CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 6-18
= Математика
УДК 511.3
О гиперболическом параметре сетки *
Н. Н. Добровольский
Аннотация. Выводятся оценки для гиперболической дзета-функции сеток через гиперболические параметры сеток.
Ключевые слова: сетка, квадратурная формула, гиперболическая дзета-функция сетки, гиперболический параметр.
Введение
Рассмотрим класс А всех периодических функций /(X) 8-переменных с периодом 1 по каждой переменной, у которых их ряд Фурье
1 1
/(X) = ^ С(т)е2™(т>х), С(т) = 1...1 /(ж)е-2™(т’Х)^ж
гп^Ъа 0 о
абсолютно сходится. Пространство А относительно нормы
11/(х)11г1 = ^ |С(т)| < го
т &,в
является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству 11 — всех абсолютно суммируемых комплекснозначных последовательностей (см. [7]).
Рассмотрим квадратурную формулу с весами
1 1 N
І...І / (Х1,...,Х3 )йх!...йхэ = Рк / & (к), •••,&(*)] - [/]• (1
к=і
0 0
Здесь через RN [/] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла
і і
1...1 / (х1,..., х3)йх1... йх3
00
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-а).
средним взвешенным значением функции /(х\,...,х3), вычисленным в точках
Мк = (&(*), •••,&(*)) (к = 1...М).
Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.
Для произвольных целых т1,...,т3 суммы Бм,р(т1,.. .,т3), определённые равенством
N
Бм,р(тъ--,т8) =^2 рк в2™[т1«1(к)+'- +т^ (к)1, (2)
к=1
называются тригонометрическими суммами сетки с весами.
Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами
$М,р(т1,-.т3) = NБм,р(т1,..т3).
N
Положим р(М) = ^ | р^ |, тогда для всех нормированных тригонометрических 3 = 1
сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка
)1 « . (3)
Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки, нормированная тригонометрическая сумма сетки и писать
Бм(т), Б*м(т).
Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [3]). *
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно,
С(т) — ее коэффициенты Фурье и Бм,р(т) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство
V ГО
1 „ ^ \ 1
RN [/] = С(0)(NБмр(0) - Л + N ^ С(т)Бм,р(т) =
' ' Ш\. ,Шз = -<Ж
ОС
= С(0) {Б*Мр(0) -1) + с(т)бм,р(т) (4)
и при N ^ ж погрешность RN [/] будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном в-мерном кубе.
Здесь и далее ^' означает суммирование по системам (т1,... , тв) = (0,... , 0).
*
Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е<а(С) (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Еа(С) обозначается множество функций из ЕЭа с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Еа радиуса С с центром в нуле.
Банахово пространство Еа состоит из функций /(х1,... ,х3), имеющих по каждой из переменных х1,... ,хэ период, равный единице, и для которых их ряды Фурье
СЮ
/ (х1 ,...,х3)= ^2 С (т1,...,т8)е2п1(т1Х1+--- +т°х°) (5)
Ш1,. . . ,Шв= — ГО
удовлетворяют условиям *
|С(т1,.. .,т&)1(т1. ..Шэ)а = ||/(Ще* < ж. (6)
т&ъв
Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как
II/(хж < II/(х)1Е(1 + 2((а))э,
а поэтому для любого а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, £ (а) — дзета-функция Римана.
Относительно нормы ||/(х)Це? пространство ЕЭа является несепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству 1^ — всех ограниченных комплекснозначных последовательностей (см. [7]).
Для дальнейшего мы будем рассматривать класс Еэ = и ЕЭа. Очевидно,
а>1
что Еэ С Аэ. Ясно, что класс Еэ незамкнут в пространстве относительно нормы ||/(ж)|г1, но является всюду плотным множеством.
Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д(х) = х ■ ... ■ хэ. Усеченной норменной поверхностью с параметром £ ^ 1 называется множество Ns(t) = [х1д(х) = Ь, х = 0}, которое является границей гиперболического креста Кэ(Ь), заданного соотношениями Кэ(Ь) = {х1д(х) ^ £}. Для натурального £ на усеченной норменной поверхности имеется т* (Ь) целых ненулевых точек, где
<(£)= Е' 1 (7)
т €N (4)
— число представлений натурального числа £ в виде £ = ш1 ■ ... ■ Шэ.
