Математическое моделирование систем и процессов железнодорожного транспорта, обладающих временной избыточностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бугреев В.А., Новиков Е.В. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА, ОБЛАДАЮЩИХ ВРЕМЕННОЙ ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ

Аннотация

В статье представлены общие сведения о системах с временной избыточностью на железнодорожном транспорте. Предложена методика расчета показателей надежности, основанная на математическом аппарате теории полумарковских процессов. Рассмотрен пример прикладного характера по определению оптимального периода ТО системы, обладающей временной избыточностью.

Интерес к теории надежности, который сейчас проявляют инженеры, экономисты, математики, менеджеры и другие специалисты свидетельствует о ее многогранности. Проблемы теории надежности затрагивают конструктивные, технологические, экономические, экологические, социальные аспекты.

Благодаря совместным усилиям специалистов различного профиля в настоящее время в этой области достигнуты значительные успехи. Для повышения надежности используются разнообразные методы, которым одним из основных является введение избыточности (структурной, функциональной, информационной, нагрузочной). Однако в последнее время внимание разработчиков и эксплуатационного персонала обращается к другим видам избыточности, в частности к временной. Исследования [1,2,3] показывают, что методы временного резервирования весьма эффективны и могут использоваться при разработке высоконадежных систем, которой, исходя из основной задачи функционирования (обеспечение непрерывного перевозочного процесса с требуемым уровнем качества и безопасности) должен являться железнодорожный транспорт.

Временное резервирование представляет собой условное название метода обеспечения нормального функционирования объектов, выполняющих определенные задачи в условиях воздействия внешних возмущений, путем использования или назначения резервного (избыточного) времени. В отличие от других видов избыточности здесь резервом является время. Этот резерв вносится не в объект, как например, при структурном резервировании, а в порядок (алгоритм) использования (применения) объекта, как это иногда имеет место при информационном или функциональном резервировании.

Объекты с временным резервированием удобно представлять в виде некоторой условной системы объект-время (ОВ), состоящей из двух элементов: любого резервируемого объекта и резерва времени

(Рис.1.). Эта схема качественно аналогична известной схеме структурного ненагруженного однократного резервирования (дублирования) замещением: вслед за отказом объекта действует резерв времени. Отказ системы ОВ возникает в момент израсходования резерва времени.

Время

I______________________]

Рис. 1. Условная система объект-время

Временная избыточность внесла новое определение в понятийный аппарат теории надежности, а именно понятие отказа. В системах с временной избыточностью отказ объекта не означает одновременно отказ системы ОВ, если восстановление работоспособности (РС) (иногда и повторение части или всей предыдущей наработки) заканчивается до израсходования резерва времени. [4,5]

В связи с этим под отказом системы ОВ целесообразно понимать событие, после возникновения которого система уже не способна выполнять задание при определенных условиях эксплуатации. Это событие (отказ системы) возникает в момент израсходования резерва времени.

Некоторые примеры устройств и систем железнодорожного транспорта, обладающих резервом времени и его источники показаны в [6].

Зачастую временная избыточность на ЖД транспорте является следствием особенности технологии функционирования ЖД транспорта (поезда следуют с некоторым интервалом времени друг за другом). Поэтому устройства, непосредственно обеспечивающие процесс движения поездов (например устройства железнодорожной автоматики) должны находиться в исправном состоянии именно в моменты их занятия, т.е. проследования поезда. Интервалы времени между проследованиями поездов можно использовать, например, для проведения восстановительных работ или ТО. Резерв времени также характерен для устройств, которые большую часть периода эксплуатации находятся в режиме ожидания использования по назначению (устройства РЗиА, резервные источники питания).

Однако, на данный момент, применительно к железнодорожному транспорту, метод временного резервирования является малоизученным а именно: нет формализованного научно-методического аппарата,

позволяющего описывать функционирование систем с резервом времени; отсутствуют аналитические выражения для определения показателей надежности.

Предлагается математическая модель надежности восстанавливаемой резервируемой системы и методика определения показателей надежности (вероятности безотказной работы, коэффициента готовности).

Предлагаемая модель опирается на математический аппарат теоретико-вероятностных и статистических методов исследования, среди которых особо следует выделить аппарат теории полумарковских процессов (ПМП). Применение математических моделей на основе ПМП объясняется тем, что решение многих задач теории надежности может быть сведено к определению времени пребывания ПМП в фиксированном множестве состояний [1].

