Оценка установившихся режимов функционирования групповых систем мониторинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-74

ОЦЕНКА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ГРУППОВЫХ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА

А. А. Аршакян, Е.В. Ларкин, Н.А. Рудианов

Рассмотрены вопросы моделирования состояний групповых автоматизированных систем мониторинга, которые включают ряд узлов и блоков, управляемых в соответствии с локальными циклограммами. Сформирована типовая циклограмма, обеспечивающая включение/выключение оборудования для мониторинга. Получено упрощение типовой циклограммы, для которой определены плотности распределения времени активного и пассивного состояния по полумарковской матрице, описывающей типовую циклограмму. Получены математические выражения, позволяющие оценить вероятность пребывания в активном состоянии заданного количества единиц оборудования из общего количества единиц в группировке.

Ключевые слова: групповая система мониторинга, единица группы мониторинга, циклограмма, полумарковский процесс, эргодический процесс, активное состояния, пассивное состояние, внешний наблюдатель.

Автоматизированные технические средства мониторинга в настоящее время достаточно широко применяются для контроля ситуации в зонах экологических и техногенных катастроф, вооруженных конфликтов, интенсивного строительства и т.п. Для обеспечения более полного покрытия наблюдаемой территории используются комплексы технических средств, как стационарных, так и размещенных на подвижных носителях (мобильный робот, беспилотный летательный аппарат). Управление комплексами осуществляется с пункта управления, куда передается информация со всех единиц технических средств мониторинга.

Характерной особенностью подобных систем является то, что каждая единица комплекса функционирует автономно в соответствии с программой, заложенной в ее встроенную систему управления [1]. Программа работает по циклическому алгоритму, часть операторов которого приводят бортовые средства наблюдения в активное состояние на определенное время, после чего средства наблюдения отключаются до следующего перевода в активное состояние [2, 3, 4].

При работе группировки технических средств мониторинга возникают две проблемы. Первая заключается в необходимости обеспечения достаточного покрытия наблюдаемой территории полями зрения средств мониторинга в каждый текущий момент времени. Вторая заключается в ограниченности пропускной способности каналов связи на пункте мониторинга и управления, через которые информация поступает к оператору-наблюдателю. Поэтому задача оценки количества единиц группировки,

находящихся в активном состоянии, является актуальной. Указанная задача может быть решена с применением математического аппарата сетей Петри-Маркова [5].

Для решения задачи оценки состояния можно предположить, что группировка включает К единиц технических средств мониторинга, причем к-я единица функционирует в соответствии с к-й циклограммой, каждый этап которой связан с соответствующим состоянием бортового оборудования. Переключения в сопряженные состояния циклограммы носят стохастический характер, а время пребывания в соответствующих состояниях для внешнего наблюдателя является случайным [1 - 4].

Функционирование группировки в целом определяется множеством М = {М1,..., Мк,..., МК}, (1)

где Мк - модель циклограммы функционирования к-й единицы группировки.

Естественной моделью циклограммы к-й единицы группировки является полумарковский [1 - 4] процесс вида

Мк =}Ак, Як, Ьк(г)}, (2)

где Ак = {а1(к),..., а^к),..., аJ(k)} - множество состояний к-й циклограммы; ^к = [^(к), п(к)] - матрица смежности размером J(к)х J(к), отражающая структуру к-й циклограммы; (г) - полумарковская матрица размером J(k)х J(k), задающая стохастические и временные параметры процесса реализации циклограммы;

1, если из состояния aj (к) можно попасть в состояние ап(к);

0, если из состояния aj (к) нельзя попасть в состояние ап(к);

лй= р® {(t)=[Pj{k),п(к) ■ ^(к),п(к)(г)]; (3)

Рк = [pj(k) п(к)] - матрица вероятностей переключения из состояния aj(к) в состояние ап(к); (г)=[ fj(к) п(к)(г)] - матрица плотностей распределения времени пребывания к-го полумарковского процесса в j(k)-м состоянии при условии его последующего переключения в п(к)-е состояние.

На элементы матрицы смежности, вероятности и плотности распределения полумарковских матриц /1к (г), 1 £ к £ К накладываются следующие ограничения:

Pj (к), п(к)=0, если оск ),п(к)=0;

J (к)

I Pj(k),п(к) = 1 для всех 1 £^к) £ J(k), (4)

п(к )=1

^(к)п(к)(г) = 0 при г£ 116

^(к), п(к) =

Таким образом, с учетом введенных ограничений, все полумарковские процессы, моделирующие циклограммы, входящие в множество (1), являются эргодическими. Структуры процессов характеризуются сильносвязными ориентированными графами.