* Здесь и далее для вещественных т полагаем т = тах(1, |т|). Таким образом, величину т можно назвать усеченной нормой числа т, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.
Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции II/(ж)||е^. Справедливо равенство
Очевидно, что Ef(C) С E'g (C) при а ^ в. Для любой периодической
||f(x)llEa = maxi |C(0)|, sum ta ■ max |C(m)|
s V ten V meN (t)
Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f (x) из Ef(C) по модулю ограничена величиной C ■ (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции
^ C p2ni(rn,x)
f(x) = nL m.... ■ Wh)a
m =—ro
в точке x = 0.
Очевидно,
функции f(x) € Ef(C) С Ee(C) справедливо неравенство для норм
||f (x)llE^ > ||f (x)llEP.
Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида
f (x) = C(0) + ^2 C(m) e2ni(m’x). m eN (1)
В работе [3] дано следующее определение дзета-функцией сетки M с весами р и параметром p ^ 1.
Определение 1. Дзета-функцией сетки M с весами р и параметром p ^ 1 называется функция ((a/pM, р), заданная в правой полуплоскости a = а + it (а > 1) рядом Дирихле
Z(a,p\M,p)= У' ^ = у- S'<J>,M,P,n)
^ (ml...ms)a ^ па
mi,. . . ,ms = -у n=l
(8
где
3*{р,М,р,п)= ^2 (9)
т ЄN (п)
Непосредственно из определения следует неравенство
с(ра,рМ,р) < (р(а, 1ІМ,р) (а > 1). (10)
Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать £(а,р1М) .
Теорема 2. Если /(х\,...,х3) € Е(0‘(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка
\Ям[/]| < С
N$м,р0) - 1
+ С \т^' \8м,р(т )\
N ^ (т\.. .ш8)а
ті,. . . ,Шв=-ж 4 '
= С |5М ,р(0) - 1| + С ■ С (а, 1\М,
(11)
где сумма Бм,р('Л) определена равенством (2). На классе Е<а(С) эту оценку нельзя улучшить.
Другими словами теорему 2 можно сформулировать так:
Для нормы ||Я^ [/ИЫа линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (1) справедливо равенство
1|Я^ [/ ]11е? =
-іт;3м,р(0) — 1
Г
\Бм,р(т )\
1
N ^ (Ш\. . .Ша)с
ті,. . . ,тв = -ж 4 7
= К ,р(0) —11 + ^(а’ 1\М’
(12)
Если рассмотреть класс Е3 с нормой
11/(х)11Еа’Ч = + ^2 1С(гп)1Я(т1...т3) И < те,
\ Ш\,. . . ,Шв=-<^ /
то справедлива следующая теорема.
1 +1 Р я
квадратурной формулы справедлива оценка
Теорема 3. Если /(х) Є Еи р + 1 = 1, то для погрешности
NSм,р(o) -1
р 1
+
£'
\Бм,р(т )\р
N р ^ (т\...т3)с
ті,. .. ,ms=—ж 4 7
= ||/(х)11Еа’« (Нмр(0) - 1| + С(а,Р1М,р^) р , (13)
где сумма Бм,р(т) определена равенством (2). На классе Е‘а‘,я эту оценку нельзя улучшить.
Доказательство. Действительно, по теореме 1
(V У
NБм,р(0) - Л + N С(т)Бм,р(гП) =
' Ш\,. . . ,Шв = — У
_ — ч а Зм,р(т)
= С(0) ( к3м,р(0) - Ч+ N ^ С(т)(ті---т)
N
ті,. . . ,тв =—ж
(т\... т3) р
ОО
30
Применим к правой части неравенство Гёльдера, получим
/ оо
|я*[/]| < |С(0)|я + Е' |С(т)|я(шг...т3)
Ш\,. . . ,Шз =-У
-^^м,р((0) - 1
1
+ №
ОО
'
. . ,Шв = — У |Р
^м,р(т )|Р (т,1. . .Ш3)а
= ||/^Ие^ (|^м,р(0) - 11 + С(а,р1м,р)) р
Так как неравенство Гёльдера обращается в равенство при
О,
С(0) Н
при б*м ,р(0) =1;
зм ,д(0)-1
при б*м ,р(0) =1;
С (т) =
О,
при 8м,р(Ш) =
НМ ,я(т)
^(гп)(т1. . . те)°
то теорема полностью доказана.
