CC BY
9
ISSN1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2022. № 4
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Научная статья УДК 004.94
doi: 10.17213/1560-3644-2022-4-11-19
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
И.Б. Подберезная, А.В. Павленко, И.А. Большенко, И.В. Троценко
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
Аннотация. Рассмотрены вопросы применения и модификации метода численного дифференцирования Риддерса при решении задач электротехнических расчетов. Представлены результаты работы алгоритма при различных параметрах дробления шага дифференцирования. Исследована проблема выбора оптимального шага численного дифференцирования и влияния величины шага на погрешность вычисления производной. Выполнена оценка влияния ошибки в задании значения функции на погрешность в конечных разностях. Приведен пример численного дифференцирования в тестовой задаче расчета квазистационарного магнитного поля.
Ключевые слова: численное дифференцирование, метод Риддерса, численные расчеты, магнитное поле
Благодарности: статья подготовлена на основе результатов исследований, полученных в ходе выполнения государственного задания на проведение научных исследований в рамках проекта «Энергоустановки на водородных топливных элементах для малых беспилотных аппаратов: моделирование, разработка, исследование», при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, научный код FENN-2020-0022.
Для цитирования: Подберезная И.Б., Павленко А.В., Большенко И.А., Троценко И.В. О применении метода численного дифференцирования Риддерса при решении задач электротехнических расчётов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. №° 4. С. 11-19. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-11-19
Original article
ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF NUMERICAL DIFFERENTIATION OF RIDDERS IN SOLVING PROBLEMS OF ELECTRICAL CALCULATIONS
LB. Podbereznaya, A.V. Pavlenko, I.A. Bolshenko, I.V. Trotsenko
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Abstract. The questions of application and modification of the method of numerical differentiation of Ridders in solving problems of electrotechnical calculations are considered. The results of the algorithm operation are presented for various parameters of differentiation step splitting. The problem of choosing the optimal step of numerical differentiation and the influence of the step size on the error in calculating the derivative is studied. An assessment of the influence of an error in setting the value of a function on the error in finite differences is made. An example of numerical differentiation in the test problem of calculating a quasi-stationary magnetic field is given.
Keywords: numerical differentiation, Ridders method, numerical calculations, magnetic field
Acknowledgments: the article was prepared based on the results of research obtained in the course of fulfilling the state task for conducting scientific research within the framework of the project «Power plants on hydrogen fuel cells for small unmanned vehicles: modeling, development, research», with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, scientific code FENN-2020-0022
For citation: Podbereznaya I.B., Pavlenko A.V., Bolshenko I.A., Trotsenko I.V. On the Application of the Method of Numerical Differentiation of Ridders in Solving Problems of Electrical Calculations. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (4): 11—19. (In Russ.) http://dx.doi.org/10.17213/15 60-3644-2022-4-11-19
© ЮРГПУ (НПИ), 2022
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
При моделировании электротехнических устройств часто возникает необходимость численного вычисления производной [1-3]. Известно, что любой алгоритм численного дифференцирования является неустойчивым к ошибкам, вносимым в вычисления округлением или усечением. В особой степени это обстоятельство проявляется вблизи точек разрыва или других особенностей функции. В этом случае может быть использован метод Риддерса [4], обеспечивающий до 7 - 8 верных значащих цифр первой производной при условии, что точка, в которой она вычисляется, не слишком близка к какой-либо особенности функции. Несмотря на высокую точность метода Риддерса, бывают случаи, когда точки дифференцирования оказываются вблизи точек разрыва или других особенностей функции. В этом случае целесообразно использовать модифицированный алгоритм метода Риддерса. Для того чтобы показать основные моменты модификации, рассмотрим элементы классической реализации метода. Разложим некоторую функцию
F (I)( x) в ряд Тейлора в точке х: F(x + И) = F{x) + h • F(I)О) + ^h2 • F(II)О) +...
