CC BY
126
УДК 656.072
ПАРАМЕТРЫ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ ПАССАЖИРАМИ ГОРОДСКИХ МАРШРУТОВ
П.Ф. Г орбачев, доцент, к.т.н., ХНАДУ
Аннотация. Обосновывается методика, приводятся результаты имитационного эксперимента по определению плотности распределения времени ожидания пассажирами транспортных средств городских маршрутов на остановочном пункте.
Ключевые слова: пассажир, городской маршрут, путь следования, случайная величина, плотность вероятности.
Введение
Знание параметров закона распределения времени ожидания пассажирами транспортных средств (ВОПТС) городских маршрутов на остановочном пункте является обязательным условием для создания адекватной модели транспортного процесса в системе городского пассажирского транспорта. Они необходимы для определения вида функции привлекательности пути следования с помощью разработанного автором статьи метода, основные черты которого отражены в [1].
Анализ публикаций
Для определения параметров пассажирских перевозок предпочтения обычно отдаются различного рода обследованиям, с помощью которых фиксируются фактические значения изучаемых параметров. Таким способом получено большинство известных параметров работы городских маршрутных систем. Например, с помощью обследований определено, что интенсивность подхода пассажиров к остановочному пункту распределена по закону Пуассона [2].
К настоящему времени разработано большое количество методов обследований работы пассажирского транспорта [3]. Однако для обследования ВОПТС используется только один метод, который заключается в фиксации времени прибытия пассажира на остановку и времени отправления от него в транспортном средстве, что позволяет рассчитать время ожидания как разность этих двух значений.
С учетом того, что, в общем случае имея несколько альтернатив, пассажир выбирает наиболее подходящий вариант пути следования, его время ожидания зависит не только от того насколько быстро подойдет транспортное средство того или
иного маршрута, но и от того, сколько маршрутов его устраивает. Наиболее разумным здесь выглядит предположение, что в большинстве случаев пассажир выбирает первое транспортное средство устраивающего его маршрута, разумеется, если имеется возможность им воспользоваться.
Поэтому, с точки зрения возможностей обследований в определении параметров закона распределения ВОПТС можно утверждать, что они позволяют определить только минимальные значения времени ожидания пассажирами, то есть он не позволяет определить значения времени ожидания транспортных средств, подошедших позднее. В общем случае среди них будут находиться транспортные средства маршрутов, которыми начинаются альтернативные варианты пути следования. Таким образом, определение полного спектра значений ВОПТС с помощью обследований требует значительных усложнений методики их проведения.
В работе [4] приводится пример теоретического решения задачи определения плотности распределения ВОПТС на остановке, при известной плотности распределения интервалов движения одного маршрута. Однако принятые допущения не позволяют считать полученные результаты адекватными реальному транспортному процессу.
В частности поток транспортных средств рассматривается как поток событий Пальма с ограниченным последействием, что не соответствует условиям работы городских маршрутов с расписанием. Кроме того, момент подхода пассажира к остановочному пункту считается распределенным равномерно, в пределах интервала между транспортными средствами, а это не подтверждается результатами действительных обследований.
Цель работы и обоснование метода ее достижения
Целью работы является определение параметров закона распределения ВОПТС в утренний период «пик» и закономерностей, которым подчиняются параметры закона.
Объектом исследования данной работы является процесс ожидания пассажирами транспортных средств на остановочном пункте. Основной характеристикой этого процесса является его продолжительность.
Получение эмпирических значений ВОПТС в достаточном объеме с помощью специально разработанных обследований представляется мало реальным, поскольку для определения каждого искомого значения необходимо знать время прибытия пассажира на остановку и время прибытия на нее, после этого события, транспортных средств всех маршрутов, которые устраивают пассажира. Так как для этого требуется знание всех маршрутов, которые устраивают конкретного пассажира, требуется персонализация обследования, что сложно реализуется практически и не позволяет рассчитывать на высокую репрезентативность таких наблюдений.
Обычные методы математического моделирования для решения данной задачи неприемлемы, поскольку величины, определяющие ВОПТС, зависят от слишком большого числа факторов и не могут быть описаны детерминированными или статистическими зависимостями.
