ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ РАУСА - ГУРВИЦА Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 517.935.3

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-9-3-8

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ РАУСА - ГУРВИЦА

Е.В. Ларкин, А.А. Горшков

Исследуется цифровое управление технологическим оборудованием с Фон Неймановским контроллером в цепи обратной связи. Показано, что линейная математическая модель замкнутой многосвязной системы имеет единое характеристическое уравнение, содержащее комплексную экспоненту, описывающую чистое запаздывание, затрачиваемое контроллером на ввод, обработку и вывод данных. Для анализа устойчивости системы получена инверсная форма критерия Рауса-Гурвица, в соответствии с которой показано, что увеличение времени запаздывания приводит к приближению системы к границе устойчивости.

Ключевые слова: объект управления, Фон Неймановский контроллер, характеристическое уравнение, запаздывание, критерий Рауса-Гурвица.

Цифровизация является ключевым направлением развития техники и технологии в промышленности [1], робототехнике [2], в области беспилотных транспортных средств [3] и т.п. Внедрение цифровых технологий в практику управления перечисленными объектами предполагает широкое внедрение контроллеров Фон Немановского типа в качестве прибора, осуществляющего расчет управляющих воздействий, подаваемых на исполнительные органы системы, и рассчитываемых по текущим оценкам состояния объекта управления, оцененного датчиками сенсорной подсистемы [4, 5, 6]. Опрос датчиков, расчет управляющих воздействий и вывод сигналов управления разворачивается в реальном времени. Поэтому между моментом измерения текущего состояния и моментом выдачи данных на исполнительные органы проходит определенное время, которое с точки зрения теории управления является чистым запаздыванием, вносимым системой управления [7, 8, 9]. Наличие чистого запаздывания, вносимого управляющим контроллером, следует учитывать при конструировании систем управления на этапе их разработки. Методы расчета чистого запаздывания на основании анализа управляющего алгоритма и оценки его влияния на качество управления не нашли широкого распространения в инженерной практике, что объясняет актуальность проведенных исследований.

Общая структура систем исследуемого класса показана на рис. 1 и является классической. Система включает объект управления, (ОУ) и цифровой контроллер (ЦК) объединенные интерфейсом (И). Состояние ОУ X(s) измеряется сенсорной подсистемой, и преобразуется в цифровой поток данных

X(s). ЦК представляет собой ЭВМ Фон Неймановского типа, управляющий алгоритм которой сравнивает текущее состояние объекта с желаемым состоянием, определяемым вектором данных F(s), формирует вектор ошибки s(s), рассчитывает компоненты потока данных U(s), и выводит эти компоненты через интерфейс в виде вектора U(s) сигналов управления, подаваемых на приводы исполнительных органов ОУ.

Общая динамическая модель, описывающая ОУ, может быть получена из системы дифференциальных уравнений, описывающей объект как таковой, его датчики и приводы, линеаризации модели и применения к линейной форме прямого преобразования Лапласа [10, 11, 12]. Модель выглядит следующим образом:

A (s )• X (s ) = B (s )• U (s ), (1)

где X(s) и U(s) - K-элементные векторы; A (s) и B (s) - K х K невырожденные матрицы общего вида; s - оператор дифференцирования.

Для удобства с использованием методов линейной алгебры [10] уравнение (1) может быть сведено к форме

A(s) X (s ) = B(s )-U (s), (2)

где A(s) = \ i (s)J - K х K диагональная матрица; B(s) = [Bk i (s)J - K х K матрица общего вида; Afc i (s) и Bk i (s) - элементы, расположенные на пересечении k-й строки и l-го столбца;

Г M (a,k) ( k)

Е ада (a, k )sm(a,k , when k = l, (3)

m(a, k )=0(a,k ) ч0, otherwise;

M (b, k ,l)

Ak ,l (s ) =

Bk ,l(s )= E bm(b,k ,l)

m(b, k ,l )=0(b, k ,l

m

(b,k,l).

