Оценка параметров гравитационного импульса со случайной начальной фазой в режиме "быстрой фильтрации" Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОФИЗИКА

УДК 519.246; 524

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГРАВИТАЦИОННОГО ИМПУЛЬСА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ В РЕЖИМЕ «БЫСТРОЙ

ФИЛЬТРАЦИИ»

А. В. Гусев

(.ГАИШ) E-mail: avg@sai.msu.ru

В работе для криогенных резонансных гравитационных антенн, работающих в режиме «Fast filtering» («быстрой фильтрации»), рассчитаны дисперсии ошибок при совместном измерении амплитуды и момента возникновения широкополосных гравитационных импульсов со случайной начальной фазой. Показано, что максимальная разрешающая способность антенны достигается при введении в состав приемника «детектора огибающей», основанного на преобразовании Гильберта.

1. При обобщенном анализе чувствительности современные криогенные резонансные гравитационные антенны (РГА) рассматриваются как линейные стационарные системы с двумя степенями свободы. Информация о физических процессах в РГА наиболее полно сохраняется при когерентной обработке [1] информации в режиме «Fast filtering» («быстрой фильтрации») [2]. В этом режиме полезный сигнал на выходе преобразователя частоты представляет собой смесь двух квазигармонических сигналов с сильно разнесенными резонансными частотами, но имеющих одинаковую начальную фазу [2, 3]. При синтезе оптимального по критерию максимального правдоподобия алгоритма обнаружения отдельных гравитационных импульсов (ГИ) подобная «тонкая структура» полезного сигнала учитывается путем применения преобразования Гильберта [4] для формирования огибающей низкочастотного случайного процесса на выходе оптимального фильтра.

Решение «сигнал есть» позволяет перейти к следующей практически важной задаче — оценке неизвестных параметров ГИ. В настоящей статье рассчитаны дисперсии максимально-правдоподобных оценок неизвестных амплитуды и момента возникновения (временного положения) ГИ со случайной начальной фазой при когерентной обработке информации в режиме «Fast filtering». Аддитивная помеха предполагается гауссовой. Дисперсия оценки временного положения ГИ определяет верхнюю границу разрешающей способности схемы совпадений при обнаружении ГИ с помощью двух пространственно разнесенных РГА «Explorer-Nautilus» [5].

2. Схема первичной когерентной обработки информации в режиме «Fast filtering» определяется следующим выражением [2]:

x(t) ^ ПЧ ^ ОФ ^y(t),

где x(t) — случайный узкополосный процесс на выходе РГА, ПЧ — преобразователь частоты, y(t) —

случайный низкочастотный (0 ^ / ^ 30 Гц) процесс на выходе оптимального фильтра (ОФ). Информация о поведении случайного процесса y(t) сохраняется в банке данных РГА.

Пусть А = (0,1) — параметр обнаружения. Тогда случайный низкочастотный процесс y(t) можно рассматривать как смесь

y(t) = Xs(t,l) + n(t)

полезного «гравитационного» сигнала s(t, 1) и аддитивной гауссовой помехи n(t). Полезный сигнал s(t, 1) зависит от векторного параметра 1 = {1\ = а, h = т, h = (р)Т, где а,т,(р — амплитуда, момент возникновения и начальная фаза широкополосного ГИ на входе РГА.

При обобщенном анализе помехозащищенности РГА в режиме «Fast filtering» случайный процесс y(t) целесообразно рассматривать как действительную часть аналитического случайного процесса

z(t) = Asz(t, 1) + nz(t) = R(t) eXp{jW(t)},

где R(t), Ф(t) — огибающая и фаза. Функция корреляции Bz{t2^t\) комплексного гауссова случайного процесса nz(t) определяется следующим выражением:

Bz(t2 - h) = «(tiK(i2)> = 2B(t2 - h), (1)

где {•) — символическая форма записи оператора статистического усреднения

оо

B(t2 - h) = - [ N{u) exp{joo(t2 - ii)} duj, (2) Я" J

0

N{oj) — спектральная плотность аддитивной гауссовой помехи n(t).

Форма полезного сигнала на выходе преобразователя частоты ПЧ приведена в работе [3]. Поэтому,

учитывая свойства оптимальных систем [1], из (1) и (2), имеем:

ММ) = а exp т)} B(t — г), ?%,т) =ip^ür,

(3)

где ш — «частота гетеродина», определяемая параметрами преобразователя частоты ПЧ (для РГА «Explorer» [21 / = (ш/2ж) и 900 Гц при /i = (wi/2tt) и 904.7 Гц и /2 = (и;2/2тг) и 921.3 Гц).