Потому единственным практически доступным методом определения вида и параметров закона распределения ВОПТС городских маршрутов является имитационный эксперимент.
Для имитационного эксперимента очень актуальным является вопрос обеспечения адекватности модели объекта исследования, поскольку очень сложно проверить степень адекватности имитационной модели путем сравнения реальных и фактических значений, ведь результаты функционирования объекта и результаты расчетов с помощью модели носят случайный характер.
Кроме того, получение фактических значений ВОПТС в данном случае очень сложно практически. Эти особенности требуют дополнительных усилий по обеспечению адекватности имитационной модели.
Решение задачи
Для обеспечения гарантии адекватности результатов моделирования реальному процессу, было принято решение о необходимости разработки
двух имитационных моделей, отличающихся между собой набором как детерминированных, так и стохастических исходных данных.
Возможность двойного моделирования обусловлена тем, что набор альтернативных вариантов пути следования является общим для всех пассажиров, относящихся к одной корреспонденции, поэтому можно рассчитать ВОПТС как для всей корреспонденции, реализуемой в утренний период «пик», так и для отдельного пассажира.
При формировании моделей начало и окончание расчетного периода «пик» (6— - 8—) приняты по результатам обследования трудовых передвижений методом непосредственной фиксации выбора пассажиров, проведенного в г. Харькове в 1998 г.
Расчетный шаг времени для имитации корреспонденции принят равным одной минуте, исходя из соображений его минимизации, чтобы распределение внутри шага не оказывало существенного влияния на результаты моделирования.
Величина корреспонденции в модели ВОПТС означает количество опытов в одной серии, потому нижний предел ее изменения должен обеспечивать состоятельность критериев, что и определило его величину - 51 пасс. [5, стр. 371].
Верхний предел, равный 300 пасс., принят из соображений достаточности, так как в выбранных пределах содержится 44,5% всего объема корреспонденций и 17% значений матрицы трудовых передвижений г. Харькова, полученной методом анкетирования предприятий города в 1986 году. Большие по значению корреспонденции встречаются лишь в 2,3% случаев и относятся скорее к плановой экономике с крупными предприятиями и целевыми застройками для них, чем к настоящему времени.
Границы изменения интервалов движения на маршруте были приняты по рекомендациям [6] для утреннего периода «пик» в пределах 2 - 10 мин и скорректированы в сторону увеличения верхнего предела до 20 мин с учетом современных условий работы маршрутов.
Случайная величина корреспонденции за один шаг распределялась по закону Пуассона в соответствии с рекомендациями, приведенными в [2].
Случайная величина фактического времени прибытия транспортного средства на остановку определяется случайными отклонениями от планового времени прибытия к остановочному пункту, которые распределены по нормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и среднеквадратическим отклонением, равным одной тре-
ти планового интервала, в соответствии с правилом трех сигм [2].
В модели ВОПТС для пассажира каждая серия опытов представляет собой набор транспортных ситуаций для пассажира, совершающего одинаковые трудовые передвижения. Количество ситуаций определяется количеством опытов в серии.
Количество опытов в серии было введено в эксперимент в качестве фактора для обеспечения сопоставимости результатов расчетов по двум моделям. Поэтому в качестве нижнего и верхнего пределов его изменения приняты соответствующие значения корреспонденции за период «пик», которые определяют количество опытов в одной серии в первой модели.
Раннее время выхода из дома определяется один раз для каждой серии опытов (одного пассажира) в соответствии с результатами обследования 1998 г., согласно которому этот показатель распределен по нормальному закону со средним значением равным 7:20 и среднеквадратическим отклонением, равным 45 мин.
Фактическое время выхода пассажира из дома определяется в каждом опыте его отклонением от раннего времени, которое согласно тому же обследованию распределено по экспоненциальному закону с параметром X = 0,137.
Вместо времени начала работы маршрута, продолжительности подъезда транспортного средства к остановочному пункту, фактического времени выхода пассажира из дома и продолжительности подхода пассажира к остановочному пункту в эксперименте использовался интегральный фактор времени ДT , с пределами изменения
ДГтп = 0; ДГтах = | J, (1)
где J - интервал движения на маршруте, мин.
