Оценка нормы в l разности ядер Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заметим, что

nh (0) пЧ1 ,...,пЧг_т

Jb <Е Е Е П"Ж П* Ь

DCS Pli ,...,Pl]D] =1 Pqi ,..,Pqr_\D\ =nqi (0) + 1,...,n,r_| D | (0) + l j=1 V t=l

x E E a= E jb,d-

ir+i,...,ik=nr+i + 1,...,nk+1 ii ,...,ir =Pi,...,Pr DCB

При D = 0 имеем

"хТ п ^У И",-

Р1 ,...>Рг =П1(0)+1>...,ПГ(0)+Л 3=1 7 4=1 ' 4=1 Ч=Г + 1 Па + 1 3=1

Если О = $, то без ограничения общности будем считать, что О = {1,... ,1}, где 1 ^ I ^ г. Тогда

П1(0),...,Пг(0) Щ+1,...,Пг

Moï Е Е (П^МГЬМП^-Ь

P1,...,P1 = 1 pi+i,...,pr=ni+i(0)+1,...,nr(0)+1 vj = 1 7 Vi=1 7 Ks=1lt/

x( П ;ттт) ^KÛhi(ïlhr^))-

s=T+1 s 7 j=1 Vj=1 7

к

Если теперь возьмем такими, что 5jTij{0) < 2К2к2г ПРИ j = ^-i ■ ■ ■-¡к, то Jß ^ ^ п hj для hj е

j=1

(0, ¿j ), j = l,...,k. Тем самым теорема 2 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lorentz G.G. Fourier-Koeffizienten und Funktionen Klassen // Math. Z. 1948. 51. 135-149.

2. Boas R.P. Fourier series with positive coefficients //J. Math. Anal. 1967. 17. 463-483.

3. Fülöp V. Double sine and cosine-sine series with nonnegative coefficients // Acta Sci. Math. Szeged. 2004. 70, N 1-2. 101-106.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

Поступила в редакцию 12.05.2008

УДК 517.518.4

ОЦЕНКА НОРМЫ В L РАЗНОСТИ ЯДЕР ДИРИХЛЕ

В. О. Тонков1

Настоящая работа относится к задаче об оценке нормы в Ь тригонометрических полиномов через коэффициенты полиномов. Доказано, что нормы в Ь разности ядер Дирихле имеют точный порядок 1п(п — т) и справедлива оценка снизу с множителем 4/п2. Приведены теорема и две леммы, показывающие, что множитель с при 1п(п — т) в равномерной

1 Тонков Владимир Олегович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

относительно n и m асимптотической оценке может быть больше, чем 4/п2, и значение этого множителя в примерах зависит от арифметических свойств чисел n и m.

Ключевые слова: норма в L тригонометрического полинома, асимптотическая оценка.

This work is related to the problem of estimation of the norm of a trigonometrical polynomials through their coefficient in L. It is proved that the norm of the difference of Dirichlet's kernels in L has the precise order ln(n — m) and the lower estimate is also valid with the coefficient 4/п2. A theorem and two lemmas are presented showing that the coefficients c at ln(n — m) in an asymptotc estimate uniform with resepect to m and n may be greater than 4/п2 and its value in examples depends on arithmetic properties of n and m.

Key words: norm of a trigonometrical polynomial in L, asymptotic estimate.

1. Введение. Настоящая работа относится к задаче об оценке нормы в L тригонометрических полиномов через коэффициенты полиномов. В этом направлении известно много результатов, касающихся асимптотического поведения норм, но они получены в случае, когда коэффициенты полинома при cos kx при малых k близки к единице. Отказываясь от этого условия, мы рассматриваем полиномы

n

у cos kx, 1 ^ m < n,

k=m

являющиеся разностями ядер Дирихле, считая, что при n числа m также неограниченно возрастают.

Введем обозначение

I(n, т) = — I п J

п

—п

cos kx

k=m

dx.

