CC BY
12
УДК 656.13.072
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ПРИМЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАССАЖИРСКОГО ТРАНСПОРТА ПО МАРШРУТАМ
Т.Ю.Базюк1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Проведена оценка точности и однозначности решения оптимизационных задач на примере распределения транспорта по маршрутам, т.е. возможность получения эквивалентных решений при незначительном изменении некоторых параметров, которые изменяются статистически. Показано, что такие оценки позволяют внести коррективы в полученное оптимальное решение с учетом прагматических соображений. Ил. 4. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: оптимизационная задача; городской пассажирский транспорт; статистические оценки; автотранспортное предприятие.
ESTIMATION OF ACCURACY AND UNAMBIGUITY OF OPTIMIZATION PROBLEMS SOLUTION ON THE EXAMPLE OF PASSENGER TRANSPORT ROUTE DISTRIBUTION T.Y. Bazyuk
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The estimation of accuracy and unambiguity of optimization problems solution is carried out on the example of transport route distribution, i.e. the possibility to obtain equivalent solutions with insignificant change in some parameters, which vary statistically. It is shown that such estimates allow to make adjustments in the obtained optimum solution with regard to pragmatic considerations. 4 figures. 2 sources.
Key words: optimization problem; urban passenger transport; statistical estimations; motor transport enterprise.
При решении задачи оптимизации распределения пассажирского транспорта по маршрутам пассажирского предприятия недостаточно найти оптимальные значения параметров модели, но также оценить качество решения, т.е. возможность получения эквивалентных решений при незначительном изменении некоторых параметров, которые изменяются статистически. Необходимо также знать, в какой мере можно доверять полученным результатам. Наиболее полный ответ может дать статистическое исследование, включающее три взаимосвязанных стадии:
- получение исходных данных;
- сводка и разработка результатов;
- анализ полученных результатов.
На первом этапе определяется объем и виды исходной информации.
Второй этап заключается в систематизации собранных данных; анализе корректности и полноты данных; представлении собранной информации в удобном для обработки и анализа виде.
Третий этап заключает статистическое исследование, в котором решаются задачи анализа.
Предлагается универсальный (независимый от алгоритмов решения задачи) метод оценки качества решения. Метод заключается в том, что задача решается К раз, причём в каждой реализации K (К = 1,..., Кг), кроме первой, к значениям наблюдённого пара-
метра добавляются случайные величины, распределённые нормально с нулевым математическим ожиданием и стандартом E. Значение E задаётся с учётом предполагаемой точности моделирования, включающей неадекватность модели. По результатам Kr решений находятся средние значения и стандарты оценок параметров модели, а также коэффициенты парной корреляции между ними.
В статистической теории рассмотрим вектор
наблюдаемых значений ы{ы1 ,...ui,...,ит} и оценку
параметров модели р = {р,...,р.,...,рп} как случайные векторы. В нашей модели роль наблюдаемых
значений и играют величины q(i=1,.,m), которые определяются по формуле
Чгк ■ Xj , к = I,-, K ,
]=1
где ау - количество пассажиров, которое в среднем перевозится транспортным средством у-ой вместимости на маршруте i в течение некоторого фиксированного временного интервала, а роль оценок параметров модели - искомые величины ху, где ху - оптимальное количество транспортных единиц у-ой вместимости (¡=1,...,п) на /-ом маршруте Ц=1,...,т). Но
1Базюк Татьяна Юрьевна, аспирант, старший преподаватель кафедры информатики, тел.: (3952) 405183, e-mail [email protected]
Bazyuk Tatyana, Postgraduate, Senior Lecturer of the Department of Information Science, tel.: (3952) 405183, e-mail [email protected]
для упрощения воспользовались обозначенными и и р ■
При статистическом моделировании считается, что если эксперимент повторить К раз или смоделировать эту ситуацию, то получим К векторов наблюдаемых значений и к (к=1,...,К) и, решая задачу К раз, получим К векторов оценок параметров модели
рк=(к = 1,...,К). Имея К параметров решения задачи, по результатам К экспериментов можно оценить плотность вероятности распределения случайного вектора р . Поскольку результаты измерений и к в большинстве реальных экспериментов (и в нашем случае) зависят от многих независимых факторов, то можно принять гипотезу о нормальном многомерном
распределении векторов и и р . В этом случае плотность распределения случайного вектора р описывается двумя параметрами:
■ векторным р, т.е. совокупностью наиболее
вероятных значений искомых параметров р,...,ррп;
■ матричным И/, ]=1,...,п, ]'=1,...,п, где И/ - коэффициенты ковариации, описываемые рассеяние
точек рк в многомерном пространстве параметров модели.