Это обусловлено тем, что четыре значения, объединенные в интегральном факторе времени оказывают одинаковое влияние на результаты расчетов, причем это влияние ограничено величиной интервала. Нижний предел изменения ДГ объективно имеет математически минимальное значение интервала, верхний предел принят из соображений неизвестного характера зависимости ВОПТС от ДГ. Два крайних, из числа наиболее вероятных вариантов зависимости в линейном приближении приведены на рис. 1. Из рис. 1 следует, что для повышения вероятности выхода на максимальную степень зависимости ВОПТС от
ДГ, в качестве верхнего предела ее изменения следует принять значение, приведенное в (1).
Рис. 1. Примеры возможных зависимостей ВОПТС от интегрального фактора времени
Возможны и другие варианты зависимостей но, так как окончательные выводы о взаимосвязи между ДГ и ВОПТС делаются после проведения эксперимента, было принято решение о достаточности экстремальных значений этого фактора, с последующим возможным включением в эксперимент центрального значения.
Таким образом, окончательный перечень факторов, определяющих значения ВОПТ состоит из:
- интегрального фактора времени;
- планового интервала движения на маршруте;
- величины корреспонденции за период «пик» в модели ВОПТ для корреспонденции или количество опытов в одной серии в модели ВОПТ для одного пассажира.
Все величины имеют одинаковые пределы изменения в обеих моделях, поэтому для них применялся общий план проведения полнофакторного эксперимента [7], приведенный в табл. 1 в натуральных единицах измерения.
Т аблица 1 План проведения эксперимента по двум моделям
№ серии Интегральный фактор времени, мин Интервал, мин Количество опытов, ед.
1 0 2 51
2 1,33 2 51
3 0 10 51
4 6,666 10 51
5 0 20 51
6 13,33 20 51
7 0 2 300
8 1,33 2 300
9 0 10 300
10 6,666 10 300
11 0 20 300
12 13,33 20 300
В нем для интегрального фактора времени и величины корреспонденции (количества опытов) были приняты два уровня варьирования. Интервал движения на маршруте принимал три значения.
Каждая серия в результате расчетов дает набор случайных значений времени ожидания, для которого требуется подобрать подходящий закон распределения из числа теоретических. При проведении эксперимента анализировалось соответствие распределения экспериментальных данных семи теоретическим законам: нормальному, равномерному, экспоненциальному, Вейбулла, гамма, логнормальному и хи-квадрат.
Параметры законов оценивались с помощью метода максимального правдоподобия [8], гипотеза о соответствии экспериментального и теоретического распределений проверялась с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-Смирнова [5].
После реализации плана для обеих моделей оказалось, что они дают очень близкие результаты. Во всех случаях подходящими для описания результатов эксперимента оказались два теоретических закона - гамма и Вейбулла. Гипотезы о соответствии остальных теоретических законов распределения результатам эксперимента были опровергнуты обоими использовавшимися критериями в подавляющем большинстве случаев.
Примеры полученных распределений для первой серии эксперимента, с использованием модели ВОПТС для пассажира, приведен на рис. 2 и 3. Параметр формы гамма-распределения для этой серии составил 1.489, масштаба 0.764. Соответственно для распределения Вейбулла параметр формы составил 1.334, масштаба 1.234.
