«Соревнование» в m-l-параллельном полумарковском процессе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

A method of estimation of noise in digital images which is persistent to color and illumination variations of the analyzed test object is offered. Key words: scanner, digital image, noise.

Kotov Vladislav Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, vkotov@list.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 681.5 (519.95)

«СОРЕВНОВАНИЕ» В М-Ь-ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПОЛУМАРКОВСКОМ ПРОЦЕССЕ

Е.В. Ларкин

Исследуется функционирование группы роботов, каждый из которых получает команды от внешнего оператора, а в пределах команды функционирует автономно. С использованием понятия полумарковского процесса получена абстрактная модель функционирования одного робота, группы роботов и множества групп роботов. Введены понятия совокупного стартового и совокупного поглощающего сосояния. Получены зависимости, определяющие временные характеристики ««соревнования» групп роботов.

Ключевые слова: группа роботов, циклограмма, полумарковский процесс, «соревнование», совокупное стартовое состояние, совокупное поглощающее состояние.

Одним из развивающихся направлений роевых технологий является направление группового использования роботов для решения целевых и обеспечивающих задач [1]. В этой связи весьма актуальной является разработка новых принципов и подходов к организации управления роем выполняющим единую задачу, например, разработка модели процесса управления, при котором осуществляется временное согласование функционирования организация нескольких контуров моделирования. Частным случаем подобного управления является случай, когда команды подаются на подгруппы роботов, входящих в группу, а в рамках исполнения внешних команд каждая единица роя сохраняет свою автономность, в том смысле, что отработка команд сводится к реализации одной из циклограмм, заложенных в бортовую ЭВМ на этапе проектирования [2, 3, 4, 5]. Действия и состояния каждого из роботов, входящих в группу, разворачиваются во времени, и переключение от текущего состояния к одному из возможных последующих для внешнего наблюдателя является случайным. Поэтому для моделирования функционирования организованных групп роботов может быть использован тот же математический аппарат полумарковских процессов [6, 7, 8, 9, 10].

Обобщая сказанное, можно отметить, что в данном разделе речь пойдет о моделировании т.н. M-L-параллельных полумарковских процессов, у которых M-параллельных процессов с разделением на L групп. Определим элементарный полумарковский процесс как

m m = {Am, rm, hm (t)}, С1)

где A'm - множество состояний, среди которых имеется хотя бы одно стартовое и одно поглощающее; rm - матрица смежности; h'm (t) - полумарковская матрица; 1 <. m < M.

С помощью методов, описанных в [4, 6, 9, 10], процесс (1) может быть преобразован в элементарный процесс, включающий одно стартовое и одно поглощающее состояние

mm = {Am, rm, hm (t)}, (2)

где Am ={«1(m ), «2(m )}; a1(m ) - стартовое состояние; «2(m) - поглощающее

"0 fm (tУ 0 0 _

смежности и полумарковская матрица; fm(t) - плотность распределения времени пребывания процесса в состоянии «1(m) до его переключения в состояние «2(m ).

Процессы (2) объединяются L групп по M(l) элементарных процесса

L

вида (2) в группе (рис. 1). При этом XM(l) = M , 1(l)< m(l)< M(l).

l=1

Группа l-я полумарковских процессов может быть представлена в

виде

состояние;

rm =

0 1 0 0

hm (t ) =

соответственно матрица

l

m

lA, lr l

h(t )}

(3)

где

A = {{a1[1(l)], a2[1(l)]} ..., {a1[m(l)], a2[m(l)]},..., {a1[M(l)], a2[M(l)]}}; (4)

r =

0 1 0 0

01 00

0

01 00

(5)

l

1 нЬ )=

0 Аф 0 0

0

0 0

!ш{1 )(*) 0

0

0 /м(/)(0 00

(6)

М-Ь-параллельный полумарковский процесс имеет вид:

м,ь т={м ■ ьл, м, ьг,м, н )}

где

М, ЬЛ =

(7)

(8)

/=1

М, Ь г

г

0

0

Ь

М, Ь

н(г )=

Н)

г

0

(9)

1)

0

Ь

к(г)

(10)

Считается, что 1-я группа полумарковских процессов достигает совокупного поглощающего состояния, когда последний процесс из группы, например т(/) -й, переключается в состояние а2[т(/)], и больше в 1-й группе нет полумарковских процессов, не достигших одного из М(/) поглощающих состояний. В частном случае группа может состоять из одного элементарного полумарковского процесса. В этом случае в группе имеется единственное поглощающее состояние, которое и является совокупным поглощающим состоянием группы.