Производные функции F(x) в точке x численным методом определяются по формуле дифференцирования с центральной разностью
F (I)( x)'
F(x + h) - F(x - h)
2 • h
+ e,
где e
= -3 h2 • F(III) (x) -
погрешность диффе-
A -
A2
F(x + h) - F(x - h) ; 2 • h '
F(x + 2) - F(x - 2)
2:2 2
F ( x + A) - F ( x -A)
A3 =-
2 4
Отношение погрешностей дифференцирования двух соседних итераций будет равно константе
-1 к 2 • F(111) (х)
2
rCIII)
( x )
2
2 у
(III)
( x )
■ =... = 22.
£) • F(III) (x)
Для соответствующего порядка оценки строится таблица оценок по методу Ромберга [4]. Последнее значение в таблице и будет наиболее точной оценкой производной.
С целью обобщения и модификации алгоритма, реализующего метод, может быть введен параметр p, который позволит при необходимости варьировать дроблением шага дифференцирования, а следовательно, точностью и скоростью сходимости итерационного процесса для вычисления оценки производной
^= е2 е3
Для удобства программирования построим универсальный алгоритм метода. Для этого введем верхнетреугольную матрицу R(n, п), коэффициенты которой вычисляются для первой и последующих строк таблицы метода Ромберга по формулам
F (х + ку) - F (х - к)
= Р 2.
ренцирования.
Уменьшим шаг дифференцирования при каждой итерации в 2 раза:
(х) - Ах + ех ~ А2 + е2 ~ Аъ + еъ ~ А4 + е4 ~...
При этом значения производных, вычисленных с разным шагом, определятся как
2 • h,
i = 1; i = i; j = 1,2,...,n;
h. =A- • j pj-i '
P2' •Rj-Rj-i) ; i = 1,2.....(n -1);
P2 -1
j = (i +1),2.....n .
i+1), j
Здесь ho - начальный шаг дифференцирования.
Пример формирования таблицы оценок для m = 4, п = 5 при уменьшении шага дифференцирования при каждой итерации в 2 раза представлен в табл. 1.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Таблица 1/ Table 1 Таблица оценок по методу Ромберга для m = 4, n = 5 при уменьшении шага дифференцирования при каждой итерации в 2 раза / Table of estimates by the Romberg method for m = 4, n = 5 with a decrease in the differentiation step at each iteration by 2 times
Порядок оценки Шаг
h h 2 h h 4 22 h h 8 23 h h 16 24
m = 0 Rii R12 R13 Rl4 Rl5
m = 1 R22 R23 R24 R25
m = 2 R33 R34 R35
m = 3 R44 R45
m = 4 R55
h0
j-1
вычисляются шаг дифференцирования hj —
P
и производные для параметра оценки m = 0 и каж-
F(x + hj) - F(x - hj)
дого шага R ■ —-.
2 ■ hj
3. Изменяются переменные циклов г = 1,2, ..., (п - 1) и у = (п + 1), 2, ..., п и вычисляются оставшиеся коэффициенты верхнетреуголь-
Р24 ■ Я, 1 - Я, ( ;_0 ной матрицы Яу+1) ] =---——-
24
р- -1
4. Последнее значение в таблице Яп,п будет являться наиболее точной оценкой производной при соответствующем параметре р.
Рассмотрим результаты работы модифицированного алгоритма, на примере функции
х
е
F (x) = -
2
которая была предложена в [4].
Последнее значение в табл. 1 - Яъъ и будет наиболее точной оценкой производной.
Алгоритм численного дифференцирования в точке, реализующий такой подход, может быть представлен в виде последовательности действий.
1. Вводятся дифференцируемая функция Р(х), значение аргумента х, порядок матрицы п, начальный шаг дифференцирования ко и параметр дробления шага дифференцирования р.
2. Для значений переменной у = 1,2, ..., п,
81П X - X
Вычислим с начальным шагом численного дифференцирования ко = 0,01. Отметим, что истинное значение производной функции
ех
F (x) = -
в точке x = 1 равно 140,737735571297.
sin x - x
В табл. 2 представлены результаты работы программы при параметре p = yfl, в табл. 3 - при
V5 +1
p =2, в табл. 4 - при p - -
2
(золотое сечение).