Таблица 2 Результаты эксперимента с моделью ВОПТС пассажира
№ се- рии Закон распределения
Гамма Вейбулла
Вероятность критерия Параметры Вероятность критерия Параметры
Колмогорова х2 Масштаб Форма Колмогорова х2 Масштаб Форма
1 О,976 О,45О 0,764 1,489 0,84З 0,586 1,2З4 1,ЗЗ4
2 О,944 0,242 0,769 1,4З0 0,672 0,28З 1,184 1,267
3 О,59З О,2О1 4,600 1,564 0,99З 0,485 7,860 1,429
4 О,999 О,71О З,549 1,488 0,999 0,868 5,7ЗЗ 1,З7З
5 О,96З О,669 7,578 1,7З8 1,000 0,670 14,470 1,425
6 О,5О5 О,246 8,865 1,З22 0,969 0,470 12,564 1,284
7 0,196 О,268 0,862 1,279 0,970 0,661 1,172 1,224
8 О,455 О,О81 0,908 1,З57 0,959 0,З82 1,З22 1,280
9 О,611 О,47З 4,6З2 1,258 0,821 0,827 6,184 1,212
10 О,851 0,127 4,056 1,508 0,750 0,З45 6,64З 1,З54
11 О,272 0,12З 8,260 1,469 0,8З6 0,479 1З,1З8 1,З27
12 О,468 О,О94 7,778 1,578 0,950 0,629 1З,З9З 1,407
Переменная: ВОПТС, Распределение: Гамма
Kolmogorov-Smirnov d = 0,06697, Chi-Square test = 5,76590, df = 6, p = 0,44992
Время ожидания (верхний предел), мин
Рис. 2. Пример результатов подбора гамма-распределения для одной серии
Переменная: ВОПТС, Распределение Вейбулла
Kolmogorov-Smirnov d = 0,084907,
Chi-Square test = 4,676832, df = 6, p = 0,585878
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Время ожидания (верхний предел), мин
Рис. 3. Пример результатов подбора распределения Вейбулла для одной серии
Общая характеристика параметров полученных теоретических законов приведена в табл. 2 и 3.
Таблица 3 Результаты эксперимента с моделью ВОПТС корреспонденции
№ се- рии Закон распределения
Гамма Вейбулла
Вероятность критерия Параметры Вероятность критерия Параметры
Колмогорова х2 Масштаб Форма Колмогорова х2 Масштаб Форма
1 0,231 0,301 1,002 1,333 0,729 0,225 1,536 1,723
2 0,524 0,319 0,850 1,740 0,807 0,736 1,706 2,019
3 0,777 0,164 3,482 1,782 0,897 0,424 6,850 1,597
4 0,988 0,414 3,754 1,688 0,933 0,616 6,956 1,422
5 0,953 0,596 6,870 1,681 0,996 0,612 12,679 1,412
6 0,819 0,560 10,654 1,269 0,988 0,058 14,297 1,180
7 0,756 0,108 0,500 2,978 0,582 0,047 1,680 1,875
8 0,609 0,444 0,321 4,642 0,987 0,753 1,684 2,441
9 0,099 0,182 3,224 2,124 0,955 0,645 7,646 1,642
10 0,898 0,176 2,764 2,364 0,999 0,475 7,330 1,671
11 0,987 0,447 8,992 1,344 0,849 0,031 12,911 1,235
12 0,853 0,365 6,891 1,803 0,997 0,326 13,701 1,449
Но в этих результатах также имелось различие в том, что зависимость показателя формы для гамма-распределения от входных параметров эксперимента оказалась незначимой при расчетах с использованием модели ВОПТС для пассажира и значимой при использовании модели ВОПТС для корреспонденции.
Поэтому, для принятия окончательного решения относительно параметров законов распределения ВОПТС и закономерностей их изменения был проведен повторный эксперимент по тому же плану для обеих моделей. Таким образом, общее количество серий в эксперименте составило 48 ед., количество рассчитанных значений времени ожидания транспорта пассажирами - 8452 ед.
Следующим этапом исследований стал поиск закономерностей изменения параметров законов распределения ВОПТС с помощью регрессионного анализа.
Параметр масштаба М для обоих распределений оказался зависимым только от интервала движения, окончательный вид модели
М = а, ■ J , (2)
где а, - коэффициент регрессии при интервале
движения транспортных средств на маршруте.
Параметр формы В также зависит только от интервала движения, но в значительно меньшей степени и здесь статистически значимым оказался свободный член регрессии
В = а0 + а, ■, , (3)
Статистические характеристики полученных моделей приведены в табл. 4 и 5.
Т аблица 4 Характеристика регрессионных моделей масштаба распределения
Параметры модели Закон распределения
Гамма Вейбулла
Множественный коэффициент корреляции R 0,990 0,997
Коэффициент детерминации 0,980 0,995
Информационная способность (ИС) 2277,2 8906,6
Уровень значимости ИС 7,9E-41 2,62E-54
Коэффициент регрессии 0,390 0,682
^статистика 47,720 94,375
Уровень значимости коэффициента регрессии 1,8E-41 3,07E-55
Данные табл. 4 убедительно свидетельствуют о наличии прямой линейной, практически функциональной связи между параметром масштаба обоих распределений и интервалом движения транспортных средств на маршруте.
