CC BY
11
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Физически реализуемый обеляющий фильтр для криогенных резонансных гравитационных антенн
А. В. Гусев
Государственный астрономический институт имени П. К. Штернберга МГУ, отдел гравитационных измерений. Россия, 119991, Москва, Университетский пр-т, д. 13. E-mail: avg@sai.msu.ru
В статье на основе теории оптимальной линейной фильтрации Калмана-Бьюси рассматриваются особенности синтеза физически реализуемого обеляющего фильтра (ОФ) для криогенных резонансных гравитационных антенн. Приведена система уравнений, определяющих структуру фильтра Калмана для гравитационных антенн с трансформатором смещения. Рассчитана передаточная функция стационарного физически реализуемого ОФ. «Калмановский» подход обеспечивает возможность высокоточных измерений параметров гауссовых и негауссовых шумов в колебательных системах с малой диссипацией на коротких по отношению ко времени релаксации интервалах наблюдения.
PACS: 95.30.Sf, 95.85.Sz, 07.05.Kf.
Ключевые слова: резонансные гравитационные антенны, оптимальная линейная фильтрация Калмана-Бьюси, обеляющий фильтр.
Статья поступила 21.12.2007, подписана в печать 26.03.2008.
Введение
Криогенные резонансные гравитационные антенны [1], в состав которых входит механический трансформатор смещения, относятся к классу линейных стационарных систем с двумя степенями свободы. Спектр случайного процесса x(t) на выходе линейного тракта таких устройств ограничен (для положительных частот) узкой ПОЛОСОЙ (Штш.Штах) • ПОЭТОМУ, ВОСПОЛЬЗОВаВШИСЬ комплексной формой записи произвольных квазигармонических сигналов, имеем
x(t) = As(t) + n(t) = Re [x(t) exp{ju0t}],
где A = (0,1) — параметр обнаружения, s(t) — полезный сигнал, n(t) — аддитивная помеха, uq = = (w max + шт|п)/2 — центральная частота, ojq и 2тт ■ 103 рад/с, x(t) — комплексная огибающая случайного процесса x(t), спектр которой ограничен узкой полосой (-АШ,АШ), где Aw = (umax-umin)/2.
Первичная обработка информации в режиме быстрой фильтрации осуществляется в соответствии с энергетическим критерием отношения сигнал-шум по схеме ОФ-СФ, где ОФ и СФ — обеляющий и согласованный фильтры. Передаточная функция оптимальной системы ОФ-СФ определяется следующим выражением [2]:
Дэф-СФ(/Ш) = ехР{-М4 = Я0ф(ш) • ЯСФ(/Ш),
где с — константа, G(ju) — передаточная функция линейного тракта, N(и) — спектральная плотность аддитивной помехи n(t), ti — временная задержка,
Яоф И = J—, ЯСФ (joS) = с ехр { -jujtd }
У JV (и) у JV (и)
(1)
— передаточные функции ОФ и СФ соответственно.
Линейная система с передаточной функцией (1) оказывается физически нереализуемой: случайный процесс на выходе СФ в момент времени t определяется внешним воздействием x(t) при t£ (—оо,оо).
На практике [1] при синтезе адаптивного оптимального фильтра спектральная плотность N(u) заменяется непараметрической оценкой N(u). При времени корреляции т* и 1400^-2000 с и периоде стационарности Ts ~ 2 ч такой подход представляется нецелесообразным. Действительно, смещение А(и>) и дисперсия D(u) оценки N(и) при достаточно узком спектральном окне W(üj; Ф) с шириной порядка 2п/'д определяются следующим выражением [3]:
А(и) ~ KaN"(üj), D(ÜJ) ~ (Kd/T)N2(ÜJ), где Т — длительность интервала наблюдения (to, to + T),
КА =
4ж
üj2W(oj;'ß)doj,
KD('ß) = ( 1/2тг)
W2(lj; -ß) du.
Требования к параметру § противоречивы. При «большом» § (узкое спектральное окно) смещение оценки А(и>) падает. С другой стороны, для уменьшения дисперсии оценки D(üj) приходится использовать широкое окно с «малым» Учитывая, что D(u) ос Г^1, на практике разумный компромисс достигается за счет длительности Т интервала наблюдения. При Т ~ Ts и (3.6 ч- 5.1)т* значительные искажения при измерении спектральной плотности N(üj) оказываются неизбежными.
Невозможность оптимального выбора спектрального окна W(-) в «итальянской» схеме обработки информации стимулирует развитие альтернативных алгоритмов первичного статистического анализа выходного сигнала криогенных резонансных гравитационных антенн. В предлагаемой работе обсуждаются особенности построения (синтеза) основного элемента оптимального фильтра — физически реализуемого ОФ — на коротких интервалах наблюдения при Т -С т*.
