CC BY
36
УДК 519.25:004.67
ОЦЕНКА СТАТИСТИКИ КРИТЕРИЯ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОЦИНИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
Д. А. Огурцов, С. В. Ушанов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail:dim_ogu@mail.ru
Рассматривается применение методов статистических испытаний для оценки статистики Фроцини при проверке гипотезы нормальности распределения, проведено сравнение полученных оценок с табличными, рассмотрены примеры обработки данных.
Ключевые слова: оценка нормальности рапределения, критерий Фроцини, статистические испытания.
ESTIMATION OF STATISTICS CRITERIA FOR NORMALITY OF FROZINI DISTRIBUTION BY METHOD OF STATISTICAL TESTS
D. A. Ogurtsov, S. V. Ushanov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail:dim_ogu@mail.ru
The application of statistical test methods for estimating Frozini statistics when testing the hypothesis of the normality of a distribution is considered, the obtained estimates are compared with tabulated ones, examples of data processing are considered.
Keywords: estimation of distribution normality, Frozini criterion, statistical tests.
Применение многих прикладных методов математической статистики предполагает нормальность распределения вероятностей изучаемых случайных величин. Это определяет важность методов проверки нормальности случайных величин [1; 2].
Для проверки гипотезы нормальности распределения случайной величины Фроцини в 1978 г. предложил простой и достаточно мощный критерий нормальности [3; 4], основанный на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей. С практической точки зрения важно, что параметры этого критерия оцениваются по экспериментальным данным.
Критерий Фроцини основан на статистике, определяемой выражением (1).
1 n B =4-1
Vn г=1
л/ ч 1 - 0.5 Ф( ) -
т
(1)
где в,- - элемент вариационного ряда, zi =———, М = теап(в), £ = stdev(s), п = rows(s), Ф^) -
функция распределения N(0,1).
Оценка интегральной функции распределения статистики Фроцини проводится методом статистических испытаний в MathCad пользовательскими функциями: оценки уровня значимости для расчетного значения критерия Фроцини; оценки статистики Фроцини при К повторениях каждого из М статистических испытаний при уровнях значимости от 0.001 до 0.999 с шагом 0.001 и вычислением стандартной ошибки для каждого из 999 уровней значимости критерия Фроцини; оценки критического значения критерия Фроцини при заданном значении уровня значимости;
Секция «Прикладная математика»
кубической сплайн-интерполяции оценки кумулятивного и обратного кумулятивного распределения вероятностей. Гипотеза нормальности распределения отвергается, если при принятом уровне значимости расчетное значение критерия Фроцини больше критического.
На рис. 1 представлены результаты проведения вычислительного эксперимента для объема выборки 10 при 4-х повторениях 50000 статистических испытаниях. Время проведения серии из 50000 статистических испытаний равно 1,2 с, а всего эксперимента - 11,9 с. Максимальная ошибка при оценке статистики Фроцини составила 0.001.
На рис. 2 представлены результаты визуализации оценок интегральной функции распределения Фроцини при объемах выборки п = 5, 10, 30, 1000 проведением 50000 статистических испытаний.
Рис. 1. Результаты вычислительного эксперимента для п = 10 при 4-х повторениях 50000 статистических испытаниях
Рис. 2. Оценки интегральной функции распределения Фроцини при объемах выборки п = 5, 10, 30, 1000 по 50000 статистических испытаний
Представлены примеры проверки гипотезы нормальности критерием Фроцини для экспериментальных выборок по выходу экстрактивных веществ из древесной зелени и коры пихты [5-10].
Полученные результаты используются в учебном процессе при изучении дисциплин:
- «Математическое моделирование энерго- и ресурсосберегающих процессов химической технологии, нефтехимии и биотехнологии» для студентов направления подготовки 18.02.03 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы химической технологии, нефтехимии и биотехнологии»;
- «Математическое моделирование» для аспирантов направлений подготовки 04.06.01 «Химические науки», 06.06.01 «Биологические науки», 05.06.01 «Науки о земле», 18.06.01 «Химические технологии», 35.06.04 «Технологии средств механизации и энергетическое оборудование в сельском, лесном и рыбном хозяйстве», 35.06.02 - «Лесное хозяйство»;
- «Имитационное моделирование в научных исследованиях» для магистрантов направления подготовки «Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств»;
- «Математические методы инженерии» для магистрантов направления подготовки «Технологические машины и оборудование».
Библиографические ссылки
1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. М., 2006. 816 с.
2. Ушанов С. В. Применение многомерных статистических методов при принятии решений. Красноярск, 2003. 239 с.
3. Frozini B. V. A survey of a class of goodness-of-fit statistics // Metron. 1978. Vol. 36, № 1-2. Р. 3-49.
4. Frozini B. V. On the distribution and of a A survey of a class of goodness-of-fit-statisticswith parametric and nonparametric applications, "Goodness-of-fit" / еd. by P. Revesz, K. Sarcady, P. K. Sen, Amsterdam-Oxford-New York: North-Holland. Publ. Comp., 1987. Р. 133-154.
5. Ушанова В. М. Комплексная переработка древесной зелени и коры пихты сибирской с получением продуктов, обладающих биологической активностью : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск, 2012. 34 с.
6. Ушанова В. М., Ушанов С. В. Экстрагирование древесной зелени и коры пихты сибирской сжиженным диоксидом углерода и водно-спиртовыми растворами / СибГТУ. Красноярск, 2009. 191 с.
7. Ушанова В. М. Использование отходов пихты сибирской в альтернативных технологиях. // Вестник Краснояр. агр. ун-та. 2010. № 10. С. 182-186.
8. Ушанова В. М., Репях С. М. Углекислотные экстракты, как источники биологически активных веществ / СибГТУ. Красноярск, 2007. 156 с.
9. Репях С. М., Ушанова В. М., Ушанов В. С., Ушанов С. В. Моделирование возрастной, сезонной и суточной динамики содержания эфирного масла в древесной зелени сосны обыкновенной //Химия растительного сырья. 2000. № 1. С. 43-49.
10. Ушанов С. В., Степень Р. А., Ушанова В. М. Возрастная динамика содержания пихтового масла в древесной зелени Abies Sibirica. Теоретические аспекты // Химия растительного сырья. 2017. № 1. С. 129-136.
© Огурцов Д. А., Ушанов С. В., 2017
