CC BY
34
Таким образом, в данной работе показана возможность существования солитонов в молекулярной цепочке за счет ее геометрического ангармонизма. Полученные результаты могут быть использованы для описания информационных переходов в а- и ß-спиральных белках, а также молекулах ДНК.
Как известно, в процессе функционирования ДНК может менять свою конформацию вследствие взаимодействия с другими компонентами клетки, прежде всего с белками. Все известные формы ДНК распадаются на два семейства — А- и B-формы, — которые различаются, в частности, расстояниями пар оснований от оси спирали. Считается, что В-А-переходы в ДНК кооперативны и слабо зависят от состава и последовательности нуклеотидов. Полученное в виде кинка решение применительно к ДНК может быть интерпретировано как переход дезоксирибозы из основного состояния в метастабильное (В-А-переход). При этом увеличивается расстояние между комплементарными основаниями. Обратный переход описывается солитоном с обратным знаком.
ЛИТЕРАТУРА
1. Савин A.B., Маневич Л.И. // Успехи физических наук, 1999,т.169, №3, с.255-270.
2. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах Киев: Наукова думка, 1984, с.288
3. Слюняев A.B., Пелиновский. Е.Н. //Динамика солитонов большой амплитуды. // ЖЭТФ, 1999, №1(7), с, 318355.
Поступила в редакцию 01.09.05 г.
ББК УДК
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ИЗВЕСТНЫХ МОМЕНТАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Шаяхметов В.В.*
Представлен аналитический метод решения, в котором достигаются экстремумы в виде ступенчатых функций распределения (ФР) с ограниченным числом точек роста. Исследуются специальные функции, для нахождения ФР и граничных значений области изменения параметров. Эти оценки могут быть использованы при анализе надежности технических систем различного целевого назначения при наличии ограниченной априорной информации.
Пусть отказы объекта возникают только в рабочем режиме и только по причинам, связанным с этим режимом. Момент восстановления системы является точкой регенерации стохастического процесса описывающего функционирование системы, а сам процесс будет регенерирующим с периодом, состоящим из
двух независимых частей: Е = Е,1 + Е2 , где Е>1- случайная величина (СВ) с экспоненциальным, а Е,2 - СВ с
произвольным распределениями. В модели функционирования систем с резервом времени первая часть периода
Е1- это интервал, в течение которого объект работоспособен, а вторая часть Е, 2 - это интервал, на котором
возникает отказ объекта и производится его восстановление. Критерием отказа таких систем является выполнение условия превышения случайной величиной ?в (временем восстановления) резервного времени
X д или ?*. Вероятность этого события
да
д = Р{1В > х д } = | [1 - Рв (0Д0- (1)
0
к
&Шаяхметов Вениамин Вафич - канд. техн. наук, доцент каф. инф. без-ти БашГУ.
ПриX д = t д = Const имеем
q = P{tB > 1д } = 1 - FB (Гд ). (2)
Рассмотрим некоторые типовые ситуации, которые характеризуют часто встречающиеся в инженерной практике случаи информативности о СВ iB и X д и получим для них верхние и нижние оценки для вероятности q.
1. Пусть время восстановления iB распределено по известному закону Fb (t) = PJ^B < = 1 — ехр(-Цt), а резервное время X д имеет произвольную ФР
D(t) = P{x < t}, вид которой неизвестен, а есть информация только о первых двух начальных моментах
да да
2
этой ФР: $1 = J tD(t), S2 = J1 dD(t) . Класс ФР, удовлетворяющих таким ограничениям, обозначим О О
L2, функционал (1) в этом случае примет вид:
да
q = I(D) = J ехр(—ц t)dD(t). (3)
О
Для такого функционала в [3] получены двухсторонние оценки при известных моментах ФР D(f), используя которые можно определить:
Ik = inf I (D) = e—Ц S1 , (4)
DeZ2
о о 2 о 2 Ц K S2 — S1 S1 S1
I = sup I (D) = 2 1 e S1 . (5)
DeZ2 S 2 S 2
Оценки (4) и (5) позволяют сделать гарантированный вывод соответственно о наименьшей (4) и наибольшей (5) величинах вероятности того, что отказ объекта приведет к отказу системы в рассматриваемой ситуации.
