МОДЕЛЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СТВОЛОПРОХОДЧЕСКОГО КОМБАЙНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Zinchenko Elena Gennadievna undergraduate, eltel85@bk.ru, Russia, Kerch, Kerch State Marine Technological University

УДК 004.056.53

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-9-297-304 МОДЕЛЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СТВОЛОПРОХОДЧЕСКОГО КОМБАЙНА

Е.В. Ларкин, А.Н. Привалов

Проведен анализ цифровой системы управления сложным многоконтурным объектом с контроллером Фон-Неймановского типа. Получены общие аналитические модели функционирования объекта управления и процесса обработки данных цифровым контроллером. Показано, что передаточные функции, полученные из аналитического описания обработки дискретных данных контроллером, могут быть объединены с передаточными функциями, полученными из аналитического описания объекта управления, в общую передаточную функцию замкнутой многоконтурной системы управления сложными объектами. Разработана типовая структурная схема и аналитическая математическая модель функционирования системы, учитывающая временные задержки между транзакциями, вызванные последовательной интерпретацией операторов алгоритма управления и случайным характером обрабатываемых данных. Показано, что временные задержки между транзакциями приводят к появлению как в числителе, так и в знаменателе передаточной функции замкнутой системы комплексных экспонент, описывающих такие явления, как перекос данных и чистое отставание.

Ключевые слова: цифровая система управления, регулятор фон Неймана, алгоритм управления, полумарковский процесс, запаздывание, замкнутая система, передаточная функция.

Введение. Базовой концепцией развития современной промышленности является усложнение технологий и связанное с этим широкое внедрение цифровых технологий повышения качества продукции, например, стволопроходческих комбайнов [1, 2]. Переход к новым цифровым технологиям управления связан с использованием в качестве регуляторов новых устройств, обладающих, по сравнению с аналоговыми регуляторами, новыми свойствами [3, 4, 5], связанных с последовательной интерпретацией операторов алгоритма управления, разворачивающихся в реальном физическом времени. Благодаря этому цифровой регулятор, помимо алгоритмической реализации закона управления, вносит временные задержки в процесс управления, что, в свою очередь, влияет на качественные характеристики системы управления стволопроходческих комбайнов. Каждый алгоритм управления обрабатывает случайные данные, формирующиеся на выходах датчиков, и включает решающие операторы в точках ветвления, поэтому при его интерпретации генерируются случайные интервалы времени между транзакциями, как при вводе/выводе данных (перекос данных), так и при вычислении управляющего воздействия (чистый отставание) [5, 6, 7]. В то же время промышленность, военная и другая техника при переходе на новые технологии управления должны обеспечивать требуемое качество продукции вне зависимости от случайных факторов времени [8, 9, 10]. В связи с этим возникает научная проблема создания моделей цифровых систем управления стволопроходческих комбайнов, учитывающих реальные физические характеристики цифровых регуляторов, которые могут быть использованы в качестве базовой модели при синтезе регуляторов.

Методы моделирования цифровой системы управления хорошо известны [11, 12, 13, 14], но приемлемы для использования в рутинной инженерной практике методы, позволяющие не только оценивать задержки управляющей программы произвольной сложности, но и использовать эти параметры при синтезе регулятора, не получили широкого распространения, что подтверждает необходимость и актуальность исследований в этой области.

1. Модель объекта управления. Функциональная схема цифровой системы управления является классической [15, 16] и показана на рис. 1а. Система включает в себя цифровой контроллер и управляемый объект, связанный с интерфейсом. Объект под управлением, приводимый в действие управляющим вектороми(V)= UJ ), ...Uk (), ...,Uк(/)9 , где 9 - знак транспонирования матрицы, характеризуется вектором состояния х()= ), ...,Xk), ...,Xк(/)]", значения которых измеряются датчиками, которые преобразуют х({) к вектору сигнала обратной связи

х0()=\х0,1{1:),...,x0,k(()]. Входной вект°р I()=\^1 (),...,А^),...,fK()]9

может быть сформирован внутри контроллера или может быть применен к контроллеру снаружи, через

интерфейс. На стороне контроллера векторы интерфейса f (t), u(t), Хо (t) представлены в виде наборов данных, после ввода в контроллер (fc(t), xc о (t)), или готов к выводу из нег о( uc (t)). Работа системы разворачивается в физическом времени t.