(4)

F(s) л [Y(s) » ЦК U(s) ,

V i J k 1 1

1 да '

И

i U(s) ОУ X(s)

-

Рис. 1. Общая структура цифровой системы управления

В (3) и (4) m(...) - индекс-функция, первый аргумент которой обозначает, к какой матрице принадлежит индекс, второй элемент обозначает номер строки, а третий - номер столбца.

Для выполнения условий леммы Жордана [10, 11] можно потребовать, чтобы max k ,1 [M (b, k, l )] < min k [ (a, k )].

В общем случае алгоритм управления, реализованный в ЦК, рассчитывает те или иные функции дискретного аргумента [13]. Результатом применения к дискретному аргументу преобразования является Z-преобразование [14]. При стремлении периода дискретизации к нулю возможна замена Z-преобразования на обычное преобразование Лапласа и линейный закон управления, реализованный в ЦК может быть описан как

C (s ) • U (s ) = D(s ) • [F (s ) - X (s )], (5)

где C(s)=[Ckl (s)] - K x K диагональная матрица; D(s)=Dkl (s)] - K x K общего вида;

max k ,l [M (d, k, l )] < min k [M (c, k )] ;

f M (c,k )

Ck ,l(s ) =

E 'cm(c,k)sm(c,k), when k = l

(6)

m

(d,k,l).

(7)

m (c, k )=0(c, k) ч0 otherwise;

M (d ,k ,l)

Dk,l(s)= Е dm(d,k,l)s

m(d, k ,l )=0(d ,k ,l)

Практическая реализация зависимости (5) сводится к реализации некоторого управляющего алгоритма, который организует чтение элементов вектора X(s), расчет

~ U(s) = C-1(s). D(s )-[F (s)- X (s )J

и вывод элементов вектора U(s).

Алгоритм опроса датчиков и приводов может иметь сколь угодно сложную структуру, но две его особенности являются общими для всех алгоритмов этого типа: цикличность и задержка по времени между запросами любой выбранной пары транзакций. В простейшем случае внутри цикла алгоритм является линейным и может иметь структуру, показанную на рис. 2.

В алгоритме, изображенном на рис. 2, в цикле опрашиваются элементы вектора X(s), рассчитывается управляющее воздействие по зависимости (8), и результаты расчета с использованием операто-

4

(8)

ров \(и),..., к (и),..., 1(и),..., К (и) прокачиваются через интерфейс И на входы приводов. Период транзакций т1(х) 1(х) начинается с начала чтения данных, поступающих от первого датчика и оканчивается выводом управляющего воздействия на К-1 привод:

Ф КЕм) (8)

т1(х ),1(х )= Ет/(х )+т р + Ет/(и), (8)

¡(х )=1(х) ¡(и )=1(м )

где т

(х)

- время ввода данных с ¡

г(х )-

го сенсора; т

¡(и)) - время

вывода данных на ¡

¡(и )-й

привод; т,

время обработки данных.

Операторы 1(х),..., к(х),..., 1(х),..., К(х) чтения элементов вектора X (з)

,, X(*)

Оператор расчета ¿~(*) = С»• (з)-X (з)]

Операторы 1(и),..., к (и),..., 1(и),..., К (и) вывода элементов вектора и (з)

X (*)

Рис. 2. Структура простейшего управляющего алгоритма

Для грубой оценки задержки в контурах управления с учетом времени, затрачиваемого контроллером Фон Неймановского типа на обработку данных, в этом случае может быть использовано среднее время, затрачиваемое на чтение, плюс среднее время, затрачиваемое на обработку, плюс среднее время, затрачиваемое на вывод данных [15].

К (х) К (и )

Ет (х)+ £т,-(и)

¡(х )=1(х) ¡(и )=1(и) _

С учетом (9), зависимость (5) может быть преобразовано в выражение

и (з )= С -1(з )• )• [р (з)- ехр(- )• X (з)], (10)

где комплексная экспонента в квадратных скобках представляет собой изображение по Лапласу чистого запаздывания.

