Новый подход к оценке надежности нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 004.8:052.3 И. в. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

НОВЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ НЕЙРОКОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ С ВРЕМЕННОЙ ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ*

В работе приводится методика составления уравнений для исследования надежности нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью при условии, что известны функция распределения наработки до отказа системы без резерва времени и функция распределения времени восстановления системы после отказов.

Известно, что важнейшим компонентом любой нейрокомпьютерной системы является искусственная нейронная сеть [1], и в основном от ее параметров надежности зависит надежность нейрокомпьютерной системы в целом. Поэтому для упрощения (с определенной степенью приближения) будем полагать эквивалентными понятия надежность искусственной нейронной сети (ИНС) и надежность нейрокомпьютерной системы.

В качестве объекта исследования будем рассматривать нейрокомпьютерные системы с временной избыточностью (временным резервированием) [2], основу которых составляют восстанав-

ливаемые после отказов нейронов искусственные нейронные сети [3]. Очевидно, что применение временного резервирования для повышения надежности возможно лишь в тех системах, которые допускают перерывы в работе для восстановления работоспособности нейрокомпьютерной системы. При этом будем полагать, что возникающие в системе отказы являются необесценивающими [4],

В известной литературе по теории надежности аппаратурно избыточных ИНС и нейрокомпьютерных систем обычно полагают, что известны и постоянны во времени интенсивности отказов искусственных нейронов (ИН) сети и интенсивность

148

■ Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации МК-7420.2006.3 и гранта РФФИ - проект 06-07-89013-а

восстановления (I нейронной сети после отказов ИН. В ряде случаев, для «стареющих» нейронных сетей и восстанавливаемых после отказов ИНС с динамическим резервированием, задачи исследования их надежности усложняются в связи с тем, что в таких системах интенсивности отказов X., (?) и восстановления ¡а(?) являются функциями времени и определение численных знаний параметров их надежности представляет определенные трудности [3]. К тому же расчет недежностных характеристик ИНС предполагает детальное знание структуры нейронной сети и ее математическое описание.

В тех случаях, когда в данных об отказах нейронов не указывается место их возникновения в ИНС нейрокомпьютерной системы, то независимо от структурной сложности нейронной сети и системы с временной избыточностью в целом, для исследования ее надежностных характеристик результатом обработки могут стать только две функции распределения: для случайной величины /п — наработки системы без резерва времени до отказа, и Ря (?) для случайной величины — времени восстановления системы после отказа. С помощью этих функций можно найти по аналитическим формулам вероятность безотказного функционирования и другие характеристики надежности нейронной сети нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью и с необесценивающими отказами.

Будем рассматривать одноканальную, восстанавливаемую после отказов нейронов ИНС , с временной избыточностью и необесценивающими отказами. Полагаем, что в этой системе существует контроль работоспособности, позволяющий обнаруживать любые отказы в в момент их возникновения. После восстановления работоспособности ИНС немедленно возобновляет работу (продолжает решения прерванной задачи-задания). Очевидно, чтс в рассматриваемой нейрокомпьютерной системе с временной избыточностью интервалы времени работы ИНС 5в чередуются с интервалами времс -ни восстановления.

Обозначим ¡3 — минимально необходимое (основное) время выполнения задания; 1р — дополнительно выделенное для решения задачи резервное время

(временная избыточность); / = (?3+/р) — полное оперативное время решения задачи сетью нейрокомпьютерной системы. При этом будем полагать, что перерывы на восстановление ИНС не обесценивают полученные до этого результаты выполнения задания, то есть резерв времени расходуется лишь на восстановление работоспособности нейронной сети.

В рассматриваемой нейрокомпьютерной системе отказ (срыв функционирования) возникает в тот момент времени, когда суммарное время восстановления ¡св станет больше, чем 1р.

С учетом сказанного, вероятность безотказного функционирования нейрокомпьютерной системы в течение оперативного времени / с резервом времени 1р есть вероятность того, что отказ произойдет за пределами оперативного интервала времени

' = ('э + 1р), то есть

рХ1,1р)=Р{Т0>1},

где Т0 время до первого отказа системы с временной избыточностью. Очевидно, что Та связано с наработкой Т до первого отказа соотношением

Г„=Г + /„,

откуда следует, что неравенство Тй >/ эквивалентно неравенству Т > . Поэтому можно получить еще одно определение вероятности безотказного функционирования нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью:

/>4,',)= > <}= Р\Т + 1, > г, + /,}= Р{Т > /,}.

Очевидно, что для вычисления вероятности невыполнения задания (срыва функционирования) можно использовать любую из следующих функций:

(1)

(2)

ьазируясь на приведенных рассуждениях, нетрудно получить для ИНС нейрокомпыотерных С1-:с гем с временной избыточностью выражения для трех наиболее важных характеристик (критериев) надежности [5], к которым относятся частота отказов а\}3,1р), интенсивность отказов Л(13,/;,) и средняя наработка до первою отказа Тсг(1р):

f А.