Сначала мы доказываем, что нормы I(п, т) имеют точный порядок 1п(п — т). При этом равномерная относительно п и т оценка снизу

4

1(п,т) ^ —¿Ып-т) +0(1) (1)

п2

выведена из одного результата С.Б. Стечкина [1]. В связи с этой оценкой возникает вопрос, не будет ли справедлива и оценка I(п, т) сверху с множителем 4/п2 при 1п(п — т). Мы показываем, что это не так и множитель при 1п(п — т) в равномерной относительно п и т асимптотической оценке вида

I(п, т) = с 1п(п — т)+ 0(1)

может быть больше, чем 4/п2. Кроме того, приведены два примера, в которых значение этого множителя зависит от арифметических свойств чисел п и т.

2. Порядковое равенство. Теорема 1. Интеграл I(п, т) имеет точный порядок 1п(п — т). Точнее, справедлива равномерная относительно всех п и т оценка

4 , , ч _ ч 8

—т 1п(п — т) + 0(1) ^ 1(п, т) < —г 1п(п — т) + 0(1). п2 п2

Докажем оценку сверху. Преобразуем подынтегральное выражение, используя ядра Дирихле:

n n / m-l \

У^ cos kx = 1/2 + ^ cos kx — 1/2+^ cos kx I =

k=m k=l \ k=l /

sin(2n + 1)x/2 sin(2m — 1)x/2 sin((n — m + 1)x/2) cos((n + m)x/2)

2 sin(x/2) 2 sin(x/2) sin(x/2)

Оценим интеграл через константы Лебега:

cos kx

k=m

П

dx = 2/ |sin((n — m + 1)x/2)cos((n + m)x/2)|

dx

<

2 |sin(x/2)|

П

г dx 4

<2 |sin((n - т + 1)х/2)\ = 2 • - Ы(п - т) + 0{ 1),

J 2 |sin(x/2) 1 п

— П

где величина 0(1) здесь и далее равномерна относительно всех n и m. Равномерная относительно n и m оценка снизу вытекает из теоремы 3 работы С. Б. Стечкина [1], согласно которой если ak ^ 0 (k = 0,1,... ,n) и ak ф 0, то

£

ak

<

п

*=о"-* + 5 2

Оо 2

+ У^ ak cos kt

k=1

dt (n = 0,1,2,...)

Таким образом, имеет место оценка снизу

n

cos kx

1

п

k=m

dx > — ^

-7г2 п — к + А k=m 2

Теорема доказана.

3. Асимптотические формулы. Лемма. Пусть т и п — натуральные числа, т<п. Справедлива равномерная по т и п оценка

[(п-т+1)/2]

cos kx

k=m

dx = — ^ С,

1

n,m,k

k=0

k+1

+ 0(1),

где

Сп

Jn,m,k — J sin x 0

В частности, если n — m + 1 делит n + m, то

n+m cos | -—r(x + kir)

n — m + 1

dx.

Сп,т,к — Сп,т,0-

Будем пользоваться представлением (2) разности ядер Дирихле. Имеем

п п/2

dx

(3)

/dx [ dy

|sin((n — m + l)x/2) cos((h + m)x/2)\ . ——-j = 4 / |sin((n — m + l)y) cos((n + m)y)\ ——

|sin(x/2)| siny

Далее, с помощью оценки

1/siny — 1/y = О [ -У-— ) = 0(1), у G (0,7г/2], ,sin y,

находим

п/2 п/2

/dy f dy

|sin((n — m + l)y) cos((n + m)y)\ ——= / |sin((n — m + l)y) cos((n + m)y)\--hO(l) =

sin y y

0

(n—m+1)n/2

n+m

smicos I -1

n—m+1

dt

[(n—m+1)/2] n(k+1)

т + °« = E

k=0

nk

n+m

smicos I -1

n—m+1

f + 0(l).

Для t E [kn, (k + 1)п], k ^ 1, справедливо двойное неравенство

11

^ - ^

(k + 1)п t kn'

значит,

1

i (A + 1)тг + ° \k2

С помощью этой оценки получаем утверждение леммы.

П

П

1

1

Теорема 2. Если п — т + 1 делит п + m и = р

то

lim —

p—п

У^ cos kx

k=m

16

dx = —з ln(n — m) + O(l).

