О гиперболическом параметре сетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 6-18

= Математика

УДК 511.3

О гиперболическом параметре сетки *

Н. Н. Добровольский

Аннотация. Выводятся оценки для гиперболической дзета-функции сеток через гиперболические параметры сеток.

Ключевые слова: сетка, квадратурная формула, гиперболическая дзета-функция сетки, гиперболический параметр.

Введение

Рассмотрим класс А всех периодических функций /(X) 8-переменных с периодом 1 по каждой переменной, у которых их ряд Фурье

1 1

/(X) = ^ С(т)е2™(т>х), С(т) = 1...1 /(ж)е-2™(т’Х)^ж

гп^Ъа 0 о

абсолютно сходится. Пространство А относительно нормы

11/(х)11г1 = ^ |С(т)| < го

т &,в

является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству 11 — всех абсолютно суммируемых комплекснозначных последовательностей (см. [7]).

Рассмотрим квадратурную формулу с весами

1 1 N

І...І / (Х1,...,Х3 )йх!...йхэ = Рк / & (к), •••,&(*)] - [/]• (1

к=і

0 0

Здесь через RN [/] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла

і і

1...1 / (х1,..., х3)йх1... йх3

00

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-а).

средним взвешенным значением функции /(х\,...,х3), вычисленным в точках

Мк = (&(*), •••,&(*)) (к = 1...М).

Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.

Для произвольных целых т1,...,т3 суммы Бм,р(т1,.. .,т3), определённые равенством

N

Бм,р(тъ--,т8) =^2 рк в2™[т1«1(к)+'- +т^ (к)1, (2)

к=1

называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами

$М,р(т1,-.т3) = NБм,р(т1,..т3).

N

Положим р(М) = ^ | р^ |, тогда для всех нормированных тригонометрических 3 = 1

сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

)1 « . (3)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки, нормированная тригонометрическая сумма сетки и писать

Бм(т), Б*м(т).

Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [3]). *

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно,

С(т) — ее коэффициенты Фурье и Бм,р(т) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство

V ГО

1 „ ^ \ 1

RN [/] = С(0)(NБмр(0) - Л + N ^ С(т)Бм,р(т) =

' ' Ш\. ,Шз = -<Ж

ОС

= С(0) {Б*Мр(0) -1) + с(т)бм,р(т) (4)

и при N ^ ж погрешность RN [/] будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном в-мерном кубе.

Здесь и далее ^' означает суммирование по системам (т1,... , тв) = (0,... , 0).

*

Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е<а(С) (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Еа(С) обозначается множество функций из ЕЭа с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Еа радиуса С с центром в нуле.

Банахово пространство Еа состоит из функций /(х1,... ,х3), имеющих по каждой из переменных х1,... ,хэ период, равный единице, и для которых их ряды Фурье

СЮ

/ (х1 ,...,х3)= ^2 С (т1,...,т8)е2п1(т1Х1+--- +т°х°) (5)

Ш1,. . . ,Шв= — ГО

удовлетворяют условиям *

|С(т1,.. .,т&)1(т1. ..Шэ)а = ||/(Ще* < ж. (6)

т&ъв

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как

II/(хж < II/(х)1Е(1 + 2((а))э,

а поэтому для любого а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, £ (а) — дзета-функция Римана.

Относительно нормы ||/(х)Це? пространство ЕЭа является несепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству 1^ — всех ограниченных комплекснозначных последовательностей (см. [7]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать класс Еэ = и ЕЭа. Очевидно,

а>1

что Еэ С Аэ. Ясно, что класс Еэ незамкнут в пространстве относительно нормы ||/(ж)|г1, но является всюду плотным множеством.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д(х) = х ■ ... ■ хэ. Усеченной норменной поверхностью с параметром £ ^ 1 называется множество Ns(t) = [х1д(х) = Ь, х = 0}, которое является границей гиперболического креста Кэ(Ь), заданного соотношениями Кэ(Ь) = {х1д(х) ^ £}. Для натурального £ на усеченной норменной поверхности имеется т* (Ь) целых ненулевых точек, где

<(£)= Е' 1 (7)

т €N (4)

— число представлений натурального числа £ в виде £ = ш1 ■ ... ■ Шэ.