Методика применения ПМП для решения задач надежности состоит из нескольких основных этапов:

Формируется постановка задачи, включающая в себя условия эксплуатации исследуемых объектов и исходные данные о них, подлежащие определению показатели надежности, принятые допущения и ограничения. Важным элементом первого этапа является четкая формулировка критерия отказа (сформулировано выше) .

Выявляются связи процесса эксплуатации и строится граф состояний этого процесса. Граф включает

в себя конечное множество состояний Е = {е0, е,......Є}, которое в соответствии с принятым критерием

отказа разбивается на два непересекающихся подмножества: работоспособных (Е+) и неработоспособных (Е-) состояний объекта. Иногда для наглядности отображают множество промежуточных состояний (G), в которых отказ не произошел, происходит израсходование резерва времени z.

Производится переход от исследуемого процесса эксплуатации к математической абстракции - полу-марковской модели. Связь с процессом эксплуатации осуществляется через характеристики ПМП, которые зависят от исходных вероятностных характеристик исследуемого процесса.

Осуществляется исследование процесса эксплуатации объекта на основе математической модели с целью определения требуемых показателей надежности.

Рис.2 Граф состояний и переходов ПМП, описывающего функционирование объекта

Коэффициент готовности технического средства ^^) определяется как стационарная вероятность пребывания ПМП в подмножестве работоспособных состояний Е+

І I

Кг (г) = —^^—-----, (1)

2 + 2

/еЕ+ /еЕ_

где ^- стационарные вероятности вложенной цепи Маркова, определяемые из системы уравнений:

^ = 2Уу,2^=1 (2)

jе Е /еЕ

а - среднее время пребывания ПМП в состоянии е.

т

а/ =|П[! _Р, г * /; (3)

0 Г=1

р - стационарная вероятность перехода ПМП из состояния е в состояние в.

р = Мшр (г); (4)

г

р (г) - вероятность перехода ПМП из состояния ев состояние в. за время, не превышающее t

г т

Ру(г) = Щ[1 _Р(г)№у(г), г * j; (5)

0 г=1

m - число состояний, в которые возможен переход ПМП из состояния е;

Р (г) - функция распределения случайной величины, характеризующей ^ое состояние.

Вероятность безотказной работы технического средства P(t, z) определяется как вероятность пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний E+ в течение времени t при условии, что в момент t=0 процесс находится в состоянии eo.

Для определения вероятности безотказной работы P(t, z) находится преобразование Лапласа-Стилтьеса искомой вероятности P(s, z), а затем, используя формулу обращения преобразования Лапла-са-Стилтьеса, можно найти вероятность P (^ z). Для получения P(s, z) необходимо решить относи-

тельно Po(s, z) систему уравнений

р(5, 2) = 1 _Р(5) = 2 Ру($')Ру(5,2); (6)

УеЕ+

где Р (5), Ру (5) Pij - соответственно преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения Р (г) времени пребывания ПМП в состоянии в/ и переходных вероятностей Ру (г)

да

Pjj (S) = J e-stdPjj (t); (7)

F (S) = J e-stdF (t); (8)

0

k

F (t) = 1 -П[! - Fr (t)]. (9)

r=1

Решение системы (2) можно осуществить любым из известных способов: метод Крамера, матричный.

Достоинством интегрального метода для инженерной практики состоит в том, что, как правило, выражения обладают ясным математическим смыслом, а интегралы, не имеющие аналитического выражения, сравнительно легко вычисляются численными методами. Кроме того, предложенная модель является универсальной вследствие того, что функции распределения F (t) времени пребывания ПМП в состоянии e. ,

входящие в подинтегральные выражения могут быть и неэкспоненциальными.

Покажем практическую сторону применения полученных аналитических выражений на примере нахождения оптимального периода технического обслуживания с целью достижения максимума Кг(z) .

Задача определения оптимального периода обслуживания сводится к выбору такой функции распределения G(t) , при которой выбранный показатель надежности принимает максимальное значение. Это следует из теоремы профилактики [2], доказывающий, что если дробно - линейный функционал вида

да

J A(t)dG(t) + a

h(G) = да-------------

J B(t)dG(t) + b

0

ограничен на множестве Н функций распределения, и функции A(t) и B(t) удовлетворяют условию

lim^(t)G(t) = lim^(t)(1 - G(t)) = limB(t)G(t) = limB(t)(1 - G(t)) = 0 ,

t —0 t —да t —0 t—»да

а константы a и b ограничены по модулю, то выполняются условия sup R(G) = sup h(G) ; inf R(G) = inf h(G) ,

GeH* GeH* GeH* GeH*

где Н* - множество вырожденных функций распределения

Г 0, t(T;

G(t) = Г s 4 ;

[1,t > T,

то есть локальные экстремумы функционала достигаются на вырожденных функциях распределения.