Объект под управлением сигнала процессов u(t) на физическом уровне согласно матрице линейных дифференциальных уравнений

a • x(t ) = b • u(t), (1)

где a = (а^ i) и b = (bk i) есть K x K матрицы постоянных или медленно изменяющихся во времени коэффициентов;

M(x,k,l) dm(x,k,l>)

akJ = ( fn oam(xk,i)-mxkj), 1 <k'1 <K; (2)

m(x,k,l)=0 at v '

M(u,k,i) am(u,k,l)

bk,i = ( fA obm(ukA-mukko), 1 <kJ<K; (3)

m{u,k,l)=0 at v '

m(x,k,/), m(u,k,l) являются индекс-функциями, первый аргумент которых указывает на переменную (x или u), второй аргумент указывает номер строки, а третий аргумент указывает номер столбца матрицы; 0 - m(x,k,l)<M(x,k,l); 0 < m(u.k.l)<M(u,k,l); M(x,k,l) это максимальная степень k-ой производной переменной состояния в l-ый столбец матрицы a; M (u, k, l) — максимальная степень k-го управляющего сигнала в l-м столбце матрицы b.

=s а

о а -ft ч о а н

s я

Я о и

Uc(t)

X0c(t)

fc(t)

u(t)

р xo(t) j f(t)

Управляемый объект

x(t)

Дачики

КГ

U

£.1

Nv,i(S)

UisL

Fc

Nf,i(s)

Fi (s)

No,i(s)

Xo,i(s)

Fc.

Nk(s)

Fk(s)

Uc

Nv,l(s)

Ul(s)

X0c,k

N0,k(s)

Fok(s)

Fc.

NfKs)

FK(s)

Uc,

Nv,K(?)

UKS)

Oii(s)

Xii(s)

®ll(s)

Xfci(s)

Oki(s)

Xki(s)

e

Xi(s)

Oo,i(s)

OlkS)

Xki(s)

OlkS)

Xkk(s)

OKk(s)

XKk

e

Xk(s)

OkS)

OiKs)

X1K

OK»

XkK

Xo,

No,Ks)

XoKS)

Okk(s)

XKK

e

XK(s)

OKs)

Рис. 1. Функциональная (а) и структурная (б) схемы цифровой системы управления

Для простоты при учете временных характеристик цифрового регулятора систему дифференциальных уравнений (1) следует преобразовать в алгебраическую с применением к ней прямого преобразо-

dm(x,k ,l ^

вания Лапласа при начальных условиях _ & = 0, 1 — &, l — K, 0 < m(x, к, /) <

d^m{x,k,/)

a

k

b

< M (x, k, l)-1,

m

(u,k ,l)

d_7_Zk = 0, 1 < k,l < K, 0 < m(u,k,l) < M(u,k,l)-1. Laplace transform of (1)

d^m(u,k ,l)

gives the following system of linear algebraic equations:

L[a • x(t)] = L[b • u(t)]^ A(s)• X(s) = B(s)• U(s), (4)

where l[...] - нотация операции преобразования Лапласа; s - переменная Лапласа),

X(s) = L[x(t)] = [Xi(s),..., Xk(s),..., Xk(s)]8 - прямое преобразование Лапласа вектора x(t);

U(s)=[U1 (s),..., Uk(s),..., Uk(s)) = L[u(t)] — прямое преобразование Лапласа вектора u(t); 8— это знак операции транспонирования; A(s)= [Ak l (s)] и B(s)= Bk / (s)] K x K матрицы, элементами которых являются:

Ak,l (s)= M Z^) am(xkJ)sm(x,k 1 ),1 < k, l < K;

m(x,k ,l )=0

BkJ (s)= M) bm(u,kJ)sm(u,k 1 ),1 < k, l < K .

m(u,k ,l )=0

Система (4) может быть решена в отношении элементов вектора х(s) с использованием любого известного способа, т.е.