* Здесь и далее для вещественных т полагаем т = тах(1, |т|). Таким образом, величину т можно назвать усеченной нормой числа т, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции II/(ж)||е^. Справедливо равенство

Очевидно, что Ef(C) С E'g (C) при а ^ в. Для любой периодической

||f(x)llEa = maxi |C(0)|, sum ta ■ max |C(m)|

s V ten V meN (t)

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f (x) из Ef(C) по модулю ограничена величиной C ■ (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции

^ C p2ni(rn,x)

f(x) = nL m.... ■ Wh)a

m =—ro

в точке x = 0.

Очевидно,

функции f(x) € Ef(C) С Ee(C) справедливо неравенство для норм

||f (x)llE^ > ||f (x)llEP.

Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида

f (x) = C(0) + ^2 C(m) e2ni(m’x). m eN (1)

В работе [3] дано следующее определение дзета-функцией сетки M с весами р и параметром p ^ 1.

Определение 1. Дзета-функцией сетки M с весами р и параметром p ^ 1 называется функция ((a/pM, р), заданная в правой полуплоскости a = а + it (а > 1) рядом Дирихле

Z(a,p\M,p)= У' ^ = у- S'<J>,M,P,n)

^ (ml...ms)a ^ па

mi,. . . ,ms = -у n=l

(8

где

3*{р,М,р,п)= ^2 (9)

т ЄN (п)

Непосредственно из определения следует неравенство

с(ра,рМ,р) < (р(а, 1ІМ,р) (а > 1). (10)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать £(а,р1М) .

Теорема 2. Если /(х\,...,х3) € Е(0‘(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка

\Ям[/]| < С

N$м,р0) - 1

+ С \т^' \8м,р(т )\

N ^ (т\.. .ш8)а

ті,. . . ,Шв=-ж 4 '

= С |5М ,р(0) - 1| + С ■ С (а, 1\М,

(11)

где сумма Бм,р('Л) определена равенством (2). На классе Е<а(С) эту оценку нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так:

Для нормы ||Я^ [/ИЫа линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (1) справедливо равенство

1|Я^ [/ ]11е? =

-іт;3м,р(0) — 1

Г

\Бм,р(т )\

1

N ^ (Ш\. . .Ша)с

ті,. . . ,тв = -ж 4 7

= К ,р(0) —11 + ^(а’ 1\М’

(12)

Если рассмотреть класс Е3 с нормой

11/(х)11Еа’Ч = + ^2 1С(гп)1Я(т1...т3) И < те,

\ Ш\,. . . ,Шв=-<^ /

то справедлива следующая теорема.

1 +1 Р я

квадратурной формулы справедлива оценка

Теорема 3. Если /(х) Є Еи р + 1 = 1, то для погрешности

NSм,р(o) -1

р 1

+

£'

\Бм,р(т )\р

N р ^ (т\...т3)с

ті,. .. ,ms=—ж 4 7

= ||/(х)11Еа’« (Нмр(0) - 1| + С(а,Р1М,р^) р , (13)

где сумма Бм,р(т) определена равенством (2). На классе Е‘а‘,я эту оценку нельзя улучшить.

Доказательство. Действительно, по теореме 1

(V У

NБм,р(0) - Л + N С(т)Бм,р(гП) =

' Ш\,. . . ,Шв = — У

_ — ч а Зм,р(т)

= С(0) ( к3м,р(0) - Ч+ N ^ С(т)(ті---т)

N

ті,. . . ,тв =—ж

(т\... т3) р

ОО

30

Применим к правой части неравенство Гёльдера, получим

/ оо

|я*[/]| < |С(0)|я + Е' |С(т)|я(шг...т3)

Ш\,. . . ,Шз =-У

-^^м,р((0) - 1

1

+ №

ОО

'

. . ,Шв = — У |Р

^м,р(т )|Р (т,1. . .Ш3)а

= ||/^Ие^ (|^м,р(0) - 11 + С(а,р1м,р)) р

Так как неравенство Гёльдера обращается в равенство при

О,

С(0) Н

при б*м ,р(0) =1;

зм ,д(0)-1

при б*м ,р(0) =1;

С (т) =

О,

при 8м,р(Ш) =

НМ ,я(т)

^(гп)(т1. . . те)°

то теорема полностью доказана.