п3

Согласно (3), имеем

Cra,m)k = Cn,m,0 = J sin x| cospxldx. 0

Функция | cospxl четна в точке п/2. Значит,

п п/2

У sin xl cospxldx = 2 J sin xl cospxldx. 00

Функция I cospel на отрезке [0,7г/2] обращается в 0 и 1 соответственно в точках ^ + у Пользуясь

монотонностью синуса на [0, п/2], получаем следующие оценки значений интегралов на промежутках между точками указанного вида:

sin ■

hг p

7Г i 111

2р Р

7Г i ?Н

2р Р

7Г i ?Н

2р Р

J | cos ^ J sin соврж^ж ^ sin + — ^ J \cospx\dx

. , п 1п

sin ( — н--

2p p

Подсчитаем интеграл:

(1 + 1)7Г Р

(1+ 1)7Г Р

l cos pxldx ^ У sin x| cos pxldx ^ sin

(l + 1)п

(г+1)тг

p

l cos pxldx.

7Г I ?H

2p P

7Г I ?H

2p P

7Г i ?H

2p P

Следовательно,

7Г i Í7T

2p p 7Г/2

/ |cosixc|(fo; = - / cosydy = ~.

pp

hi

p

7Г i Í7T

2p P

2 ЛЛ п Г . 2 f п 1п\

■sin — — ^ / sin ж cos ржи ^ -sm--1--

7Г \pj2p^J 1 ^ 1 n V2p pj

7Г llT \ 7Г

p J 2p'

Аналогично

(¡+1)7T

P

2 f п 1п\ п f . , , 2 í(l + 1)п\ п

— sin--1--—^ / sin ж cos рж аж ^ — sin--—.

п 2p p 2p п p 2p

7Г i ?Н

2р Р

Складывая полученные оценки, имеем

p-1

2 ^ (1п \ п 2 , , 2 ( п 1п \ п — у sin — — ^ / sin ж соэрж dx ^ — > sin--1--—.

тг Ai V2р) 2р J 1 1 vr f- \2р 2pJ 2р

l=0

l=0

п

p

p

p

и

p

p

Величины из левой и правой части этого двойного неравенства представляют собой интегральные суммы Римана функции ^sinx на [0,7г/2], поэтому

7Г 2

I' 2

lim / sinх\cospx\dx = —. p—J п

0

Таким образом, из установленных соотношений следует, что в рассматриваемом случае

4

lim Спто = - = 1,273... .

Отсюда, опираясь на лемму, приходим к утверждению теоремы. Пример 1. Если n + 2 делится на 3 и m = (n + 2)/3, то

4^2-2

^п,т,к — g — -1-) ¿1-J ■ ■ ■ ■

В этом случае

п + т п + Щ^ 4п + 2

п-т + 1 п-Ц-- + 1 2п + 1

= 2.

Поэтому

п

Cn, m,k = Cn,m,0 = J sin X |cOS 2x| dx.

Пользуясь тем, что cos 2x обращается в нуль в точках п/4 и 3п/4, раскроем модуль и подсчитаем значения интегралов на промежутках постоянства знака cos 2x. Из тождества

sin х cos 2х = - (sin Зж — sin х)

получаем

ж/4 7г/4

i sinocos2xdx = i -(sin3a; — sinalefa; = — - (cos37r/4 — 1) + - (cos7r/4 — 1) = л/2/З — 1/3.

J J 2 6 2

0 0

Аналогично предыдущему находим

ж

sin x cos

3ж/4

Далее подсчитаем оставшийся интеграл:

3п/4 3п/4 9тг/4 3п/4

J sin cos 2x\dx = J sin3a; + sin ж) da; = — ^ J sin ydy + ^ J sin xdx =

ж/4 ж/4 3ж/4 ж/4

= -(cos 9"7г/4 — cos 37г/4) — -(cos 3"7г/4 — cos7r/4) = 62

В результате имеем

7Г

4\/2 — 2

п

J sinocos2xdx = л/2/3 — 1/3.

Cn,m,0 = J sin xl cos2x|dx =

3

Значит, согласно лемме, в рассматриваемом случае

1(п, т) = -Аг(4л/2 — 2) 1п(п — т)+ 0(1), п—► оо.

