CC BY
11
JSSN1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2022. № 4
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Научная статья УДК 621.3.011.7
doi: 10.17213/1560-3644-2022-4-41-45
ОЦЕНКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА УСКОРЕННОГО УЗЛОВОГО АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ
И.С. Лебедев, Н.С. Савёлов
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
Аннотация. Показано, что предложенный ранее подход к автоматизированному формированию математических моделей сложных электрических цепей на основе уравнений Кирхгофа оказывается эффективным и в случае узлового анализа цепей. Выполненные численные эксперименты показали, что обнаруженное ранее при использовании уравнений Кирхгофа явление квазистабилизации погрешности при многократных повторных решениях изменяющихся систем уравнений имеет место и в случае применения узловых уравнений.
Ключевые слова: математические модели, электрические цепи, узловой анализ, повторные решения систем линейных алгебраических уравнений
Для цитирования: Лебедев И.С., Савёлов Н.С. Оценка вычислительной эффективности модифицированного метода ускоренного узлового анализа электрических цепей большой размерности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. № 4. С. 41-45. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-41-45
Original article
EVALUATION OF THE COMPUTATIONAL EFFICIENCY OF A MODIFIED METHOD FOR ACCELERATED NODAL ANALYSIS
OF LARGE ELECTRIC CIRCUITS
I.S. Lebedev, N.S. Savelov
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Abstract. It is shown that the previously proposed approach to the automated formation of mathematical models of complex electrical circuits based on the Kirchhoff equations is also effective in the case of nodal circuit analysis. The performed numerical experiments showed that the phenomenon of error quasi-stabilization found earlier when using the Kirchhoff equations with multiple resolutions of changing systems of equations also takes place in the case of applying nodal equations.
Keywords: mathematical models, electrical circuits, nodal analysis, resolutions of systems of linear algebraic equations
For citation: Lebedev I.S., Savelov N.S. Evaluation of the Computational Efficiency of a Modified Method for Accelerated Nodal Analysis of Large Electric Circuits. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (4):41-45. (In Russ.) http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-41-45
Актуальность математического моделирования сложных электрических цепей на основе узлового анализа
Оценка существующих и разрабатываемых алгоритмов математического моделирования электрических цепей предполагает использование тестовых математических моделей достаточно сложных цепей.
© ЮРГПУ (НПИ), 2022
Авторами разработан новый подход к автоматизированному формированию математических моделей цепей с практически неограниченным числом элементов [1]. Этот подход основан на использовании правильного разбиения плоскости [2, 3]. При его применении оказывается необязательным изображение полной схемы цепи. Достаточно ограничиться изложением алгоритма формирования регулярной схемы.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Достоинством этого подхода является возможность использования автоматизированного формирования систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицами регулярной структуры, отличающимися небольшой долей ненулевых элементов, расположение которых определяется легко реализуемым алгоритмом, что существенно упрощает и синтез, и решение этих систем.
Регулярность матриц особенно важна в случае использования новой модификации метода исключения Гаусса, обеспечивающей значительное сокращение вычислительных затрат при повторных анализах после изменения параметров элементов цепи и, во многих случаях, после изменения типов элементов цепи (например, после замены конденсатора катушкой индуктивности) [4-12].
Описанный подход ранее был использован авторами при моделировании больших электрических цепей, количество элементов которых составляли сотни.
Для таких цепей получено подтверждение возникновения явления квазистабилизации погрешности при повторных решениях СЛАУ на основе новой модификации метода исключения Гаусса [11, 12]. Ранее указанные исследования выполнялись при формировании СЛАУ на основе законов Кирхгофа для электрических цепей.
В настоящей работе показано, что предложенный подход эффективен и в случае использования метода узловых потенциалов (напряжений), который широко применяется при автоматизированном проектировании электрических цепей.
Особенности подхода к синтезу сложных
тестовых математических моделей электрических цепей на основе метода узловых потенциалов
В случае использования узлового анализа важную роль играет алгоритм обращения к узлам [13]. Применительно к схемам цепей, формируемым на основе правильного разбиения плоскости, авторы предлагают использовать описанную ниже особую последовательность обращения к узлам, что, по существу, соответствует особому порядку нумерации узлов. Эта последовательность обеспечивает формирование матриц регулярной структуры, что существенно упрощает решение СЛАУ указанной модификацией метода исключения Гаусса.
