Непараметрическая модель априорной неопределенности при обработке выходного сигнала резонансных гравитационных антенн (режим медленной фильтрации) Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОФИЗИКА

УДК 519.246; 524

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА РЕЗОНАНСНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ АНТЕНН (РЕЖИМ МЕДЛЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ)

А. В. Гусев

(.ГАИШ) E-mail: [email protected]

В рамках непараметрической модели априорной неопределенности (небайесовский подход) рассматриваются особенности амплитудно-частотного подавления негауссовых помех на выходе резонансных гравитационных антенн в режиме медленной фильтрации (slow filtering).

1. При обобщенном анализе криогенные резонансные гравитационные антенны (РГА) можно рассматривать как линейные системы с двумя степенями свободы. Случайный процесс на выходе линейного тракта РГА представляет суперпозицию двух квазигармонических колебаний с резонансными частотами и ш2, ^1,2/(271") и 103 Гц. Частота биений шь = {ш2 — ш\)/2 значительно превышает ширину спектров отдельных колебаний, что позволяет в режиме медленной фильтрации (slow filtering) [1] осуществить раздельную по модам первичную обработку выходного сигнала РГА по следующей оптимальной для гауссовых помех схеме ОФ-КДО, где ОФ — оптимальный (по критерию сигнал-шум) фильтр, КДО — квадратичный детектор огибающей. Резонансные частоты ОФ совпадают с собственными частотами и ш2 механической системы. Информация о поведении векторного случайного процесса Е(t) = [E^t) = R\{t)E2{t) = Д|(*)]т, где R\{t) и R2(t) — огибающие узкополосных процессов на выходах отдельных ОФ, сохраняется в банке данных и может быть использована при дальнейшем анализе.

В предлагаемой работе рассматривается ампли-тудно-чаетотный алгоритм [2] подавления негауссовых помех в режиме медленной фильтрации при обнаружении слабых гравитационных импульсов со случайными начальными фазами. Статистические (вероятностные) свойства негауссовых помех считаются полностью неизвестными (непараметрическая модель априорной неопределенности).

Амплитудно-частотный алгоритм подавления коррелированной негауссовой помехи при обнаружении слабого полезного сигнала приводит к следующей схеме обработки информации: E(t) + БНП + ОФ, где БНП — безынерционный нелинейный преобразователь. Характеристика БНП выбирается в соответствии с критерием сигнал-шум. Наличие в схеме ОФ обеспечивает увеличение отношения сигнал-шум за счет дополнительного

«частотного сжатия» аддитивнои помехи на выходе БНП [2].

Применение алгоритма БНП-ОФ для обработки выходного сигнала РГА в режиме медленной фильтрации предполагает известной совместную плотность вероятности W2(Ei,E2) случайных процессов Ei(t) и E2(t) в совпадающие моменты времени [3]. При непараметрической модели априорной неопределенности распределение этих случайных процессов считается неизвестным. Для преодоления априорных ограничений воспользуемся небайесовским подходом, основанном на применении критерия максимального правдоподобия.

2. В одночастотном приближении узкополосный процесс y(t) = yi(t)Uy2(t) на выходе ОФ в отдельной моде можно представить в виде суперпозиции

y(t) = Xs(t) + т + n(t)

слабого полезного сигнала s(t) со случайной начальной фазой и аддитивных гауссовой n(t) и негауссовой ¿(t) помех, А= (0,1) — параметр обнаружения.

Можно показать [4], что плотность вероятности случайного процесса E(t) = E\{t) U E2(t) определяется следующим выражением:

W(E) = We(E) + Аа2

d_

IE

E

dWE(E) dE

o(a2),

где Ше(Е) — плотность вероятности случайного процесса в состоянии А = 0, а = а(£) — оги-

бающая слабого полезного сигнала

Пусть — априорное распределение квад-

рата (5 = огибающей узкополосного случайного процесса £(£), а2 = (п2(£)) — дисперсия гауссовой помехи п(£), {•) — символическая форма записи оператора статистического усреднения. Тогда

We(E) = (W(E,Q))q= / W(E,Q')Ww(Q')dQ'

21 ВМУ, физика, астрономия, №3

где

шпг 1 / !1±Я\т

2сг2

О"

— распределение Рэлея-Райса, — моди-

фицированная функция Бееееля к-го порядка, к = 0, ±1, ±2,... .