Абсолютная погрешность вычисления в первом случае составляет 1 • 10-12, а в двух других - на порядок меньше - 1 • 10-13.
Таблица 2 / Table 2
Пример вычисления первой производной по методу Риддерса при p / An example of calculating the first derivative using the Ridders method for p = 42
Порядок оценки Шаг
h h 72 h h h
(fi )2 (Д1 (ß У
m = 0 141,678097131387 141,20636406831 140,971663667478 140,854603319728 140,796145400314
m = 1 140,734631005234 140,736963266645 140,737542971978 140,737687480901
m = 2 140,737740687116 140,737736207089 140,737735650542
m = 3 140,737735567085 140,737735571035
m = 4 140,737735571298
Таблица 3 / Table 3
Пример вычисления первой производной по методу Риддерса при p = 2 / An example of calculating the first derivative using the Ridders method for p = 2
Шаг
Порядок h h h h
оценки h 2 (2)2 (2)3 w
m = 0 141,678097131387 140,971663667478 140,796145400314 140,752333523322 140,741384777835
m = 1 140,736185846175 140,73763931126 140,737729564324 140,737735196006
m = 2 140,737736208932 140,737735581195 140,737735571451
m = 3 140,737735571231 140,737735571296
m = 4 140,737735571297
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Таблица 4 / Table 4
Пример вычисления первой производной по методу Риддерса при p
/ An example of calculating the first derivative using the Ridders method for p =
2
S+i 2
Порядок оценки Шаг
h 2 ■ h 4 ■ h 8 ■ h 16 ■ h
1 + ^ (1+V5 )2 (1+V5 )3 (1+ -Г51'
m = 0 141,678097131387 141,095457089646 140,874160547471 140,789814340667 140,757623381506
m = 1 140,735365740644 140,737391762813 140,73768551804 140,737728274614
m = 2 140,737728274614 140,737735697424 140,737735578309
m = 3 140,737735570461 140,737735571279
m = 4 140,737735571297
Как видно из представленных результатов работы алгоритма и программы, реализующей модернизированный алгоритм метода Риддерса, достаточно быстро сходится к правильному решению и позволяет достичь высокой точности. При этом, за счет выбора параметра р, отличного от целого значения, уменьшается вероятность попадания процесса дифференцирования в особые точки, если производная вычисляется вблизи таких особенностей функции. Следует отметить еще одну проблему численного дифференцирования, которая так же может привести к неверным результатам. Эта проблема связана с процедурой выбора шага дифференцирования. Если мы используем разностную схему, то при этом полагаем, что имеем точно вычисленные значения функции Г(х) в любой точке. Однако любые компьютерные вычисления сопряжены с неустранимыми погрешностями, которые обусловлены дискретным представлением чисел. По этой причине вычислим значения функции Г(х) лишь с некоторой погрешностью, которая обусловлена округлением чисел при расчетах на компьютере. В результате при очень малом шаге дифференцирования разностные формулы означают вычитание друг из друга близких чисел. В этом случае ошибки вычитания функции Г(х) становятся доминирующими и приводят к существенному росту суммарной погрешности вычисления разностной производной. Поэтому значение шага не следует выбирать минимальным, так как ошибки вычитания Г(х) сделают результат дифференцирования неверным.
В зависимости от вида дифференцируемой функции диапазон приемлемых значений шага ¡о будет различным. Поэтому в каждом конкретном случае требуется дополнительная оценка шага для численного дифференцирования. Поясним вышесказанное на примере численного дифференцирования ранее рассмотренной функции.
Формула с центральной разностью
(!), F(x + h) - F(x - h) 2 ■ h
+ e имеет остаточную
M3 ■ h2
погрешность -3h2 ■ F(III) (Ç) ~ —
обозначим
|F(III) ( x )[
[x—h, x+h]
A3 F ( x)
8, = ^, где м3 = тах
3 [ х-Л, х+Л]
здесь А3F (х) - конечная разность третьего порядка.
