CC BY
12УДК 517.929
ОЦЕНКИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С. Искандаров1
Устанавливаются достаточные условия для оценки, ограниченности, степенной абсолютной интегрируемости на полуоси, стремления к нулю, в том числе по экспоненциальному и степенному закону, решений и их первых и вторых производных слабонелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, оценка, ограниченность, абсолютная интегрируемость, стремление к нулю решений и их производных.
Sufficient conditions are established for the estimate, boundeness, power absolute integrabi-lity on the half-line, tending to zero including exponential and power laws for solutions and their first, second derivatives to a weakly nonlinear ordinary third order differential equation.
Key words: differential equation, estimate, boundeness, power absolute integrability, tending to zero of solutions and their derivatives.
Все фигурирующие ниже функции от t, х, v, w считаем непрерывными, а все соотношения — действующими при t € J = [io, сю) и х, v, w € К.
Задача. Установить достаточные условия для оценки, ограниченности, степенной абсолютной интегрируемости на полуинтервале J = [to, оо), стремления к нулю при t —> оо, в том числе по экспоненциальному и степенному закону, решений и их первых и вторых производных слабонелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) третьего порядка
х'" + a2(t)x" + ai(t)x' + a0(t)x = f(t)+F(t,x,x',x"), (1)
где функция F(t, х, v, w) удовлетворяет условию слабой нелинейности
| F(t, х, v, F0(t) + g0(t) \x\ + 9l (t) \v\ + g2(t) M (2)
с неотрицательными "свободным членом" Fo и "коэффициентами Липшица," до, д\, д2.
Речь идет о решениях х € C3(J, R) с любыми начальными значениями x^k\to) (к = 0,1,2). В силу условия (2) такие решения ОДУ (1) существуют.
Отметим, что данная задача в такой общей постановке изучается впервые. Отдельные вопросы этой задачи ранее исследовались во многих работах (см., например, [1, 2]).
В настоящей заметке для решения сформулированной задачи предлагается метод, основанный на развитии нестандартного метода сведения к системе [3, 4], метода весовых функций [5] и метода интегральных неравенств, в котором используется лемма Гронуолла-Беллмана. Перейдем к получению основного результата. В ОДУ (1) делаются следующие замены [3, 4]:
x'(t) + Ai x(t) = Wi(t)y(t), y'(t) + A 2y(t) = W2(t)u(t), (3)
где 0 ^ Ai, A2 — некоторые вспомогательные параметры; 0 < W\, W2 — некоторые весовые функции; у, и — новые неизвестные функции.
Введем обозначения (здесь и далее аргумент t иногда для краткости опускаем):
Ъ2 = а2 + (WiW^'iWiW^-1 + W(Wi)-\ W = W[ - А1Ж1 - X2Wi,
h = a!(W2)~l + a2W(W!W2)-1 + Xi(W2)~l + {W - А2И0(W^y1, b0 = (a0 - Aiai + A\a2 - AfXHWa)"1.
1 Искандеров Самандар — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. теории интегродифференциальных уравнений
Ин-та теор. и ирикл. матем. НАН Кыргызской Республики, e-mail: mrmacintosMllist.ru.
Тогда из (3) дифференцированием находим х",х"', затем подставляем х' из (3) и полученные х",х"' в ОДУ третьего порядка (1), проводим некоторые простейшие преобразования и получаем ОДУ первого порядка для и, соединив это уравнение с заменами (3). В результате ОДУ третьего порядка (1) сводится к следующей эквивалентной системе из трех ОДУ первого порядка для х,у,и:
' х' + Х\х = W\(t)y, у' + \2у = W2(t)u,
(4)
и' + b2(t)u + bi(t)y + bo(t)x =
= (W^t^m-^m + F(t, x, -\lX + x\x + W{t)y + Wi(í)W2(í)u).