Подстановка (2) в (10) дает

1

т = — 2

(9)

X (з) = [[) + ехр(- ™ )Б(з) • С-1 (з) • )]"1 • Б(з) • С-1 (з) • ) • Р (з),

(11)

где А) + ехр(- тз)б(з) • С () • ) - характеристический полином многоконтурной цифровой

замкнутой системе управления.

Динамика управляемого технологического оборудования полностью определяется корнями характеристического уравнения [16, 17], полученного из (11):

..... " "" (12)

где Сц(^) - матрица миноров;

| А(у) • det С (з) + ехр(- ) • Б(э) • Сц (з) • ) = )]

(з )1= 0.

М (д)

М (д)

г(а,к) .

)]= Е Чт(д ут(д) + ехр(-™) X рт(д)

т(д)=0(д) т(д)=1(д)

М(д) ~ т(д) К М(а,к)

Е ~т(д уЩд' =П Е ат(а,к )

т(д )=0(д ) к=1 т(а,к )=0(а,к )

К М(,к) т(ск)

х П Е ат(с,кут(с,к);

к=1 т(с,к )=0(с,к ) К К

М (д )= Е М (а, к)+ Е М (с, к).

к=1 к=1

т

(д);

(13)

(14)

Выражение (12) может быть переписано в виде

м (q) ( )

Е qm(q )sm(q )= 0,

m(q )=0(q )

(16)

где

qm(q) IP ( ), otherwise.

\~m(q) + Pm(q) ' exP(- ls) when 0(qm(BM(q); (17)

l~m(q)

Отметим, что в системе без задержек (17) принимает вид

q ( ) = jPpm(q) + ~m(q), when 0(q)" m(i)" M^) (18)

m(q) |pm(q), otherwise.

Утверждение 1. Несмотря на комплексную экспоненту, стоящую в левой части (12), решение этого характеристического уравнения представляет набор действительных чисел, или пар комплексно-сопряженных корней.

Доказательство. Справедливость этого утверждения доказывается методом разложения комплексной экспоненты exp(- is) в ряд Маклорена и преобразования левой части выражения (12) в обычный полином*

Для устойчивой замкнутой системы действительные корни характеристического уравнения (12) должны быть отрицательными, а пары комплексно-сопряженных корней должны иметь отрицательные действительные части.

Утверждение 2. Если уравнение (16) имеет отрицательные действительные корни и/или пары комплексно-сопряженных корней с отрицательными действительными частями, то уравнение

MEq) qm(q)sm(q)-M(q)= 0 (19)

m(q )=0

также имеет отрицательны действительные корни и/или корни с отрицательными действительными частями.

Доказательство. Действительно, допустим, что в (16) qM (q )= 1. Тогда

M (q ) -1

q0(q) = Q sm(q), где sm(q) - корни (16). Обозначим s = r и разделим обе части (16) на

m(q )=1(q)

q0(q). Тогда (16) примет вид

M (p) q

Е Pm(Pp У^ )= 0, m(p )=0

qm(q) M(p) M(q) 1 P где Pm(p)= ; P0(p)= П rm(p)= П -; PM(p)= 1, таким образом, корни

qM (q ) m(p )=1(p ) m(q )=1(q ) sm(q ) (20) являются обратными по отношению к корням уравнения (16) are inverse to roots of (19); m(p ) = M (q) - m(q).

Допустим, что в sq(m)= Re sq(m)+ i Im sq(m), Re sq(m) < 0. Тогда Re\\Re sq(m) + i Im sq(m

(20)

)J

[Re sq(m)j2

Re sq(m )

Im sq(m)j2

< 0.