В качестве наиболее вероятных параметров модели целесообразно принять оценки, полученные нами при оптимизации распределения транспортных единиц по маршрутам. На рис. 1 представлена плотность вероятности распределения случайного вектора
р , где р - наиболее вероятное среднее математическое ожидание параметра р и при оценивании центр рассеивания равен р, но возможен разброс с
некоторым стандартом отклонений S. Если известен стандарт средней, то для любой доверительной вероятности можно указать доверительный интервал р' и р'-
1,2
/ X
/ ОС 7/ \
/7 ■
! ! ! I
-0-ч 1 ! S / —I' -
Рис. 1. Плотность вероятности распределения случайного вектора р
При многомерном распределении рассматривается два параметра р и р2 и ищутся комбинации этих параметров. В результате получается центр рассеивания среднее по р и среднее по р (см. рис. 2).
Точка, характеризуемая вектором р и комбинацией
р среднее и р среднее, это только центр окружности. А аналогом стандарта является матрица ковариа-ции.
Рг Рг
Рис. 2. Плотность вероятности многомерного
распределения случайного вектора р
Что касается матрицы ковариаций / то в ее диагонали находится дисперсия оценок параметров - они характеризуют разброс оценок относительно центра рассеяния в пространстве параметров. Например, если для ./'-го параметра получено наиболее вероятное
, то мы
значение оценки р и стандарт S, =.
можем судить также о точности оценки данного параметра. Если даже элементы матрицы ковариаций И/ отнормировать на стандарты Б/ ¿/, то получим матрицу коэффициента парной корреляции
r =_jj
j SS
J J
Эти коэффициенты характеризуют взаимозависимость параметров нашей модели.
Для иллюстрации метода на примере решения оптимизационной задачи модифицированным симплексным методом в среде VBA разработана программа, встроенная в книгу Excel. В качестве инструмента для создания программного обеспечения в данной работе выбран VBA. Этот выбор объясняется следующими причинами:
- VBA - это интегрированная среда визуального программирования, позволяющая создавать современные событийно-объектно-ориентированные при-
ложения с унифицированным графическим интерфейсом;
- языковые средства VBA по гибкости и полноте не уступают языковым средствам других современных систем программирования;
- VBA является общей языковой платформой для всех приложений MS Office и позволяет в создаваемых программах работать с объектами Word, Excel, Access, Power Point и др.
Последняя из перечисленных причин чрезвычайно важна. Дело в том, что среда программирования VBA работает только совместно с другим основным приложением. Создаваемое приложение в этом случае встраивается в процессор, в нашем случае это табличный процессор Excel. Для работы с созданным программным обеспечением нет необходимости устанавливать дополнительно какие-либо средства программирования, достаточно открыть файл программы
с расширением .xls, ввести данные в электронные таблицы и запустить программу на исполнение нажатием на соответствующую кнопку, внедренную на лист.