Для оценки М3 построим таблицу конечных разностей (табл. 5).
Как видно из таблицы (выделена А^ (х) -
конечная разность третьего порядка) погрешность метода будет определяться как
Мз = °,°3587437565 = 35874,756467 ;
0,0Г
Si =
35874,756467 ■( 0,0l)2
= 1,1958252156 .
S*
Вычислительная погрешность 82 = — , где
Л
5*= 5 • 10-10 - абсолютная погрешность величины F (хг-). Определим оптимальный шаг для использования формулы численного дифференцирования:
* 2
g ( Л ) = 8, + 82 = й (Л) + £2 (Л) = ^ + Мз-А.
Л 3
Решая уравнение £(1) (Л) = °, получим Л = з
"ЛПТ А
V
3 ■ S
M 3
= 0,0001611019.
За счет первого слагаемого при
Л ^ ° функция £(Л) ^да. За счет второго слагаемого при Л ^ да функция £(Л) ^ да. Это поведение функции g(h) показано на рис. 1.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Таблица 5 / Table 5
Таблица конечных разностей для оценки Мз / Finite difference table for evaluation Мз
Xi F(xi) AF(xi) A2F(x) A3F(x,) A4F(xi)
1,000 -17,1469041498 1,3009397891
1,010 -15,8459643606 1,1178023185 0,1831374706 0,0358747565
1,020 -14,7281620421 0,970539604 0,1472627142 0,0270847060 0,008790050
1,030 -13,7576224378 0,8503615961 0,1201780082 0,0208311707 0,006253535
1,040 -12,9072608416 0,7510147587 0,0993468375
1,050 -12,1562460829
Таблица 6 / Table 6
Пример вычисления первой производной по методу Риддерса при p = 2, для шага дифференцирования йоит = 0,0001611019 / An example of calculating the first derivative using the Ridders method for p = 2, for the differentiation
step Аопт = 0,0001611019
Шаг
Порядок h h h h
оценки h 2 (2)2 (2)3 (2)4
m = 0 140,737978025389 140,737796184742 140,737750724653 140,737739359635 140,737736518382
m = 1 140,737735571193 140,73773557129 140,737735571296 140,737735571297
m = 2 140,737735571296 140,737735571297 140,737735571297
m = 3 140,737735571297 140,737735571297
m = 4 140,737735571297
Таблица 7 / Table 7
Пример вычисления первой производной по методу Риддерса при p = 2 при шаге дифференцирования h = 0,00001 меньше оптимального / An example of calculating the first derivative using the Ridders method for p = 2 with a differentiation step h = 0,00001 less than optimal
Шаг
Порядок h h h h
оценки h 2 (2f (2)3 (2)4
m = 0 140,73773650547 140,73773580484 140,737735629682 140,737735585891 140,737735574945
m = 1 140,737735571297 140,737735571296 140,737735571293 140,737735571296
m = 2 140,737735571296 140,737735571293 140,737735571296
m = 3 140,737735571293 140,737735571296
m = 4 140,737735571296
Как видно из результатов, приведенных в табл. 6 (выделенная часть таблицы), при использовании оптимального шага копт = 0,0001611019 истинное 140,737735571297 решение получаем быстрее.
Если взять шаг меньше оптимального, например к = 0,00001, то решение ухудшится, так как начнут сказываться ошибки округления, что видно из табл. 7. Абсолютная погрешность вычисления в этом случае составляет 1 • 10-11, последняя значащая цифра определяется неверно.