при Зм,р(т) =0;

т = О,

Из теорем 2 и 3 следует, что на классах Еа и Е^'4 оценка погрешности приближенного интегрирования сводится к оценке гиперболической дзета-функции сеток. Проводя аналогию с гиперболической дзета-функцией решетки, которая равна гиперболической дзета-функции сеток в случае параллелепипедальной сетки, можно высказать гипотезу, что для гиперболической дзета-функции сеток должен быть справедлив аналог теоремы Бахвалова об оценке гиперболической дзета-функцией решетки через гиперболический параметр решетки.

Цель данной работы — ввести понятие гиперболических параметров решетки и доказать аналог теоремы Бахвалова для гиперболической дзета-функции сеток.

1. Первый и второй гиперболические параметры сеток

В работе [9] было дано такое определение.

«Гиперболическим параметром сетки М с весами р(х) назовем величину д (М, р(х)) = шш т1.. .Ш~з . »

т €28\{0},|5(гл, )|>0

В этой статье использовались несколько иные обозначения. Так

1

|М |

х^м

Р

р

и

р

тригонометрическая сумма сетки М с весами р(х);

^ (т)|

(и (м, р(х)1а) = ^2'

(т,\... т3)а

т €ЪВ У 1

— гиперболическая дзета-функции сетки М с весами р(х).

Первое применение гиперболического параметра сетки вытекает из теоремы Абеля (см. [17], стр. 106), позволяющее представить гиперболическую дзету-функцию сетки М с весами р(х) в интегральном виде

СО

Б^М, р(х))(И

Си(М, р(х)1а) = а

' іа+1

д(м,р(х))

где

0(ЦМ, р(х)) = ^2 13(т)|

Ш, ш\. . . Шв

— сумматорная функция тригонометрической суммы.

В работе [3] для любой сетки М с весами р на пространстве периодических функций Еа рассмотрен линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних заданный равенством

1 *

д(х) = Ам,р}(х) = — ^ рк / [хі + Сі(к),---,Хз + Сз(к)\. (14)

к=1

Через Ам,рС(т) обозначается действие линейного оператора Ам,р на коэффициенты Фурье функции / (х).

Лемма 1. Для любой периодической функции /(х) из пространства Е\ и её коэффициентов Фурье С(т) разложения в ряд Фурье

/ (х) = С (т )е2пі(шх (15)

02пг(Ш,х) ті,. . . ,ш5=-у

справедливо равенство

Ам,рС(т) = 3м,Р(т) С(т) = Б*м Ат)С(т), (16)

\р

нормированная тригонометрическая сумма сетки с весами.

Кроме того, справедлива тривиальная оценка для нормы образа

где Бм,р(т) — тригонометрическая сумма сетки с весами, а Б*м ^(т)

умма ная о

р(М)

\\Ам,р/(х)\\Еа < ||/(х)\\Еа ■ (17)

—

Доказательство. См. [3], стр. 194

С точки зрения величины нормированной тригонометрической суммы сетки с весами естественно определить следующие пять подмножеств фундаментальной решётки Ъ8:

Ко = Ко(М, р) = {т € Ъ8 1 Б*м р(т^0^ (18

К1 = К1(М, р) = {т е Ъ8 1 Б*м’ р(т) = 1}, (19

К2 = К2(М, р) = {т € Ъ81 Б__’р(т) = 1, |Б_ ’ р(т)| = 1}, (20

Кз = Кз(М, р) = {т € Ъ81 0 < )| < 1}, (21

К4 = К4(М, р) = {т € Ъ 1 1БМ’р(т)| > 1}. (22

Ясно, что Ъ8 = Кои К1 и К2 и К3 и К4. Такое разбиение называется разбиением Коробова. Оно фактически возникало в его работах, когда он проводил оценки погрешности приближенного интегрирования.