На листе 1 книги Excel описана задача, построена ее математическая модель, а также описаны параметры, с которыми работали при решении задачи. На следующем листе заполняются справочные таблицы, содержащие, в частности, значения bj - количество транспортных единиц j-ой вместимости, имеющихся на транспортном предприятии, расставляется код и названия маршрутов, обслуживаемые предприятием, а также таблицы коэффициентов ву - количество перевезенных пассажиров j-ым транспортным средством на /-ом маршруте для каждого временного интервала. Кроме параметров ву, для каждого временного интервала указываются значения q ¡, s„ где q, - суммарное количество перевезенных пассажиров всеми
из
il
ÈJ
К
M
Коэффнцккентыаи длл временного интервала, максимальнье количества qi перевозимых пассажиров на маршрутах и соответствующие стандарты
Начинал со строки21 -Статистическое моделирование длл оценки качества решения
2 1 2 qi si
3 1 123 100 2000 300
4 2 136 200 3000 450
5 3 100 150 3500 470
е
20
21 Xi 1-11 XÎ1-2) XÎM1 XÎ2-2) XÎ3-11 X f 3- 2) 4 1 из F
22 16.3 0.1 22.1 2,0 9,7 0,1 2000,0 3000,0 3500,0 0203,1
23 17,5 0.0 19,9 2,1 10,0 0,1 2143,0 2090,0 2647,0 0214,7
24 15.0 0.0 20.4 2,1 12,0 0,0 1B32.4 2774,1 3316,5 6177,0
25 17,2 0.1 23,5 2,1 7,5 0,1 2100,4 3137,6 2355,4 6336,5
26 16.3 0.1 21.3 2,0 10,5 0,1 1999,5 2339,4 3497,6 6233,7
27 14,2 0,1 20,5 2,0 13,5 0,0 173fi,2 2777,5 2915,0 6160,2
2S 17.7 0.1 23.6 2,1 9,9 0,1 2169,6 2793,4 2315,1 0244,3
29 17.fi 0,0 27,5 2,0 2,7 0,1 21fi9,0 3740,7 2974,6 3923,5 0499,5
И 13.2 0.0 22.0 2,0 13,1 0,0 1615,0 3633,1 0139,4
31 14.9 0.1 24.5 2,0 fi,7 0,0 1fi30,9 3321,0 3309,0 0321,4
32 16.4 0.0 27.4 2,0 4,4 0,1 2010,0 3717,4 3349,2 0459,9
33 15.9 0.0 21.4 2,0 10,9 0,1 1950,4 2399,6 3531,5 0232,2
34 19,9 0,0 15,5 2,0 12,0 0,0 2444,0 2392,1 3230,2 0110,0
35 16.fi 0.0 25.3 2,0 6,0 0,0 2055,2 3439,6 3434,2 0394,0
зе 10,2 0.0 23,3 2,1 6,6 0,0 2233,6 3162,7 4132,7 0354,0
37 19.4 0.0 20.1 2,1 fi,6 0,0 2330,5 2729,5 3434,3 0203,0
30 13,3 0.1 22,5 2,1 12,3 0,0 1635,4 3052,0 4035,0 0213,9
39 16.9 0.1 25.2 2,1 6,0 0,1 2051,8 3426,0 3534,0 6390,4
40 15,9 0.0 25,9 2,1 6,3 0,1 195B.1 3515,0 2992,9 6390,6
41 13.fi 0.0 19.5 2,1 14,0 0,1 1636,9 2652,2 3295,4 6117,5
42 16,2 0,0 22.fi 2,1 7,2 0,1 2225,4 3093,6 3551,4 0330,4
43 1В.1 0.1 30.0 1,2 0,0 0,9 2218,9 4307,6 3443,7 6651,7
44 17,4 0,1 20,0 2,1 10,0 0,1 213B,4 2719,5 2921,4 0219,7
45 16.1 0.1 30.7 2,1 1,3 0,0 197S.4 4170,6 3241,9 6573,9
45 20.3 0.0 24.7 2,1 3,2 11,3 0,1 24fi7,9 3352,0 4010,2 3952,5 0452,7
47 15,6 0,0 21,3 2,1 0,0 1912,1 2337,0 0222,0
4Е 11.2 0.1 22.5 2,1 14,5 0,1 1307,2 3052,5 340S,0 6103,7
49 13,7 0.1 23.fi 2,0 10,0 0,1 1675,5 3213,9 4129,9 0205,4
50 10.2 0.0 21.9 2,1 fi.O 0,0 2234,3 2909,0 3723,7 0303,9
51 16,3 0,0 25,4 2,0 6,4 0,1 1994,0 3454,9 3001,4 0337,5
52 15.3 0.1 22.3 2,0 10,6 0,1 1S74.6 3021,0 3011,6 6250,4
53 10,2 0,1 25,3 2,0 4,6 0,0 2230,1 3437,5 3534,0 0420,9
54 15.6 0.1 20.2 2,0 12,4 0,0 1913,3 2735,4 3142,1 6131,9
55 12,е 0.1 ТТЛ 2,0 14,1 0,0 1 537,6 2927,3 3314,7 6162,4
56 16.6 0.1 2,0 14,5 0,0 2023,1 2316,1 3109,6 6092,3