Из этой теоремы следует, что ТО необходимо проводить через неслучайные моменты времени, если аналитическое выражение для выбранного показателя надежности (в нашем случае Kj (z) ) представляет

собой функционал указанного типа. Искомый детерминированный период ТО Т определяется посредством дифференцирования выражения для выбранного показателя надежности по Т с последующим приравниванием производной нулю и решением полученного уравнения. При плановых профилактиках для определения оптимального периода ТО необходимо решить уравнение вида t T

—= -F (t) + X(T )J P(t )dt.

tB - tTO 0

Исследование корней уравнения позволяет сделать вывод о том, при каких значениях tTc и te (длительность восстановления и длительность ТО) и при какой зависимости А от Т целесообразно проводить ТО.

Анализ зависимости коэффициента готовности Kr (z) от периода ТО и интенсивности отказов А показывает, что при гамма-распределении наработки на отказ (сплошная линия) существует оптимальное значение периода ТО, соответствующее максимуму Kr(z) . (рис.3)

Причем при уменьшении А значение оптимального периода ТО смещается вправо по оси абсцисс, а значение Kr (z) возрастает и стремится к своему максимальному значению. При этом оптимальный период ТО стремится к бесконечности. Это подтверждает тот факт, что чем выше надежность технического средства (ТС), тем реже необходимо проводить ТО. В идеальном случае для безотказных ТС оптимального периода ТО существовать не будет.

0 10 20 30 40 Т, ч 0 100 200 300 400 т ч

Рис.3 Зависимость коэффициента готовности от периода ТО и интенсивности отказов

Рис.4 Зависимость коэффициента готовности от периода ТО , интенсивности ТО и АР

С ростом величины отношения интенсивностей восстановления и ТО — значение Кг (г) уменьшается

6

(Рис.4.) и наступает такой момент, когда проведение ТО становится нецелесообразным. Это объясняется тем, что основным видом работ, восстанавливающим РС ТС становится аварийный ремонт.

Исследование влияния вида закона распределения наработки на отказ на показатель надежности показывает, что оптимальный период ТО существует для гамма-распределения наработки на отказ (сплошная линия Рис. 3 и Рис. 4) при изменении Т внутри отрезка [0,“]. Для экспоненциального распределения наработки на отказ (пунктирная линия Рис. 3 и Рис.4) оптимального периода ТО существовать не будет и экстремальное значение Кг (г) достигается на крайних точках отрезка [0,“]. Это говорит о том, что в данном случае проведение ТО нецелесообразно и приводит лишь к дополнительным затратам времени, а восстановление ресурса ТС не происходит, что полностью соответствует общеизвестным результатам применительно к экспоненциальному распределению. Данное обстоятельство подтверждает корректность полученных результатов, применительно к системам с резервом времени и непротиворечивость классической теории надежности. Поэтому системы не обладающие временной избыточностью, можно рассматривать как системы с резервом времени равным нулю.

.Таким образом, математическое моделирование технических систем и процессов на ЖД транспорте, обладающих временной избыточностью можно осуществить с использованием изложенного подхода, основанного на математическом аппарате теории ПМП. Анализируя полученные выражения для показателей надежности можно решить конкретные инженерные задачи, например определение оптимального периода ТО с целью максимизации Кг(г) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем. М.: Высшая школа, 1982.

2. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы обслуживания сложных систем. М.: Соврадио, 1971.

3. Гнеденко Б.В. Вопросы математической теории надежности. М.: Радио и связь, 1983.

4. Черкесов Г.Н. Надежность технических систем с временной избыточностью. М.:Сов.радио,197 4,2 96 с.

5. Черкесов Г.Н. Надежность программно- аппаратных комплексов. СПб. Изд.дом Питер, 2005,47 9 с.

6. Новиков Е.В. Анализ временной избыточности в технических системах железнодорожного транспорта. Наука и техника транспорта, 2007 г. , №4