Анализируя результаты, приведенные в табл. 6 и 7, можно сделать вывод, что выбор шага дифференцирования играет очень большую роль. Так, при использовании неверного шага истинное решение достигается значительно медленнее в сравнении с оптимальным. Следует отметить, что
\ Sih)-- S* Л/,-/?3 — + —— h 3
&(A >4
0 0,25 0,30 0,75 А
Рис. 1. Зависимость границы полной погрешности от шага h / Fig. 1. Dependence of the total error limit on the step h
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
невозможность сделать погрешность аппроксимации производных разностными отношениями сколь угодно малой даже при убывании погрешностей вычисления значений функции не позволяет считать эту задачу корректной [5 - 8]. Здесь нарушается одно из условий корректности [5], заключающееся в том, что нет непрерывной зависимости точности результата от точности входных данных. При Н ^ 0 ошибка в значениях функции может убывать, а ошибка результата дифференцирования - бесконечно расти [8]. В этом случае для достижения приемлемой точности необходимо подключать методы решения некорректно поставленных задач, общий подход к решению которых предложен А.Н. Тихоновым [9 - 11].
Для иллюстрации модифицированного алгоритма метода Риддерса рассмотрим решение тестовой задачи расчета квазистационарного электромагнитного поля в призме прямоугольного сечения методом пространственных интегральных уравнений [12] с численным вычислением производной векторного магнитного потенциала по времени ^^. Задача расчета заключается в определении распределения напряженности магнитного поля в катушке с ферромагнитным сердечником длиной I сечением а х Ь и проводимостью материала сердечника у, работающем в линейном режиме с постоянной магнитной проницаемостью Ца [13, 14]. Обмотка питается от источника тока с числом витков на единицу длины сердечника wo, рис. 2.
i
/ y
/
H(x, y, t)
Рис. 2. Эскиз призмы прямоугольного сечения / Fig. 2. Sketch of a rectangular prism
Электромагнитное поле рассматривается в квазистационарном приближении. Расчетная область состоит из совокупности отдельных подобластей, включающих ферромагнитную (объём Vц) и проводящую (объём Уу) среды, а также токонесущие элементы (объём V}). Для рассматриваемого примера (рис. 2) Vц совпадает с Уу. Магнитное поле описывается системой уравнений
A =
4п
V Г V r s r Vj г
H =
J
4п
iii
3(M • r )r M
r5 r3
дА 1
dV -iii ^ dVj
л®
dt 4ле0 ■j г
л
k = 2s О
M = ( и-1) H
dt 4ле0 ^ r3
где A - векторный магнитный потенциал; M - намагниченность в точке, принадлежащей объёму V; фе - скалярный электрический потенциал простого слоя электрических зарядов с плотностью ^ на границе 5 области V; п - внешняя нормаль к 5; ц - относительная магнитная проницаемость ферромагнетика; г - радиус-вектор, проведенный из элемента ¿V в «точку наблюдения» -Q, в которой определяются значения векторов поля.
Решение системы позволяет определить неизвестные вторичные источники: вихревые токи, намагниченность ферромагнитных объёмов, наведенные на границе электрические заряды. Однако вычисление неизвестных вторичных источников связано с задачей вычисления производной по времени векторного магнитного потенциала численными методами. Если эта задача решена с большой погрешностью, то и вторичные источники так же будут определены неверно.
При расчете были выбраны два варианта изменения тока:
Г * Л
- первый закон i
( t ) =
1 - e
, скорость
нарастания тока в котором резко изменяется (рис. 3, а);
второй закон i
( t ) =
1 - e
t T2
• I , с плавным
v у
изменением скорости нарастания тока (рис. 3, б).
1
z
Г
o
x
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
i(f), A di(t)
H, A/»
dt
A/c
2,4
1,2
0,6
V
\ \ \ 2 ✓ 1
\ V 4 /
\
0,2
0,4
0,6
0,8
iff), A di(t) dt
2,4
A/c
1,2
0,6
2
/ / \ \ 1
/ ! V \ \
i 1 ; V \
i \
0,2
0,4 б
0,6
0,8
2 - производная функции -
function -
■ / Fig. 3. Various forms
/ --
/71 1 4 . 2
hf /3
Рис. 3. Различные формы изменения тока: 1 - функция i(t);
di(t) dt
of current change: 1 - function i(t); 2 - derivative of the
di(t)
dt
На рис. 4 представлены результаты расчета напряженности поля в геометрическом центре сердечника при токе, изменяющемся по первому (а) и по второму (б) законам. Здесь график 1 - без учета влияния вихревых токов; 2 - полученные аналитически c учетом влияния вихревых токов; 3 - аналитически только от вихревых токов; 4 - c учетом влияния вихревых токов по программе с использованием метода Риддерса; 5 - только от вихревых токов по программе с использованием метода Риддерса.