(5)

(6)

** >=тАййг 1£ к £* •

где А к ) формируется из А (я) путем замены, вместо к-ого столбца, столбцом

(7)

B(s )• U(s ) =

f

K

z l=1

Ul (s )•

M (u,1,l) Z ъп

m(u,1,l )= 0

(u,1,l)

m

(u,1,l)

K

z l=1

Ul (s )•

M (u, k l) Z

m(u,k ,l )=0

m

(u,k ,l)

m

(u,k ,l)

K

..., Z

l=1

Ul (s )•

M (u, K l)

z

m(u, K ,l )=0

m

(u, K J )

m

(u, K ,l)

(8)

С учетом пункта (8), в развернутом виде раствор (4) выглядит следующим образом:

Хк(*) = 2 Ф/,к№1 (4 (9)

/=1

где Ф/к (^) - передаточная функция, описывающая отклик объекта под управлением к-го выхода на 1-м входе;и/) = Ь\и/()] является прямым преобразованием Лапласа 1-ого элемента вектора и();

* - V +к . . / м М(м,/,/)

Ф lk (s ) =

Z(-1)'+k • Ak (s) Y

b

i=1

m

(u,i,l )=0

m<

(u,i,l)

m

(u,i,l)

A(s)

(10)

В (10) Aik (s) является i-th минором определителя |A k (s), при разложении его в член k-го

столбца, будучи равным (8).

Для удобства функции передачи ниже Фц^), ..., Ф/k(s), ..., Фкк(s) упорядочены в матрицу

Ф(s )=[Фш (s )]. (И)

Структура управляемой системы показана на правой стороне рис.1б. Конструкционные блоки Фц^), ..., Ф/k(s), ..., Фкк(s), представленные на рис.1 передаточных функциях, которые описывают динамику контролируемого объекта. Перекрестные ссылки, когда k Ф l, отражают реальное взаимное влияние контролируемых параметров на объекте. Состояние объекта, находящегося под контролем, измеряется с помощью сенсорной подсистемы, выходной сигнал которой может быть описан как

X 0 (s) = Ф0^\X(s), (12)

where X0(s) = L[x0(t)] = [0 1(s),..., X0 k(s),..., X0 к(s)]— преобразование Лапласа вектора обратной связи; Ф0 (s) = [Ф0 kl (s)] is the KxK диагональная матрица с элементами:

299

8

ф () \фол(s).когда k =l;

фо.ы(sН. й 7 . (13)

[0. когда k Ф l.

2. Модель обработки данных. Структура обработки данных цифровым контроллером показана в левой части рис. 1б. Вектор управляющей цели f(s)=[F/(s).....Fk(s),....Fk(s)) = L[f(t)] и вектор обратной связи xo (s) вводятся в контроллер поэлементно. Контроллер вычисляет вектор действия u (s) с помощью программного обеспечения и поэлементно выводит его для управления объектом. В связи с тем, что контроллер обрабатывает сэмплированные сигналы, множество дифференциальных уравнений, описывающих управляющее действие, выражается в виде набора конечно-разностных уравнений. В линейном случае конечно-разностные уравнения выглядят следующим образом:

ас • uc (n) = bf с • fc (n) - b0.с • Х0.с (n), (14)

where uc(n) = [c i(n),..., uc k(n). .... uc k(n)] - вектор дискретных сигналов, описывающий управляющее действие; fc(n)= [[ ^n),..., fc k(n),..., fc к(n)] - вектор дискретных сигналов, описывающий управляющую цель; X0c (n) = [x0c 1 (n), ... xoc k (n)..... x0c к (n)] - вектор, описывающий дискретный сигнал обратной связи; n - дискретный аргумент; ac = (ac. k . l} b f . c = (b f . c . k . l) b0 , c = (b0 . c . k . l) KxK матрицы коэффициентов;

ас k J = M^) am(u,c,k,l^^l) , 1 < k .l < K '> (15)

m(u.c.k.l )=0

bf,c,k,l = M^) bm(f,c,k,l)Am^f,c,k,l), 1 < k .l < K; (16)

m(f,c,k,l)=o V ^

b0c k l = M^) bm(0cckl^^l) , 1 < ^ < K. (17)

m(0.c.k.l )=0

В (15) - (17): Am(. ) определяет m(...) -ую степень конечной разности; M(u, c, k, l), M(, c, k, l), M(o, c, k, l) являются максимальными степенями управления действием, целевыми и обратными дискретными сигналами конечными разностями, соответственно;

¿г(..^(п) = ^ V-1/ • Cl (Лп + m(...)-i];C () = rm(...); . , (18)

Ы 7 i =o m(...) m(.) i!• [m(...)-i]!

