАт)
= С(о)(^вмАв) - Л + N Е' С(т)(тт2тз) ^ ' = —
тх,т2,тз=-те
(т1т2т3) р
Применим к правой части неравенство Гёльдера, получим
IRn[П1 < усШ« + |С(т)^(Ш1Ш2ШЗ)
\ mi,m2,m3=—<x> /
(
1Sm,p(0) - 1
р, i ^ lsM,p(m)IP \ip
Е'
N (т1т2тз Y
mi,m2 ,тз=-м 4 '
= II fmE«'0 ( | S*M^6) - 1 | Р + ((<*,р1М,Р)У
Так как неравенство Гёльдера обращается в равенство при
при S*M д(0) = Ь, ПРИ SM,/0) = 1
с(0) = s км.я(0)-1
sh .м-1
0, при S^ ß(m) = 0;
S* \т)'(тт2тз)а , ПРИ SM,р(т) = 0;
с(т) = \ км.д(™)Г , „ т = 0,
м.р
то теорема полностью доказана. □
Из теорем 3 и 4 следует, что на классах Ef и E"'q оценка погрешности приближенного интегрирования сводится к оценке гиперболической дзета-функции сеток. Проводя аналогию с гиперболической дзета-функцией решетки, которая равна гиперболической дзета-функции сеток в случае параллелепипедальной сетки, можно высказать гипотезу, что для гиперболической дзета-функции сеток должен быть справедлив аналог теоремы Бахвалова об оценке гиперболической дзета-функцией решетки через гиперболический параметр решетки.
Цель данного раздела — ввести понятие гиперболических параметров сетки и доказать аналог теоремы Бахвалова для гиперболической дзета-функции сеток.
2.3. Первый, второй и третий гиперболические параметры сеток
В работе [16] было дано такое определение.
"Гиперболическим параметром сетки М с весами р(х) назовем величину
q(M,p(x)) = min т\...ml."
m€Zs\{0},|S(m)|>0
Первое применение гиперболического параметра сетки вытекает из теоремы Абеля (см. [33], стр. 106), позволяющее представить гиперболическую дзету-функцию сетки M с весами р(х) в интегральном виде
оо
С ( м, рШа) = а j W***»*,
q(M,p(x))
где
D(t\м,р(х))= Y! IS (mm )I
m£Z3, miт2тз
— сумматорная функция тригонометрической суммы.
и
В работе [7] для любой сетки М с весами р на пространстве периодических функций Е3[ рассмотрен линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних заданный равенством
1
N
д(х) = (х) = — ^ [х1 + + Ь(к),х3 + Сз(к)].
(24)
к=1
Через Ам^рС(Ш) обозначается действие линейного оператора Ам,р на коэффициенты Фурье функции /(х).
Лемма 1. Для любой периодической функции ¡'(х) из пространства Е3 и её коэффици-С( тр )
№ = Е С (Ш )е
т-1 ,т2,т^=—<х
2жг(т,х)
(25)
справедливо равенство
Ам,рС (Ш) = Зм-т) С (Ш) = Б*м^т)С (Ш)
(26)
где Зм,р(т) ^ тригонометрическая сумма, сетки с весам,и, а, Б*м р(Ш) — нормированная тригонометрическая сумма сетки с весам,и.
Кроме того, справедлива тривиальная оценка, для нормы образа
|Ам^(х)\\Е^ < ^ И
(27)
Доказательство. См. [7], стр. 194. □
С точки зрения величины нормированной тригонометрической суммы сетки с весами естественно определить следующие пять подмножеств фундаментальной решётки Zíi таким образом:
Ко = Ко (М,р) = {ш, е ^
К1 = К1 (М,р) = {ш, е ^
К2 = К 2 (М,р) = {Ш е ^
К3 = Кз (М,р) = {Ш е ^
К4 = К4 (М,р) = {Ш е ^
я*м,р(т) = °}> з*м,р(т) = 1},
я*м,р(т) = 1, \Ям,р(т)\ = 1}, ° < \ Ат)\ < 1},
\з*м,Р<т)\ > 1}.
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
Ясно что Z3 = К0{] К^ К2{] К3{] К4. Такое разбиение называется разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования.
В работе [7] было дано определение нормального и несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних (см. [7], стр. 195 и 199). Нормальный оператор не увеличивает норму любой функции, то есть К4 = 0, а для несмещенного оператора имеем:
$м,р(°) = ^
Далее везде будем считать, что веса р выбраны так, что соответствующий линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным. Для таких операторов выражение гиперболической дзета-функции сетки имеет более простой вид
((а,р\М,р)= £
1
тек1 и К2
(ш1ш2ш3 )
+ £
теКз
\3*М /т )\р
(ш1ш2т3)а
(33)
3
Используя общее определение гиперболического параметра, в случае нормального, несмещенного линейного оператора Ам,р взвешенных сеточных средних можно определить первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р.