Те же результаты, но без использования метода Риддерса, представлены на рис 5, а (первый закон изменения тока в катушке) и на рис. 5, б (второй закон изменения тока в катушке). Здесь график 1 - полученная аналитически напряженность магнитного поля в центре катушки c учетом влияния вихревых токов; 2 - полученная аналитически напряженность магнитного поля в центре катушки, наведенная вихревым током; 3 - расчетная напряженность магнитного поля в центре катушки c учетом влияния вихревых токов; 4 - расчетная напряженность магнитного поля в центре катушки, наведенная вихревым током.
0,48 б
Рис. 4. Результаты расчета напряженности поля в геометрическом центре сердечника при токе в катушке, изменяющемся по первому (а) и по второму (б) законам / Fig. 4. Calculation results of the field strength in the geometric
center of the core at the current in the coil, which varies according to the first law (a) and according to the second law (б)
H, A/i.
/
4 /
X
----
0,48
а
0,48 б
Рис. 5. Результаты расчета напряженности поля в геометрическом центре сердечника при токе в катушке, меняющимся по первому закону (а) и по второму закону (б) без использования метода Риддерса / Fig. 5. Calculation results of the field strength in the geometric center of the core with the current in the coil changing according to the first law (a) and according to the second law (б) without using the Ridders method
а
а
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
На рис. 6 представлены абсолютные погрешности расчета напряженности поля в геометрическом центре сердечника при токе, изменяющемся по первому (а) и по второму (б) законам. Здесь график 1 - с применением метода Риддерса, график 2 - без применения метода Риддерса.
АН, А/м 0,8 0,06 0,04 0,02 О
О 0,24 0,4В 0,72 0,96 1, с а
АН, А/м|-
О -
О 0,24 0,48 0,72 0,96 г, с
б
Рис. 6. Абсолютные погрешности расчета напряженности поля в геометрическом центре сердечника при различных законах изменения тока в катушке / Fig. 6. Absolute errors in the calculation of the field strength in the geometric center of the core for various laws of current change in the coil
Как видно из приведенного анализа, модифицированный метод численного дифференцирования Риддерса обеспечивает хорошие результаты и может использоваться в алгоритмах решения задач электротехнических расчетов. Метод достаточно прост и эффективен, позволяет уменьшить ошибки, вносимые округлением и усечением. Однако вблизи точек разрыва и особых точек функции он так же может быть неустойчивым.
Список источников
1. Подберезная И.Б., Ершов Ю.К., Павленко А.В. Расчет распределения магнитного поля в призме прямоугольного сечения методом пространственных интегральных уравнений при различных формах входного сигнала // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Техн. науки. 2014. № 5 (180). С. 15-21.
2. Подберезная И.Б. Применение пространственных интегральных уравнений для расчета квазистационарных электромагнитных полей в электромеханических устройствах // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2014. № 3(152). С.250-264.
3. Подберезная И.Б., Павленко А.В. К расчету динамических характеристик быстродействующих электромагнитов тяговых автоматических выключателей // Изв. вузов. Электромеханика. 2019. № 2. С. 21-28.
4. Ridders C.J.F. Advances in Engineering Software, 1982, vol. 4, no. 2, pp. 75-76.
5. Hadamard J. Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations. Yale University Press, New Haven. 1923.
6. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. М.: Физматгиз, 1962.
7. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высшая школа, 2001.
8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
9. ТихоновА.Н., Арсенин В.А. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 223 с.
10. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
11. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970. С. 224-238.
12. Пеккер И.И. Расчёт магнитных систем методом интегрирования по источникам поля // Изв. вузов. Электромеханика. 1964. № 9. С. 1047-1051.
13. Подберезная И.Б., Ершов Ю.К., Грошев А.Е., Павленко А.В. Метод пространственных интегральных уравнений на примере задачи расчета магнитного поля в призме прямоугольного сечения // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 2. С. 3-15.
14. Подберезная И.Б. Применение пространственных интегральных уравнений для расчета квазистационарных электромагнитных полей в электромеханических устройствах // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2014. № 3(152). С. 250-264.
References
1. Podbereznaya I.B., Ershov Yu.K., Pavlenko A.V. Calculation of Distribution of a Magnetic Field in a Prism of Rectangular Section a Method of the Spatial Integral Equations at Various Forms of an Entrance Signal. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2014; 5(180): 15-21. (In Russ.)
2. Podbereznaya I.B. Application of Spatial Integral Equations for Calculating Quasi-Stationary Electromagnetic Fields in Electromechanical Devices. Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2014; 3(152):250-264.
3. Podbereznaya I.B., Pavlenko A.V. On the Calculation of the Dynamic Characteristics of High-Speed Electromagnets of Traction Automatic Switches. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2019; (2): 21-28. (In Russ.)
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
4. Ridders C.J.F. Advances in Engineering Software. 1982; 4(2): 75-76.
5. Hadamard J. Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations. Yale University Press. New Haven. 1923.
6. Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods: In 2 vols. M.: Fizmatgiz, 1962.
7. Verzhbitsky V.M. Numerical Methods (Mathematical Analysis and Ordinary Differential Equations). Moscow: Higher school; 2001.
8. Kalitkin N.N. Numerical methods. Moscow: Nauka; 1978.
9. Tikhonov A.N., Arsenin V.A. Methods for Solving Ill-Posed Problems. Moscow: Nauka, 1986. 223 p.
10. Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Numerical Methods for Solving Ill-Posed Problems. Moscow: Nauka; 1990.
11. Tikhonov A.N., Ivanov V.K., Lavrentiev M.M. Incorrectly Assigned Tasks. Partial Differential Equations. Moscow: Nauka; 1970. P. 224-238.
12. Pekker I.I. Calculation of Magnetic Systems by the Method of Integration Over Field Sources. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics.1964; (9): 1047-1051. (In Russ.)
13. Podbereznaya I.B., Ershov Yu.K., Groshev A.E., Pavlenko A.V. The Method of Spatial Integral Equations on the Example of the Problem of Calculating the Magnetic Field in a Rectangular Prism. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2014; (2): 3-15. (In Russ.)
14. Podbereznaya I.B. Application of Spatial Integral Equations for Calculating Quasi-Stationary Electromagnetic Fields in Electromechanical Devices. Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2014;152(3). P. 250-264. (In Russ.)
Сведения об авторе
Подберезная Ирина Борисовнав - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», podbereznayaib@mail.ru.
Павленко Александр Валентинович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Электромеханика и электрические аппараты», rn6lde@mail.ru
Большенко Ирина Александровна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электромеханика и электрические аппараты», bolshenko_ia@npi-tu.ru.
Троценко Игорь Викторович - канд. техн. наук, доцент, декан энергетического факультета, tiv110865@yandex.ru.
Information about the author
Podbereznaya Irina B. - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department «Electromechanics and Electrical Apparatus», podbereznayaib@mail.ru.
Pavlenko Alexander V. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department «Electromechanics and Electrical Apparatus», rn6lde@mail.ru
Bolshenko Irina A. - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department «Electromechanics and Electrical Apparatus», bolshenko_ia@npi-tu.ru.
Trotsenko Igor V. - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Dean of the Faculty Energy, tivl 10865@yandex.ru.
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 11.10.2022; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 24.10.2022; принята к публикации / acceptedfor publication 27.10.2022.