где ^{n)e {uc. 1(n) .... uc .K(n). fc, 1(n)..... fc.K(n). x0c. 1(n) .... x0c.K(n)|

Для унификации описания объекта управления и цифрового регулятора следует применить к (15) - (17) прямое преобразование Лапласа. Дискретная функция в непрерывной временной области может быть представлена последовательностью отсчетов.

ж

£(t, n)=£(ty fS(t - nz) (19)

n=o

где n - дискретный аргумент; t - время; ^(t) столбец функции i непрерывного аргумента; S( - nz)

является функцией Дирака; z - период измерений.

Применяя к (19) преобразование Лапласа, можно получить так называемое Z-преобразование дискретной функции <^(n).

ж ж

L[(t, n)]= f^(nz)exp(- snz) = f£(n> z-n =S(z), (2o)

n=o n=o

sz

где z = e .

Z-преобразование дискретных функций обладает всеми основными свойствами преобразования Лапласа континуальных функций, которые используются для получения передаточных функций (Ю), а именно линейностью и возможностью операции подстановки конечной разности в дискретной области аргументов операцией умножения функции Z-преобразования на дифференцирующий оператор.

Так, когда (°, ac =(ac,k ,l ac = (~c,k ,l); b f ,c = (bf ,c,k ,l Ц b f,c = (bf ,c,k ,l);

bo,c = (bo,c,k,lbo,c = (~o,c,k,l). (21)

Конечно-разностное уравнение (14) в этом случае может быть переписано как линейное дифференциальное уравнение

~с • ис (*) = ~/,с • ^ (*)- Ьо,с • х0,с ), (22)

в каких элементах матриц ас, Ь/ с, Ьо с являются следующими::

М (и,с,к,1) Ат(и,с,к,/) ~ к / = у а ( к 1 _V, 1 < к, / < К; (23)

ас,к,/ т(и,ск,/)= о ат(и,с,к 1 )А*т(и,с,к 1) '

~ М (/ ,с,к,/) Ат(/,с,к,/)

Ъг = у Ъ (/ к /)~—7_т, 1 < к, / < К; (24)

Ъ/ с т(/,сУ,/)=0 Ът(У,с,к /]Шт(Г,с,к,/) '

~ М (0,с,к,/) Ат(о,с,к,/)

~о = 7 Ъ (о к Л-—,_г, 1 < к, / < К. (25)

0,с . ^ . ит(0,с,к,/) т(о с к /)

(0,с,к,/)=0 4 ^0,с,к ^

т

Применение к (22) прямому преобразованию Лапласа при начальных условиях

т(и,с,к,/)и Ат(/,с,к,/) /

_1_-ск = о, 1 < к,/ <К, 0 < т(с,и,к,/)<М(с,и,к,/)-1; __1_¿^к = 0

(и,с,к,/) (/,с,к,/)

Ат (0,с,к,/)Хо,с,к

1 < к,/ < К,0 < т(/,с,к,/)<М(/,с,к,/)-1; __7_ 0,с,к = о,

(0,с,к,/)

1 < к, / < К ,0 < т (0, с, к, / )< М (о, с, к, /)-1;

дает следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Лс (^Ц. (5)= ^/,с (4 ^ («)-Во,с (4 *0,с М, (26)

where Uc(s)=[Uc^{s),...,UcЛ(s),..,Uc,к{sf, ^с(5)=[^с,7 (4", *с,к(4..., ^с,К (5 ,

Хос (5) = [[о с 1 (5),..., Xоск (5),..., ХосК (5)] являются прямыми преобразованиями векторов Лапласа ис ((), /с ((), Хо,я ((), соответственно; Ас (5 )= [Ас,к,/ (5 )], В ус (5 )= [Ву,с,к,/ (5)], Во,с (5 )=[% ,с,к,/(5)] как К х К матрицы;