Синтез ОФ (общий случай)
Резонансную гравитационную антенну, в состав которой входит трансформатор смещения, можно рассматривать как линейную систему, образованную двумя связанными механическими маятниками. Пусть М,-, К[ и Я,- — эквивалентная масса, жесткость и коэффициент трения отдельного маятника, г = 1,2 (г = 1 — «гравитационный детектор», г = 2 — «трансформатор смещения»). Тогда в состоянии «сигнала нет» (А = 0) имеем [1]
(,р2 + f2|).sr10(i) - ebJix<m{t) -bJr2x\{){t) + (/г + а¡г,
Xo(t) =X2o(t) +Xa(t),
üjf)X20(t) = f2(t),
O^t^T,
(2)
mmr)) = 2*T0Blk5(t - r),
(3)
где (•) — символическая форма записи оператора статистического усреднения, к — постоянная Больцмана, То — температура термостата,
В\ \ = (Н\ + Н2)/м1 Вп = -Н2/(МХМ2), в22 = н2/м1
Аддитивная помеха при дальнейшем анализе будет рассматриваться как широкополосный случайный процесс типа гауссова белого шума с функцией корреляции
(Xa(t)Xa(T)) = NJ(t - Т).
(4)
Можно показать [2, 5], что физически реализуемый ОФ в общем случае можно реализовать в виде линейной нестационарной системы, охваченной обратной связью. Блок-схема такой системы приведена на рисунке, где — оптимальная по критерию минимальной
среднеквадратичной ошибки оценка реализации случайного процесса на фоне дельта-коррелированной аддитивной помехи РК — разностный каскад, = — *2о(0 — гауссов белый шум с функцией корреляции (4). Оценивание коррелированной (окрашенной) помехи осуществляется при помощи фильтра Кал-мана.
Эквивалентная схема нестационарного ОФ в калманов-ской постановке
В теории оптимальной фильтрации Калмана-Бью-си [5] используется векторная форма записи уравнений движения (2):
.с0(0 = Су0(0+хаУ),
где С = (1 ООО), Уо(0 = \уШ) Мю(0 «/зо(0 У\о(0]Т -вектор состояния. Компоненты вектора г/о(0 связаны
с обобщенными координатами и меха-
нической системы следующим образом: г/ю(0 = ,
г/2о(0=/?*ш(0> Мзо(0 = *2о(0> УтУ) = рх-2о(0- Из (2) и (3) имеем
pyo(t) = Py0(t) + /(*), (f(t)fT(T)) = QS(t - т).
Здесь
Р =
0 1 0 0 0 0 0 0
0 еи2 0 , Q = 2xT 0 Вп 0 В\2
0 0 0 1 0 0 0 0
<4 0 -¡4 0_ 0 В\2 0 В22
где х\\{t) и x2\(t) — обобщенные координаты в состоянии А, x\(t) — результирующий случайный процесс на входе системы регистрации, p = d/dt — дифференцирующий оператор, fif = + зд, uj = K-JMi, ¿ = 1,2, е = М2/М\ -с 1, Г -с 2 min [М\/Н\ ~М2/Н2].
При ланжевеновском описании тепловых шумов в соответствии с флуктуационно-диссипативной теоремой [4] корреляционные функции сторонних источников f\(t) и f2(t) определяются следующим выражением:
(5)
ДО = [о h(t) о f2(t)}
- векторный случайный процесс. Фильтр Калмана определяется системой матричных уравнений [5]
py0(t) = Pyo(t) + z(t) [х(0 - Cy0(t)], z(t) = e(t)CTN~\
pe(t) = Pe(t) + e(t)PT - e(t)CTCe(t)
(6)
где уо(0 — оптимальная оценка векторного случайного процесса уо№), 2(0 — коэффициент передачи, = — дисперсионная матрица,
е/Аг(О = ([г/да(0 -&о(0]~)-
Матричное дисперсионное уравнение в (6) эквивалентно (1/2)(1 + 1) скалярным нелинейным дифференциальным уравнениям, где 1 = 4 — размерность вектора состояния г/о(0 (о выборе начальных условий см. [5]). Для решения дисперсионного уравнения при I ^ 2 используются численные методы.
Стационарный физичесжи реализуемый ОФ (спектральный подход)
В общем случае ОФ, блок-схема которого приведена на рисунке, представляет линейную систему с переменными параметрами. Однако, учитывая, что матрицы Р, (2 (5) и С оказываются постоянными, при увеличении I параметры фильтра Калмана будут стремиться к постоянным значениям [5]. В подобной ситуации фильтр Калмана будет приближаться к физически реализуемому стационарному фильтру Винера [5]. В состав такого фильтра входит физически реализуемый ОФ с передаточной функцией Н^фЦш), модуль которой определяется следующим выражением:
= Н0 Ф(Ш) =
Методика вычисления передаточной функции физически реализуемого ОФ по ее модулю подробно разбирается в монографии [5].