В непараметричеекой модели априорной неопределенности неизвестный параметр Я считается неслучайным: Шр1(Я') = 6(С}' — Я) и, следовательно, 1¥е(Е) = 1¥(Е,Я),

Ш(Е) и Ш(Е, ¡9) + ХаЧ(Е, ¡9),

Е

Пусть

7 (Е,Я) =

дЫУУ(Е,д)

дЕ

д\¥(Е,Я) дЕ

1 й\а.1о(г) дг

2 ст2

йг дЕ

(1)

— логарифмическая производная, г = л/ЯЁ/сг2. Тогда

Чг(Е,д) = Ш(Е,д) х х\7(Е,д) + Е

д7(Е,Я) ,

дЕ

7

(2)

Из (1) и (2), учитывая, что

<Но(*) т ( ч 1

находим

Здесь Фо {Е,Я) =

-ш

Е + Я - 2а2 - 2^/ОЁ

ш

ш

(3)

3. При вычислении оптимальной (по критерию сигнал-шум) характеристики /[•] БНП в схеме БНП-ОФ (см. выше) будем предполагать, что в состоянии А = 0 среднее значение случайного процесса /[£?(£)] равно нулю [2]:

</[£?]|А = 0> = J ¡[Е)Ш(Е,д)ёЕ = 0. (4) о

Учитывая (4), находим отношение сигнал-шум р на выходе БНП

р= \{т\Х = 1)\ = -

¡[Е]Чг(Е,д)ёЕ

(5)

При слабом сигнале различием дисперсий в классах А = 0 и А = 1 можно пренебречь и, следовательно,

оо

а}^Ц2[Е]|А = 0) = I ¡2[Е]Ш(Е,Я)ёЕ. (6)

о

Из (5), (6), воспользовавшись неравенством Ко-ши-Буняковского, имеем

Р ^ Ртах —

\

«о (Е,а)Ш(Е,а)ЛЕ,

где функция Фо (Е,Я) определяется выражением (3).

Отношение сигнал-шум р достигает максимальной величины ртах при оптимальной характеристике БНП:

Р = Ршж- ПЕ] = и^[Е]<хЩ(Е,д). (7)

Оптимальная характеристика БНП (7) зависит от неизвестного, но неслучайного при непараметрической модели априорной неопределенности параметра Я = ■ Для преодоления априорных ограничений воспользуемся обобщенным критерием максимального правдоподобия [5], в соответствии с которым неизвестный параметр Я заменяется макеималь-но-правдоподобной оценкой Я = Я(Е) (небайесовский подход). Пренебрегая влиянием слабого полезного сигнала [5], в «нулевом» приближении имеем

Я ~ Яо,

= Ях=о (Е)

— максимально-правдоподобная оценка неизвестного параметра Я в классе А = 0. В этом классе уравнение максимального правдоподобия имеет следующий вид:

\¥^(Е,Я) = О

и, следовательно,

(8)

где Во = ¿о(Е, Яо) = \]ЯйЕ/а2.

Из (3), (7) и (8) находим оптимальную характеристику БНП при непараметрической модели априорной неопределенности

(9)

4. Пусть О = (?(£) — квадрат огибающей узкополосной гауссовой помехи п(£). Тогда

А = 0: £ = (5 + 2^0(7собД+ (7,

где А = Д(£) — разность фаз между гауссовой и негауссовой помехами. Следовательно, учитывая, что фаза стационарного узкополосного случайного процесса статистически не зависит от огибающей и равномерно распределена на интервале (0,2тг) [6],

условную плотность вероятности W(E\Q,G) можем представить следующим образом:

2тг

Ш(Е\д,0) = — / 5(Е^д^О^2^0Осо8А)ёА. 2 7Г ]

о

(10)

Из теории дельта-функции известно, что

где хь — корни алгебраического уравнения ц(х) = 0. Принимая во внимание (10) и (11), получим

1Гу/(Е - -E'mm)(-E'max - Е) ' Е ■ < Е < Е

^тш 1J -^maxj

ГДе -Еткцтах —

Оптимальная по критерию минимума ереднеквад-ратической ошибки оценка О траектории случайного процесса при однократных отсчетах определяется следующим выражением [7]:

оо

о

1 Г о

— апостериорная и априорная плотности вероятности, д = [УУ(Е, (5)]— нормировочный коэффициент.