Определение 3. Для произвольной сетки М с весами р такими, что соответствующий линейный оператор Ам,р взвешенных сет,очных средних является нормальным и несме-
М рр
ются равенствами
д„ (М,р(х)) = д(К„ (М,р(х))) (и = 1, 2, 3). (34)
Ясно, что гиперболический параметр сетки и первый, второй и третий гиперболические М рр
д(М,р(х)) = шт д„ (М,р(х)).
и=1,2,3
Пусть сетка М — рациональная со знаменателем р, то есть в кубе О = {Х|0^х1, х2, хз < 1} имеется N рациональных точек вида
х1 х2 х3 \ р , р , р )
х ~ч 1 к = 1(35) р р
х'^^лые, 0 ^ х^ р — 1, р — натуральное.
М р рр
которых линейный оператор Ам,а взвешенных сет,очных средних является нормальным и несмещенным, справедливо соотношение
р ■ 23 с К (М, р(х)),
кром,е того тригонометрические суммы Б*^ ^(т) с весами р принимают, конечное число раз-
3
Доказательство. Действительно, если
р р р
то ( т,хк) € 2 для любо го т ер- 23, поэтому е2т(т,Хк) = 1
и
1 М
Б*м ) = х^Р^) = 3*м А6) = 1, к=1
так как линейный оператор взвешенных сеточных средних является нормальным и
несмещенным.
Аналогично получаем, что
Б*м,р(т) = Б*м,р(гЛ + р ■ й).
Следовательно, все различные значения тригонометрических сумм Б*^ а(гп) с весами р содержатся среди значений для т € [—р 1, р2]3, где р1 = 2—1 и р2 = [2] _ □
М
вехами р, для, которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество К1(М,р) является целочисленной решеткой.
Доказательство. Действительно, если для Ш выполняется равенство Б*м^(Ш) = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при уеловии, что е2т(т,хк) = 1 ПрИ к = 1,..., N Это означает, что (Ш, хк) е Ъ при к = 1,..., N Таким образом, Ш е К1 (М, р) тогда и только тогда, когда (Ш,хк) е Ъ при к = 1,...Но если Ш1 ,Ш2 е К1(М,р), то и Ш1 ± Ш2 е К1(М, р), это означает что К1(М, р) является целочисленной решеткой. □
М
ми вехам,и р, для, которых линейный оператор Ам,р взвешенных сет,очных средних является нормальным и несмещенным, множество К1 (М,р)У}К2(М,р) является целочисленной решеткой.
Доказательство. Действительно, если для Ш выполняется равенство \Б*Мр(Ш)\ = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при условии, что найдется х е [0,1) такой, что е2жг(т,хк) = е2^гх ПрИ к = 1,..., N. Это означает, что {(Ш, хк)} = х при к = 1,..., N.
Таким образом, Ш е К1(М, р) и К2(М, р) тогда и только тогда, когда {(Ш, хк)} = {(Ш, ж1)} при к = 1,..., N
Но если Ш 1,гп2 е К1 (М, р) и К2(М,р), то и
Ш1 ± Ш2 е К1(М,р) ^К2(М,р), это означает что К1(М, р) и К2(М, р) является целочисленной решеткой. □
2.4. Обобщенная теорема Бахвалова^Коробова для гиперболической дзета-функции сеток
Для формулировки обобщенной теоремы Бахвалова-Коробова для гиперболической дзета-функции сеток нам потребуется обощенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функци решеток из работы [9] (см. стр. 197), одна лемма из работы [8] и одно новое определение.
Определение 4. Будем говорить, что сетка М с весами р, для которой линейный оператор Ам,р взвешенных сет,очных средних является нормальным и несмещенным, имеет тип А(—) < 1, если для любого Ш е К3(М, р) выполняется оценка \8*м^(Ш)\ ^ ).
Для натурального Ь > 1 положим:
А® = £ ,Щ-Ьщг (а>г)'в'(1)= £ 1 См = £ г;1-'■ (36>
Лемма 2. Справедливы неравенства
1П2 / 31п2/ 1п3/
С1(1) < Ш + 1, С2(1) < 1 + + , С3&) < 1 + + + . (37)
2 2 Ь
Доказательство. Действительно,
г
С1 (г) < 1+ [ — = 1 + 1п г.
