Оценка скорости убывания решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В НЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

© Л. М. Кожевникова*, А. А. Леонтьев

Башкирского государственного университета, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 47. Тел./факс: +7 (3437) 43 73 29.

E-mail: [email protected]

Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида

I (lu lk-2 u 1 = t,(-1)

■ LJ-

а=1

'"а-1 Dm

I I P rv —2

\Dmаu\ а D"-u

І ха І ха

т1,т2,...,тп е N. рп > ... > р1 > к, к >1.

Для решений первой смешанной задачи в цилиндрической области о = (о, го) ха о с к п , п > 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлена оценка скорости убывания при Г ^ го . Ранее оценки сверху были получены авторами для анизотропных уравнений второго порядка и доказана их точность.

Ключевые слова: анизотропное уравнение высокого порядка, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.

Введение

Пусть О - неограниченная область пространства К п = {х = (х1, х2,..., хп)}, п > 2. В цилиндрической области о = {Г >0}х0 для

анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача

(I u lk—2 u)t =

= !(—і)"

(1)

k >1, mcl є N, а = 1, n, (t, x) є D; DX u(t,x)ls = 0, j = 1,mа — 1,

посвящены работы А. К. Гущина, В. И. Ушакова, Ф. Х. Мукминова, А. Ф. Тедеева, Л. М. Кожевниковой, Р. X. Каримова, В. Ф. Гилимшиной и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1, 2].

Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси оХ,, я е 2Тп (область о лежит в полупространстве к+[я] = {хе К |Х >0}, сечение уг [я] = {х е о I Хя = г} не пусто и ограничено при любом г >0). Ниже будут использованы

при этом - норма в

(2)

(3)

а = 1,п, 5 = { >0}хЭО; и(0, х) = р(х), р(х) е Ьк (О), рх (х) е Ьр (О), а = 1, п.

ха ра

Предполагается, что неотрицательные

функции аа(я), я > 0, а = 1,п, подчиняются

условиям: аа(0) = 0, аа(я)е С!(0,го),

а(Ра-)12 < аа (я) < ая(Ра-2)/2, (4)

Р1а а (я)/ 2 < а а (я) + а'сс (я)я < 8а а (s),

с положительными константами а > а, 2$ > р > к (р1 < р2 < к < рп). Например, аа(я) = /ра-2)12, а =1, п,

8 = Рп/2.

В работе оценивается скорость стабилизации при г ^ го решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией р(х).

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при больших значениях времени

обозначения: о8а И = {х еО I а < х5 < 8},

значения а = 0 8 = го опускаются; 111

\\\\р,й

ьр (0), Р > 1, значение 2 = О опускается.

Для получения оценок сверху используется понятие ^-последовательности, которое является обобщением ранее использованного понятия для линейных уравнений высокого порядка [1] и изотропных квазилинейных уравнений второго порядка [2].

Определение 1. Неограниченную

возрастающую последовательность

положительных чисел {^7 }°ТО_0 будем называть Л[я] -последовательностью области О, если существует число в >0 такое, что выполняются неравенства

1 < вЛ1( , г,+1)ДГ, (5)

Д / = +1 - , 3 =0, го.

Л(г1, Гг) =

Здесь ! ] (6)

=inf иdm g\\ r2

И Xl Ір1,О

g (x) є Co (О), g l

= U.

Dm

x_

m

a

а=1

ОГ2

* автор, ответственный за переписку

Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что

зирр рсО20. (7)

Теорема 1. Пусть существует Л-последовательность {zN }^=0 и выполнено условие (7) . Тогда найдутся положительные числа

к, М (р5, т , к, а, а) такие, что ограниченное решение и(Г, х) задачи (1)-(3) с ограниченной начальной функцией р(х) при всех N > 0 удовлетворяет оценке

1|и(Г)||к,О^ < М ехр(- К)||рк, г > 0. (8)

На основе неравенства (8) устанавливается оценка скорости стабилизации решения при г ^ го.