Функционал условного отношения правдоподобия Л[у|1] при обнаружении отдельных ГИ на фоне гауссовой аддитивной помехи определяется следующим выражением [3]:

= exp < a Re

z(r)e

а2а2

а2 = В{0) — дисперсия аддитивной помехи п(£) на выходе оптимального фильтра. Начальная фаза <р неизвестна и может рассматриваться как случайная величина, равномерно распределенная на интервале (—7г, 7г). При подобном байесовском подходе имеем

(4)

— I Л[a,T,<p]d<p =

= exp

а2а2

Io [аД(т)]

где 1т(-) — модифицированная функция Бесселя т-го порядка.

3. Элементы информационной матрицы I =

= [4

нием [1, 6]:

lyj Фишера определяются следующим выраже-

д д

4? = ( т^ 1пЛ[у|а, T]~ßj~ ln^[|/|a, г] ¿"1пЛ[2/|а'Т

где Ii = а, h = r (см. выше); i,j = 1,2. Принимая во внимание (4), имеем

(5)

дЫА[у\а,т] _ а2 да2

dh

h[aR(t)}\ д[аП(т)]

2 dk \10 [аЩт)}

dh

(6)

При больших отношениях сигнал-шум 1а[аЯ(т)] и7х[аД(т)] и, следовательно,

дЫА[у\а,т] _ а2 да2 Э[оД(т)] д1{ 2 д1{ д1{

Из (5) и (6) находим элементы информационной матрицы Фишера:

а2д2а2 д2[а (Д(т))] а2 д2а2 д2[аН3(т)}

гз

2 дии

dh dh

2 дии

dh dh

(7)

где Rs(t) = \sz(t, 1)| — огибающая полезного сигнала s(t, 1) на выходе оптимального фильт-

ра ОФ (при больших отношениях сигнал-шум <Д(т))«Д8(т) [7]).

Можно показать [1, 6], что макеимально-правдо-подобные оценки а и г неизвестных амплитуды а и временного положения г отдельного ГИ являются асимптотически эффективными и несмещенными. Поэтому при большом отношении сигнал-шум для вычисления дисперсий этих оценок можно воспользоваться неравенством Рао-Крамера [1, 6]. При таком подходе дисперсии а\х = а2 и ег22 = сг2 мак-еимально-правдоподобных оценок неизвестных параметров а и г равны диагональным элементам матрицы I-1, обратной информационной матрице Фишера [1, 6]:

Л:,: ... (н)

егЕ =

detfll

¿ = 1,2,

где A{j и det[I] — алгебраическое дополнение элемента и определитель информационной матрицы.

4. Учитывая выражение (3), находим огибающую Rs(t) сигнала s(t, 1) в режиме «Fast filtering»:

Д«(т) = \sz(t, 1)| = а\В(т — tq) |,

(9)

где т0 ра г,

|Д(т-т0)| = ^В2(т^т0) + В2(т^т0), — истинное значение неизвестного парамет-

Вс(т) = Re ¿(г) = — / N(oj) cos шт doo

tt

(10)

о

оо

Bs(t) =1шВ(т) = — / N (ш) sin шт doo.

тг J

о

Принимая во внимание (9) и (10), имеем:

Д'Дто) = 0, Д'Дто) = £ [а2В>>(0) + В,2(0)]

в''(0) =--/ ш N(oo) du, B's(0) = - / uN(и) du.

TT J 7Г J

о 0

(11)

В режиме «Fast filtering» аддитивная помеха n(t) на выходе оптимального фильтра ОФ представляет собой [2, 3] суперпозицию

n(t) = m(t) + n2(t)

двух узкополосных гауссовых случайных процессов nij2(t) = Re [ni,2(i) exp{jOij2t}] с резонансными частотами Oi и 02 (для РГА «Explorer» (Oi/2тг) и 4.7 Гц, (02/2тг) и 21.3 Гц). Расстройка АО = 02 — Oi существенно превосходит максимальные частоты в спектре комплексных огибающих «i,2(t) и, следовательно, взаимной корреляцией этих процессов можно пренебречь. Поэтому в режиме «Fast filtering» спектральная плотность N(w) и дисперсия а2 аддитивной помехи n(t) равны:

N(u) = N1(u) + N2(u), a2 = af + al (12)

где Nifl{oj) и £722 — спектральные плотности и дисперсии гауссовых случайных процессов n\fl{t) соответственно.