В качестве основы синтеза схем цепей, как и ранее, используем правильное разбиение плоскости на планигоны с числом сторон и циклом
кратности схождения (4, 4, 4, 4) планигонов в вершинах (цепь размещается на решетке, состоящей из квадратов) [2, 3].
Для обозначения позиций элементов и узлов на схеме, как и ранее, используем понятие «горизонталь» и «вертикаль» квадратной решетки.
Горизонтали нумеруются сверху вниз, а вертикали - слева направо, как показано на рис. 1, где представлена схема простейшей цепи с одним источником напряжения. Номера узлов на рисунке указаны в окружностях.
Рис. 1. Пример схемы / Fig. 1. Circuit example
Через Yij обозначены проводимости соответствующих резисторов. Ветвь с позицией (2, 1) является обобщенной и содержит резистор и источник напряжения. На схеме также указаны условно положительные направления токов ветвей. Предлагаемый подход распространяется и на электрические схемы с обобщенными ветвями, содержащими три элемента: резистор или источник тока, управляемый напряжением, а также независимый источник напряжения и независимый источник тока [13].
Первым в предлагаемой последовательности обращения к узлам является узел с позицией (1, 1), находящийся в первой горизонтали (первая цифра позиции) и в первой вертикали (вторая цифра позиции). Укажем позиции остальных узлов в соответствии с предложенной последовательностью обращения: (3, 1), (1, 3), (3, 3), (1, 5) (узел с позицией (3, 5) является опорным и поэтому не включен в эту последовательность).
Выбранная последовательность позиций соответствует нумерации узлов, представленной в табл. 1
Таблица 1 / Table 1 Нумерация узлов / Node numbering
Позиция узла (1, 1) (3, 1) (1, 3) (3, 3) (1, 5)
Номер узла 1 2 3 4 5
Для наглядного представления процесса формирования предложенной последовательности узлов для схемы неограниченной сложности следует обратиться к прямой, которая в исходном
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
положении проведена через узел с позицией (1, 1) под углом 45 град к линиям решетки, а затем сдвигается слева направо (или сверху вниз), оставаясь параллельной исходной прямой.
Тогда сдвигаемая прямая будет поочередно проходить через узлы указанной последовательности. При этом предполагается, что для некоторого положения прямой, проходящей через множество узлов, номера этих узлов возрастают при перемещении по прямой, начиная с узла, расположенного на нижней горизонтали.
На рис. 2 представлены матрица узловых проводимостей и столбец узловых токов схемы рис. 1, соответствующие указанной нумерации узлов.
1
2
3
4
5
Y,2+Y2, -Y2I Y|2 0 0
-Y2, Y2I+Y32 0 -Y32 0
Y|2 0 Y|2+Y23+Y|4 -Y23 -Y|4
0 -Y32 -Y23 Y32+Y23+Y34 0
0 0 Y|4 0 Y|4+Y25
Y12-Ü21
-Y21U2
Рис. 2. Матрица узловых проводимостей и столбец узловых токов / Fig. 2. Nodal conductivity matrix and nodal current column
Программное обеспечение для формирования и решения систем узловых уравнений
При разработке программного обеспечения использовались языки программирования C# и C++, а также библиотеки Boost для реализации BLAS операций и OpenMP для векторизации вычислений.
Укажем функции, выполняемые программой при формировании и использовании тестовых математических моделей цепей:
1. Генерация обобщенных ветвей для конкретных размеров решетки: h - число горизонталей; w - число вертикалей.
Для хранения информации о каждой ветви (содержащей, в общем случае, источник напряжения) используется следующий набор параметров: [Позиция; Напряжение независимого источника напряжения; Сопротивление резистора]. Для удобства хранения информации о структуре цепи она представляется в тестовом формате. Например, для ветви во второй горизонтали и первой вертикали, содержащей источник напряжения с
напряжением 12 В и резистор с сопротивлением 1000 Ом, соответствующая запись имеет следующий вид: (2,1); 12; 1000.
Допустимо генерировать обобщенные ветви в автоматизированном режиме, что актуально для больших и очень больших схем.
2. Генерация последовательности обращения к узлам в соответствии с описанным выше подходом.
3. Поочередное обращение к ветвям схемы и формирование матрицы узловых проводимо-стей и столбца узловых токов по алгоритму прямого формирования [13].
4. Первоначальное решение и повторные (после изменения параметров элементов цепи) решения системы узловых уравнений с использованием новой модификации метода исключения Гаусса. Соответствующее программное обеспечение описано в работах [1, 5]. Ранее разработанные модули интегрированы в используемое программное обеспечение с помощью механизма Р/1пуоке.