Определим последовательность

е С0годаши» = ^ (9)

N = 0, го.

Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

Иш м(N) = 0. (10)

N

Если это условие не выполнено, то справедлива оценка

||и(г)|| г (О)< Мг~1/(р1-к), г >0. ьк (О)

Пусть N (г) - произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству

(м1Рl(N(г))г) (р1 )ехр(ку(г))> 1, г >0. (11)

Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (10) и (11) следует, что 1гш N (г) = го.

г^го

Теорема 2. Пусть существует Л-последовательность {^ }“ =0 и выполнены условия (7), (10). Тогда найдется положительное число М1(р!, р1, тя, к, а, а,\рк) тaкое, что для

ограниченного решения и(г,х) задачи (1)-(3) с ограниченной начальной функцией р(х)

справедлива оценка

||и(г)||^(О)<М1 (м^^тУ*'’1^, г >0. (12)

Вспомогательные сведения

Через о8 = (а, 8) хО обозначим цилиндр, значения а = 0 и 8 = го могут отсутствовать. Положим т = (т1, т2,..., тп).

Банахово пространство W т (от) определим как пополнение пространства С“ (О) по норме

соответственно,

по

нормам

кт (а

= и В

’и\\ + \\и\\

Банаховы пространства W 0“(оТ), W ^ (от) определим как пополненияпространства С0“(от1+1),

+Ё11 ®таи\

ха

Ік.В ^ Ха

а=\

= \\и\и „г + щ,

\г\у,\'т (вТ) ІГІІк.В ' 1Гг11к.В ' ха IIР В

к. Р ^ > а=\ Ра

+ и К* и

ха

Определение 2. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и(Г,х) такую, что

при всех т >0 и(г, Х) еW 0'т (От ) и для любой

функции

у(ґ.х) є * к” (бТ ). v(T.х) = 0.

удовлетворяет интегральному тождеству

I

і к—2 .

— I и I Ш, +

+2>* ((ка и) Ьт ио:: V

—х— =

(13)

= 11 р(х) 1к 2 p(x)v(0.x)dx.

Теорема 3. Пусть р(х) е W тр (О), р1 > к,

тогда существует обобщенное решение и(Г, х)

задачи (1)-(3), для любого Т >0 удовлетворяющее условиям

и е Ьго ((0,т), т,р (О);

I и 1(к-2)/2 и, е ^(От), и е С([0,т],Ьк (О));

и, е Ьк (От), к е (1,2) ;

|и|к-2 иг е Ьк, (От), к' = к /(к -1), к > 2.

При этом справедливы неравенства

(к — \) и(г) , +

+дха:'и(т. х)Р" —т < (к—\)Н1к.

а=\ 0

г > 0;

л

(к — \) — ||и(г)|| к +

А11 11к

(14)

(15)

+ каи|В; и(г.х)||Р; < 0. г >0.

Решение задачи (1)-(3) строится методом галеркинских приближений, который ранее был предложен Ф. Х. Мукминовым, Э. Р. Андрияновой [3] для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью и обобщен авторами статьи на некоторый класс анизотропных уравнений [4, 5].

Утверждение 1. Обобщенное решение и(г, х) задачи (1)-(3) с начальной функцией р(х)е ьго(О) пW тДО) является ограниченным, т.е.

уга18ир I и(г, х) 1< В < го.

(16)

о

Положим @^8 (х) = ет((х - а У (8 - а)), а < 8, где ^(х) е Сго (К) - неубывающая функция, равная 0

Т

В

а=1

а

а

а=\

и

к

а

Р

а

и 1 при x < 0 и x > 1, соответственно, постоянная в окрестности 0 и 1. Пусть

aj = max I Djrn(x) I, j = 0,<*>. Из тшрты

1 xe[0,1]

Лагранжа следует, что a + > a ■ и при этом справедливы неравенства

\Dl®a,b (x)< a j (b - a)~j ,

_ (17)

x є (a, b), j = 0,".