х
х
Для С2(Ъ) имеем:
С2(Ь)= V -С1 < V (- + -П (1)) < 1 + 2ЪИ + / (ы
т \ Iт\) \т т \т)) ) \ х)
т т т х х
1
ыг
1п2
= 1 + 21пЬ + ийи = 1 + 21пЬ +
2
о
Наконец, для Сз(Ь) имеем
Сз(V = Е -С2
т
т=1
í
т 2
1п2
< 1 + 21пг + '^— + у Ч — + — 1п— + ^1п2 — К 2 т т т 2 т т
т=2
1п2г { ± 1, 2г \ йх , 1п2г
< 1 + 2Ш + — + ( 1 + 2 1п —Ь - 1п2 — ) — = 1 + 21пг + — +
2 у \ х 2 х) х 2
1
и )
1п4
/ И + |)
и2 1п2 2 1п3
+ I ( 1 + 2и + 2 ) =1 + 21Ш + — + Ш + 1п2г + —
о
31п2 £ 1п3 £
= 1 + зыг + —— +
2
6
□
Лемма 3. Справедливы неравенства
В1(г) < г, В2(г) < г(1 + 1пг), Вз(г) ^ (1 + 21пг + Доказательство. Действительно,
В1 (V = £ 1 = г.
Так как при ] > 1
1п2
) •
т=1
В3 (V = Т. В1
т1... т,-1
< ^,-1(1),
□
Лемма 4. Лрм а > 1 справедливы неравенства
А1(1) <
1
(а — 1)?
а—1 '■
а2а) < ¿-г (1 +
Л , ч 1 ( „ ч 1 + ((а) + С2(а)
Аз(^ < —1 {1 + C(-) + -+\-l+fЛ-)+^1 +
((а) + 1 + 1пГ а — 1 ,
2 + ((а) а 1
1п +
1п2
2(а — 1).
А1® = Е — <=
т>1
та
ха
(а — 1)га-1'
(38)
(39)
(40)
(41)
2
1
Для А2(Ь) имеем:
А2() = «а)А1® + £ т А1{ [т] ) < ^Г)^ + Та + а — ^а-1т ) <
т=1 \^ л / т=1 4 7
< ((а) + + 1 + Ш С(а) + 1 + 1Ш \
(а — 1)га-1 га-1 (а — 1) га-1 га-1 \ а — 1 ).
Наконец, для Аз(Ь) имеем
" г
Аз(1) = ((а)А2(1) + У -Ц-
3 2 ( т1 т2) а 1 т1 т2
<
)(_^(1 С(а) + 1 + 1пЛ\ у- _1
< С(аМ 1а-1 (1 + а — 1 ))+ ^ и- + (а — 1) га-1(ГП1Ш2)
«а) ( 1 (л , ((а) + 1 + 1ШNN + В2(1) + С2(1) < = аа)\ ¥-1 ^ +-—1-))+ — + (а — 1)1; --1 <
< аа) (1 + <(а) + 1+1п<)) + + 1+21п<+Ч*
V а — 1 }/ г--1 (а — 1)
1 („ >Л С(а) + 1 + 1пЛ , , , 1 + 21пИ ЦгЛ
= «;-т^(аЧ1+ .»-1 )+1 + 1п< + („-1) ) =
= Г1 + аа) + 1 + «а' + + (1 + 2+м) ы + ),
га-1 V а — 1 V а — 1 / 2(а — 1); '
□
Теорема 8. (Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической
М
тельными вехам,и р типа А^) < 1, для которых линейный оператор Ам,а взвешенных сет,очных средних является нормальным и несмещенным, справедлива оценка
«-ММ.Р1 < 2—а (а—,)' +
+ АЩ) ( Т-*а+20 + 8«а) + —6 + —K^-)1-*C 'М + (8 + 28 + К") \ \ , (42)
¿а1\£ а — 1 \ а — 1 ) а — 1 /
где решетка, Л = К1(М, р) и К2(М, р), д(Л) > 1 и Ь = дз (М, р(х)) > 1.
Доказательство. Действительно, пользуясь формулой (33), теоремой 7 и обозначениями из формулировки доказываемой теоремы, получим
„ | 8*Ш)1р „ 1
((а,р|М, р) = (н№)+ V . 1 М,р . < (нЩа) + АР(N) V --1--.
ы 1 ; ^ (—ц ^ т ■ 1 > к > ^ (—1. т ■ тз)а
т €К3 т£К3
Оцепим последнюю сумму с помощью леммы 4, получим:
У т-1-^ = + бА1(г) + 12А2$) + 8Аз(г) <
^ (—1 ■ —2 ■ тз)а га 1К! 2К' 317
т£К з
< тЖ+ Ь + ^(1 + С(а) + 1 + 1пЛ +
< га (а -1)га—1 га—1\ а -1 )
8 / Л/ . 1 + ((а) + (2(а) ( 2 +((а)N 1п2г \ т*Н)
+-т 1 + С(а) +-^—+ [1 +-^^ )1Ш + —-- ^ +
V-1 V 41 ; а - ^ V а -1 ) 2(а - 1)) V*
1 ( ,, ч 2Ь + 2°С(а)+8С2(а) ( 28 + 8((а) N 41п2 ¿4
Отсюда следует, что
а V (1пд(Л) + 1у
((а,р\М,р) < Сн(Л\а)+Ар(N)А3(I) < 2(а+1>+1 а (^-у) даЩ
А*Ш) (т*и) 2Ь + 2°((а) + 8(2(а) ( 28 + 8((а)N 41п2Г
+
□
3. Количество узлов в трёхмерной сетке Смоляка
Для того чтобы определить порядок роста отклонения сетки Смоляка при увеличении количества точек сетки необходимо подсчитать их количество. Из определения видно, что сетка Смоляка Бт(д) является объединением нескольких обобщённых равномерных сеток, при этом любые две сетки входящие в объединение имеют непустое пересечение. Поэтому здесь возможно два случая: число узлов подсчитывается с учетом их кратности и без учета.