Далее к системе (4) применяем метод весовых функций из [5, 6]. Для произвольно фиксированного решения (х,у,и) системы (4) ее первое уравнение умножим на íp\(t)x, второе — на íp2(t)y, третье — на íp3(t)u, где 0 < íp\,íp2,íp3 — некоторые весовые функции, сложим полученные соотношения, затем проинтегрируем в пределах от ¿о ДО t, в том числе по частям, и придем к следующему тождеству:
t
V(t) = Lpi(t)x2(t) + Lp2{t)y2{t) + Lp3(t)u2(t) + J (Al(s)x2(s) + A2{s)y2{s) + A3(s)u2(s)) ds =
to
t
= V(to) + 2 J [W1(s)<p1(s)x(s)y(s)+W2(s)<p2(s)y(s)u(s) - ^3(sMs)(&i(s)y(s) + b0(s)x(s)-
to
-(W1(s)W2(s))-\f(s) + F(s,x(s),-X1x(s) + W1(s)y(s),XÍx(s) + W(s)y(s) + W1^ (5)
где Ai = 2X\Lp\ — Lpi, A2 = 2X2tp2 - tp'2, A3 = 2b2(p3 - (p'3.
Теорема. Пусть
1) \k>0,Wk>0(k = 1, 2), A¿ ^ 0 (г = 1, 2, 3);
oo
2) /* = ¡ (W1(s)W2(s))-1<p1s/\s)(\f(s)\+ F0(s))ds < oo,
t0
oo
g*=J
to
+ + {Wl{s)W2{s))-lvy\s){{go{s)+gl{s)+g2{s))V-1/2{s) +
+{gi(s)W1(s) + g2(s)\W(s)\)V~1/2(s) + W^W^s)^'L/2(s))]ds < oo. Тогда для, любого решения х ОДУ третьего порядка (1) при t —> oo справедливы, следующие оценки:
x{t) = <^1/2(i)0(1), x'(t) = (^1/2(t) + Wl{t)^l/2{t)) Oil), x"(t) = (V/2(i) + \w(t)I ^-1/2(i) + w^tw^t)^L/2(t)) o( 1).
Схема доказательства такова. В силу условия 1 теоремы имеем V ^ 0 и с учетом соотношений M < ipî1/2V1/2, \у\ < <p?'2vV\ |u| < ^3l/2V1'2, (6)
a также условия (2) и неравенства 2z ^ z2 +1 из тождества (5) получаем интегральное неравенство
+{Wi{s)W2{s))-1v\/2{s) (-(|/(S)| + Fois)) + (go(s) + Лl9l(s) + A^2(S))^"1/2(S) +
+{gl{s)Wl{s) + g2{s)\W{s)\)v2 1/2{s) + W!(s)W2(s)tps 1/2(s))]v(s)ds, (7)
где с* = V(to) + /* < oo. Применяя к (7) лемму Гронуолла-Беллмана, учитывая условие 2 теоремы и соотношения (6), будем иметь оценки
t
V(t) = íp\(t)x2(t) + <р2(t)y2(t) + ^{t)u2{t) + J (Ai(s)x2(s) + A2(s)y2(s) + A3(s)u2(s))ds <
to
<
c*exp{2 í \wl{s)^\s)^-l/\s) + w2{s)^\s)^-l/2{s)+^2{s){\b1(s)\V-l/2(s) + \bo(s)\^l/2(s)) +
to
+(Wi(s)W2(s))-1v¡/2(s) (-(|/(S)| + Fo(s)) + (50(s) + Ai5l(s) + A^2(S))^"1/2(S) +
£(i) = ^-1/2(i)0(l), y(i) = p-1/2(t)0(l), u(i) = ^31/2(i)0(l), i ->■ oo. (8)
Наконец, из замены (3) и представления соотношения х" = Х2х + И^у + W^W^-u с учетом оценок (8) для любого решения х ОДУ (1) получаем следующие оценки:
x[k\t) =$fc(i)0(l), t^ oo, A: = 0,1,2, (9)
где Фо = i^^1^2' Ф1 = Фо + Ф2 = Фо + + W\W2Lp~^2. Из оценок (9) вытекает
Следствие. Если выполняются все условия теоремы, а при к = 0,1, 2 Mi—>00 еще какие-либо из условий:
a) Ф*(*) = 0(1);
b) Ф*(*)->0;
c) Ф*(*) = е"а*40(1), ак> 0;
(1) Фк($ = (} + рк)~ъ, hnk >0, t0 = 0; е) Фк eLP*(J,R+), рк >0; то при к = 0,1,2 и t —>00 любое решение х ОДУ (1) обладает, соответственно следующим,и асимптотическими свойствами:
a) x^it) = O(l);
b) x^k\t) -»• 0;
c) x^k\t) = e~aktO(l);
d) x(-k\t) = (t + f3k)~^-,
e) ж(fc) € Vk > 0. Пример. Для ОДУ третьего порядка
e~3t é + 1
/ e_2í \ í e~2t
x'" + (8 + E(t))x" + í 19 + 4Eit) - ^ J x' + í 12 + 3S(í) - ^ +
e~3tcos t e~3tx3___e~5V___(x")2sme~3t = te(sinÉ)i/3
t2 + 9 (í4 + 3)(ж2 + 5) (ж')2 + 1 (|ж"| + l)(í2 + 2t + 5)' W ' " '
выполняются все условия теоремы и условия а-е следствия при
Ai = 1, А2 = 2, ^(í) = e"í, W2{t) = e~2t, ^i(í) = e2í, p2(í) = e3í, = e4;