Спектральная плотность Ы(и) случайного процесса *о(0 при ланжевеновском подходе определяется следующим выражением [6]:
Ы(ш) = 2ХГ/У,|С(/ш)|2Г(Ш) ОС |С(/Ш)|2Г(Ш),
где Г(ш) — дифференциальный коэффициент шума, который для гравитационной антенны с трансформатором смещения представляет собой степенной многочлен типа
Г(ш) = а0 + a2bj"
сщьз , М € (Wmin.uw)- (7)
6 ВМУ. Физика. Астрономия. М 2
Пусть Ц^ — лежащие в верхней полуплоскости корни алгебраического уравнения Г(ш) = 0, £=1,4. Тогда
4
ги = |Ф+(/ч)|2, Ф+(/ч> = -4Т), , ч
к= 1 (о)
ос |С(/и;)Ф+(/и;)|2.
Первый сомножитель в (8) — вЦи) — представляет собой передаточную функцию линейного тракта РГА, второй сомножитель — Ф+(/ш) — можно рассматривать как передаточную функцию некоторой физически реализуемой линейной системы [5]. Следовательно,
я^Ысх [СО'^Ф+ЫГ1 •
В состав ОФ входит безынерционный инверсный фильтр (ИФ) с передаточной функцией
g^(p) = (P2+4)(P2+4)/4>
(9)
где U] и oj\i системы (2),
wiji
'(П?+ )±D
D =
(Of
■ SüJ,
2"
Г0И ;
'Af)2
(ш0Птт)2
9i
Q2
U
а;
где Дь = (шг — ш\)/2 — частота биений (|Дь| -С шо), и — добротности гравитационного детектора и трансформатора смещения соответственно ((Зг^СО. От,-п — полоса пропускания линейного тракта РГА без трансформатора смещения. Тогда, учитывая (10), находим
Ф^(/ш) ос (и - и^0)(ш - с40),
где , ¿=1,2 — лежащие в верхней полуплоскости корни биквадратного алгебраического уравнения Го(ш) = 0. Решение этого уравнения зависит от параметров системы. После несложных преобразований имеем
случай А: < (2ь> + 1)/^2 —^ Ц^-о = ±Дд + /7а. случай В: £2 > (2г/+ 1)/^2 Ц^-о = /7в,1,2-Здесь
AA=AbS/-im +1-»?],
7А = А6у-[1?(СЬ 1+Ч2].
7в,1,2 = \!(\ - К2) ± ~ 2гу - I)1/2,
где С = (woíWA2), 2v = Q\/Q<¿ > 1, 0(0 = Vü + C2) • Из (10) и (11) находим
ос
[ф+ы] (w - Да + /7а)(w + ДА + /7а) '
(12)
ос
[Ф0+(/^)]в (W-/7b,i)(W-/7b,2)'
Пусть НЦи) — передаточная функция последовательного высокодобротного колебательного контура с резонансной частотой иг и декрементом затухания 7г«шг. Тогда
ЯоЫ=Я[/(ш + шо)]
U£
2 J (Дг
■ w - /7г)'
(13)
собственные частоты механической
На практике собственные частоты üj¡ и шц с высокой точностью определяются в процессе калибровки.
Полоса пропускания линейного тракта криогенных РГА ограничена узкой полосой вблизи центральной частоты шо = {u\ + u\])/2 (см. выше). При обобщенном анализе такие системы целесообразно заменить низкочастотным эквивалентом. Коэффициент шума Го(ш) низкочастотного эквивалента связан с коэффициентом шума Г(ш) исходной системы следующим образом: Го(ш) = Г(шо +ш), М -Сшо- Принимая во внимание (8), имеем
Г0И= |Ф+(/ш)|2, Ф+(/ш) = Ф+[/(шо + ш)], |w|<wo.