Для произвольной функции n(x) є С" (R) нетрудно установить равенства DJnP =

(18)

= UptJl■■■il П nio (Dn)il ••• (Dln)Jl

oJo Jl■■■ Jl Bli

l=i А+ш+Уі=J',

Jo + І1+---+ Jl = P

Утверждение 2.

Пусть

А = b — a,

тогда

Пьа[я] = {хСе Кп-1,а < хя < 8}, те N, р > 1, существует положительная постоянная С(р,т, ]) такая, что для любой функции g(x)е Сд (Я ) справедливо неравенство:

Di g

p,nb

ґ ’ п

А— p(m—j) < D" g

p,na

(19)

+ С gP^ А— pm, j = 0, m — 1, s = 1, n.

P ,n,a J

Доказательство утвержения 2 основывается на одномерном неравенстве Ниренберга-Г альярдо. Доказательство теорем Доказательство теоремы 1. Зафиксируем натуральное число N > 2. Рассмотрим кусочнопостоянную функцию в(х), X є К такую. что

в( X) = . х є[і}. і}+\). причем 8— = е*Д 7.

е* > 1, ] =0, N -1, и в( х) = 0 при х е [ 20, ZN).

Построим функцию а(х) < в(х) , сглаживая функцию в(х) на отрезках [+Д;/3], 2 + 2Д;/3, г3+1] и полагая а(х) = в(х) на отрезке

[г, + Д,/3, г, + 2Д,/3], 3 = 0, N -1. При этом

для j = 0, N — 1 справедливы оценки (см. [1]):

ZJ +2А/3

(3e*)—1 = | Sjdt <

Zj +А/3 ZJ +1

< | а(і)dt < | SJ dt = e*1

zj zj

I D!а(x) l< aiSJ А—J = a, (Є.А+1)—1,

(20)

(21)

а- = 3Ч, х е [г,, г,+1].

Определим дифференциальные полиномы Р] ( а) от гладкой функции а( х) условиями

Р0 (а) = 1, Р] ( а) = (о + а)Рн. Тогда для ] = 1^, ввиду (21), имеем

Py (а) = (D + а)1 1 а =

= fAy1І2■■■il П аJl (Dа)i2 l (Dl—1 а)il,

l=1 Ji+2 І2 +■■■+lil =j

Alj1 i2...J'' а 0,

I Pi ( а) l< fAt..' П (ao (е*Аj)—1 )Jl l

l _1

Ji+2 її +...+іі' = і L[al—i (e^j ) 1 )і' < Ai Mj )\

■л- j

x є [ zj, zj+i],

(22)

3 = 0, N -1, ] е N.

Определим неубывающую гладкую срезающую функцию £(хя) на К условиями:

£(х) = 0 для х5 < 20, £(х) = £(г1)^20,21 (х)

для 20 < хя < zl, £(хя ) = ехр(- Г а(г)йг) для

*х.!

21 < х, < ZN ,£(х, ) = 1 для х, > ZN . На

промежутке [21, ZN ], очевидно, £' = (£ , и ввиду (20), справедливы неравенства

ехр((3е» )-1 )<£(2;+1 V£(2] ) < (23)

< ехр(е«-1), ] = 1, N -1.

Перемножая эти неравенства находим, что

4(21) < ехр(- (N - 1)(3е* )-1)[ (24)

Воспользовавшись (18), нетрудно доказать, что на промежутке [ ^, zN ] для ] = 1, р^тх, справедливы соотношения

о]£ = £Р] (а),

г-* ! г р т.

о]£”3 ‘ =

= £р°т±в^]- П (Р>( а))]0(Р( а)У -(Р,( а))]‘.