3.1. Число узлов с учетом их кратности
По определению сетки Смоляка справедливо представление
' д—2 д—1-^1
/д-2 д—1 — 1*1 \
БШ(д)= У М (1У1,и2,и3)={ У У М (щ, ъ,д - V1 - ъ)} и
9-2^1+1^2+^3 \^1 = 1 ^1 = 1 /
(д—3 д—2—^1 \ /д—4 д—3—^1 \
и и М(щ, 1/2, д - 1 - г/2М и и и М(щ,1У2,д - 2 - Щ -^2)
и=1 и1 = 1 ) \^=1 и1 = 1 )
Нетрудно видеть, что любые два члена из объединения в правой части равенства (43) имеют непустое пересечение. А именно, справедливо равенство
М(»1, и2, »3) р|М(ЦЪР2,№)=М(\1,\2,\3), (44)
где Х1 = шт(и1,^1), Х2 = шт(и2, ц.2) ш \3 = шт(и3,^3).
Обозначим через число узлов сетки Бт(д) с учетом кратности, то есть узел (х1,х2,х3) имеет кратность равную числу различных наборов (щ, 1/2, V3) таких, что
(х1, х2, х3) = (к12—1, к22-2, к32—я)■
Ясно, что при таком подсчете узлов справедливо равенство
N1) = ^ \М (ч, 1У2, 1У3)\. (45)
Теорема 9. Если ^ число узлов сетки Бт(д) с учетом кратности, то при д ^ 5
выполняются соотношения:
Доказательство. Действительно, узлы сетки Смоляка имеют вид:
(—, —, —, где 0 4кг 4 2"1 — 1, 0 4 к2 4 2и2 — 1, 0 4 кз 4 2Уз — 1, у2VI' 2^2' 2^з) 3
^1, ^2, уз ^ 1 к д — 2 4 1У1 +1/2 +1/3 4 д.
Отсюда следует, что
2 2 я-к-2я-к-1-и1
N^ = Е £ 2У1 ■ 22 ■ 2У3 = ^ 2я-к ^ ^ 1 =
к=0 ^1+^2 + ^3 = Ч—к к=0 1/1 = 1 1^2 = 1
2 Я-к-2 2 д-к-2 2 , , Л( , >
= Е 2д-к Е (V — к — 1 — "1) = Е 2д-к Е ^ = Е 2д-к —к — 2 —к —1)
к=0 и1 = 1 к=0 и1 = 1 к=0
7 д 2 — 29 д + 32(
(46)
8
2 .
Так как N^ = 0(д22я), то д = О 2я = О ^и теорема доказана. □
3.2. Число узлов без учета их кратности
По аналогии с приведенной системой вычетов определим при 1/1,1/2,1^3 > 0 приведенные обобщенные равномерные сетки М*(1/2, 1/3), М*(и1, и2, 0) М*(0, и3), М*(0, 1/2, т/з), М*(и1, 0, 0) М*(0, 1/2, 0) М*(0, 0,1/3) равенствами
М*{„ у у\ = 2к1 — 1 2к2 — 1 2кз — 1 \ 1 4к1 4 2»1-1, 1 4 к2 4 2^2-1,1 (V1, V2, Vз) 21/1 , 2и2 , 2из ) 1 4к3 4 2из-1 ] ,
М ,2, 0
2 к2 — 1 2 кз — 1
2и2 , 2из
М >1,0,0) = {(Щ—-, 0,0
М*(0,1/2, "з) = \ 0,
М**(0,1/2, 0) = {(0,2, 0 2 кз — 1'
1 4кз 4 2"з-1 1 4 к1 4 21/1-1, 1 4к2 4 2й2-1
1 4 к1 4 2й1-1, 1 4 к3 4 2"3-1
1 4 к2 4 2У2-1, 1 4 к3 4 2У3-1
1 4 к1 4 21/1-1
1 4 к2 4 21"2-1
М*(0,0, г/з) = {^0,0, 2кз2— ^ 1 4 кз 4 2из-1|, М*(0,0,0) = {б} .