причем здесь í0 = 0, b2(í) = 1 + S(í), &i(í) = -(t + 9)"1, fto(í) = {é + l)"1, Ai(í) = 0, A2(í) = e3í, A3(í) = е4(1+2ад), /(í) = -e-^cosí^ + g)"1, F0(t) = e~5t, g0(t) = e"3í(í4 + 3)"1, 9l(t) = 0, g2(t) = e-3í(t2 + 2t + 5)_1. Следовательно, для любого решения ж этого ОДУ верны оценки
x(k\t) = е~*0(1), t —у ос, к = 0,1,2.
Заметим, что коэффициенты ао,а\,й2 данного ОДУ недифференцируемы в точках t = mir,
т = 0,1,....
Идея получения простейшей системы ОДУ (4) вместо ОДУ третьего порядка (1) заимствована
из методов расщепления операторов Г. И. Марчука [7], а идея введения некоторой весовой функции типа для исследования устойчивости решений ОДУ с последействием — из монографии
H.H. Красовского [8, с. 199].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
2. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.
3. Искандаров С. О методе сведения к системе для линейного вольтеррова интегродифференциального уравнения второго порядка // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. Вып. 35. Бишкек: Илим, 2006. 31-35.
4. Искандаров С. Метод нестандартного сведения к системе и экспоненциальная устойчивость линейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 6. 898-899.
5. Ведь Ю.А., Пахыров 3. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегродифференци-альных уравнений // Исследования по интегродифференциальным уравнениям в Киргизии. Вып. 9. Фрунзе: Илим, 1973. 68-103.
6. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегродиф-ференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерры. Бишкек: Илим, 2002.
7. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
8. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
Поступила в редакцию 07.07.2016
УДК 517.926
ОБ ОТСУТСТВИИ СВОЙСТВА ОСТАТОЧНОСТИ У ПОЛНЫХ ГИПЕРЧАСТОТ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
А. X. Сташ1
Установлено, что полные гиперчастоты, рассматриваемые как функционалы на множестве решений линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с непрерывными ограниченными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (т.е. могут меняться при изменении решения на конечном отрезке).
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решения, нули функции, характеристическая частота, полная частота.
It is found that complete hyper-frequencies regarded as functional on the set of solutions to linear homogeneous third order differential equations with continuous bounded on the semi-line coefficients are not residual (i.e. can be changed when changing solution on a finite interval).
Key words: linear differential equation, oscillation of solution, zeroes of function, characteristic frequency, complete frequency.
Ляпуновские характеристики колеблемости дифференциальных уравнений и систем впервые были введены И.Н. Сергеевым в работах fl-З]. Круг рассматриваемых характеристик постепенно расширялся, и к настоящему времени сложились их следующие разновидности:
1 Сташ Айдамир Хазретович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математнчекого анализа и методики преподавания математики ф-та математики и компьютерных наук Адыгейского гос. ун-та (АГУ), e-mail: aidamir.stasMlgmail.com.
