Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 514.772

ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ОДНОЗНАЧНОЙ ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

Д.Г. Азов

Рассматривается поверхность с отрицательной гауссовой кривизной, которая однозначно проектируется на круг. Получены достаточные условия, при которых существует оценка для радиуса круга.

Ключевые слова:поверхности отрицательной гауссовой кривизны,уравне-ние Монжа-Ампера гиперболического типа,оценка области однозначной проекции.

z = f(x,y) (1)

имеет гауссову кривизну К(х,у). Известно, что если

К(х,у)<-а2< 0, (2)

то поверхность (1) не может проектироваться на всю плоскость. Имеет место теорема

Н.В. Ефимова [1]: существует а0>0 такое, что если С2-гладкая функция f(x,y) задана на

квадрате со стороной а и ее график (1) имеет кривизну (2), то а <а0/а. Е. Хайнц [2] получил оценку для радиуса круга, на который может проектироваться поверхность с улучшением оценки Н.В. Ефимова: существует г0 > 0 такое, что если С2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса г , то г <r0/a. Е. Хайнц доказал, что г0 < еу/з . Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: г0 >0,5 . Точные значения констант г0 и а0 неизвестны. В работе [3] Н.В. Ефимов получил оценки для сторон прямоугольника, на который проектируется поверхность (1). Данные результаты были обобщены в работах [4-7].

Учитывая известную формулу

zx*zyy -z2v = K(-У)(1 + z2 +

результаты Н.В. Ефимова и Е. Хайнца можно сформулировать следующим образом: гиперболическое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет С2-гладких решений в круге радиуса г>г0/а или на квадрате со стороной а>а0/ а, если К(х,у) удовлетворяет условию (2).

В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса круга, на который однозначно проектируется поверхность (1).

Теорема 1. Пусть поверхность г = г(х,у)е С2 с отрицательной кривизной К(х.у) < 0 определена на круге х2 + у2 < ]{2. Если существует постоянная С> 0, такая, что

ёхёу

Л

2 + 2 < 2 К (X, у)

X + у <r 1 1

< Cr ,0 < m < 4, r > 0,

(4)

то

R <

I —III

— , если тФ2'

(5)

3C

если m = 2.

1 Азов Дмитрий Георгиевич - доцент, кафедра общей математики, Южно-Уршьский государственный университет. E-mail: [email protected]______________________________________________________________________________________________

Доказательство теоремы 1. Для доказательства используем интегральную формулу С.Н. Бернштейна:

С1 ( \ 2Ж п \ 271 п

- | (ф.Р,Ф)) ) = | (р—Р,ф)) )ф-2 Ц (2хх2уу — 2Ху )^у- (6)

г

V 0

I 0 2 . 2^ 2

/ 0 х + у <г

Здесь г(х,_у)е С2, г{р,(р) = г{рсо$(р,р$,т(р), р, (р - полярные координаты.

Введем вспомогательную функцию

г 2яГ - Л

Я(г) = |р^р}]1 +—( — ф)) I

оо V р )

Тогда £(0) = 0, g(r)>кr2 и £ (г) > 0 при 0 <г<Я. Оценим g(r) сверху, используя неравенство Буняковского:

( \2

Я (1 + ^ + ф<Му < Я . Ц \К (х, у)|(

Я (г) <

Используя (4), (6) и (7), получаем неравенство

у х2 + у2 < Г 2

) х2+у2 < г 2

х2+у2 < г 2

1 + г2 + -у;) dxdy. (7)

ё'(г) >

2 ё 2(г)

Сгт .

(8)

Интегрируя неравенство (8) по /?є (0,Я), получим

3

ёV)ё 2(Р) >

у[3С

Переходя к пределу при р —> г и интегрируя по г от Ях до Я2 (0 < Ях < Я2 < Я) при тф2, получаем

ё 2(^і)-ё 2(Я2) >

Так как g{r)>7гr", то

(2 - т)\!ъС

( 2-

>

4пЯ1 (2 - т)уІЬС

2-т 2-т

(V - - я~^).

2-т Л

2<т<4. Устремляя в неравенстве (9) Я2 к Я, получим

2-т

я 2 > —+Я1 2

2 Ь

2-т

(9)

(10)

і

Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при Ях =| — | и рав-

2—т 2 2—т

4-т ( ЗС Ъ(4-»о 4-тГЗСЛ12(4-ш)

но-------1 — . Поэтому Я *- >------ — и, следовательно,

Я <

2 V п ,

2 1 4 - т Л 2-т Г 3С ^ 4-я

2 ) \ п

0<т <2 в(10) изменится знак неравенства:

(11)

2-т

я 2 < /3С+я12

2 Ь 1

2-т

2013, том 5, № 1

5

Математика

И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1

( 3 СХ^т

Я = — . Отсюда снова получим неравенство (11).

\Я )

1 17?

При т = 2 неравенство (9) будет иметь вид —р=—> ,— 1п —. Поэтому

4л Ях л/3С Яг

[зс 1 [зс

1пЛ<./---------Пп^ и 1пД<1 + 1п.—. Но тогда

V л Ях V л

Я < еМ. (12)

V п

Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при т —> 2. Теорема 1 доказана.