М(и,с,к,/) / , а

Ас,к,/ (^) == 4 ат(и,с,к,/)^т(и,с,к,/) , 1 < к, / < К;

т(и,с,к,/)=0

В/,с,к,/ = М/2с,к)) Ът((,с,к,/^,с,к,/) , 1 < к, / < К; т(( ,с,к,/)=0

Во,с,к,/ = ^) Ът(о,с,к,/)^т(0,с,к,/), 1 < к, / < К. т(0,с,к ,/)=0

С использованием (21) для моделирования обработки данных цифрового регулятора можно использовать математический аппарат передаточных функций, предложенный выше для моделирования объекта управления. Решение (26) дает следующие значения элементов вектора сигнала управления:

ис (5)= Ф/,с (4 Р (5)- Фо,с (4 Хо,с (5) (27)

Фс(5) • ад - Фс(5) • ^0,с(5) где ф/ с (5)= [ф/ с / к (5)], Фо с (5)= [Фо с / к (5)] матрицы целевой и обратной передаточных

функций соответственно;

К ■ , , . М (/,с,',/)

,у(- 1)'+к • |Ас,/,к(52 Ът(/,с,1,/)5т

((,с,',/)

Ф /,с,/,к (5 )= ----; (28)

А с И

У ( 1)' + к А („) М(0^7,',/) Ъ ( ),т(0,с,/,/) у (- 1) • |А0,1,кк (5у ьт(0,с,',/)5 4 7

Фо,с,/,к(5)=-m//f;^--(29)

|А с (5)

Ввод векторов F(s) and Xo (s)и элементов и выходного вектора Uc (s) выполняются последовательно, поэтому в контроллере фон Неймана между транзакциями существуют временные интервалы. Сначала предположим, что существуют абстрактные задержки, не связанные ни с какой системой координат времени. На интерфейсе контроллер/объект управления ввод/вывод данных осуществляется с задержками, обозначаемыми следующим образом:

Ffr (s) вводится с лагом tf k, 1 — k — K; Xo k (s) вводится с лагом To k, 1 — k — K ;

Uk (s) выводится с лагом ти k, 1 — k — K.

В соответствии с теоремой о смещении во временной области,

L[£(t - та)] = exp(- Tas)• Е(s), та> 0, (30)

где Ta е T f 1,..., Tf K, To 1,..., To K> Tu 1,..., Tu K j - значение задержки; t - время; g(t) - функция ;

E(s ) = L[^(s)].

Из (30) следует, что

Fc (s )= N f (s) F(s); (31)

Xo,c (s )= No (s )• Xo (s); (32)

U(s) = Nu (s)U (s), (33) где N f (s), No (s), Nu (s) являются матрицами лагов, как показано ниже

(

N f (s ) =

(- Tf, 1s)

No (s ) =

Nu (s ) =

exp y-Tf

o ... o ...

rexP(-To, 1s) •

o ... o ...

( exP(-Tu, 1s)

o ...

o

exP (-Tf, ks)

o o

exP(- To,ks) o

o

exP(-Tu , ks )

o o

A-Tf, Ks)

(34)

exP \-Tf, Ks)

... o ^ ... o

exP(- To, Ks\ o

(35)

o

exP(-Tu, Ks)

(36)

С учетом (34), (35), (36) вектор обратных связей Хо с (5), которые возвращаются к регулятору по контуру регулятор/объект управления/датчики/регулятор, имеет вид:

Xo,c (s )= Ф^ )• Uc (s ).

(37)

где ф(5) является ли объект под управлением измененной матрицей функций передачи;:

Ф(«)= Ми (5)- Ф(5>Фа®-. (38)

Каждый элемент (38) включает в себя компоненты, описывающие комбинацию задержек на разных контурах, образующих исследуемую петлю:

Ф/,к() = ехр[- (Ги, /5 + Та )]- ф/&(5)- Ф0к(5). (39)

Одновременное решение (4), (27) и (37) дает следующее выражение, описывающее многоконтурный цифровой управляемый объект с задержками в контурах и обратной связи:

Х(5)= ^и - Ф(5)- [е + Фо,с(5)- Ф(5)]-1 - Nг - Фг с(5)- F(s).

