CC BY
37
УДК 517.9
Л.Н. ШЕГАЙ
ОЦЕНКА ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, точка поворота, краевая задача,
асимптотическая формула, спектр, резольвента.
Рассмотрена краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота на полуоси. Доказана дискретность спектра. Получена равномерная оценка ядра резольвенты.
L.N. SHEGAY
THE ESTIMATE FOR THE RESOLVENT KERNEL OF BOUNDARY PROBLEM Key words: Differential equation, turning point, boundary problem, asymptotic formula, discrete spectrum, resolvent.
One boundary problem for second order differential equation with the turning point is considered. Discreteness of spectrum is proved. The uniform estimate for the resolvent kernel is found.
При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, теории колебаний, квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота. Это точки, где процесс резко меняет свой характер. Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами.
В данной работе используется развитый А.А. Дородницыным [1] и Р. Лангером [6] метод эталонного уравнения. Эталонное уравнение содержит информацию о точке поворота исходного уравнения и имеет известные решения.
1. Постановка задачи и обозначения. На полуоси [0;+<х>) рассмотрим дифференциальное уравнение с точками поворота
Ly = y" + [A-2q(x) + R(x )]y = 0, (1)
где q (x) = xar (x), r (x) > 0, a > -2 .
Предположим, что
r(x)e C2 [0,+<x>), R(x)e C[0,+<x>), (2)
lim q(x) = 0, q(x)dx < +<x>. (3)
Для составления эталонного уравнения введем вспомогательные функции [1]
1 a + 2 1
£(x ) = JV q(t )dt, o(x ) = [v^(x )], v
----, Ц =----------
2 a + 2
R0 (x) = -^'(x)
, F(x) = R(x)- R0(x).
V®'(x)
На функцию F (x) наложим следующие ограничения +? If(x)| , s < < w
J i dx < +<x>, q (x) = o(q(x)) при x ^ +<x> . (4)
0 yjq(x)
1
И в качестве эталонного уравнения возьмем уравнение
и" + [а,2 д(х) + Я0 (х )]и = 0,
которое содержит информацию о точке поворота уравнения (1) и имеет известные линейно независимые решения
(х, а) = -г1г)[А^(х)]" я'1 ^(х)] 1 = 1,2, V® (х)
где Я^1) - функции Ганкеля, функции Бесселя третьего рода.
Зададим граничные условия
у(0, А) = 0, (5)
у(+о>, А) = о, (6)
где
у(о>, А) = Нш у(х, А) = Нш ^и"(х)у(х, А).
х^+о х^+о
Уравнение (1) представим в виде
у" + [а2<?(х ) + Яо (х )]у = - ^ (х )у, и изучим два решения уравнения (1): у0 (х, А) - решение, удовлетворяющее условиям
Уо (о, А) = 0, у0 (о, А) = 1,
70 (х, А) - решение, удовлетворяющее условиям
70 (х, А) = 0, 70; (о, А) = с * 0.
2. Характер спектра. Функции у0 (х, А) и 70 (х, А) удовлетворяют соот-
ветствующим интегральным уравнениям
х
Уо (х, А) = и (х, А) +1К(х, г, А)() (, А), (7)
0
и (х, а) = -^Т [ (о, А) (х, А) - и (о, А)и2 (х, А),
СоАи
где
и
где
К (х, г, А) = —^Г [ (х, А)и2(, А) - и (х, А)и1 (, А)],
СоАи
7о (х, А) = Го (х, А) - | К(х, г, А)() X, А) , (8)
х
^ (х А) и2 Ц А)и1 (x, А) - и1 Ц А)и2 (x, А)
СоАи
Исследуя интегральные уравнения (7)-(8) так же, как в [3], [4], с помощью леммы Гронуолла-Беллмана и свойств функций Ганкеля [5] получим лемму.
Лемма. Если выполняются условия (2)-(4), то решения у0 (х, А) и 70 (х, А) уравнения (1), удовлетворяющие условиям (5) и (6) соответственно, являются целыми функциями по А .
Исследуем резольвенту краевой задачи (1), (7), (8)
+о
Г1/ = | С (х, г, А)) ( ),
0
где ядро С(х, г, А) резольвенты (функция Грина) имеет вид
С ( г А)= 1 | У о(х А)7оХ, а) х <г,
^ , Ж[у0;70 ]Уо(,А)7о(x,А), х >г,
ж [ Уо; 7о ] - определитель Вронского.
Спектр краевой задачи - это совокупность точек А, в которых резольвента имеет особенности. Функции У0 (х, А) и 70 (х, А) являются аналитическими по А в комплексной плоскости. Поэтому спектр образуют нули определителя Вронского Ж [у0; 70 ] = А(А). Назовем его характеристическим определителем. Но так как
а(а) = Уо К А)=-7о (0, А)
- аналитическая по А функция, то нулей у А(А) может быть не более, чем счетное множество. Итак, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если выполняются условия (2)-(4), то спектр задачи (1), (5), (6) является дискретным.