(47)
Ясно, что приведенные обобщенные равномерные сетки М*( 1/1,1/2,1/3), М*( 1/1,1/2, 0), М*(т/1, 0,1/3), М*(0,1/2,1^3), М*(1/1, 0, 0), М*(0,1/2, 0), М*(0, 0,1/3) состоят из
1М*(1/1,и2,1/з)1 = 2"1+2+3-3, IМ * (1/1,1/2, 0)| =2и1+и2-2, 1М*(1/1, 0,1/з)1 =2и1+из-2, (48) 1М*(0,1/2,1/3^ = 2"2+"3-2, М*( 1/ь 0, 0^ =2!У1-1, М*(0,1/2, 0)| =2"2-1, М*(0, 0,1/3^ =2!Уз-1 (49)
точек, так как каждая трёхмерная приведенная обобщенная равномерная сетка М*( 1У\, ь*2, ь'г) является декартовым произведением соответствующих одномерных приведенных равномерных сеток:
М *( Щ, 1/2, и3) = М *( VI) X М *( 1У2) х М *( из)
М = ^ 2и-1 - , М *И =2и-1, (50)
и справедливо равенство для количества точек одномерной приведенной равномерной сетки М*(и):
±Г 2»
и для удобства примем соглашение
М*(0) = {(0, 0, 0)} , |М*(0)| = 1. (51)
Ясно, что при V ^ 0 справедлива общая формула |М*(и)1 = 2й-1, из которой при и\, У2, Vз ^ 0 следует равенство |М*(щ,и2,и3)| = 2и1+и2+из-3.
Приведенные обобщенные равномерные сетки попарно не пересекаются. Отсюда вытекает важное для дальнейшего разбиение обобщенной равномерной сетки на непересекающиеся подсетки.
Лемма 5. Справедливо представление
М(VI, V2, Рз)= и М*(Ц1,»2,»3). (52)
0^ ,]=1,2,3
Доказательство. Действительно, имеется единственная нулевая точка, и он образует
М*(0, 0, 0)
Рассмотрим произвольную ненулевую точку обощенной равномерной сетки
(—, —, —) 1 < к1 < 2й1 - 1, 1 < к2 < 2У2 - 1, 1 < к3 < 2У3 - 1.
Каждая такая точка однозначно определяет приведенную обобщенную сетку М*(р1,^2, №3) которой она принадлежит. А именно, при ] = 1, 2, 3 если ку = 0, то = 0; если кj = 0 (к], 2Vj) = 2^, то ^ = -
Отсюда следует, что ненулевые точки образуют следующее объединение приведенных обобщенных равномерных сеток:
У М*(р1,№2,^3).
Объединяя с сеткой М*(0, 0, 0), получим утверждение леммы. □
Теорема 10. Если Ыд2 — число узлов сетки Бт(д) без учета кратности, то при 5 выполняются соотношения:
Ы(2) =2Т-2*±р*, , = 0 |><2)) , 2« = 0 ()■
Доказательство. Из определения сетки Смоляка и из леммы 5 следует представление вт(д) = У М(VI, Р2, V3)= и М*(^1,^23). (53)
1,1,1,2,1"з>1 М1+М2+М3 ^
Так как различные приведенные обобщенные равномерные сетки не пересекаются, то Ы(2) = 1Бт(д)1 = £ 1М*(Щ,№2,№3)1 = £ 2^+^ +^3-3.
Д1+112 + 113<-Я т+Д2+113<-Я
Отсюда следует, что
Ы(2) = 1 + 3 ^ 2^1-1 + 3 ^ ^ 2^1+^2-2+
Кд-2 1^р1^д-2 1^Р2^.Я—1—Ц1
+ у ^ у ^ 2^1+^2+^3-3 =
= 1 + 3(2<1-2 - 1)+3 2111-1 (2<1-1-^1 - 1) +
+ ^ ^ 2^2-2 (2^1-^2 - 1) =3 ■ 2д-2 - 2 + 3 ■ 2(}-2(д - 2) - 3 (29-2 - 1) +
2 Ыр2<:.д-1-Ц1
+ ^ 2('-2(д - 1 -№1) - ^ 2111-1 (2д-1-^1 - 1) =1 + 3 ■ 2('-2(д - 2) +
+ £ 2я-2(д - 2 -1м)+21-2 - 1 = 21-2(3д - 5) + 2^-2 (д 2)(д 3 =2^-2<1 +д 4.
(2) ( N^2) \
Отсюда следует д = 0(1п N )),2<1 = О I 2 q {2) I и утверждение теоремы полностью дока-
\1п Nq /
□
3.3. Число узлов с учетом их весов
Квадратурная формула трёхмерной сетки Смоляка с весами имеет вид 1 1 1
!■ !■ !■ " (_-\)1ГЧ1 4 4 1 . . . ж—
¡(Х1,Х2,Х3)(1Х1(1Х2(1Х3 = ^2 2я-1 2 Е Е Е Е Е
0 0 0 1=0 "1 = 1 V2 = 1 к1 =0 к2=0 к3=0
{т1к1 т2к2 т3^ \ т
V 2и1 ' 2и2 ' 2ч--и1-и2
■ - ^(д)[Ц,
(54)
где N(д) — число узлов сетки с ненулевыми весами, а RN(д)[/\ — линейный функционал погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле.
