CC BY
16УДК 519.23 + 519.245
ОЦЕНКА СТАТИСТИКИ КРИТЕРИЯ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОЦИНИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ В MATHCAD
С. В. Ушанов, Д. А. Огурцов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассматривается применение метода статистических испытаний для оценки статистики Фроцини при проверке гипотезы нормальности распределения в MathCad.
Ключевые слова: статистика Фроцини, статистические испытания.
ESTIMATION OF STATISTICS CRITERIA FOR NORMALITY OF FROZINI DISTRIBUTION BY METHOD OF STATISTICAL TESTS IN MATHCAD
S. V. Ushanov, D. A. Ogurtsov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
Discusses the use of the application of statistical test method for estimating Frozini statistics when testing the hypothesis of the normality of a distribution in MathCad.
Keywords: statistics Frozini, statistical tests.
Применение ряда прикладных методов математической статистики предполагает нормальность распределения вероятностей случайных величин [1]. Один из методов проверки гипотезы нормальности распределения случайной величины основан на предложенном Фроцини в 1978 г. критерии нормальности [2]. С практической точки зрения важно, что параметры этого критерия оцениваются по экспериментальным данным.
При планировании вычислительного эксперимента необходимо учитывать период повторения псевдослучайных чисел, формируемых соответствующим генератором. Для генератора нормально распределенных случайных чисел, реализуемого в MathCad этот период равен 784.4-106. Показано, что при 4-х кратном повторении 50000 статистических испытаний и уровне значимости а е [0.001 0.999] максимальная ошибка оценки статистики Фроцини не превышает 0.001 [3]. При этом максимальный объем выборки n = 7844. При n > 20 статистика Фроцини мало отличается от предельной статистики при n ^ да [2].
Критерии согласия позволяют судить, является ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями случайным или значимым. Если расхождение случайно, то считают, что данные наблюдений (выборки) согласуются с выдвинутой гипотезой о законе распределения генеральной совокупности и гипотезу принимают; если же расхождение значимо, то данные наблюдений не согласуются с гипотезой и ее отвергают.
Статистика критерия согласия зависит от способа оценки параметров распределения. Нами применялись методы максимального правдоподобия и минимизации расчетного значения критерия согласия [3; 4].
При проверке гипотезы нормальности распределения эмпирической выборки объема п по критерию Фроцини разработаны следующие пользовательские функции MathCad:
- вычисления расчетного значения критерия Фроцини;
- оценки интегральной функции распределения статистики Фроцини по результатам М статистических испытаний;
- определение точности оценки статистики Фро-цини при уровнях значимости от 0.001 до 0.999 с шагом 0.001 с вычислением стандартной ошибки для каждого из 999 уровней значимости критерия Фроцини при да-кратном повторении М статистических испытаний;
- оценка критическое значение критерия Фроцини при заданном уровне значимости.
Гипотеза нормальности распределения отвергается, если при принятом уровне значимости расчетное значение критерия Фроцини больше критического значения.
На рис. 1 представлены результаты визуализации оценок интегральной функции распределения Фроци-ни при объемах выборки п = 5, 10, 30, 100 проведением 50000 статистических испытаний.
Решетневские чтения. 2018
0.8
0.6
0.4
0.2
0L
0.05
- 30 = 100
-11 .......11
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Статистика критерия Фроцини
-
s
S
Q
Ч
О
H о Q. С
сг S г а
т
е
0.35
0.8
0.6
0.4
0.2
- 1 11= 5 n=10 11= 30 n= 100
/ /'
//
0
0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 Статистика критерия Фроцини
а б
Статистика критерия Фроцини проверки нормальности распределения при объемах выборки п = 5, 10, 30, 100 и оценки параметров распределения: а - методом максимального правдоподобия; б - методом минимизации расчетного значения критерия Фроцини
Полученные результаты используются в научных исследованиях и учебном процессе при изучении дисциплин «Вычислительная математика», «Математические методы инженерии», «Математическое моделирование энерго- и ресурсосберегающих процессов химической технологии, нефтехимии и биотехнологии», «Имитационное моделирование в научных исследованиях» [5-9].
Библиографические ссылки
1. Лемешко Б. Ю. Критерии проверки отклонения распределения от нормального закона: руководство по применению : монография. М. : Инфра-М, 2015. 160 с.