где Е - диагональная матрица размера КхК.

o

o

Матрицы, характеризующие запаздывание, находятся как в числителе, так и в знаменателе (40). Матрицы Nu и Nf в числителе определяют так называемый перекос данных и общую задержку выполнения внешних команд. Матрицы Nu (s), Nq (s), возникающие при изменении значений корней

характеристического уравнения замкнутой системы, следовательно, качественно изменяют характеристики отклика системы.

Заключение. В результате исследования разработана аналитическая математическая модель цифрового управления стволопроходческих комбайнов, учитывающая оценки временных характеристик контроллера типа фон Неймана при интерпретации алгоритма управления произвольной сложности. Предложенный метод оценки временных интервалов между транзакциями и общая матричная формула для передаточной функции замкнутой системы позволяют прогнозировать свойства системы, а значит, являются ключами к рациональному практическому проектированию системы управления.

Исследование проводилось при финансовой поддержке гранта правительства Тульской области в области науки и технологий в 2021 году (Соглашение ДС/269 от 25.10.2021).

Список литературы

1. Erkoyuncu J. A., Amo I.F., Ariansyah D., Bulka D., Vrabic R., Roy R. A design framework for adaptive digital twins // CIRP Annals, 2020. Vol. 69. Iss. 1. P. 145 - 148.

2. Roy R., Stark R.,Tracht S., Mon M. Continuous maintenance and the future - Foundation and technological challenges // CIRP Annals. 2016. Vol. 65. Iss. 2. P. 667 - 668.

3. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems, Design, Identification and Implementation. Springer, 2006. 484 p.

4. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Оценка задержки во встраиваемых системах реального времени // 3-я Средиземноморская конференция по встраиваемым вычислениям (MEC0-2014). 2014. 15-19 июня. Будва, Черногория, 2014. С. 236 - 239.

5. Wu R., Fan D., Iu H.H.-C., Fernando T. Adaptive fuzzy dynamic surface control for uncertain discrete-time non-linear pure-feedback mimo systems with network-induced time-delay based on state observer // International Journal of Control. 2019. Vol. 92. N. 7. P. 1707 - 1719.

6. Li D., Chen G. Impulses-induced p-exponential input-to-state stability for a class of stochastic delayed partial differential equations // International Journal of Control. 2019. Vol.: 92, N.: 8. P. 1805 -1814.

7. Fridman E. Shaked U. A descriptor system approach to Hm control of linear time-delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 2002. Vol. 47, N. 2. P. 253 - 270.

8. Sanz R., Garcia P., Albertos P., Fridman E. Robust predictive extended state observer for a class of nonlinear systems with time-varying input delay. // International Journal of Control. 2020. Vol. 93. N. 2. P. 217 -225.

9. Wu M., He Y., She J.H., Liu G.P., Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems // Automatica, 2004. Vol. 40, N. 8. P. 1435 - 1439.

10. Zhang X.M., Min W.U., Yong H.E., Delay dependent robust control for linear systems with multiple time-varying delays and uncertainties // Control & Decision, 2004. Vol. 19. N. 5. P. 496 - 500.

11. Fadali M.S., Visioli A. Digital control engineering: Analysis and design. Elsevier Inc. 2013. P.

239 - 272.

12. Arnold K.A. Timing analysis in embedded systems // In Embedded hardware by J. Ganssler, K. Arnold et all. MA. 01803 USA. Elsevier Inc. 2008. P. 239 - 272.

13. Balsamo S., Harrison P.G., Marin A. Methodological construction of product-form stochastic Petri nets for performance evaluation // Journal of Systems and Software. Elsevier Inc. 2012. Vol. 85. № 7. P. 1520 -1539.

14. Hamann, A., Racu, R., Ernst, R.: Multi-dimensional robustness optimization in heterogeneous distributed embedded systems. In: Proceedings of the 13th IEEE Real Time and Embedded Technology and Applications Symposium, RTAS '07, IEEE Computer Society, Washington, DC, USA. 2007. P. 269 - 280.