Введём обозначение
2 / л \1 <1-1-2 д-1-и1-121/1 -12и2-1 2ч-1-1/1-1/2-1 . .
= (-1)с2 у^ V V V V Л (т1к1 т2к2 _т3к^_\
д[ J] = / 2д-I / / / / / ■> I 2и1 , 2и2 , 2я--и1 -и2 I .
1=0 V1 = 1 У2 = 1 к1=0 к2=0 к3=0 4 7
Это равенство можно переписать в виде
Пг] = V (-1)1С12 д-1-г-1 V V ^^М
д[J ] 2д-1 2.^/ 2.^/ 2.^/ J I 2^, 2и2, 2^ )
1=0 и1=1 и2=1 "3=я-1-1-2 ,^,ем(»1,^3)
Воспользуемся представлением (5), получим
2 ( 1)1С1 я-1-2 я-1-^-1 (
им = Е ^ Е Е Е (ж0)+ Е
1=0 ^ = 1 и2 = 1 "3=Я-1-1/1 -"2 \ 04^3 , ,= 1,2,3 (р1,Ц2,Цз)=0
\
к1
V f (— к!, кз \
Меняя порядок суммирования, получим:
[ п =/т0)* Е ^ Е / (!к • 22, ^ )■
т +М2+М34я,(Р1,И2,И3)=0 (,,ем*(т,Ц2,Цз)
( к1_ к2_ кз \ р\2^ , 2^-2, 2тз у
2^1' 2^ ' 2тз где
2 ( Г<1 я-1-2 я-1-^-1 2 { Л\1 я-1-2
р(0) = Е ^ Е Е Е 1 = ЕI- а—' — * — 1)
1=0 1/1 = 1 1/2 = 1 из=д-1-и1 -и2 1=0 1/1 = 1
= 1 (^^^ — 2('1 — 3)(д — 2) + 2(, — 4){11 — 3)) = 1.
а для , 22-, = 0 имеем:
(к^к^кз. \ =^т (—1)1с12 д-т2 9-1-т-1 V 1 =
I=0 их =тах(1,т) 1^2=тах(1,т2) ^3=я-!-^-1/2^^3
2 / л\1Ы я-1-2 ш1п( я-1-1/1-1, я-г-их-цз) 2 , -.\lfil я-1-2 я-Ь-^-тах^тз)
у(_—ЩсА у у 1 = у(—)С у у 1 =
2 - 2 -
1=0 =тах(1,т) V2=max(1,|l2) 1=0 VI=тах(1,т) V2=max(1,|l2)
2 I Л\1г<1 ™1п( я-1-2, я-1-тах(1,цз)-тах(1,Ц2))
= Е 2 Е (д — 1 — У1 — Шах(1,Мз) — шах(1,Ц2) + 1) =
1=0 VI=тах(1,т)
2 (~1)1С1 я-1-^-^ = ^-1-^ (1 — 1 — »1 — № — Тз + 1) =
1=0 VI=[Ц
= у^ (—1УС12 (д — 1 — Ц.2 — № — М1 + 1)(д — 1 — Ц-2 — № — М1 + 2)
= 2 я-1 2 .
=0
Лемма 6. Пусть величина Б(д, р) при натуральных д и ц, с 1 4 М 4 д задана, равенством
Б{д ц) = (—1УС2 (я — 1 — ц + 1)(д — 1 — ц + 2)
2 -
=0
тогда справедливы соотношения
2?, при М = Я,
Б (д ,ц) = < — , пРи М = у — 1
24 2
———при ц 4 д — 2.
Доказательство. Действительно,
" (-1)1С\ (1 - 1)(2 — I) 1
5 ((1' ^ = Е 21 - 2 -Я'
I=0
При д = д — 1 получим
5 м- 1) = £ ^ = 1(3 — 4) = — 2,
=0
Наконец, при д < д — 2 имеем:
«д=£^—1—Д+1)("—1—»+2) =
I=0
= 1 £ („ — Д + 1К„ — Д + 2) — 2(Я — ^ — у + 1)+2(<1 — 1 — ^ =
= д2 — (Ъ + 2р)д + р2 + 5р + 2 = {д — д — |)2 — 17 = 21 2 =21 2
и лемма полностью доказана. □
Теорема 11. В квадратурной формуле
1 1 1
/ / / Кхи^Л^2 3 = /Шб)+
0 0 0
+ е Е /(2^, , , 21, 2Ю—^ [/] (55)
^1+^2 +1*3 , (^1,^2,^3)=0(^ ^ , ^ , ем *(Ц!Р2Р3 )
все узлы отличны от нуля и их количество N(д) = Ы2 = 2д-2 я +2-4 ■
Доказательство. Действительно, из предыдущего и леммы 6 следует, что
^ = 1д2 — п^ + 26 (кз\ = (д — Д — Д2 — Дз — |)2 — 17
Р( ) 21 2 ' Р\2^1' 2№' 2^з) 21 2 '
Таким образом, все веса не обращаются в ноль, а так совокупность всех узлов квадратурной формулы (55) совпадает с множеством всех узлов сетки Смоляка без повторений, то из
□
4. Заключение
В данной работе получены следующие результаты:
1. доказана усиленная обобщённая теорема Бахвалова-Коробова для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток;
2. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их кратности; число узлов с учетом их весов.