Из (11) и (12) окончательно находим

(СГ1СГ2)2

4(то) = 0,4'(то)«^

-ДО

е>Т

'1 тСГ2

Следовательно, информационная матрица I (7) при больших отношениях сигнал-шум имеет следующий вид:

(а2

1 =

£70

\

О

О

¡(<Г1<Г 2?

сг? + а?

\

АО2

(13)

/

'1 ^и2

Из (8) и (13) находим дисперсии о2 и £72 максимально-правдоподобных оценок а и г неизвестных амплитуды и временного положения одиночных ГИ со случайной начальной фазой при больших отношениях сигнал-шум:

(Т„

1 а2

+ £72 ' q¿

1 ( 1 , 1

а2 1 АО2

1

-1

СГ2

02 cri

1

где q = аа и q » 1. При 01 и сг2 £7Т

Выводы

(То

АО2' (14)

- отношение сигнал-шум, (V2/q)A О"1.

I. Оценка неизвестного момента возникновения широкополосного ГИ со случайной начальной фазой в режиме «Fast filtering» осуществляется по положению наибольшего значения (абсолютного максимума) огибающей R(t) (или ее квадрата) низкочастотного случайного процесса y(t) на интервале наблюдения (О, Т):

max R2(t) = y2(t) + rf{t) = R2{f).

OsCtsCT

Случайные процессы y(t) и rj(t) связаны между собой преобразованием Гильберта:

Ф) =

1

7Г

y(t') 1-1'

dt'.

Точность оценивания при больших отношениях сигнал-шум не зависит от полосы пропускания отдельного частотного канала, а определяется величиной расстройки АО = (О2 — Oi). Как и следовало ожидать [6], оценки энергетического (амплитуда а) и неэнергетического (момент возникновения г) параметров оказываются некоррелированными.

П. Итальянская группа [2, 5] при вторичной обработке информации в режиме «Fast filtering»

отказывается от формирования квадрата огибающей Д2(£) и ограничивается более простой схемой:

уф у2(1) такту2(1) = у2(Ц), (15)

где — положение абсолютного максимума случайного процесса у2(£) при 0 ^ £ ^ Т. В бигармоничее-ком приближении, рассматривая случайный процесс у(£) как смесь двух квазигармонических процессов с резонансными частотами Ох и О2, при Ох <С О2 имеем:

' 7Г

где £ — случайная величина с равномерным распределением на интервале (—1,1). Следовательно, применение «итальянской» схемы (15) для обработки случайного процесса у(£) сопровождается появлением дополнительной погрешности при оценивании неизвестного временного положения ГИ со случайной начальной фазой. Учитывая, что при больших отношениях сигнал-шум (т) = то и (£) = 0, можно рассматривать значение как асимптотически несмещенную оценку неизвестного параметра г, дисперсия которой определяется следующим выражением:

71 — rr¿

ly f - (J т

7Г

ЗО2

где а2

дисперсия максимально-правдоподобной оценки (14). В стандартной ситуации (большие отношения сигнал-шум и Ох -С О2) отказ от формирования огибающей сопровождается значительным снижением разрешающей способности РГА при измерении временного положения ГИ со случайной начальной фазой. Например, для РГА «Explorer» [2] при g и 5, £7х и £72 и (Ох/2я") и 4.07 Гц, (02/2тг) и 21.3 Гц (АО/2тг и 16.6 Гц) а2 и 2.7 мс, DT и 70.9 мс.

Литература

1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М., 1992.

2. Astone P., Buttiglione S., Frasca S. et al. // Nuovo Cimento. 1998. 20C, N 1. P. 9.

3. Гусев A.B., Руденко В.H. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 2003. №6. С. 38 (Moscow University Phys. Bull. 2003. N 6. P. 49).

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М., 1984.

5. Astone P., Babusci D., Bassan M. et al. // Class. Quantum Grav. 2002. 19. P. 5449.

6. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М., 1978.

7. Левин Б.Р. Статистическая радиотехника. М., 1994.

Поступила в редакцию 31.05.04