Управление включением аппаратуры мониторинга определяется одним из состояний циклограммы. Без нарушения общности можно считать, что во всех циклограммах состояние в^) включает аппаратуру мониторинга, а состояние ат(к) выключает ее. Это приводит к следующим дополнительным ограничениям на полумарковские процессы Мк (рис. 1):

Ак = Цк)}^ ^ {а2(к),..., в]{к > ..., ат(к )-1{ат(к {am{k)+l,..., в]{к)} в матрице смежности Як и полумарковской матрице Ик (7): Я^к), п(к) = 0 и ^(к),п(к)( ) = 0, если 1 < j(к)<т(к)-1 и п(к) = 1, или, если ^к) = 1 и т(к )< п(к )< J(k), или, если 2 < j(k )< т(к)-1 и т(к) +1 < п(к )< J(k), или, если j(k) = т(к) и 1 < п(к) < т(к) -1, или, если т(к) +1 < j(k) < J(k) и 2 < п(к)< т(к)-1, или, если т(к)< j(k)< J(k) и п(к) = т(к). Остальные элементы матрицы смежности и полумарковской матрицы принимают такое значение, чтобы была обеспечена эргодичность полумарковского процесса.

Рис. 1. Граф управления включением/выключением аппаратуры мониторинга

117

Дополнительное ограничение обусловлено тем, что в правильно составленной циклограмме включение аппаратуры должно следовать за выключением, а за выключением должно следовать включение. Два раза подряд аппаратура не должна ни выключаться, ни включаться.

Определим временные интервалы между включением и выключением, а также между выключением и включением аппаратуры.

Для определения интервала между включением и выключением исключим из полумарковской матрицы Щ и полумарковской матрицы Ьк ({) столбцы и строки с номерами с [т(к) + 2] -го по J(k )-е. В результате формируются квадратные матрицы оп Як и опИк (/) размером т(к)х т(к).

Плотность распределения времени включенного состояния оборудования для мониторинга определяется как плотность распределения времени достижения полумарковским процессом опИк (¿) состояния т(к) из

состояния по зависимости

¥

оп г (Л а-1

к (' )= 13"

г=1

оп

м

3

оп

Ик (')

оп

т

(к)

(5)

где оп/[ - вектор-строка, состоящая из т(к) элементов, первый из которых

равен единице, а остальные - нулю; ооп 1т(к) - вектор-столбец, состоящий из т(к) элементов, последний из которых равен единице, а остальные - нулю; 3[...] и 3-1[...] - прямое и обратное преобразование Фурье соответственно.

Для определения интервала между выключением и включением исключим из полумарковской матрицы Як и полумарковской матрицы Ькстолбцы и строки с номерами со второго по [т(к)-1]-й по J(k)-е. В

результате формируются квадратные матрицы о« Як и о«Ьк (¿) размером [ J(k) - т(к) + 2] х [ J(k) - т(к) + 2].

Плотность распределения времени включенного состояния оборудования для мониторинга определяется как плотность распределения времени достижения полумарковским процессом о«Ьк (¿) первого состояния из т(к)-го по зависимости

о«

к (')= I 3

г=1

-1

о«

¡т(к)

3

о«

Ик (')

о«

(6)

где о 1т(к) - вектор-строка, состоящая из J(k)- т(к) + 2 элементов, вто-

гр

рой из которых равен единице, а остальные - нулю; о ¡1 - вектор-столбец, состоящий из J(k) - т(к) + 2 элементов, первый из которых равен единице, а остальные - нулю.

Для плотностей распределения Воп (¿) и Воп (7) могут быть найдены математические ожидания

оп

Тк = | (7 )Л; оаТк = | В (7 .

0 0

(7)

Таким образом, суммарный полумарковский процесс, описывающий состояние единиц группировки, принимает достаточно простой вид (рис. 2).

Рис. 2. Модель включения/выключения единиц мониторинга

Полумарковская модель функционирования к-й единицы группи-

ровки имеет вид

мг

{ь1(к), Ь2(к Д (Г

0 Г 0

0 опк (О « 0

где ¿т(к) - состояние, соответствующее включенной к-й единице; ¿2(к) -

состояние, соответствующее выключенной к-й единице; 1 и т - параметры экспоненциальных законов, определяющие соответственно интервалы между выключенным и включенным и между включенным и выключенным состояниями.