Результаты численных экспериментов
1. Формирование тестовых математических модель цепей с большим числом элементов и различными соотношениями величин к и ж
В качестве примера обратимся к результатам эксперимента для схемы цепи, имеющей 31 горизонталь и 31 вертикаль, что соответствует системе узловых уравнений, содержащей 255 неизвестных.
Сгенерированная матрица узловых проводимостей укрупненно показана на рис. 3, на котором серый фон соответствует нулевым элементам матрицы, а черный фон - ненулевым элементам.
Как следует из рис. 3, полученная матрица, имея регулярную структуру, является сильно разреженной.
Рис. 3. Структура сформированной матрицы узловых проводимостей / Fig. 3. The structure of the formed matrix of nodal conductivities
1
2
3
0
4
0
5
0
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Регулярность матриц узловых проводимо-стей имела место для всех схем при различных соотношениях и значениях числа горизонталей и числа вертикалей. Главным результатом здесь является то, что предложенная последовательность обращения к узлам обеспечивает регулярность матрицы узловых проводимостей, что существенно упрощает решение СЛАУ при использовании новой модификации метода исключения Гаусса.
2. Первоначальное решение СЛАУ с помощью новой модификации метода исключения Гаусса для чисел с плавающей запятой формата double и float128.
3. Вычисление относительной погрешности решения по формуле:
8 = nOrm2(Xpres - x)/ nOrm2(Xpres), где Xpres - столбец решений, полученный при использовании чисел с плавающей запятой в формате float128; x - столбец решений, полученный при использовании чисел с плавающей запятой в формате double.
4. Вычисление числа обусловленности cond(A) матрицы A сформированной системы уравнений.
5. Изменение двух столбцов матрицы узловых проводимостей (что соответствует изменению параметра одного из элементов цепи при использовании узлового анализа).
6. Использование формул повторного решения для решения измененной СЛАУ.
7. Решение СЛАУ с помощью формул первоначального решения при использовании чисел с плавающей запятой в формате faotl28 для получения решения с весьма малой погрешностью.
8. Вычисление относительной погрешности решения (как в п. 3) и числа обусловленности.
9. Повторение пп. 5 - 8, выполняемое n раз, где n - порядок матрицы узловых проводимостей.
Типичные результаты численных экспериментов приведены на рис. 4.
2,5 2
1,5 1
510-
S-10
cond(A)-106
1
1.1.'. L 1 ILjwI, ы J] 1*. bu.tjLv* „ л». 1 - .к, 1
25
20
10
0
100 200 300 400
Количество повторных решений
Рис. 4. Результаты численных экспериментов: сплошная линия - cond(A); прерывистая линия - относительная погрешность / Fig. 4. Numerical experiment results: solid line, cond(A); dashed line - relative error
500
Выполненные численные эксперименты позволяют утверждать, что явление квазистабилизации (ограниченности) погрешности при узловом анализе электрических цепей с использованием предложенной новой модификации метода исключения Гаусса наблюдается даже в случае больших чисел обусловленности матриц.
Заключение
1. Показано, что предложенный ранее авторами подход к автоматизированному формированию тестовых математических моделей сложных электрических цепей эффективен и в случае узлового анализа.
2. Предложена особая последовательность обращения к узлам упорядоченной электрической цепи, которая обеспечивает формирование матриц регулярной структуры для цепей с большим числом элементов.
3. Показано, что при узловом анализе электрических цепей наблюдается явление квазистабилизации погрешности при многократном повторном анализе параметрически изменяющихся цепей с использованием предложенной новой модификации метода исключения Гаусса.
Список источников
1. Лебедев И.С., Савёлов Н.С., Басан С.Н. Новый подход к формированию тестовых математических моделей сложных электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2021. Т. 64, № 6. С. 5-11.
Б01:10.17213/0136-3360-2021 -6-5-11.
2. Делоне Б.Н., Галиулин Р.В., Штогрин М.И. Современная теория правильных разбиений Евклидова пространства. В кн: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979. С. 235-260.
3. Делоне Б.Н. Теория планигонов. Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1959. Т. 23, № 3 С. 364-386.
4. Савёлов Н.С. Расчет переходных процессов в предварительно упорядоченных электрических цепях // Изв. вузов. Электромеханика. 1985. № 4. С. 85-92.
5. Лебедев И.С., Савёлов Н.С. Новые результаты исследования алгоритмов анализа изменяющихся электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2020. № 6. С. 29-36.