2. Пусть информация о ФР FB(t) ограничена знанием только двух начальных моментов распределения
дада
Ж1 = | tdFB (t), ^2 = J t dFB (t) (класс ФР FB(t), удовлетворяющих этим ограничениям,
ОО
обозначим К2), а резервное время распределено по экспоненциальному закону с параметром у . В этом случае
дада
q = I ( Fb ) = J D(t )dFB (t) = 1 —J e "у f dFB (t). (6)
ОО
Используя оценки (4) и (5) (по аналогии с предыдущим случаем), можно определить двухсторонние оценки вероятности q (6) для данной ситуации:
2
Ik = inf I (Fb ) = — Fb ек2 m2
/ \ m2
—'у —
1 — e m1
(@)
I * = sup I (FB) = 1 — e "у m1 . (8)
FB <еК 2
При известном только среднем значении СВ iB то m! (класс таких ФР обозначим К!) верхняя оценка вероятности q совпадет с (8), а нижняя Ik = inf I (Fb ) = О.
Fb еК1
3. Пусть виды ФР и ,0(?) неизвестны, а фиксированы только математические ожидания СВ (виХ д -
т7 и 5*1 соответственно. Сведением задачу к изопараметрической [1]. В этой работе найдено минимальное
да
значение интеграла I(РВ, Е) = | )ОРВ ) при РВ ) е К1 , ) е где ^ и Ь7 -
О
да да
множества функций распределения с известным МОЖ т1 = 1(/), 5*1 = | tdD(t)
соответственно
При m1 > S1, FB (t) e K1, D(/) e L1
1 — S
min I (FB, D) = ——1. (9)
2^1
Однако, применяя классические методы вариационного исчисления, основанные на уравнениях Эйлера-Лагранжа, можно определить только подозреваемую на экстремум точку (локальный экстремум) и такое решение не может служить гарантированной оценкой.
В [3] показано, что в случае наличия ограниченной априорной информации о ФР FB(i) и D(t) (при известных МОЖ этих распределений) глобальные экстремумы функционала (1) равны:
да
inf J D(t)dFB (е) = 0, (10)
Fb eK— 0 DeL—
да
sup J D(t)dFB (е) = 1. (11)
FB eK1 0 DeZ1
Таким образом, имея информацию только о первых начальных моментах СВ (виХ д при произвольных
видах ФР FB(i) и D(f), нетривиальные гарантированные выводы о границах изменения вероятности q сделать невозможно, т.к. при определении экстремальных значений вероятности q при указанных условиях нижняя грань q равна нулю, а верхняя равна единице.
4. Пусть пополняемый резерв времени X д = tд = COHSt, т.е. имеет вырожденную ФР
[0, при t < tu , D(t) = \ д
11, при t > tu .
В этом случае при наличии ограниченной априорной информации о ФР FB(i) (когда известны только начальные моменты СВ tB-mi или mi и т2), используя результаты [3], можно определить двухсторонние оценки
вероятности q. В частности, при Fb (t) e K2 предельные значения q имеют вид:
2
m2 — 2tдт1 + tu , при 0 < tu < m1,
inf q = \ (12)
FBeK2 [0, при tu > m1 .
Бир д =
Рв <еК 2
1, при 0 < / д < т1,
тл т2
, при т1 < I д <
(13)
1д
т1
т2 - т1 т2
--,при гд > —
2 т1
т2 - 2/дт1 +
Пусть интервалы времени ¿в < X д включаются в полезное время, т.е. при оценке показателей
надежности учитывается лишь часть интервала восстановления ¿в — X д. Подставляя нижние и верхние оценки функционала (1) (или (2)) в известные расчетные соотношения для основных показателей надежности систем с резервом времени ТН (х д )[ Р(^,Х д )[ Кр (х д ) [2], получим двухсторонние оценки для них при рассмотренных выше типовых ситуациях.