,=0, Re sq(m) _ 1

В частном случае, когда 1т = ' < 0 •

Для оценки устойчивости можно воспользоваться критерием Рауса-Гурвица. Определитель Ра-уса-Гурвица для инверсного характеристического уравнения принимает вид [20 - 22]

Г =

q1(q) q0(q) 0 . 0 0

q3(q) q2(q ) q1(q) ■ . 0 0

qs(q) q4(q) q3(q) . . 0 0

0 0 0 . . qM(q)-1 qM (q )-2

0 0 0 . . 0 qM (q)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты, д0(д), •••, Чт(д), ', 9М(д)

, были положительны и все определители матрицы Рауса-Гурвица, получаемые из левого верхнего минора были бы также положительными. В частности, положительным должен быть минор

Ч1(д) = ) > 0 • Уменьшение положительного ) подводит систему ближе к границе устойчивости.

Разложим комплексную экспоненту системы с задержками в ряд Тейлора, т.е..

ехр(- ™) • до(?) = (1 - ™ ^(д). (23)

Постановка (23) в (19) дает следующее значение первого минора Рауса-Гурвица:

Ч1(д4 ) = Ч1(д )-^0(?), (24)

где ^(д ^) - первый минор системы с задержками; ) - первый минор системы без задержек; ^(д)

>0 и т > 0 по определению.

Выражение (24) показывает, что наличие задержки по времени при обработке данных в Фон Неймановском контроллере приближает систему управления к границе устойчивости, и для того, чтобы приблизить характеристики системы с цифровой обработкой к системе с аналоговой обработкой необходимо сокращать вычислительную сложность алгоритма управления.

Полученные результаты подтверждаются моделированием узла позиционирования рабочего органа технологической установки по двум координатам, включающего пару приводов с постоянной времени разгонной характеристики, равной 0,05 с, и механизм, обеспечивающий единичные перекрестные связи между контурами управления [21]. Результаты моделирования при единичном ступенчатом воздействии приведены на рис. 3 для различных значений времени задержки. Как показывает компьютерный эксперимент, время достижения установившегося состояния и перерегулирования от времени задержки т зависят напрямую. При т = 0,122 с система находится на границе устойчивости.

0 0,4 0, 8 1,2 1,6 i

2,0 11 2

i f A V ../..;......

1,6 / \ 7 j

/ ' i

1,2 ■ 7

1

0,8 У

i

0,4

/ I 0,122 -W-

0,4 0,8

1,2 1,6

Рис. 3. Результаты моделирования системы позиционирования рабочего органа по двум координатам

0

t

В итоге, разработан метод оценки характеристик цифрового управления, в котором используется время задержки на обработку данных. Показано, что использование критерия Рауса-Гурвица позволяет разработать весьма простую методику оценки. Результат подтвержден компьютерным экспериментом по моделирования системы духкоординатного позиционирования рабочего органа.

Дальнешие исследования в этой области могут быть направлены на разработко метода оценки перерегулирования и времени резулирования по параметрам системы и времени задержки.

Список литературы

1. Malin Löfving M., Säfsten K., Winroth M. Manufacturing strategy formulation, leadership style and organizational culture in small and medium-sized enterprises. IJMTM. 2016. Vol. 30. No. 5. P. 306 - 325. 2 Siciliano B., Khatib O. Springer Handbook of Robotics. Springer. 2016. 2155 p. 3. Mehmszow U. Mobile Robotics: A Practical Introduction. Springer-Verlag. London Ltg. 2003.

273 p.

4. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems, Design, Identification and Implementation. Springer, 2006. 484 p.

5. Babishin V., Taghipour S. Optimal maintenance policy for multicomponent systems with periodic and opportunistic inspections and preventive replacements // Applied Mathematical Modelling. 2016. V. 40. №. 23. P. 10480 - 10505.

6. Kilian C.T. Modern control technology: Components and systems. Thompson Delmar Learning. 2000. 608 p.

7. Astrom J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design. Tsinghua University Press. Prentice Hall, 2002. 557 p.