3. подсчитано число узлов сетки Смоляка без учета их кратности;
4. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их весов;
5. найдена форма квадратурной формулы с сеткой Смоляка без кратных узлов и найдены явные формулы для весов этой квадратурной формулы. Показано, что количество узлов такой квадратурной формулы в 7 раз меньше, чем в случае формулы с кратными узлами.
В следующих статьях предполагается дать формулы для значения тригонометрических сумм сеток Смоляка, новые оценки погрешностей квадратурных и интерполяционных формул для трёхмерных сеток Смоляка.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3-18.
2. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 193 с.
3. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. \!.. Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 284 с.
4. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский И. \!.. Добровольский Н. И. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.
5. Добровольская Л. П., Добровольский И. \!.. Добровольский Н. И., Огородничук И. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" . Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90-98.
6. Добровольская Л. П., М. Н. Добровольский, Добровольский Н. \!.. Добровольский Н. Н., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 47-52.
7. Добровольская Л. П., Добровольский И. \!.. Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185-223.
8. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82-90.
9. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090-84.
10. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089-84.
11. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Е-(с) и Н-(с) / Деп. в
12. Добровольский И. \!.. Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГу, 2002. С. 18-20.
13. Добровольский И. \!.. Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. С. 56-67. *
14. Добровольский И. \!.. Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.
15. Добровольский И. И. О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях
1 4 < 21 2003. Т. 9, вып. 1. С. 91-95.
16. Добровольский И. И. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110-152.
17. Добровольский И. И. О тригонометрическом полиноме сетки Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 36-36.
18. Добровольский И. И. О гиперболическом параметре сетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6-18.
19. Добровольский И. И. Гиперболический параметр сеток с весами и его применение: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2014.
20. Киселёва О. В. О задаче Коробова для модифицированных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 4(24). С. 50-104.
21. Коробов И. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062-1065.
22. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.
23. Коробов И. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124,№ 6. С. 1207-1210.
24. Коробов И. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.
25. Коробов И. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
26. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83-90.
27. Коробов И. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004.
28. Реброва И. Ю., Чубариков В. Н., Добровольский И. Н., Добровольский М. И., Добровольский Н. М. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 4, С. 118-176.
29. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5, С. 1042-1045.
30. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.
31. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818-821.
32. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.
33. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел / М.: Изд-во "МИР" 1974.
34. Dobrovolskava, L. P., Dobrovolskv, М. N., Dobrovol'skii, N. \!.. Dobrovolskv, N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. V. 211. 2014. P. 23-62.
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0^2
35. Faure H. Discrepance de suites associees a un svsteme denumeration (en dimention s) // Acta Arith. 41. 1982. P. 337-351.
36. Halton J. H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals. // Numerische Math. 27. № 2 (1960), 84-90, Bd 2 № 2.
37. Hammerslev J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems // Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.
38. Wevl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).
REFERENCES
1. Bakhvalov, N.S. 1959, "On approximate computation of multiple integrals" , Vestnik Moskov-skogo universiteta, no. 4, pp. 3-18.
2. Vronskava, G.T. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, Otklonenie ploskikh setok [Standard deviation of a flat mesh], Izdatel'stvo TGPU im. L.N.Tolstogo, Tula, Russia.
3. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, Mnogomernve teoretiko-chislovve setki i reshvotki i algoritmv poiska optimal'nykh koehffitsientov [Multidimensional number-theoretic grids and lattices and algorithms for finding optimal coefficients], Izdatel'stvo Tul'skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. L.N. Tolstogo, Tula, Russia. 284 p.
4. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, "The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients" , Chebvshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4-107.
5. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, N. M., Dobrovol'skii, N. N., Ogorodnichuk, N. K., Rebrov, E. D. к Rebrova, I. YU. 2012, "Some questions of the number-theoretic method in the approximate analysis", Trudy X mezhdunarodnoj konferentsii "Algebra i teoriva chisel: sovremennve problemv i prilozheniva" Uchenve zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of the X international conference "Algebra and number theory: modern problems and applications "scientific notes of Orel state University], no. 6, part 2, pp. 90-98.