6. Савёлов Н.С. Новый подход к формированию уравнений состояния электронных схем // Изв. вузов. Электромеханика. 1986. № 9. С. 72-74.
7. Савёлов Н.С. Формирование уравнений состояния при изменениях в электрических цепях // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 12. С. 13-18.
8. СавёловН.С., ЛебедевИ.С. Ускоренный анализ объединяемых электрических цепей в режиме переменного тока // Изв. вузов. Электромеханика. 2019. № 3. С. 18-25.
9. Савёлов Н.С., Хлынцев С.Г. Эффективный метод параметрического синтеза электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2013. № 5. С. 9-13.
10. Савёлов Н.С., Хлынцев С.Г. Развитие метода синтеза электрических цепей // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 3. С. 11-19.
5
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
11. Савёлов Н.С., Лебедев И.С. Явление квазистабилизации погрешности при повторных решениях систем линейный алгебраических уравнений // 58-я науч. конф. МФТИ: сб. тез. науч. конф., 23-28 ноября 2015 г., г. Долгопрудный / МФТИ. Долгопрудный, 2015. Режим доступа: URL: http://conf58.mipt.ru/static/reports_pdf/201.pdf (дата обращения 30.09.2022)
12. Савёлов Н.С., Лебедев И.С. Повторный многократный анализ электрических цепей без увеличения погрешности // Изв. вузов. Электромеханика. 2016. № 3. С. 18-24.
13. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: пер. с англ. М.: Энергия, 1980. 640 с.
References
1. Lebedev I.S., Savelon N.S., Basan S.N. A New Approach to the Formation of the Test Mathematical Models of Complex Electric al Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electrome-chanics. 2021; (6):5-11. (In Russ.)
2. Delone B.N., Galiulin R.V., Shtogrin M.I. Modern Theory of Regular Partitions of Euclidean Space. Correct division of plane and space. Leningrad: Science; 1979. Pp. 235-260.
3. Delone B.N. Planigon Theory. Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. Mathematical.1959. 23(3): 364-386. (In Russ.)
4. Savelov N.S. Calculation of Transient Processes in Pre-ordered Electrical Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 1985; (4): 85-92. (In Russ.)
5. Lebedev I.S., Savelov N.S. New Research Results of Algorithms for Analysis of Changing Electric Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2020; (6):29-36. (In Russ.)
6. Savelov N.S. A New Approach to the Formation of Equations of State for Electronic Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 1986; (9):72-74. (In Russ.)
7. Savelov N.S. Formation of Equations of State Under Changes in Electrical Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 1987; (12): 13-18. (In Russ.)
8. Savelov N.S., Lebedev I.S. Accelerated Analysis of Combined Electrical Circuits in Alternating Current Mode. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2019; (3): 18-25. (In Russ.)
9. Savelov N.S., Khlyntsev S.G. An Effective Method for Parametric Synthesis of Electrical Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2013; (5):9-13. (In Russ.)
10. Savelov N.S., Khlyntsev S.G. Development of a Method for the Synthesis of Electrical Circuits. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2015; (3): 11-19. (In Russ.)
11. Savelov N.S., Lebedev I.S. The Phenomenon of Quasi-stabilization of the Error in Repeated Solutions of Systems of Linear Algebraic Equations. 58th scientific conf. MIPT: Sat. thesis. scientific. conf., 23-28 November 2015, Dolgoprudny. MIPT. Dolgoprudny, 2015. Available at: http://conf58.mipt.ru/static/reports_pdf201.pdf (accessed 30.09.2022)
12. Savelov N.S., Lebedev I.S. Repeated Multiple Analysis of Electrical Circuits Without Increasing the Error. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin ofHigher Educational Institutions. Electromechanics. 2016; (3):18-24. (In Russ.)
13. Chua L.O., Ling Peng-Ming. Machine Analysis of Electronic Schemes: Algorithms and Computational Methods. Moscow. Energy; 1980. 640 p.
Сведения об авторе
Лебедев Иван Сергеевичв - аспирант, LebedevBK@outlook.com
Савёлов Николай Семёнович - докт. техн. наук, профессор, кафедра «Автоматика и телемеханика», savelovn@mail.ru
Information about the author
Lebedev Ivan S. - Graduate Student, LebedevBK@outlook.com
Savelov Nikolay S. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «Automation and Telemechanics», savelovn@mail.ru
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 12.10.2022; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 20.10.2022; принята к публикации / acceptedfor publication 24.10.2022.
