CC BY
6
ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
Том 246
1974
ОЦЕНКА ПЕРИОДА КВАНТОВАНИЯ АВАРИЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ С УЧЕТОМ ВОЗМОЖНЫХ ПОТЕРЬ
Ю. М. АГЕЕВ, Ф. Ф. ИДРИСОВ
(Представлена научно-техническим семинаром кафедры автоматики
и телемеханики)
Одной из задач централизованного контроля является определение периода квантования параметра. Эта задача может решаться при помощи уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова [1, 2], либо при помощи теории выбросов [3, 4]. Указанные методы предполагают наличие достаточно полной статистики о параметре, что не всегда возможно. Кроме того, некоторые технологические процессы характеризуются величинами, при достижении которыми критического уровня возникает предаварийная или аварийная ситуация.
В данной работе решается задача определения периода квантования параметров с учетом их особенностей и недостаточности исходных статистических данных. При недостаточной исходной статистике необходимо произвести наилучшую оценку неизвестных статистических характеристик аварийного параметра. Однако методы максимального правдоподобия, максимума апостериорной вероятности и др. не учитывают потери от неточных оценок. Байесовский же подход позволяет строить оценки статистических характеристик с учетом потерь от ошибок.
Предположим, что аварийный параметр является стационарным случайным процессом с функцией корреляции
— дисперсия процесса, т — время корреляции. Будем считать, что появление последовательных выбросов аварийного параметра за пределы критического значения а является независимыми редкими событиями, т. е. время между моментами пересечения значительно больше времени корреляции. Тогда, считая процесс центрированным и предполагая, что число выбросов в течение времени Т подчиняется закону Пуассона, имеем, согласно [4], выражение для вероятности Р0 того, что за время Т не произойдет ни одного выброса
(1)
где
(2)
где Кх (т) — вторая производная функции корреляции.
Задавшись вероятностью Р(1 и принимая во внимание (1), получим выражение для времени неосдтижения:
а-
(3)
Г rlnP0exp| —
(X Х^-'дг
Очевидно, что ошибка в нахождении Т определяется, главным образом, ошибкой оценки с;. Учитывая характер последствий от ошибок при оценках статистических характеристик для аварийных параметров, примем простую функцию потерь
П (з-;., з;) = С — о(з
„2
i),
(4)
где с — некоторая постоянная, о (-) — дельта-функция Дирака.
Принимая во внимание асимптотическую независимость апостериорного распределения от априорного [5], зададим априорное распределение дисперсии по экспоненциальному закону с параметром
alo [6]:
W&)
1
5.v()
exp
'л-0
(5)
Для нахождения оценки, соответствующей простой функции потерь, уравнение правдоподобия запишется в виде
д
д
ln W (з!) + — 1п Г (3=, 5=п) = о. дз1 i дзх
(6)
где 1п (з!) — функция правдоподобия.
Решая уравнение !(6) и подставляя результат в (2), получаем
1 2
Т ж — — -1пР0ехр а
а-
П Зд-о
7 1 + -1 П м
'ЛГО !
(7)
Выражение (7) позволяет корректировать оценку Т по мере поступления информации о параметре. Если в системе контроля находится вычислительное устройство, то формула (7) может быть запро-
Л
граммирована и величина Т будет периодически уточняться в процессе работы системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. Л. Стратонович. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. «Сов. радио», 1961.
2. В. С. 3 а р и ц к и й. Определение вероятности надежной работы системы в течение заданного промежутка времени. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, № 1, 1966.
3. Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. «Сов. радио», т. I, 1966.
4. А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. Изд. «Наука», 1968.
5. Дж. Нейман. Два прорыва в теории выбора статистических решений. Пер. с англ. « Математика», 8:2, 1964.
6. Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. «Сов. радио», т. 2, 1968.