оценка Е. Хайнца Я <

Замечание 1. Если К(х. у) < —а2 < 0. то |Т и при т = 2 из (5) следует

..2, isj>\K(x,y)\ а*-

e*Jb

х2+у2 < r 2

а

Замечание 2. Теорема 1 останется верной, если условие (4) выполняется при г > г{). где г0 -некоторая постоянная. В этом случае при доказательстве нужно рассматривать г > г0. При необходимости г0 можно уменьшить, увеличивая значение постоянной С.

Замечание 3. Если в условии (4) убрать ограничения на т, то существуют поверхности,

которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть К{х,у) = -

(1 + -2 + У 2 )

Тогда при п < 1 выполняется неравенство |Т —- <Сгт, где 0<от <4. По теореме 1

\К(х,у)\

х2+у2 < r 2

существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при п> 1 имеем т>4 и существует поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом, де-

1 !— ------—

ле, если А = 1 + (1 + Л2)1-", то поверхность г=\ --------------------—-------\с/1, где г = л/х2 + у2.

^ \ л _ Л _1_

руется на круг любого радиуса Я и ее кривизна равна К(х,у) =

А-(\ + гу

1 - n

проекти-

(1 + х2 + У2 )П

Результаты этой работы можно сформулировать и для более общего уравнения Монжа-Ампера. Рассмотрим уравнение

zxxzyy - z2y = F(— У, Z, Zx, Zy ). (13)

Пусть F(x, y,z,zx,zv) <K(x, y)-(l + z2 + z2 j , K(x,v)< 0 - гиперболическое уравнение.

Тогда верна теорема 2. Сформулируем ее.

Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге С2 -регулярное решение в круге х2 + у2 <Я2 и функция К(х,у) удовлетворяет условию (4), то Я удовлетворяет условию (5).

Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1.

Литература

1. Ефимов, Н.В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны / Н.В. Ефимов. - М.: Докл. АН СССР, 1953. - 640 с.

2. Heinz, E. Uber Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krummungen durch Ungleichungen eingeschrankt sind / E. Heinz // Math. Ann. - 1955. - V. 129, № 5. - P. 451-454.

3. Ефимов, Н.В. Оценки размеров области регулярности решений некоторых уравнений Монжа-Ампера / Н.В. Ефимов // Математический сборник. - 1976. - Т. 100(142), №3(7). -С.356-363.

4. Азов, Д.Г. Об одном классе гиперболических уравнений Монжа-Ампера / Д.Г. Азов // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38, № 1. - С. 153-154.

5. Брысьев, А.Б. Оценка области регулярности решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств / А.Б. Брысьев // Украинский геометрический сборник. - 1985. - Вып. 28. -

С, 19-21.

6. Азов, Д.Г. Изометрическое погружение и-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства / Д.Г. Азов // Вестник Челябинского государственного университета. - 1994. - № 1(2). -С. 12-17.

7. Азов, Д.Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных п-мерных римано-вых метрик в евклидовы пространства / Д.Г. Азов // Вестник Московского университета. - 1985. - № 5. - С. 72-74.

ESTIMATION OF BIJECTIVE PROJECTION AREA OF A SURFACE WITH NEGATIVE CURVATURE

D.G. Azov1

The article deals with a surface of negative Gaussian curvature which is bijectively projected onto a circle. It provides sufficient conditions of existence of an estimate for the circle radius.

Keywords: surfaces with negative Gaussian curvature, hyperbolic Monge-Ampere equation, estimation of bijective projection area.

References

1. Efimov N.V. Issledovanie polnoj poverkhnosti otricatelnoj krivizny [Research of a complete surface with negative curvature]. Dokl. ANSSSR. 1953. 640 p. (in Russ.).

2. Heinz E. Uber Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krummungen durch Ungleichungen eingeschrankt sind.Math. Ann. 1955. Vol. 129, no. 5. pp. 451-454.

3. Efimov N.V. Ocenki razmerov oblasti regulyarnosti reshenij nekotorykh uravnenij Monzha-Ampera [Estimation of the range of domain of regularity for the solution of Monge-Ampere equations]. Matematicheskij sbornik. 1976. Vol. 100(142), no. 3(7). pp. 356-363. (in Russ.).

4. Azov D.G. On a class of hyperbolic Monge-Ampere equations. Russian Mathematical Surveys. 1983. Vol. 38. p. 170. DOI:10.1070/RM1983v038n01ABEH003390

5. Brys'ev A.B. Ocenka oblasti regulyarnosti reshenij nekotorykh nelinejnykh differencial'nykh neravenstv [Estimation of the range of domain of regularity for the solution of nonlinear differential inequality]. Ukrainskij geometricheskij sbornik. 1985. Issue. 28. p. 19-21. (in Russ.).

6. Azov D.G. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. 1994. no. 1(2). pp. 12-17. (in Russ).

7. Azov D.G. VestnikMoskovskogo universiteta. 1985. no. 5. pp. 72-74.

Поступила в редакцию 7 ноября 2012 г.

1 Azov Dmitry Georgievich is Associate Professor, Department of General Mathematics, South Ural State University. E-mail: [email protected]__________________________________________________________________________________

2013, tom 5, № 1

7