В работе [3] было дано определение нормального и несмещенного линейного оператора А_^ взвешенных сеточных средних (см. [3], стр. 195 и 199). Нормальный оператор не увеличивает норму любой функции, то есть К4 = 0, а для несмещенного оператора имеем: р(0) = 1.

Далее везде будем считать, что веса р выбраны так, что соответствующий линейный оператор А_^ взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным. Для таких операторов выражение гиперболической дзета-функции сетки имеет более простой вид

1 ^ I Б*м М)Г

с(а,р1М,р)= ^ (ш_’р ш)а . (23)

—' (т1...т8)а ' (т1.. .т8)а

т€К1и К2У 1 8 т€К3У 1 8

Определение 2. Для произвольного подмножества К фундаментальной решётки Ъ8 гиперболическим параметром д(К) называется величина

д(К) = шш т1... т8.

т €К

(24)

Для пустого множества К полагается д(К) = те.

Используя это общее определение, в случае нормального, несмещенного линейного оператора А_,р взвешенных сеточных средних можно определить первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р.

Определение 3. Для произвольной сетки М с весами р такими, что соответствующий линейный оператор Ам’р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р задаются равенствами

д„ (М, р(х)) = д(К (М, р(х))) (и = 1, 2,3). (25)

Ясно, что гиперболический параметр сетки и первый, второй и третий гиперболические параметры сетки М с весами р связаны соотношением

д (М, р(х)) = шш ди (М, р(х)).

и=1 ’ 2 ’ 3

Пусть сетка М — рациональная со знаменателем р, то есть в 8-мерном кубе С3 = {X | 0 ^ XI < 1(г = 1,..., в)} имеется N рациональных точек вида

/х(к) х(к)\

1X1 Х( ' к = 1(26)

\ р р /

х(к) — целые, 0 ^ х(к) ^ р — 1, р — натуральное.

Теорема 4. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с весами р, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, справедливо соотношение

р ■ Ъ С Кі (М, р(х)) ,

кроме того тригонометрические суммы Б*м р(т) с весами р принимают конечное число различных значений, не превосходящее ря.

Доказательство. Действительно, если

х (х1] х^\

Хк = , . . . ,- ,

рр

то (т, Хк) Є Ъ для любого т Є р ■ Ъ, поэтому е2т(т’Хк) = 1 и

N

Я*м, р(т) = N^2 Р(рк) = Б*м,/0) = 1

к=1

так как линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным.

Аналогично получаем, что

БМ,р(т) = Бм,р(т + Р • п)■

Следовательно, все различные значения тригонометрических сумм Б*мр(т) с весами р содержатся среди т € [— рър2](, где р1 = [р-1] и

Р2 = [|]•

Теорема 5. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество К1(М,р) является целочисленной решеткой.

Доказательство. Действительно, если для т выполняется равенство БМ р(т) = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при

условии, что е2т(т’рк) = 1 при к = 1,..., N. Это означает, что (т,Хк) € Ъ при к = 1,..., N. Таким образом, т € К1(М, р) тогда и только тогда, когда (т, Хк) € Ъ при к = 1,... ^. Но если т 1,т2 € К1(М, р), то и т 1 ± т2 € € К1(М,р), это означает, что К1(М,р) является целочисленной решеткой.

Теорема 6. Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р, для которых линейный оператор Амр взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, множество К1(М, р) и К2(М, р) является целочисленной решеткой.

Доказательство. Действительно, если для т выполняется равенство |БМ р(т)| = 1, то в силу положительности весов р это возможно только при

условии, что найдется х € [0,1) такой, что е2т(т’рк = е2тх при к = 1,..., N. Это означает, что {(т,Хк)} = х при к = 1,... ^.

Таким образом, т € К1(М, р)[] К2(М,р) тогда и только тогда, когда {(т,Хк)} = {(т, Х1)} при к = 1,...^.

Но если т 1,т2 € К1(М, р) У К2(М, р), то и

это означает что К1 (М,р)\_\ К2(М,р) является целочисленной решеткой.

2. Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции сеток

Для формулировки обобщенной теоремы Бахвалова для гиперболической дзета-функции сеток нам потребуется обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток из работы [5], одна лемма из работы [4] и одно новое определение.

Определение 4. Будем говорить, что сетка М с весами р, для которой линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, имеет тип А^, в) < 1, если для любого т € Кз(М,р) выполняется оценка

Теорема 7. (Обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток) Для любой в-мерной решетки Л справедливы оценки

где А — наибольшее число такое, что в-мерный куб [—А; А]( не содержит ни одной ненулевой точки решетки Л.

Доказательство. См. [5].

т і ± т 2 Є Кі(М,р)У^ К2(М,р),

сн (Л |а;) <

при д(Л) = 1;

(1п д(Л) + 1)5 1 да(Л)

при д(Л) > 1,

Лемма 2. Справедливо неравенство

1 ( 1П-1 і

а — Ш — 1)!

+

£ ^ (Ё С (а‘)З-2-к" ст ^

т=0 \к=ш

у

где £(а) = X] т-а — дзета-функция Римана при а > 1.

т=1

Доказательство. См. [4].

Теорема 8. (Обобщенная теорема Бахвалова для гиперболической дзета-функции решеток) Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весами р типа А(Ы,в) < 1, для которых линейный оператор Ам,р взвешенных сеточных средних является нормальным и несмещенным, справедлива оценка

<(а.р\м.р) < 2<а+1»+1а (а—1)' (1П1 +

+т^в) ^ (( ы!:11 , „ +

(а — 1)(в — 1)!

£ — 2 і т , / 5— 2

+ Е^Ёсн*-2-кст + С-1 . (28)

т=0 \к=т / /

где решетка Л = К1(М, р) У К2(М, р) и Ь = д3 (М, р(Х)).

Доказательство. Действительно, пользуясь формулой (23), теоремой 6 и обозначениями из формулировки доказываемой теоремы, получим

„ 1Б*Мр,(гп )1Р

С(а,р1М,р) = (и(Л|а)+ ^2 - ---_ ^

^ (Ш1...Шэ)с

т €кэ

< Сн(Л\а)+Ар(М,з)А3(і) < а у (1пд(Л) + 1)5-1 .а — 1) да(Л)

1 ( 1п5-1і

< 2(а+1>+1а{ — )3 (1Пд(Л)+1) +

V а — 1) да(Л)

+АР(ы.в)

+

(а — 1)(в — 1)!

+ £ ‘ПТтІ (і! с(а‘)й-2-кст а —1 ^{а> +

т! к а — 1 а — 1

т=0 к=т

Список литературы

1. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 3-18.

2. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов / Л.П. Добровольская [и др.] // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2012. Т. 13. Вып. 4 (44). С. 4-107.

3. Добровольская Л.П., Добровольский Н.М., Симонов А.С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2008. Т. 9. Вып. 1 (25). С. 185-223.

4. Добровольский М.Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82-90.

5. Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета функция решёток / Н.М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - № 6090-84.

6. Добровольский Н.М. О квадратурных формулах на классах Е'а(с) и На(с) / Н.М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6091-84.

7. Добровольский Н.М., Манохин Е.В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4. Вып. 3. С. 56-67.

8. О непрерывности дзета-функции сетки с весами / Н.М. Добровольский [и др.] // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.

9. Добровольский Н.Н. ПОИВС ТМК: Гиперболический параметр сеток с весами // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междун. научно-практической конф. Тула: Изд-во ТГПУ им Л.Н. Толстого, 2011. С. 266-267.

10. Коробов Н.М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 19-25.

11. Коробов Н.М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207-1210.

12. Коробов Н.М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.

13. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

14. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. Второе издание. М.: МЦНМО, 2004.

15. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818-821.

16. Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.

17. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

Добровольский Николай Николаевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About hyperbolic parameter of nets

N. N. Dobrovolskiy

Abstract. We derive estimates for the hyperbolic zeta function of nets through hyperbolic parameter of nets.

Keywords: net, quadrature formula, hyperbolic zeta function of nets, hyperbolic parameter of nets.

Dobrovolskiy Nikolai ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 17.05.2013