15. Briat C. Stability and performance analysis of linear positive systems with delays using input-output methods // International Journal of Control. 2018. Vol. 91. N. 7. P. 1669 - 1692.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой, e/arkin@mai/.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, профессор, priva/ov. 61 @mai/. ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

MODEL OF THE DIGITAL CONTROL SYSTEM OF THE SHAFT BORING COMBINE

E.V. Larkin, A.N. Priva/ov 303

An analysis of the digital control system of a complex multi-circuit object with a Von Neumann type controller was carried out. General analytical models of the functioning of the control object and the process of data processing by the digital controller are obtained. It is shown that the transfer functions obtained from the analytical description of the processing of discrete data by the controller can be combined with the transfer functions obtained from the analytical description of the control object into a general transfer function of a closed multi-circuit control system for complex objects. A typical structural scheme and an analytical mathematical model of the system functioning have been developed, taking into account the time delays between transactions caused by the sequential interpretation of the operators of the control algorithm and the random nature of the processed data. It is shown that time delays between transactions lead to the appearance of both.

Key words: digital control system, von Neumann controller, control algorithm, semi-Markov process, delay, closed system, transfer function.

Larkin Eugene Vasilyevich, head of chair, doctor of technical science, professor, elarkin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Privalov Aleksandr Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov. 61@mail. ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University. L.N. Tolstoy

УДК 531.383

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-9-304-311

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОРИОЛИСОВЫХ ВИБРАЦИОННЫХ ГИРОСКОПОВ МЕТОДОМ ОГИБАЮЩИХ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

В.В. Матвеев, М.Г. Погорелов, В.В. Лихошерст, А.В. Каликанов, М.Д. Кирсанов, Д.С. Стрельцов

Дана классификация кориолисовых вибрационных гироскопов (КВГ). Приводится математическая модель КВГ в форме дифференциальных уравнений, передаточных функций и структурной схемы по огибающим амплитуд колебаний чувствительного элемента. Рассматриваются частные решения математической модели КВГ при постоянстве угловой скорости основания в общем случае и при условии резонансной настройки. Показано, что амплитуды установившихся первичных и вторичных колебаний чувствительного элемента КВГ описываются нелинейной функцией угловой скорости основания. Приводятся результаты моделирования огибающих амплитуд первичных и вторичных колебаний ЧЭ при резонансной настройке.

Ключевые слова: кориолисов колебательный гироскоп, математическая модель, огибающая колебаний.

Научные и технические проблемы информационно-измерительных и управляющих систем подвижных объектов наземного, морского и воздушно-космического базирования связаны с разработкой и внедрением конкурентоспособных образцов датчиков первичной информации параметров движения, а также систем ориентации, стабилизации и навигации на их основе. Информационно-измерительные системы подвижных объектов помимо заданной точности должны удовлетворять целому ряду технических требований, наиболее существенными из которых являются: ограничения по массе, габаритам и потребляемой мощности; малое время готовности; минимизация количества подвижных узлов; высокая надежность; невысокая стоимость.

Данные требования позволяют удовлетворить кориолисовые вибрационные гироскопы (КВГ), выполненные по кремниевой технологии микро-электромеханических систем (МЭМС), либо высокоточной обработки металла или кварцевого стекла. Если разработка МЭМС-КВГ в России ведется с некоторым отставанием от зарубежных компаний, то развитие КВГ с объемным резонатором, так называемых волновых твердотельных гироскопов (ВТГ), в последнее время достигло определенных успехов [1].

Кориолисовый вибрационный гироскоп (КВГ) - устройство, содержащее материальный объект, который совершает быстрые периодические движения, и чувствительное вследствие этого к вращению в инерциальном пространстве [2]. Следуя стандарту IEEE 1431-2004 Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Coriolis Vibratory Gyros [3] материальным объектом - носителем быстрых периодических движений может быть вибрирующие пластины (vibrating plates) (рис. 1), вибрирующие балки (vibrating beams) (рис. 2), вибрирующие оболочки (vibrating shell) (рис. 3), камертоны (tuning fork) (рис. 4).

Возбуждаемые в носителе быстрых периодических движений (резонаторе) колебания называются соответственно первичными колебаниями. При возникновении угловой скорости основания возникают кориолисовы силы инерции, которые приводят к возникновению вторичных колебаний резонатора.