Оценки для показателя Т Н (х д ) получены в предположении, что средняя наработка объекта до отказа
Т Н значительно больше величины М тт (^в ,Х д ). Это условие, как правило, выполняется на практике для широкого класса с временным резервированием.
Погрешность формулы для Т Н (х д ) при этом предположении
5+ = тт(/в ,tд)/[1 — Рв(1д)].
Двухсторонние оценки величины 5 + при Рв (^) £ К2 имеют вид:
т2
тГ 5+ =
рв£К 2
tд , при 0 < tд <
т1
т\(1д — 2гдт1 + т2) т2
-2-, при гд > —
т2 — т12 т1
(14)
Бир 5+ =
РВ <еК 2
*д (т1— *д У
т2 — 2т^д + 1д да, при /д > т1.
-, при 0 < /д < т1,
(15)
Получим верхние и нижние оценки для среднего времени восстановления Тв(х д ).
Время восстановления работоспособности системы равно превышению времени ремонта над резервом
времени при условии, что ?в>?д, т.е.
да да
I [1—Рв (1 )]Л I аРв (1) Тв,0д) = ^ = 'д
г
д •
(16)
Рв д) 1 — Рв д)
Двухсторонние оценки такого функционала при Рв ) £ К2 (когда известны только начальные моменты т! и т2 ФР Рв(0) границы изменения Тв (х д ) имеют вид :
_ \тл - tn, при 0 < tn < mi ,
min ТВуЦд) = \ Д Д (IT)
FBeK2 пРи tд > т1.
max тв7(^д4 -
Fb ek 2
2
m2 - 2тл^д + tд
-^-, при 0 < гд < mi, (1R)
m1 - 1д л (18)
от, при tд > mi.
Пусть в продолжительность восстановления системы включается весь длительный интервал восстановления ?в>?д. В этом случае интервалы времени ?в<?д не относятся к полезному времени. Для выполнения задания длительностью ?в в условиях отказов и восстановления работоспособности объекта необходимо, чтобы суммарная безотказная наработка объекта достигла величины ?в раньше, чем возникнет его отказ, восстановление которого потребует время ?в>?д. В этом случае при наличии информации только о моментах ФР и т2 оценки для вероятности безотказного функционирования Р(?в, ?д) и средней
наработки до срыва функционирования Тф д ) совпадают с приведенными выше. Среднее время восстановления ТВ2 (^Д ) системы ОВ в этом случае
Тв2 (Гд) = ТВ1 ад) + гд = 7 ^ 41. (1=4
Оценки этого показателя с учетом (17), (18) имеют вид:
_ [тл, при 0 < t д < тл,
Ш1П Тв2 (^д ) = ] д (20)
[7, пРи *д > т1,
т2 - т!^д
_ -—, при 0 < гд < т^,
шах Тв2($д) = ] т1 -tд л (21)
^В 2
в 2 7, при 1д > т^.
Таким образом, определены расчетные соотношения для оценки всех интересующих нас показателей надежности систем с резервом времени непрерывного использования при условии, что информация о распределении времени восстановления объекта ограничена значением только лишь его среднего значения т1
О 2 2
или МОЖ и дисперсии О = Ш2 — т1 , а вид этой ФР предполагается произвольным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Владимиров B.C. Обобщенные функции и их применение. М.: Знание, 1990.
2. Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной избыточностью. Киев: Наукова думка, 1978.
3. Шаяхметов В.В. Двухсторонняя оценка показателей надежности сложных технических систем. //Итоги диссертационных исследований. М.: РАН, 2003.с.224-227.
Поступила в редакцию 18.10.05 г.