Без нарушения общности можно считать, что /-я группа включает элементарные полумарковские процессы (2) с номерами /-1 /

^М(п) +1 £ т(/)< ^М(п), и таким образом индексы т пересчитываются п=1 п=1

из индексов т(/ ) по зависимости

г

1-1

m = m(/)+

н=\

(П)

mm

lS [2[1(1)]]

1[1(0]

•—'

2[1(0]

2[1(£)]

1 ["'(!)])

ч*

2[ш(1)]

1[ш(0]

4

2 К/)]

2[m(I)])

1[М(1)]

2[М(1)

1[М(/)] 1

с- I

Ж !

[МО] !

1[1(Ш fi[™(i)J !

•fc»»

3

j

4

шщ

Рис. 7. Структура M-L-параллельного полумарковского процесса

Плотность распределения времени достижения /-й группой полумарковских процессов совокупного поглощающего состояния определяется по зависимости [11, 12, 13]

7(0=

d_ dt

/-1

т=ЪМ(п)+\

n=1

(12)

Зависимость (12) позволяет представить /-ю группу полумарковских процессов как совокупный полумарковский процесс, включающий

М(1)

совокупное стартовое состояние я^/) = Ual[«/(/)] 11 совокупное погло-

7«(/)=l(/j

М{1)

щающее состояние яц/) = Ua2[/»(/)] • Следовательно, M-Z-параллельный

m(l)=l(l)

полумарковский процесс может быть представлен как Ь-параллельный полумарковский процесс, который включает 2Ь состояний {«1(1),..., «1(/),..., «1(/), «2(1),..., «2(/),..., «2(/)} и описывается полумарковской

матрицей

Ь

0 МО 0 0

0

0 /(О 00

0

0 0

Ь

/ Ь) 0

(13)

Плотность распределения времени достижения совокупного поглощающего состояния /-й группой полумарковских процессов первой (до того, как другие группы достигли своих поглощающих состояний) определяется по зависимости

'/(' )■ 11 [1-"р (I)

/ (I )=

п=1 п Ф /

/

(14)

где /pw - вероятность того, что /-я группа полумарковских процессов достигнет совокупного поглощающего состояния первой из Ь-параллельных процессов:

Ь

/Pw = ///(I )-Щ-пр (I №. 0

(15)

п=1 п Ф/

Числовые характеристики плотности распределения (14) определяются по зависимостям

Ь

//(I )-Ш-пР (I)

/

Tw =! ^ 0

п=1 п Ф /

/

-Ж

(16)

Pw Ь

В

w

//(' )■ П[1-пр (I)

п=1

¥ К)—пф/—

Л, 1 < / < Ь.

Pw

СЮ

сю

0

Плотность распределения времени достижения совокупного поглощающего состояния /-й группой полумарковских процессов последней (после того, как другие группы достигли своих поглощающих состояний) определяется по зависимости

Ь

//(I )■ ПпР (I)

п=1

/ г /Л пФ/

'/* (I) =

/

(17)

р^

где /р^ - вероятность того, что /-я группа полумарковских процессов достигнет совокупного поглощающего состояния последней из Ь-параллельных процессов:

Ь" (18) п=1 п Ф/

Числовые характеристики плотности распределения (17) определяются по зависимостям:

'р* = ///(I )■ ппр (' Ж.

0

/

/

^ =I I 0

/ (' )■ Ппр (I)

п=1 п Ф /

/

Ж;

(19)

Р^

Ь

//(' )-п пр (')

п=1

^ = ? (-% I2-^-

0 Рw

Ж, 1 < / < Ь.

Время ожидания /-й группой полумарковских процессов, уже достигшей совокупного поглощающего состояния, события, когда к-я группа достигнет своего совокупного поглощающего состояния, определяется в

виде

Л(l) I ■

Ж

ж

// ® к (I )=

еь(П )

п=1

(П р (I + *)

т =ЕЬ(п )+1

п=1

еь(П )

■ № п тР (т)

т = Е Ь(п)+1

п=1

Е М (п)

Е Ь(п)

п=1 п=1

I П тР(т)Ж (п тР(I + т)

0 т =ЕЬ(п )+1 т =ЕЬ(п )+1

п=1 п=1

(20)

оо

сю

0

Л

Ъ^к =

о

IЛп) т=^М(п)+1

п=1

14») а "П

1-1

т=^М{п)+1

—^-Л:

¿ф) ¿¿(*)