57 12,5 0,0 21,3 2,1 14,3 0,0 1531,0 2393,1 2612,7 6153,6
5£ 16.5 0.1 20.fi 2,1 11,0 0,0 2011,3 2316,6 5333,3 6221,7
59 15.5 0.0 20.5 2,0 12,2 0,0 1393,6 2730,0 3315,1 0193,9
60 20.2 0.1 23.3 2,1 4,6 0,1 24fi2.fi 3155,6 3263,5 0399,6
61 62 03 17.5 0.1 21.3 2,0 9,4 0,0 2157,4 2373,6 3523,3 0205,4
И * ► и( Постан задачи / Справ, т-цы У Раб; лист/' Инт 1 Инт 1 /Инт 3 /Инт 4 /Инт 5 /Î
Готово
Рис. 3. Лист, соответствующий расчетному временному интервалу: коэффициенты а'ц, параметры в/ для временного интервала и результаты статистического моделирования (первые строки)
транспортными средствами на /-ом маршруте требуемого интервала.
При статистическом моделировании для получения оценки качества решения на листе, соответствующем временному интервалу (рис. 3), методом Монте-Карло моделируются результаты Хд решения задачи при случайном изменении параметров ц.
Считается, что эти параметры имеют нормальное распределение с центром ц, и со стандартом в,-. По полученным результатам моделирования на рабочем листе получаем параметры многомерного нормального распределения случайного вектора Хд (рис. 4).
взаимозависимость параметров модели и наряду со стандартами оценок параметров определяют качество решения задачи. Из рис. 4 видно, что, например, параметры Х21 и Х31 определяются неустойчиво (стандарты соответственно равны 4.22 и 4.12), но это объясняется наличием эквивалентных решений: коэффициент парной корреляции между оценками этих параметров равен -0.83. Таким образом, можно перемещать автобусы типа 1 со второго маршрута на третий, или наоборот, и от этого общее количество перевезенных пассажиров (после оптимизации для второго временного интервала целевая функция F=6268)
Рис. 4. Результат моделирования на рабочем листе Раб. Лист, где получены параметры многомерного
нормального распределения случайного вектора Xij
Значения в, - это оценки стандартов величин ц/ (точности их определения). Они требуются для оценки качества решения: точностей определения параметров модели и коэффициентов корреляции между ними. Эти коэффициенты характеризуют взаимовлияние параметров - возможность увеличения одного за счет уменьшения другого.
В качестве наиболее вероятных параметров модели целесообразно принять оценки, полученные нами при оптимизации распределения транспортных единиц по маршрутам. Что касается матрицы коэффициентов парной корреляции, то они характеризуют
практически не изменится. Кстати, этот факт можно использовать для внесения корректировок в полученное решение с учетом тех или иных прагматических соображений.
Вывод. При решении задачи на примере распределения транспорта по маршрутам рассматривается оценка стандартов искомых параметров хд. Такие оценки позволяют внести коррективы в полученное оптимальное решение с учетом прагматических соображений. За счет чего возможно эффективно использовать подвижной состав городского пассажирского транспорта.
Библиографический список
1. Гольцман Ф.М. Статистические модели интерпретации. печение геофизических исследований. М.: Наука, 1971. 328 с. 268 с.
2. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обес-
М.: Недра, 1993.