(3)

(4)

(5)

№

Выражения для других критериев надежности нейрокомпыотерных систем с временной избыточностью можно получить, используя приведенные выше.

Теперь проведем анализ надежности ИНС

{^i1)' нейрокомпьютерной системы при

следующих допущениях.

1. Наработка /0 системы без резерва времени до первого отказа является случайной величиной с функцией распределения F(t).

2. Время восстановления системы не зависит от количества отказов в прошлом и от времени работы системы с момента предыдущего отказа и распределяется по закону FB(l).

3. После восстановления нейрокомпьютера система к началу следующего интервала безотказной работы полностью восстанавливает свое первоначальное состояние, то есть наработка между соседними отказами оказывается распределенной по тому же закону F(t), что и наработка до первого отказа.

4. Количество восстановлений в оперативном интервале времени не ограничивается.

Обозначим— условную вероятность

безотказного функционирования нейрокомпьютерной системы при условии, что в начальный момент времени система работоспособна,

а ^ (/3, tp ) — условную вероятность безотказного функционирования системы при условии, что в начальный момент времени произошло нарушение работоспособности. Найдем теперь связь этих вероят-ностей с

заданными функциями распределения F(t) и FB{t).

Первоначально будем полагать, что в начальный момент времени рассматриваемая система работоспособна. В этом случае сложное событие выполнение задания нетрудно представить в виде суммы двух несовместных событий А, и А2. Событие А, заключается в том, что до выполнения задания не произойдет ни одного нарушения работоспособности системы. Событие А3 заключается в том, что в течение оперативного времени произойдет, по крайней мере, одно нарушение работоспособности системы, но задание будет выполнено в установленный срок. Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий [6], легко получить выражение для вероятности безотказной работы (безотказного функционирования) рассматриваемой нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью в виде суммы

0=1-^(0+1 (3)

о

где 1 — — вероятность безотказной работы системы без резерва времени в течение времени (2

'3

(вероятностьсобытия А,), а | /¡(7, -т,^)¿//''(т) -

о

вероятность события А2.

Подынтегральное выражение в (3) представляет собой вероятность сложного события £, равного произведения двух независимых событий 2?, и В2, Событие В1 состоит в том, что первое нарушение работоспособности системы (первый отказ) произойдет в момент времени т < /3, и его вероятность, если

дифференцируема в точке т, равна

с1Е = р{т + с1т)~ Событие Вг заключается в

том, что нейрокомпьютерная система, находящаяся в начальный момент времени б неработоспособном состоянии, выполнит оставшуюся часть задания за время Л, - т, не расходовав при этом полностью

резерва времени . Вероятность этого события рав-

Пусть теперь рассматриваемая нейрокомпьютерная система в начальный момент времени отказала и оказалась в неработоспособном состоянии.

В этом случае система может выполнить задание при совпадении двух следующих независимых событий С, и С2. Событие С, заключается в том, что восстановление системы после отказа произойдет за время

Вероятно этого события равна <ШВ (б). Событие С2 состоит в том, что суммарная наработка системы достигнет величины /3 раньше, чем будет израсходован остаток резерва времени

¡р - б. Вероятность этого события равна Р„ - в).

Составляя произведение этих вероятностей и интегрируя его по 0 от нуля до 1р можно получить второе интегральное уравнение для искомых вероятностей безотказного функционирования нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью:

Ы'з.', "0)^(6). (4)

о

Для удобства исследования надежности рассматриваемой системы с временной избыточностью

систему уравнений (3), (4) можно свести к одному интегральному уравнению второго порядка относительно любой из неизвестных вероятностей

И ^ (?>•',) И1-

Легко видеть, что, заменяя в (4) Л, на /3 — т и подставляя полученное выражение в (3), имеем

} I Рк-V,-е)^(е)^(т).(5)

о о

Аналогичным образом можно найти

+ )\р^-т,1р-е)<1Р{е)С1Р{т). (6)

о о

В связи с том, что на практике больший интерес представляет уравнение (5), то, применив для решения этого уравнения метод последовательных приближений (7], можно получить выражение для вероятности безотказной работы нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью в виде положительного ряда, который легко реализуется на ЭВМ [8]:

л('зКЛ). (?)