В установившемся режиме функционирования для внешнего наблюдателя вероятности нахождения к-й единицы оборудования во включенном и выключенном состоянии в произвольный момент времени определяются по зависимостям

оп

Рк

опгр

оВ

оВ

оп^ I оВт Тк + Тк

Рк

П

оп оВВ Тк + Тк

(8)

сю

сю

Определим вероятности нахождения 1 из К единиц технических средств в активном состоянии (0 £ 1 £ У). Создадим множество Ык К-значных двоичных чисел натурального ряда, к-й разряд которых о к закреплен за к-й единицей и может принимать два значения:

Г0, если к - я единица находтся в активном состоянии;

0 к = 1 ^ (9) [1, если к - я единица находтся в неактивном состоянии.

Выберем из множества Ык подмножество Ык ^ Ык двоичных К-разрядных чисел, которые имеют 1 единиц и К - 1 нулей:

ЫК = {nl,..., пс(к,1),пс(к,1)\ (10)

г ! к!

где С[к, 1] = ^ ^—- количество к-значных чисел с 1 единицами, равное

1-му биномиальному коэффициенту; с(к, 1) - номер числа в множестве

(к ,1) 0с(к,1) 0с(к,1)

Пс(к,1 )= О?*,'),..., С«* ')..... окк,'Л . (11)

Введем функцию которая принимает вид

))=

опРк, если оС(к ,1 )= 1; о1Грк, если о^ ,1 ) = 0.

(12)

С учетом (12) вероятность нахождения в активном состоянии любых 1 единиц из группы к единиц определяется формулой

опы С к ,1) к п/_с1

(к ,1))

и

с( У ,1 )=1к=1

к = I П ро^), (13)

где кР[ос(к,1)) - вероятность нахождения в активном и пассивном со-к=1 к

стоянии к-х единиц группировки, соответствующая номеру с(к,1) из всего

множества сочетаний.

В случае однородной группировки М1 =... = Мк ... = Мк, откуда

оп оп оп оп оИ

следует, что р1 = ... = рк ... = рк = р и р =... =

££ ¿Г* ££

=о Рк .. =о Рк=о Р. В этом случае вероятности одновременного нахождения в активном состоянии 1 единиц определяются зависимостью

on

pK = с(к, l{onp ] \*p)

K-l

(14)

Таким образом, разработан математический аппарат для аналитической оценки установившихся состояний групповых систем мониторинга. Дальнейшее развитие теории управления группами систем мониторинга должно быть направлено на практическую разработку алгоритмов управления, обеспечивающих при решении целевых задач, оптимальное покрытие наблюдаемой территории полями зрения технических средств мониторинга в любой момент времени при обеспечении объемов передаваемых данных, находящихся в пределах пропускной способности канала связи пульта наблюдения и управления с группировкой технических средств мониторинга.

1. Larkin E.V., Ivutin A.N. Estimation of Latency in Embedded RealTime Systems // 3-rd Meditteranean Conference on Embedded Computing (MECO-2014). 2014, June 15-19. Budva, Montenegro, 2014. P. 236 - 239. DOI:10.1109/MECO.2014.6862704.

2. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 221 - 228.

3. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 252 - 258.

4. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Определение временных интервалов в алгоритмах управления // Известия Томского политехнического университета. Томск: Томский политехнический университет, 2014. Т. 124. № 5. Управление, вычислительная техника и информатика. С. 6. - 12.

5. Simulation of concurrent process with Petri-Markov nets / E.V. Larkin [et al.] // Life Science Journal. 2014. N. 11 (11.) P. 506 - 511.

Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Рудианов Николы Александрович, канд. техн. наук, докторант, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

Список литературы

EVALUATION OF STEADY REGIMES OF FUNCTIONING OF SWARM MONITORING SYSTEMS FUNCTIONING

A.A. Arsakyan, E.V. Larkin, N.A. Rudianov

Questions of simulation of established conditions of swarm automatic monitoring systems, which include number of assemblies and blocks been operated according to a local cyclic program are considered. Sample cyclic program, which provides switches on/off board equipment for monitoring is formed. Simplification of sample cyclic program is obtained. With use of semi-Markov matrix, which circumscribe sample cyclic program, densities of times of active and passive states of equipment is obtained. Formulae for evaluation of probabilities of active and passive states of pre determined quantity from common number of swarm monitoring units were received.

Key words: swarm monitoring system, unit of swarm monitoring system, cyclic program, semi-Markov process, ergodic process, switches on/off, active state, passive state, external observer.

Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical sciences, person working for doctor's degree, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,

Rudianov Nikolay Alexandrovich, candidate of technical sciences, person working for doctor's degree, [email protected], Russia, Tula, Tula State University