Пример 2. Если 2п + 3 делится на 4 и т = (2п + 3)/4, то = §•

Имеем

п + т _ п + ^^ _ 6п + 3 _

— О.

п - m + 1 п - ^^ + 1 2n + 1 В этом случае

п

Cn,m,k = Cn,m,0 = J sin x |cos 3x| dx. 0

Функция sin x cos3x четна в точке п/2, поэтому

п п/2

У sin xl cos3x|dx = 2 j sin xl cos 3x|dx. 00

Пользуясь тем, что cos3x меняет знак в точке п/6, раскроем модуль и подсчитаем значения интегралов на промежутках постоянства знака cos3x. В силу тождества

sin х cos Зх = i (sin Ах — sin 2х)

имеем

п/6 2п/3 п/3

f 1 If If 1 1 1

/ — sinx \ cos3x\dx = — / sinydy — - / s'mxdx = — - (cos27r/3 — 1) + - (cos7r/3 — 1) =

0

Далее находим интеграл

п/2

J sin ж I cos Зх I dx = J (— sin4a; + sm2x)dx = — ^ J sin ydy + ^ J sin ydy

п/6 п/6 2п/3 п/3

= |(1 - cos 2тг/3) - i(-l - COSтг/З) = Складывая полученные равенства, имеем

п

4

0

Таким образом, в этом случае

5

I(n, т) = —г ln(n — т) + 0(1), п —> оо. п2

Из теоремы 2 видно, что в формуле (1) множитель перед ln(n — m) может быть больше, чем 4/п2. А примеры 1 и 2 показывают, что значение этого множителя может зависеть от арифметических свойств чисел m и n.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00598).

16

п/2 -п/2 2п п

11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стечкин С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах // Успехи матем. наук. 1955. 10, вып. 1. 159-166.

Поступила в редакцию 09.06.2008

УДК 517.518.43

СВЯЗЬ МНОЖЕСТВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Т. А. Жеребьева1

Рассматривается проблема единственности для рядов по мультипликативным системам функций и для мультипликативных пребразований. Показано, что каждое множество единственности для мультипликативного преобразования задается счетным набором множеств единственности для рядов по соответствующей мультипликативной системе, а каждое множество единственности для ряда по мультипликативной системе является порцией на [0,1) некоторого множества единственности для соответствующего мультипликативного преобразования.

Ключевые слова: множество единственности, мультипликативная система функций, мультипликативное преобразование.

A problem of uniqueness in the theory of series over multiplicative system of functions and in the theory of multiplicative transforms is considered. It is shown that every set of uniqueness for multiplicative transform is specified by a countable collection of sets of uniqueness for series over the corresponding multiplicative system of functions. Whereas every set of uniqueness for series over multiplicative system of functions is a portion on [0,1) of some set of uniqueness for the corresponding multiplicative transform.

Key words: set of uniqueness, multiplicative system of functions, multiplicative transform.

В настоящей работе мы покажем, что теория единственности для мультипликативных преобразований и теория единственности для рядов по мультипликативным системам тесно связаны друг с другом. А именно мы докажем, что каждое множество единственности для мультипликативного преобразования задается счетным набором множеств единственности для рядов по соответствующей мультипликативной системе, а каждое множество единственности для ряда по мультипликативной системе является порцией на [0,1) некоторого множества единственности для соответствующего мультипликативного преобразования.

Отметим, что впервые изучение взаимосвязи между классами множеств единственности для рядов по ортогональным системам и соответствующих им интегралов было проведено А. Зигмундом в классическом тригонометрическом случае (см. [1, с. 443-447; 2]). Им было установлено, что локально соответствующие классы множеств единственности совпадают. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в работе Р. Хенстока (см. [3]). Для рассматриваемого нами класса функций доказательство сходных результатов упрощается за счет связи мультипликативных преобразований и мультипликативных систем функций, выражаемой формулой (1).

Напомним необходимые определения (см. [4, с. 30-34]), при этом для простоты изложения мы не будем использовать терминологию группового введения рассматриваемых нами систем функций.

1 Жеребьева Татьяна Александровна, — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].