6. Dobrovol'skaya, L. P., Dobrovol'skii, М. N., Dobrovol'skii, N. М., Dobrovol'skii, N. N., к
Rebrova, I. YU. 2013, "Some questions of the number-theoretic method in the approximate analysis" , Izvestie Saratovskogo universiteta. Novava seriva. Seriva: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.13, no. 4(2), pp. 47-52.
7. Dobrovol'skaya, L. P., Dobrovol'skii, N. M. к Simonov, A.S. 2008, "On the error of approximate integration over modified grids" , Chebvshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185-223.
8. Dobrovol'skii, M. N. 2003, "Estimates of sums over a hyperbolic cross" , Izvestie Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriva: Matematika. Mekhanika. Informatika, vol.9, no. 1, pp. 82-90.
9. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "The hyperbolic Zeta function of lattices" , Dep. v VINITI, no. 6090-84.
10. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids" , Dep. v VINITI, no. 6089-84.
11. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "On quadrature formulas in classes E^(c) and Hf(c)", Dep. v
12. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. & Yafaeva, R. R. 2002, "On grids of Smolvak S. A." , Sovremennve problemv matematiki, mekhaniki, informatiki: Tezisv dokladov Vserossijskoj nauchnoj konferentsii, Tula, Russia, pp. 18-20.
13. Dobrovol'skii, N. M. к Manokhin, E.V. 1998, "Banach spaces of periodic functions" , Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56-67.
14. Dobrovol'skii, N. M., Manokhin, E.V., Rebrova, I. YU. к Roshhenva, A. L., 2001, "On the continuity of the Zeta function of a grid with weights" , Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 7, no. 1., pp. 82-86.
15. Dobrovol'skii, N. N. 2003, "On the number of integer points in a hyperbolic cross at the values of 1 ^ t < 2V , Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 9, no. 1, pp. 91-95.
16. Dobrovol'skii, N. N. 2007, "Deviation of two-dimensional Smolvak grids" , Chebvshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 110-152.
17. Dobrovol'skii, N. N. 2007, "A trigonometric polynomial on a grid of Smolvak", Materialv mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii "Sovremennve problemv matematiki, mekhaniki, informatiki" [Proceedings of the international scientific conference "Modern problems of mathematics, mechanics, computer science"], Tula, Russia, pp. 34-36.
18. Dobrovol'skii, N. N., 2013, "О гиперболическом параметре сетки", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 2. P. 1. P. 6-18.
19. Dobrovol'skii, N. N., 2014, Hyperbolic parameter of meshes with weights and its application, Ph.D. Thesis, Moscow State University, Moscow, Russia.
20. Kiseleva О. V., 2007, "On the Korobov problem for modified resin grids" , Chebvshevskij sbornik, vol. 8, no. 4(24), pp. 50-104.
21. Korobov, N. M., 1957, "Approximate evaluation of multiple integrals by using methods of the theory of numbers", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 115, no. 6, pp. 1062-1065.
22. Korobov, N. \!.. 1959, "The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients", Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19-25.
23. Korobov, N. M., 1959, "On approximate computation of multiple integrals", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207-1210.
24. Korobov, N. M., 1960, "Properties and calculation of optimal coefficients", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009-1012.
25. Korobov, N. M., 1963, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.
26. Korobov, N.M. 1994, "Quadrature formulas with combined grids", Matematicheskie zametki, vol. 55, no. 2, pp. 83-90.
27. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.
28. I. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2018, "On classical number-theoretic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 118-176.
29. Smolvak, S. A., 1963, "Quadrature and interpolation formulas on tensor products of some classes of functions", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 148, no. 5, pp. 1042-1045.
30. Sobol', I. M., 1969, Mnogomernve kvadraturnve formulv i funktsii Khaara [Multidimensional quadrature formulas and Haar functions], Nauka, Moscow, USSR.
31. Frolov, К. K., 1976, "Upper bounds on the error of quadrature formulas on classes of functions", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 231, no.4, pp. 818-821.
32. Frolov, К. K., 1979, Quadrature formulas on classes of functions, Ph.D. Thesis, Vychislitel'nyj tsentr Akademii Nauk SSSR, Moscow, USSR.
33. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.
34. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N., 2014, "On Hyperbolic Zeta Function of Lattices", Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, vol. 211, pp. 23-62.
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0^2
35. Faure, H., 1982, "Discrepance de suites associees a un svsteme denumeration (en dimention s)", Acta Arith, vol. 41, pp. 337-351.
36. Halton, J. H., 1960, "On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals", Numerische Math, vol. 27, no. 2, pp. 84-90.
37. Hammerslev, J. M., 1960, "Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems", Ann. New York Acad. Sci., vol. 86, 844-874.
38. Wevl H., 1916, "On the uniform distribution of Numbers mod. one", Math. Ann., vol. 77, pp. 313-352.
Получено 16.10.2019 г.
Принято в печать 12.11.2019 г.