ІІ+к+1І' _ ',

Jo + J1+K+il _ psms

Далее,

пользуясь

(22),

для

J = 1, N — 1, j = 1, psms, выводим I DiB,(xs)l< ^(xs)Ay(е*АJj)1,

I D't^ (xs) l< tPsms (xs)Cp" Ay (e*АJJ)—1, (25) xs є [ZJ , ZJ +1].

Ввиду (17), (18), для j = 1, psms, имеем I D]%(xs )l< £(Zi )<ajА—0У,

(2б)

I D1 gs (xs )l<rs"s (Zi) Dj, ps ,ms А-у, xs є [Zo , Zi].

Из определения (б) функции A1(r1, r2) для g(x) є C0" (О) следуют неравенства

II II Ps ^ I ,Ps — || Pi ^

g p Оп < max1 g 1 g p О-2 <

11 11Ps ’°rr О 11 "p1’Оn

О

< maxl g IPs—Pl і—1(ri, dD""1 gll

„О'2

J =1, p, B'^qJl■■■Jl а 0.

P

p

+

s

О

Положим в (13) V = и£р‘т‘, получим соотношение

(к -1)/к 11 и 1к £р‘т‘ т=0 йх +

О

+ X |а а ((от и)2 Као? крт )йхйт = 0.

а=1ог

Далее, применяя (4), выводим (с учетом того, что £РЛр = 0)

(к-1)/к 11 и(г, х)1к £рт (х,)йх +

+ a

n

S |tPsms (Xs)|D

m"u\ adxdT<

(28)

ms

'I Sc.

D j 1

I Ps -1 I

; |Dms u\ ‘s |Dffls-jU x

j I xs I I xs I

х I ох] £РЛ I сШг = 1г.

Используя оценки (25), (26) и неравенство Юнга, оценим интеграл

I id jUPsA-;Psdx<

< СSID>|P: Z ,

5 x: p nZj+1

p a ,П,

:=1 zj

J = 0, N -1.

(31)

Из (31), ввиду (23), для ] = 1, N -1 следует:

,1

" I г»:-]>,1р‘ ррл д

I I \Dm-jM|P‘ tPm Afsdx <

R n—1 ZJ

Zr

С5 exp(Psmse*-1 ) | #Psms (xs ) x

(32)

х Xотхиа йх5.

ха Ра ,Кп-1 5

Применив (31), (32) к оценке V, выбирая М = е-1, получим

С N-1 t^J+1 ms

г <С s|| Ist"- (x, )A-jj

е* J =10 Zj Rn-1 j=1

x Dm~jUdx's dTdxs +

I P -1

d;-u ■ x

t 1 ms

+ с,|| Il,tP-m■ (Z1)A-0j|d;

0 z0 Rn-1 j'=1

x D™ ju|dx'„ dTdx,, <

I xs

■ ■

< Сз SI I I tPsms (xs )S

J=1 0 z, Rn-1 j=1

^>1 +

(e.Ps И

(e.Ps pPs -1 )-1 x

- ju| A-*

V У

dx's dTdxs +

+

t” (Z1)|||S

0 Z0 Rn-1 l=1

+D;- j'UPs A0jp-

dx's d-zdx,.

\ I ■ I /

Далее, применяя неравенство (19), получим оценки

z J+1

‘ I _ ™ - 5' IPs , ^ . II _ ™ IIPs

+

I I |d;s-ju\Ps Aj’dx <1 D;su|rs z

J J I xs I J II xs II Ps ,nz

Rn-1 г, z

(29)

IIPs Ps ,ПZ'

+ C|lup z A-/-™-, J = 0, N -1.

-iz/+1 J

Применяя определение Л -

последовательности (5) и оценки (27), (16), имеем

"p, ,П Z

, AJP‘m" <#Л(Zj , Zj J|u|

p, ,П Z

(30)

<вВр-Р1 от и!1 2 , ] = 0, го.