3. Асимптотические формулы и неравенства для решений, равномерная оценка ядра резольвенты. Будем считать, что |А| >М0, М0 > 0 -достаточно большое число. Рассмотрим интегральные уравнения (7), (8) при А е С5, где С5 : {- 5 < а^ А < п - 5}, 5> 0 достаточно малое число. Проводя такие же рассуждения, как в [1], [4], получим, что для Уо (х, А) и 7о (х, А) справедливы следующие неравенства и асимптотические формулы при |А ^ +о, А е С5, arg А > 0:
1) при |А;(х) > N (здесь и ниже N > 0 - достаточно большое число)
7 (х, А)<-^е1“|[«“Н(х)] 1 (9)
V® (х) 1А1
70 (х, А) = У0 (х, А)+и1 (х, А) -гА;(оо)0 2) при |А;(х) < N
3
ц+-
А 2
+и
,(х, А)е-гХ;{о)в2гА;(х О
3
ц+-
А 2
(10)
|70 (х, А)< 0^1ш А1;И_±_, (11)
|АП ^
7о (х, А) = Уо (х, А) + и! (х, А)-Я4 (о)оГ ^
+
А8 '
+ и2(х,А)-'А;(оо)е2гА;(х)о['^1Г^;
(12)
3) при |А;(х )> N
|Уо (х, А)<-7®МХт е1шА|;(х )^-Г, (13)
V® (х) |а|ц+2
Уо (x, А) = и0 (x, А) + и1 (x, А)е_2гА;(х] + и2 (x, А)°У-] , (14)
в1 = шт{2ц + 1;4ц};
4) при |А;(х )< N
Ы < МГ, (15)
Аи
Уо(x, А) = ио(x, А) + и1(x, А)°(Ац] + и2 ( А)°(Ац] . (16)
Аналогичные асимптотические формулы для У0 (х, А) и 70 (х, А) имеют место и в случае, когда Ае С5, а^А< 0. Из формул (10), (12), (14), (16) и асимптотических свойств функций Ганкеля [5] следует асимптотическое представление для А(А) при |А| ^ о
А(А) ^ егА;(о)Р (А) + (А)
(17)
Ц+-
СоА 2
где
Р1(А) = Ро 1 + 8 = ш1п {1,2Ц Ц + 1
причем р01 * 0, числа р0выражаются через и(0, А), и(да, А), 1 = 1,2.
Так как в уравнение (1) входит А2, достаточно рассмотреть А, принадлежащие полуплоскости С5 : {- 5 < а^А<п-5}, 5> 0 - достаточно малое число. Из формулы (17) с помощью теоремы Руше находится асимптотическая формула для положительных корней характеристического определителя
Ап = АП + °(1), П ,
А0п = йп^1 + — ], й = -ХЦ, Г =1 Гц-1 ] .
п
Кроме того, имеет место [2] оценка снизу характеристического определителя вне кружков одного и того же достаточно малого радиуса г с центром в точках Х0„:
|а(х)>_£_. Є 1т^(оо). (18)
Вышесказанное позволяет доказать теорему.
Теорема 2. Если выполняются условия (2)-(4), то при |Х| > M (M > 0-достаточно большое), X е Cs, вне кружков фиксированного малого радиуса с
Л 0
центром в точках Xn имеет место неравенство
C
|G (x, t, X)| <-------------------, ,
|XfV®'(x )V®'(t)
где
[2ц, a > 0,
[1,-2 < a < 0.
Для доказательства нужно использовать неравенства (9), (11), (13), (15), (18) и рассмотреть отдельно шесть различных случаев оценки |G(x, t, X) :
1) 0 < x < t, |X^(x)| < N, |A4(t)| < N ;
2) 0 < x < t, |X^(x)| < N, |X^(t)| > N ;
3) 0 < x < t, |X^(x)| > N, |X^(t)| > N ;
4) 0 < t < x, |X^(x)| < N, |X^(t)| < N ;
5) 0 < t < x, |X^(x)| > N, |X^(t)| < N ;
6) 0 < t < x, |X^(x)| > N, |A4(t)| > N .
Литература
1. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка / А.А Дородницын // Успехи матем. наук. 1952. № 7. Вып. 1. С. 3-96.
2. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы /М.А. Наймарк. М.: Наука. 1969. 528 с.
3. Шегай Л.Н. Некоторые спектральные свойства несамосопряженного дифференциального оператора с точкой поворота на полуоси / Л.Н. Шегай // Качественные асимптотические методы интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. Саранск, 1987. С. 99-109.
4. Шегай Л.Н. Нахождение коэффициентов асимптотического ряда для спектра краевой задачи / Л.Н. Шегай // Вестник Чувашского университета. 2005. N° 2. С. 17-21.
5. ЯнкеЕ. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. М.: Наука, 1977. 344 с.
6. Langer R.E. On the asymptotic solutions of ordinary differential equations with an application to the Bessel functions of large order / R.E. Langer // Amer. Math. Soc. 1949. Vol. 67. P. 461-490.
ШЕГ АЙ ЛЮДМИЛА НИКОЛАЕВНА - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (shegayln@mail.ru).
SHEGAY LUDMILA NIKOLAEVNA - candidate of physics and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