2. Frozini B.V. A survey of a class of goodness-of-fit statistics // Metron. 1978. Vol. 36, № 1-2. Р. 3-49.
3. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка статистики критерия нормальности распределения Фроцини методом статистических испытаний // XIII Междунар. науч. конф. «Наука и образование: сохраняя прошлое, создаём будущее». 2017. С. 70-73.
4. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка методом статистических испытаний статистики критерия «омега-квадрат» проверки гипотезы нормальности распределения // Современные технологии: актуальные вопросы, достижения и инновации : XIII Междунар. науч. конф. 2018. С. 94-97.
5. Ушанов С. В., Степень Р. А., Ушанова В. М. Моделирование содержания эфирного масла в древесной зелени и коре Abies Sibirica различного возраста // Системы. Методы. Технологии. 2017. № 3 (35). С. 127-130.
6. Ушанов С. В., Степень Р. А., Ушанова В. М. Возрастная динамика содержания пихтового масла в древесной зелени Abies Sibirica. Теоретические аспекты // Химия растительного сырья. 2017. № 1. С. 129-136.
7. Ушанова В. М. Комплексная переработка древесной зелени и коры пихты сибирской с получением продуктов, обладающих биологической активностью : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск : СибГТУ, 20012. 34 с.
8. Ушанов С. В., Степень Р. А., Огурцов Д. А. Применение метода статистических испытаний для оценки содержания экстрактивных веществ в древесной зелени пихты различного возраста // Наука и образование: сохраняя прошлое, создаём будущее : XIV Междунар. науч. конф. 2018. С. 80-82.
9. Ушанов С. В., Степень Р. А., Огурцов Д. А. Имитационное моделирование содержания экстрактивных веществ в коре пихты различного возраста // Приоритетные направления науки и образования : Междунар. науч. конф. 2018. Ч. 1. С. 69-71.
References
1. Lemeshko B. Yu. Criteria for testing deviation from normal distribution law: Guide for use: Monograph. M.: research center INFRA-M, 2015. 160 p. (In Russ.)
2. Frozini B. V. A survey of a class of goodness-of-fit statistics // Metron. 1978. Vol. 36, № 1-2. Р. 3-49.
3. Ushanov S. V., Ogurtsov D. A. Evaluation of the statistical criterion of normality of the distribution of statistical tests // XIII Intern. Scientific. Conf. "Science and education: preserving the past, creating the future". 2017. P. 70-73. (In Russ.)
4. Ushanov S. V., Ogurtsov, D. A. Evaluation of the omega-square test of the distribution normality hypothesis by the method of statistical tests of statistics //XIII Intern. Scientific. Conf. "Modern technologies: topical issues, achievements and innovations". 2018. P. 94-97. (In Russ.)
5. Ushanov S. V., Stepen R. A., Ushanova V. M. Modeling of essential oil content in wood greens and bark
Abies Sibirica of different age // Systems. Methods. Technologies. 2017. №3 (35). P. 127-130. (In Russ.)
6. Ushanov S. V., Stepen R. A., Ushanova V. M. Age dynamics of the content of pine oil in the wood greenery of Abies Sibirica. Theoretical aspects // Khimija Rastitel'nogo Syr'ja. 2017. No. 1. P. 129-136. (In Russ.)
7. Ushanova V. M. Kompleksnaia pererabotka drevesnoi zeleni i kory pikhty sibirskoi s polucheniem produktov, obladaiuhshikh biologicheskoi aktivnost'iu: avtoref. dis. ... dokt. tekn. nauk. [Complex processing of wood greens and Siberian fir bark to give products having biological activity: Author. dis. ... doctor. tehnical sciences]. Krasnoiarsk, 2012. 34 p. (in Russ.)
8. Ushanov S. V., Stepen R. A., Ogurtsov D. A. Application of the method of statistical tests for the evaluation of the extractive content of fir trees of different ages // XIV Intern. Scientific Conf. "Science and education: preserving the past, creating the future". 2018. P. 80-82. (In Russ.)
9. Ushanov S. V., Stepen R. A., Ogurtsov D. A., Imitating modeling of the content of extractive substances in the bark of the fir tree of different age // Intern. Scientific. Conf. "Priority directions of science and education". Part 1. 2018. P. 69-71. (In Russ.)
© Ушанов С. В., Огурцов Д. А., 2018