при Зм,р(т) =0;
т = О,
Из теорем 2 и 3 следует, что на классах Еа и Е^'4 оценка погрешности приближенного интегрирования сводится к оценке гиперболической дзета-функции сеток. Проводя аналогию с гиперболической дзета-функцией решетки, которая равна гиперболической дзета-функции сеток в случае параллелепипедальной сетки, можно высказать гипотезу, что для гиперболической дзета-функции сеток должен быть справедлив аналог теоремы Бахвалова об оценке гиперболической дзета-функцией решетки через гиперболический параметр решетки.
Цель данной работы — ввести понятие гиперболических параметров решетки и доказать аналог теоремы Бахвалова для гиперболической дзета-функции сеток.
1. Первый и второй гиперболические параметры сеток
В работе [9] было дано такое определение.
«Гиперболическим параметром сетки М с весами р(х) назовем величину д (М, р(х)) = шш т1.. .Ш~з . »
т €28\{0},|5(гл, )|>0
В этой статье использовались несколько иные обозначения. Так
1
|М |
х^м
Р
р
и
р
тригонометрическая сумма сетки М с весами р(х);
^ (т)|
(и (м, р(х)1а) = ^2'
(т,\... т3)а
т €ЪВ У 1
— гиперболическая дзета-функции сетки М с весами р(х).
Первое применение гиперболического параметра сетки вытекает из теоремы Абеля (см. [17], стр. 106), позволяющее представить гиперболическую дзету-функцию сетки М с весами р(х) в интегральном виде
СО
Б^М, р(х))(И
Си(М, р(х)1а) = а
' іа+1
д(м,р(х))
где
0(ЦМ, р(х)) = ^2 13(т)|
Ш, ш\. . . Шв
— сумматорная функция тригонометрической суммы.
В работе [3] для любой сетки М с весами р на пространстве периодических функций Еа рассмотрен линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних заданный равенством
1 *
д(х) = Ам,р}(х) = — ^ рк / [хі + Сі(к),---,Хз + Сз(к)\. (14)
к=1
Через Ам,рС(т) обозначается действие линейного оператора Ам,р на коэффициенты Фурье функции / (х).
Лемма 1. Для любой периодической функции /(х) из пространства Е\ и её коэффициентов Фурье С(т) разложения в ряд Фурье
/ (х) = С (т )е2пі(шх (15)
02пг(Ш,х) ті,. . . ,ш5=-у
справедливо равенство
Ам,рС(т) = 3м,Р(т) С(т) = Б*м Ат)С(т), (16)
\р
нормированная тригонометрическая сумма сетки с весами.
Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа
где Бм,р(т) — тригонометрическая сумма сетки с весами, а Б*м ^(т)
умма ная о
р(М)
\\Ам,р/(х)\\Еа < ||/(х)\\Еа ■ (17)
—
Доказательство. См. [3], стр. 194
С точки зрения величины нормированной тригонометрической суммы сетки с весами естественно определить следующие пять подмножеств фундаментальной решётки Ъ8:
Ко = Ко(М, р) = {т € Ъ8 1 Б*м р(т^0^ (18
К1 = К1(М, р) = {т е Ъ8 1 Б*м’ р(т) = 1}, (19
К2 = К2(М, р) = {т € Ъ81 Б__’р(т) = 1, |Б_ ’ р(т)| = 1}, (20
Кз = Кз(М, р) = {т € Ъ81 0 < )| < 1}, (21
К4 = К4(М, р) = {т € Ъ 1 1БМ’р(т)| > 1}. (22
Ясно, что Ъ8 = Кои К1 и К2 и К3 и К4. Такое разбиение называется разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования.