II х1 11р1,П2]+1

Соединив (30) с (29), выводим

x

(33)

1‘ < е;1С6 ехр(е-1 рт )| |£

0 21

х У1|о>Г йТх +

^ ха Ра,Кп-1 '

г2, г 1 п

+С1£р-- (21)Г IXI от$" йТх,.

0 20 а=1 а |р-,К-'

Соединяя (33) с (28), имеем:

(к -1)/к 11 и(г, х)!к £р‘т‘ (xs)йх +

О

+ аХ\£Р-т]о1аи1Ра йхйт<

а_1O^

г п

< Сбе-1 ехр(е-1 psms)| I £рл Х|охааиРа йТх +

0 О ZN а=1

Z1

_n \

+ C7tPs™s (Z1)||S|Dx:aHPa dTdx.

0 oz1 :=1

Выбирая так, чтобы выполнялось

неравенство С6 ехр(е*-1 psms) < ае,, выводим (к -1)/к | I и(г,х) !к йх <

ZN

< C7t^’’; (Z1)||S|dx

0 o Z1 :=1

dTx.

Применяя к последнему неравенству (24) и (14), полагая К = р.т, (3е,к )-1, выводим

Z

R

1 zj

О

Z

m

Z

P

а

u

а

P

P

u

||u (' )|

k ,О

, < C8 exp( NkKMk.

ZN

Отметим, что при N = 0,1 оценка (8) также имеет место. Она следует из неравенства (14) и получается подбором постоянной М .

Доказательство теоремы 2. Выберем

произвольное целое неотрицательное число N . Согласно теореме 1, вводя обозначение

) = Мк ехр(- кК)^к, имеем соотношение

Из определения Иі( N) следует, что

+ є(N), t а 0.

(9) последовательности

f

|u (t)||„ <

Иі— Pl( N) D" u

P1 Pi, ОZN

\Upi

+

(34)

+ є(N), t а 0.

Обозначим через tN точку интервала [0,")

II 11 k

такую, что E(t) _ ||u(t)|| _ є(N) . В случае, если E(t) > є^) при любом ' а 0, то считаем ' = ". Очевидно, для t є [0, t ) справедливо неравенство E(t) > є(N), тогда соотношение (34) можно переписать в виде

h/k

(E(t) — є(N))Pl/k <

n

<И Pl( N )f D

mau\\Pa

a=1

1 Pa , О

ZN

(35)

t є [0, tN ).

Соединяя (15) с (35), выводим соотношение

d E(t) < —-^ И (N)(E(t) — є(N))Pl/k, dt k — 1 t є (0, tN).

Решая дифференциальное неравенство,

получаем

(Е(г) -£(N))(Р1-к)/к <

< С(гмР1(N))-1, г е (0, г„).

Подставив в последнее неравенство значение £( N), выводим

Е(г) < С1 (гм1Р1( N ))-к/( Р1-к) +

+ Мк ехр(- кКк, г е (0, гN).

Отметим, что для г е [гN; го) последняя оценка также справедлива. Далее воспользуемся определением (11) функции N (г), в итоге получаем

2 (,«”(N мГ”1-'',

E(t) < C2

t > 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожевникова Л. М. Стабилизация решения первой

смешанной задачи для эволюционного

квазиэллиптического уравнения // Математический сборник. 2005. Т. 196. №7. С. 67-100.

2. Каримов Р. Х., Кожевникова Л. М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Математический сборник. 2010. Т. 201. №9. С. 3-26.

3. Андриянова Э. Р., Мукминов Ф. Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. №3. С. 3-14.

4. Кожевникова Л. М., Леонтьев А. А. Оценки решения

анизотропного параболического уравнения с двойной

нелинейностью // Уфимский математический журнал.

2011. Т. 3. №4. С. 64-85.

5. Кожевникова Л. М., Леонтьев А. А. Убывание решения

анизотропного параболического уравнения с двойной

нелинейностью в неограниченных областях // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. №4. С. 64-85.

k

Поступила в редакцию 31.12.2012 г.