Полученную модель (2) можно использовать для прогноза масштаба распределений, о чем свидетельствует почти равное единице значение коэффициента детерминации и практически нулевой уровень значимости информационной способности модели, который в соответствии с распределением Фишера показывает вероятность того, что простейшая модель описывает результаты лучше, чем оцениваемая.
где а0 - свободный член регрессии.
Т аблица 5 Характеристика регрессионных моделей формы распределения
моделью результаты по точности будут не хуже экспериментальных в обоих случаях.
Параметры модели Закон распределения
Гамма Вейбулла
Множественный коэффициент корреляции R 0,394 0,441
Коэффициент детерминации 0,155 0,195
Информационная способность (ИС) 8,5 11,1
Уровень значимости ИС 5,6Е-03 1,69Е-03
Свободный член 2,480 1,751
/-статистика 11,247 22,953
Уровень значимости свободного члена 8,5Е-15 7,83Е-27
Коэффициент регрессии - 0,049 - 0,020
/-статистика - 2,909 - 3,335
Уровень значимости коэффициента регрессии 5,6Е-03 1,69Е-03
Адекватность модели 1,492 1,375
Т абличное значение адекватности 1,873
Данные табл. 5 не имеют такой же убедительности, как в предыдущем случае. Поэтому принимались значительные дополнительные усилия по поиску нелинейных уравнений связи между параметром формы распределения и интервалом движения транспортных средств на маршруте. Однако эти усилия не привели к положительному результату, поэтому для дальнейшего использования была оставлена линейная модель.
С точки зрения информационной способности, /-статистики, уровня значимости свободного члена и коэффициента регрессии, полученную модель можно использовать для прогноза формы распределений. Однако крайне низкие значения множественного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации вызывают серьезные сомнения в преимуществе оцениваемой модели по сравнению с простейшей моделью.
Поэтому для принятия окончательного решения о целесообразности прогноза параметра формы с помощью модели (3) была проведена оценка адекватности модели результатам эксперимента. Такая возможность обусловлена наличием повторяющихся опытов, поэтому в качестве среднеквадратической ошибки эксперимента принималась средняя дисперсия эксперимента по воспроизводимости [9]. Результаты расчетов отражены в двух последних строках табл. 5. Поскольку расчетные значения адекватности меньше табличного, можно сделать вывод, что предсказываемые
Заключение
Использование в имитационном эксперименте двух различных моделей для получения значений времени ожидания позволяет обеспечить достаточную степень достоверности результатов эксперимента.
Результаты эксперимента свидетельствуют о том, что значения ВОПТС подчиняются двум законам распределения - Гамма и Вейбулла. Параметры обоих законов зависят только от одного фактора -интервала движения транспортных средств на маршруте. Полученные в результате эксперимента регрессионные модели можно использовать для прогнозирования параметров масштаба и формы обоих законов распределения.
Литература
1. Горбачев П.Ф. Подход к определению вероят-
ности выбора пассажиром пути следования // Вестник ХНАДУ / Сб. научн. тр. - Харьков: ХНАДУ. - 2006. - Вып.19. - С. 88-91.
2. Доля В.К. Теоретические основы и методы ор-
ганизации маршрутных автобусных перевозок пассажиров в крупных городах: В 2 т.: Дис. ... д-ра техн. наук: 05. 22. 10. - М., 1993.
- 301 с.
3. Спирин И.В. Организация и управление пасса-
жирскими автомобильными перевозками. -М.: Академия, 2005. - 400 с.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные зада-
чи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.
5. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные мате-
матико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. - М.: Статистика, 1979. - 447 с.
6. Самойлов Д.С. Городской транспорт. - М.:
Стройиздат, 1983. - 384 с.
7. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические
методы планирования экстремальных экспериментов. - М.: Наука, 1965. - 340 с.
8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и матема-
тическая статистика. - М.: Высш. шк., 2004.
- 479 с.
9. Вознесенский В.А. Статистические методы
планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 263 с.
Рецензент: О.П. Алексеев, профессор, д. т. н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 20 февраля 2007 г.