(10)
Коэффициент шума Го(ш) при равенстве парциальных частот и\ = 0J2 = шо можно представить в виде [6]
где |ш| -С шо = Дг + , Дг -С bjr ■
Учитывая (11)-(13), находим блок-схему стационарного физически реализуемого ОФ в режиме быстрой фильтрации
ИФ-КК1-КК2>
где KKi и ККг — последовательные колебательные контуры с характерными параметрами
Г случай A: [шг]1>2 = oj0 ± ДА(£, v), [Тг] 1,2 = 7а (С. у случай В: [шг]1>2 =Щ, Ы1=7в,ь [Тг]г = 7в,2-
Длительность полезного сигнала на выходе физичесжи реализуемого ОФ
В теории РГА предполагается, что S(ju) ос G(ju), где S(ju -и- s(t)) — спектр полезного сигнала s(t). При таком подходе спектр Sw(ju) полезного сигнала sw(t) на выходе физически реализуемого ОФ с передаточной функцией (12) определяется следующим выражением:
s(t) » Sw(jco) (X СЫЯ^Ы (X [Ф+(/ш)] ■
(14)
Из (14) следует, что полезный сигнал можно
рассматривать как импульсную характеристику линейной системы КК1-КК2. Длительность т+ переходного процесса в такой системе определяется следующим выражением:
tÍ-TA1^) и тв « 7В](?. Основные результаты и выводы
(15)
I. Нестационарный ОФ. Для резонансных гравитационных антенн, в состав которых входит трансформатор смещения, физически реализуемый ОФ представляет собой оптимальный фильтр Калмана, охваченный отрицательной обратной связью. Параметры фильтра Калмана определяются матрицами Р и (2, элементы которых вычисляются непосредственно по уравнениям движения (2) при наличии диссипативных потерь: Ж,- —^ А' — /»//••. ¿=1,2. На практике для решения нелинейного дисперсионного уравнения (6) применяются аналоговые и численные методы интегрирования [5]. При возрастании I решение дисперсионного уравнения приближается к стационарному, не зависящему от начальных значений решению. Длительность переходного процесса на выходе
фильтра Калмана определяется выражением (15), где
И. Стационарный ОФ. Передаточная функция стационарного физически реализуемого ОФ определяется по его АЧХ путем разложения спектральной плотности //(ш) аддитивной помехи на сомножители таким образом, чтобы корни этих сомножителей лежали в верхней полуплоскости (см. (12)).
III. Адаптивная обработка информации на выходе резонансных гравитационных антенн. При оценивании спектральной плотности стационарного случайного процесса обычно предполагается, что время измерения значительно превышает время корреляции. Для гравитационно-волнового эксперимента такая ситуация оказывается нехарактерной: при времени корреляции аддитивной помехи на выходе линейного тракта т* и (1400 ч- 2000) с длительность интервала измерения ограничена периодом стационарности Т8 < 2 ч. Подобные ограничения можно значительно ослабить при статистическом анализе случайного процесса на выходе ИФ (см. выше). Передаточная функция ИФ определяется параметрами механической системы. Аддитивную помеху на выходе ИФ можно рассматривать как широкополосный случайный процесс, время корреляции тиф которого определяется шириной спектра комплексной огибающей х(1):
Тиф И 7Г/ДШ -С т*.
Информация о полезном сигнале в процессе инверсной фильтрации полностью сохраняется.
IV. Обработка информации при наличии негауссовых шумов. В теории обнаружения [7] частотно-амплитудное подавление коррелированных негауссовых шумов осуществляется по схеме ОФ-БНП-СФ, где БНП — безынерционный преобразователь с оптимальной по критерию отношения сигнал/шум характеристикой. В гравитационно-волновом эксперименте применение такой схемы становится целесообразным после предварительной инверсной фильтрации. Действительно, передаточная функция ОФ определяется спектральной плотностью аддитивной помехи на его входе.
Инверсная фильтрация осуществляет предварительную декорреляцию механических шумов, что обеспечивает высокую точность оценивания спектральной плотности при «коротких» интервалах наблюдения.
Списож литературы
1. Astone P., Buttigliorie S., Frasca S. et al. // Nuovo Cimento. 1997. 2ОС, N 1. P. 9.
2. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М., 1992.
3. Куликов ЕМ. Методы измерения случайных процессов. М., 1986.
4. Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. Т. I. М„ 1976.
5. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. I. М„ 1972.
6. Michelson P., TaberR.C. // Phys. Rev. 1982. D29. P. 2149.
7. Шелухин O.E. Негауссовские случайные процессы в радиотехнике. М., 1999.
Physical realizable whiting filter for resonant gravitational antennas A. V. Gusev
Department of Gravitational Measurements, Sternberg State Institute of Astronomy, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: avg@sai.msu.ru.
Synthesis of physically realizable whiting filter based on optimal linear Kalman-Bucy filtration for the resonant gravitational antennas is considered. A set of equations, which determines the structure of the optimal Kalman filter for gravitational antennas with displacement transformer, is given and the transformer function is calculated. The Kalman approach allows high-precision measurement of the parameters of the Gaussian and non-Gaussian noise in oscillating systems with small dissipative function at short observation times compared to the relaxation time.
PACS: 95.30.Sf, 95.85.Sz, 07.05.Kf.
Keywords: resonant gravitational antennas, Kalman-Bucy optimal filtration, whiting filter. Received 21 December 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2009).
Сведения об авторе
Гусев Андрей Викторович — к. ф.-м. п., ст. научи, сотр.; e-mail: avg@sai.msu.ru.
7 ВМУ. Физика. Астрономия. № 2