8. Meyer-Baese U. Digital signal processing. Springer-Verlag Berlin, Heidelbrg, 2004. 523 p.

9. Wu R., Fan D., Iu H.H.-C., Fernando T. Adaptive fuzzy dynamic surface control for uncertain discrete-time non-linear pure-feedback mimo systems with network-induced time-delay based on state observer // International Journal of Control. 2019. Vol. 92. N. 7. P. 1707 - 1719.

10. Linear Algebra / Cherney D., Denton T., Thomas R., Waldron A. Ed. by Glaezer K. and Scrimshaw T. Davis California: 2013. 436 p.

11. Pavlov A.V. About the equality of the transform of Laplace to the transform of Fourier // Issues of Analysis. 2016. Vol.5(23). N.4(76). P. 21 - 30.

12. Li J., Farquharson C.G., Hu X. Three effective inverse Laplace transform algorithms for computing time-domain electromagnetic responses // Geophysics. 2015. Vol. 81. N. 2. P. E75 - E90.

13. Yeh Y.-C., Chu Y., Chiou C.W. Improving the sampling resolution of periodic signals by using controlled sampling interval method // Computers & Electrical Engineering, 2014. Vol. 40. N. 4. P. 1064 - 1071.

14. Pospisil M. Representation of solutions of delayed difference equations with linear parts given by pairwise permutable matrices via Z-transform // Applied mathematics and computation. 2017. V. 294. P. 180 -194.

15. Larkin E.V. Bogomolov A.V., Privalov A.N. A Method for Estimating the Time Intervals between Transactions in Speech-Compression Algorithms // Automatic Documentation and Mathematical Linguistics. 2017. Vol: 51. Iss. 5. P. 214 - 219.

16. Афанасьев, В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

17. Bosgra O.H., Kwakernaak H., Meinsma G. Design Methods for Control Systems. Dutch Institute of Systems and Control, 2001. 321 p.

18. Mahaardica R., Widowati, Sumanto Y.D. Ruuth-Hurwitz criterion and bifurcation method for stability analysis of tuberculosis transmission model // Journal of physics. IOP Conference Series. IOP Publishing. 1217. 2019. 012056. 12 p.

19. Toshiharu Sugie. Simple explanation of Routh-Hurwitz criterion for undergraduate education // Systems, control and information. 2021. Vol. 65. N 7. P. 257 - 270.

20. Bodoson M. Explaining Routh-Hurwitz criterion: A tutorial presentation // IEEE Control systems magazine. 2020. Vol. 40, N 1. P. 45 - 51.

21. Larkin E., Bogomolov A., Antonov M. Modeling of Increased Rigidity of Industrial Manipulator // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). 2020. 12336 LNAI. P. 170 - 178.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, elarkin@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Горшков Алексей Анатольевич, канд. техн. наук, сотрудник, dobrythin@ya. ru, Россия, Орел, Академии Федеральной службы охраны России

ESTIMATION OF MULTI-LOOP CONTROL SYSTEM STABILITY WITH USE ROUTH-HURWITZ CRITERION

E.V. Larkin, A.A. Gorshkov

Digital control by technological equipment with Von Nemann controller in feedback circuit is investigated. It is shown, that linear mathematical vmodel of close multi-loop system has unified characteristic equation, including complex exponent, describing delay, spend by controller on input, processing and output data. For system stability analysis the inverse form of the Routh-Hurwitz criterion is obtained, in accordance with which it is shown, that Increase a delay leads to approaching of system stability border.

Key words: Object under control, Von Neumann controller, characteristic equation, delay, Routh-Hurwitz criterion.

Larkin Eugene Vasylyevich, doctor of technical science, professor, head of department, elar-kin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gorshkov Aleksey Anatolyevich, employee, dobrythin@ya.ru, Russia, Orel, Academy of the Federal Security Service of Russia