°° —1 —1

I "п "п

И=1 77=1

(21)

л

1М(н)

"=1п 'М^+х)

£-1

И=1

* П

1-х

ЪМ(п) ХМ(п)

00 —1 —1

| "п "п "'р(> + г)

т=ЪМ(п)+1

^-<Лг. (22)

л=1 п=1

В случае, когда важен факт достижения совокупных поглощающих состояний любыми К из Д К < Ь групп параллельных процессов, плотность распределения времени указанного события определяется по зависимости

С1 I ( К

I ПФ

с?=1/=1 ^

ж

(23)

где - плотность распределения времени достижения /-й группой полумарковских процессов совокупного поглощающего состояния, опреде-

- номер числа в множестве

ляемая по зависимости (12); п£

= пск ,..., |; С[ - К-Й биномиальный коэффициент Ь-Й

сте-

пени; пск =(

/ ^ ^а:

число из множества Л^ ; О/1 - 1-Й

разряд числа п к, который может принимать два значения в соответствии

с (3.29);

I!

К-(Ь-К)\

; Ф - функция, которая может прини-

мать значения

^(г), если О""' =1; [1 - ^ (г)1 если <7^ =0.

Для плотности распределения (23) могут быть найдены числовые характеристики:

¥ cl l с. i t • d £ ПФ| lf, S

0 cK =1l=1 ^

rpK

TML

к \

(25)

dML = i(t -Тк)d £ ПФ fs

cK m

cK =1l=1

K

l

(26)

Для определения цены проигрыша (выигрыша) «соревнования» необходимо воспользоваться методиками, изложенными в [11, 12, 13]. В этом случае должна быть определена цена ожидания одной группой полумарковских процессов события, когда все полумарковские процессы другой группы достигнут совокупного поглощающего сосояния.

L

оо

0

Список литературы

1. Ivutin A.N., Larkin E.V., Kotov V.V. Established Routine of Swarm Monitoring Systems Functioning // Advances in Swarm and Computational Intelligence. Lecture Notes in Computer Science. Springer International Publishing, Switzerland, Vol. 9141. 2015. P. 415-422.

2. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия Тульского го-суарственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 1. С. 221 - 228.

3. Larkin E.V., Ivutin A.N. Estimation of Latency in Embedded RealTime Systems // 3-rd Meditteranean Conference on Embedded Computing (MECO-2014). 2014. June 15-19. Budva, Montenegro, 2014. P. 236 - 239.

4. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Определение временных интервалов в алгоритмах управления // Известия Томского политехнического университета. 2014. № 5. Т. 324. С. 6 - 12.

5. Клинцов Г.Н., Ларкин Е.В. Управление системами тоннелепро-ходческого комплекса при помощи программного пакета SCADA // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 9. Ч. 1. С. 156 - 162.

6. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 252 - 258.

7. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Прогнозирование времени выполнения алгоритма // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 3. С. 301 - 315.

8. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Оценка эффективности программного обеспечения робота с использованием сетей Петри-Маркова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 9. Ч. 2. С. 156 - 163.

9. Клинцов Г.Н., Ларкин Е.В. Полумарковое моделирование алгоритмов выполнения программы на ЭВМ // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 9. Ч. 1. С. 143 - 149.

10. Ларкин Е.В., Привалов А.Н., Клепиков А.К. Алгоритм последовательных упрощений при оценке временной сложности алгоритмов с применением полумарковских моделей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 9. Ч. 2. С. 83 - 98.

11. Larkin E.V., Lutskov Yu.I., Ivutin A.N., Novikov A.S. Simulation of concurrent process with Petri-Markov nets // Life Science Journal. 2014. N. 11. P. 506 - 511.

12. Ivutin A.N, Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. Chelyabinsk. 2015. Vol. 8. № 2. P. 43 - 54.

13. Ivutin A.N, Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. Chelyabinsk, 2015. Vol. 8, №2. P. 43 - 54.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elarkin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

«CONCURRENCY»IN M-L-PARALLEL SEMI-MARKOV PROCESS

E. V. Larkin

Operation of swarm of robots, every of which receives instructions from external human operator, and autonomously execute instruction is investigated. With use the abstraction of semi-Markov process the formalism of functioning the one unit, the group of units and the set of group of units is obtained. Concepts of aggregative starting and aggregative absorbing states were introduced. Dependencies for calculation of parameters of concurrency are obtained.

Key words: swarm of robots, routine. semi-Markov process, «concurrency», aggregative starting state, aggregative absorbing state.

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University