В работе [3] было дано определение нормального и несмещенного линейного оператора А_^ взвешенных сеточных средних (см. [3], стр. 195 и 199). Нормальный оператор не увеличивает норму любой функции, то есть К4 = 0, а для несмещенного оператора имеем: р(0) = 1.
Далее везде будем считать, что веса р выбраны так, что соответствующий линейный оператор А_^ взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным. Для таких операторов выражение гиперболической дзета-функции сетки имеет более простой вид
1 ^ I Б*м М)Г
с(а,р1М,р)= ^ (ш_’р ш)а . (23)
—' (т1...т8)а ' (т1.. .т8)а
т€К1и К2У 1 8 т€К3У 1 8
Определение 2. Для произвольного подмножества К фундаментальной решётки Ъ8 гиперболическим параметром д(К) называется величина
д(К) = шш т1... т8.
т €К
(24)
Для пустого множества К полагается д(К) = те.
Используя это общее определение, в случае нормального, несмещенного линейного оператора А_,р взвешенных сеточных средних можно определить первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р.
Определение 3. Для произвольной сетки М с весами р такими, что соответствующий линейный оператор Ам’р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р задаются равенствами
д„ (М, р(х)) = д(К (М, р(х))) (и = 1, 2,3). (25)
Ясно, что гиперболический параметр сетки и первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р связаны соотношением
д (М, р(х)) = шш ди (М, р(х)).
и=1 ’ 2 ’ 3
Пусть сетка М — рациональная со знаменателем р, то есть в 8-мерном кубе С3 = {X | 0 ^ XI < 1(г = 1,..., в)} имеется N рациональных точек вида
/х(к) х(к)\
1X1 Х( ' к = 1(26)
\ р р /
х(к) — целые, 0 ^ х(к) ^ р — 1, р — натуральное.
Теорема 4. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с весами р, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, справедливо соотношение
р ■ Ъ С Кі (М, р(х)) ,
кроме того тригонометрические суммы Б*м р(т) с весами р принимают конечное число различных значений, не превосходящее ря.
Доказательство. Действительно, если
х (х1] х^\
Хк = , . . . ,- ,
рр
то (т, Хк) Є Ъ для любого т Є р ■ Ъ, поэтому е2т(т’Хк) = 1 и
N
Я*м, р(т) = N^2 Р(рк) = Б*м,/0) = 1
к=1
так как линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным.
Аналогично получаем, что
БМ,р(т) = Бм,р(т + Р • п)■
Следовательно, все различные значения тригонометрических сумм Б*мр(т) с весами р содержатся среди т € [— рър2](, где р1 = [р-1] и
Р2 = [|]•
Теорема 5. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество К1(М,р) является целочисленной решеткой.
Доказательство. Действительно, если для т выполняется равенство БМ р(т) = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при
условии, что е2т(т’рк) = 1 при к = 1,..., N. Это означает, что (т,Хк) € Ъ при к = 1,..., N. Таким образом, т € К1(М, р) тогда и только тогда, когда (т, Хк) € Ъ при к = 1,... ^. Но если т 1,т2 € К1(М, р), то и т 1 ± т2 € € К1(М,р), это означает, что К1(М,р) является целочисленной решеткой.
Теорема 6. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р, для которых линейный оператор Амр взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество К1(М, р) и К2(М, р) является целочисленной решеткой.
Доказательство. Действительно, если для т выполняется равенство |БМ р(т)| = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при
условии, что найдется х € [0,1) такой, что е2т(т’рк = е2тх при к = 1,..., N. Это означает, что {(т,Хк)} = х при к = 1,... ^.
Таким образом, т € К1(М, р)[] К2(М,р) тогда и только тогда, когда {(т,Хк)} = {(т, Х1)} при к = 1,...^.
Но если т 1,т2 € К1(М, р) У К2(М, р), то и
это означает что К1 (М,р)\_\ К2(М,р) является целочисленной решеткой.
2. Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции сеток
Для формулировки обобщенной теоремы Бахвалова для гиперболической дзета-функции сеток нам потребуется обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток из работы [5], одна лемма из работы [4] и одно новое определение.
Определение 4. Будем говорить, что сетка М с весами р, для которой линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, имеет тип А^, в) < 1, если для любого т € Кз(М,р) выполняется оценка
Теорема 7. (Обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток) Для любой в-мерной решетки Л справедливы оценки
где А — наибольшее число такое, что в-мерный куб [—А; А]( не содержит ни одной ненулевой точки решетки Л.
Доказательство. См. [5].
т і ± т 2 Є Кі(М,р)У^ К2(М,р),
сн (Л |а;) <
при д(Л) = 1;
(1п д(Л) + 1)5 1 да(Л)
при д(Л) > 1,
Лемма 2. Справедливо неравенство
1 ( 1П-1 і
а — Ш — 1)!
+
£ ^ (Ё С (а‘)З-2-к" ст ^
т=0 \к=ш
у
где £(а) = X] т-а — дзета-функция Римана при а > 1.
т=1
Доказательство. См. [4].
Теорема 8. (Обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток) Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р типа А(Ы,в) < 1, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, справедлива оценка
<(а.р\м.р) < 2<а+1»+1а (а—1)' (1П1 +
+т^в) ^ (( ы!:11 , „ +
(а — 1)(в — 1)!
£ — 2 і т , / 5— 2
+ Е^Ёсн*-2-кст + С-1 . (28)
т=0 \к=т / /
где решетка Л = К1(М, р) У К2(М, р) и Ь = д3 (М, р(Х)).
Доказательство. Действительно, пользуясь формулой (23), теоремой 6 и обозначениями из формулировки доказываемой теоремы, получим
„ 1Б*Мр,(гп )1Р
С(а,р1М,р) = (и(Л|а)+ ^2 - ---_ ^
^ (Ш1...Шэ)с
т €кэ
< Сн(Л\а)+Ар(М,з)А3(і) < а у (1пд(Л) + 1)5-1 .а — 1) да(Л)
1 ( 1п5-1і
< 2(а+1>+1а{ — )3 (1Пд(Л)+1) +
V а — 1) да(Л)
+АР(ы.в)
+
(а — 1)(в — 1)!
+ £ ‘ПТтІ (і! с(а‘)й-2-кст а —1 ^{а> +
т! к а — 1 а — 1
т=0 к=т
Список литературы
1. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 3-18.
2. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов / Л.П. Добровольская [и др.] // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2012. Т. 13. Вып. 4 (44). С. 4-107.
3. Добровольская Л.П., Добровольский Н.М., Симонов А.С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2008. Т. 9. Вып. 1 (25). С. 185-223.
4. Добровольский М.Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82-90.
5. Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета функция решёток / Н.М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - № 6090-84.
6. Добровольский Н.М. О квадратурных формулах на классах Е'а(с) и На(с) / Н.М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6091-84.
7. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. С. 56-67.
8. О непрерывности дзета-функции сетки с весами / Н.М. Добровольский [и др.] // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.
9. Добровольский Н.Н. ПОИВС ТМК: Гиперболический параметр сеток с весами // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междун. научно-практической конф. Тула: Изд-во ТГПУ им Л.Н. Толстого, 2011. С. 266-267.
10. Коробов Н.М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 19-25.
11. Коробов Н.М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207-1210.
12. Коробов Н.М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.
13. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
14. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. Второе издание. М.: МЦНМО, 2004.
15. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818-821.
16. Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.
17. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.
Добровольский Николай Николаевич (nikolai.dobrovol-sky@gmail.com), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
About hyperbolic parameter of nets
N. N. Dobrovolskiy
Abstract. We derive estimates for the hyperbolic zeta function of nets through hyperbolic parameter of nets.
Keywords: net, quadrature formula, hyperbolic zeta function of nets, hyperbolic parameter of nets.
Dobrovolskiy Nikolai (nikolai.dobrovol-sky@gmail.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 17.05.2013