к =0 к=О

В приведенных обозначениях /"„(¿.Л,,^) -

вероятность безотказного функционирования системы при наличии ровно к {к = 0,1,2,...) отказов до выполнения задания; рк ) — вероятность возникновения к отказов в интервале времени (0, /3); РВК ) -функция распределения суммы к интервалов времени восстановления системы. Очевидно, что подобное выражение в виде ряда можно методом приближений получить и для

Ограничивая в (7) количество членов ряда, можно дать приближенную оценку снизу вероятности безотказного функционирования рассматриваемой нейрокомпьютерной системы. Для того чтобы получить оценку сверху, надо составить в виде положительного ряда выражение для вероятности невыполнения (срыва) задания подставляя (7) в (2) и заменяя при этому 0 индекс 2 на индекс 0, при уело-

гю

ВИИ нормировки X Рк ('т ) = ' •

к=0

После подстановки имеем

*=0

= Ё рДОО-^Л)). (в) *=|

Ограничивая в (8) число членов ряда, можно получить с требуемой точностью оценку снизу для

а с помощью формулы (2) — оценку сверху

Для Р0((з>'Д

Теперь, используя формулу полной вероятности, можно найти вероятность безотказного функционирования рассматриваемой нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью при выполнении поставленного задания (задачи) в следующем виде

^'эЛМг^.О+О-КгМ,.',). О)

где ^(гз>0-вероятности безотказ-

ного функционирования системы при условии, что в начальный момент времени система работоспособна

или неработоспособна соответственно; = ___ _

коэффициент готовности системы; ¡и и ¡и —

соответственно, наработка на отказ и среднее время восстановления системы без резерва времени.

Все приведенные выше рассуждения о надежности нейрокомпьютерной системы с временной избыточностью проводились в общем виде без учета структуры ИНС , являющейся основным компонентом системы, и конкретных условий ее функционирования.

Для иллюстрации применения рассмотренного подхода будем полагать, что ИНС состоит и т последовательно соединенных восстанавливаемых после отказов нейронов функционально устойчивых к отказам логически стабильных нейронных мини-сетей [9] с постоянными интенсивностями отказов 'к! и функциями распределения времени восстановления г = 1>2,...,ти . Будем также считать, что отказы мини-сетей являются независимыми событиями, обнаруживаются мгновенно и за время восстановления работоспособности мини-сетей новых отказов в рассматриваемой ИНС нейрокомпьютерной системы не происходит.

В подобной нейрокомпьютерной системе задание может быть выполнено следующими т +1 несовместными способами: все нейронные мини-сети работают безотказно в течение времени ; в момент времени т</3 откажет мини-сеть с номером

/ (/ = 1,2,...,т), на восстановление работоспособности которой будет затрачено время 9 5 ^ . После восстановления суммарная наработка системы достигнет величины /3 - т, прежде, чем будет израсходован остаток резерва времени — 0.

Суммируя вероятности наступления этих событий, получаем

V <=' ) (10)

'=1 О О V '-1 /

т т / \ / \

Обозначая I X, = и I ^(0),

;=1 /=1

имеем

'з V

+ J J/Цехр-Лг^-г,/,-9]dFjß)dT , (11)

I) о

Легко заметить, что уравнение (11) является частным случаем уравнения (5), если поток отказов

простейший, то есть F{t) = 1 -ехр(-А./). Поэтому для анализа надежности рассмотренной системы можно использоьать формулы (7) - (9).

'¡иблиографический список

1. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Нейрокомпьютеры и их применение.-М.:ИПРЖ Радиотехника. 2000.-416'.:.

2. Потапов И.В. Временная избыточность - важный фактор повышения функциональной надежности нейрокомпью-терных систем//Военная техника, вооружение и технологии двойного применения. Материалы III Международного технологического конгресса (Омск, 7-10 июня 2005г)-0мск: ОмГТУ, 2005.-4.II.-С.103-105.

3. Потапов В.И., Потапов И.В. Математические модели, методы и алгоритмы оптимизации надежности и технической диагностики искусственных нейронных, сетей.-Омск: Изд-во ОГУП,2004.-220с.

4. Черкесов Г.Н. Надежность технических систем с временной избыточностью.-М.:Сов.радио, 1974 -295с.

5. Козлов Б.А., Ушаков H.A. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики.-М.:Сов.радио, 1975.-472с.

6. Вентце.ль Е С. Теория вероятностей.-М.:Высш.шк., 1999 -576с.

7. Мих/шн С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.-М.:Наука, 1965.-383с.

8. Иванов В.В, Методы вычислений на ЭВМ.-Киев: Наук .думка, 198б.-584с.

9. Потапов В.И., Потапов И.В. Оптимизация функциональной надежности избыточной, восстанавливаемой после отказов нейронов «стареющей» искусственной нейронной сети//Информационные технологии. 2004.-№12.-С.19-26.

ПОТАПОВ Илья Викторович, кандидаттехнических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники.

Дата поступления статьи в редакцию: 26.12.05 г. © Потапов И.В.