Интеграл в (12) вычисляется путем замены переменных

0 = + а е [-2\/ОЙ. 2\/ОЙ\.

Учитывая, что 1

ехр рх}

-dx = wIo(p), р^ 0,

имеем

G=Q+E- 2 sjQE ос ф о(Е, Q) + const.

При небайесовском подходе неизвестный параметр Q в состоянии А = 0 заменяется макеималь-но-правдоподобной оценкой Qo(E). Тогда, принимая во внимание (8), окончательно получим

А = 0: G(E) = E^Qo(E).

(13)

Выражения (9) и (13) устанавливают связь между нелинейной фильтрацией слабого полезного сигнала по критерию сигнал-шум и восстановлением траектории случайного процесса (?(£) при однократных отсчетах.

Основные результаты и выводы

А. При непараметрической модели априорной неопределенности негауссова помеха на выходе РГА рассматривается как узкополосный процесс с неизвестной, но неслучайной амплитудой. Так как гауссовы помехи в отдельных модах считаются статистически независимыми, подобный небайесовский подход приводит к раздельной обработке случайных процессов Ех^) и Е2{1) при нелинейных безынерционных преобразованиях. Характеристики БНП в отдельных каналах определяются выражением (9). Зависимость С^о(Е) приведена в работе [4]. Дисперсии сг?, г = 1,2 определяются минимальной шумовой температурой РГА зависящей от интенсивности естественных гауссовых помех в системе:

2с| = {Е{ | А = 0) = Тед, г.

В теории РГА параметр Те£ предполагается известным [1].

Так как

IQ(z) ixeh(z)

ехр {z}

z» 1,

■ixz

то при сильных негауссовых возмущениях фона БНП можно рассматривать как сглаженный «амплитудный» ограничитель.

Б. Применение БНП с оптимальной характеристикой (9) обеспечивает восстановление траектории квадрата огибающей (?(£) узкополосного гауссова случайного процесса п(£) (при одиночных отсчетах), которая затем используется для компенсации негауссовых возмущений с неизвестными (априори) вероятностными свойствами. Таким образом, рассматриваемый алгоритм обработки информации относится к классу «оценочно-компенеа-ционных» алгоритмов обнаружения полезного сигнала на фоне негауссовой помехи [5] в рамках непараметрической модели априорной неопределенности.

В. При амплитудно-частотном подавлении коррелированного негауссового шума по схеме БНП + ОФ предполагается, что среднее значение помехи на выходе БНП в классе А = 0 равно нулю. Для непараметрической модели априорной неопределенности среднее значение помехи на выходе БНП с оптимальной характеристикой (9) при нулевой гипотезе оказывается пропорциональным смещению макеи-мально-правдоподобной оценки

b(Q) = { Q-Qo(E)

А = 0

Однако, учитывая, что макеимально-правдоподоб-ные оценки оказываются асимптотически несмещенными [7], имеем

lim (fopt[E)\X = 0) = 0. Q—*oо

Г. Синтез расположенной на выходе оптимальной по критерию сигнал-шум линейной системы при использовании непараметрической модели априорной неопределенности требует дополнительного исследования. При стационарных шумах в системе (период стационарности действующих РГА То и 2 ч) аддитивная помеха на выходе БНП может рассматриваться как стационарный случайный процесс с неизвестными спектральной плотностью и средним значением (см. выше).

Статистическая зависимость негауссовых помех в режиме медленной фильтрации в рамках непараметрической модели априорной неопределенности может оказать влияние на структуру двухканально-го ОФ [51.

Литература

1. Astone P., Buttiglione S., Frasca S. et al. // Nuovo Cimento. 20C, N 1. P. 9.

2. Акимов П.С., Бакут ПЛ., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов. М., 1984.

3. Гусев A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2001. №6. С. 41 (Moscow University Phys. Bull. 2001. N 6. P. 51).

4. Гусев A.B., Виноградов М.П., Милюков B.K. // Радиотехника и электроника. 2000. №4. С. 91.

5. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М., 1992.

6. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М., 1982.

7. Куликов О.Е, Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М., 1978.

Поступила в редакцию 08.04.05