О надежности «Нестареющих» и «Стареющих» нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью и ограниченным количеством восстановлений после отказов в оперативном интервале времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

УДК 004.8:052.3 В. И. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

О НАДЕЖНОСТИ «НЕСТАРЕЮЩИХ»

И «СТАРЕЮЩИХ» НЕЙРОКОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ С ВРЕМЕННОЙ ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ И ОГРАНИЧЕННЫМ КОЛИЧЕСТВОМ ВОССТАНОВЛЕНИЙ ПОСЛЕ ОТКАЗОВ В ОПЕРАТИВНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

В работе рассматриваются вопросы надежности восстанавливаемых после отказов «нестареющих» и «стареющих» нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью при условии, что количество восстановлений после отказов в оперативном интервале времени ограничено.

Введение

В работе [1] рассматривались вопросы надежности нейрокомпьютерных систем (НКС) с временной избыточностью и необесценивающими отказами при условии, что количество восстановлений после отказов в оперативном интервале времени (от начала до выполнения задания) не ограничивается. В известных моделях нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью [2] количество восстановлений нейронной сети (НС) нейрокомпьютера ограничено диа-

пазоном функциональной устойчивости аппаратурно и логически избыточной искусственной нейронной сети [3]. Поэтому при оценке функциональной надежности таких НКС наряду с ограничением на суммарное время простоя в процессе восстановления НС после отказов, которое не должно превышать дополнительно выделенное резервное время ?, необходимо учитывать и ограниченное количество восстановлений НС в оперативном интервале времени t = ^3 +tp), установленном для решения задачи, где 1} - минимально необходимое (основное) время выполнения задания.

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)

Надежность «нестареющей» HKCt

Под нестареющей нейрокомпьютерной системой будем понимать НКС1Г у которой интенсивность отказов нейронной сети является постоянной величиной ( X = const) в оперативном интервале времени.

Обозначим индексом к (к = 0,1,..., n) количество возможных (допустимых) отказов в нестареющей НС и, следовательно, количество возможных восстановлений её работоспособности до выполнения задания нейрокомпьютерной системой. Тогда, используя введённые положения и систему обозначений [1], легко получить расчетную формулу для вероятности безотказного функционирования рассматриваемой НКС1 с временной избыточностью и ограниченным количеством восстановлений нейронной сети

р.(г...г,)= У Р:[к.Г;.Т;)=У )^(г;:)'

к=0 к=0

где

pk(t3)— вероятность возникновения к отказов в интервале времени (0,t3);

FBK(t) — функция распределения суммы к интервалов времени восстановления системы;

П

Очевидно, что при этом ^ Рк (t3 )= 1 — условие

к=0

нормировки.

Тогда вероятность невыполнения (срыва) задания в отведенное для нейрокомпьютерной системы время может быть подсчитана по следующей формуле:

= 1

к=1

В работе [4] показано, что при простейшем потоке, количество событий на заданном интервале времени распределено по закону Пуассона а время до наступления к -го события распределено по закону Гамма с параметром к . Поэтому при экспоненциальных законах распределения функции F(t)= 1- exp(-Xt) наработки системы без резерва времени до отказа (X — интенсивность отказов) и функции FB(t)= 1- exp(-^t) распределения времени восстановления после отказа (ц — интенсивность восстановления) вероятность безотказного функционирования НКС1 можно рассчитать с помощью формулы

Ро(МзЛ^;) ехр{-и,)

1 + ^М1

U к\

где

восстанавливаемой после отказов нейронной сетью, определяется выражением

ТЛ)=

п +1

І + 1 п+1

хр{- И tp)

а среднее суммарное время простоя системы до выполнения задания равно

(Л 1=0 П

Следуя [5], без особой сложности можно получить формулы для вычисления вероятности безотказного функционирования НКС с временной избыточностью и ограниченным количеством восстановлений в оперативном интервале времени для средней наработки до первого отказа, а также для среднего времени простоя и для других характеристик надежности рассматриваемой нейрокомпьютерной системы при неэкспоненциальных законах распределения Р(Ц и РВ(Ц.

Для иллюстрации рассмотрим нейрокомпьютер-ную систему НКС1 при условии нормального распределения функций F(t) и РВ^).

Известно [6], что нормальное распределение F(t) с параметрами (т, а2) задается функцией

F(t) =

1

J exp

(x - mf

2 a1

dx = Ф

t— m

где Ф(х) - нормированная функция Гаусса.

Тогда, при нормальном распределении времени восстановления FB(t), согласно [1,5], имеем

Ро{*з-*Р)=ехР( **з)

к\

- km

ка

Рассмотрим теперь вопрос, представляющий теоретический и практический интерес, связанный с определением количества восстановлений пВ нейронной сети, достаточное для того, чтобы вероятность безотказного функционирования рассматриваемой нейрокомпьютерной системы (в процентах) составляла не менее (1 - д) от предельного значения, достигаемого при п ^ да .

Легко видеть, что искомое значение пв находится из уравнения

(At,)'

= (і-чІЕ

(изу

И и гу ).

(м1 )'

1(к,м1 ) = 1 -^------—ехр(-м1 ) - неполная

1=о И

гамма функция с параметром к .

Очевидно, что функция распределения суммы к интервалов времени восстановления нейрокомпью-терной системы имеет следующий вид:

^р)= 1(к

В работе [5] показано, что при экспоненциальных распределениях F(t) и FB(t) средняя наработка до первого отказа (срыва функционирования) системы с временной избыточностью, которой в рассматриваемом случае является нейрокомпьютерная система с

Численное решение этого уравнения с помощью ПЭВМ не представляет большой трудности.

Надежность «стареющей» НКС2

Под стареющей нейрокомпьютерной системой будем понимать НКС2, у которой интенсивность отказов нейронов искусственной нейронной сети является возрастающей функцией времени, то есть X(t) Ф const. Очевидно, что в этом случае закон надежности для такой НКС не будет экспоненциальным со всеми вытекающими последствиями [7]. Поэтому для исследования надежности стареющих нейрокомпью-терных систем следует сформировать другие модели,

отличные от моделей для исследования надежности нестареющих нейрокомпьютерных систем.

В работе [8] показано, что при возрастающей интенсивности отказов целесообразно использовать либо гамма распределение с целочисленным параметром к > 1, которое задается следующей функцией

Р{г) = 1 (к}/.г) = | л1/'Л' ехр{- /.х)с!х, о Г\к}

либо распределение Вейбулла с параметром т > 1 F(t) = 1-вхр(-(Х^т).

Рассмотрим два примера составления расчетных формул характеристик надежности НКС2 с неэкспоненциальными законами распределения времени безотказной работы и времени восстановления.

Пример 1. Пусть времени безотказной работы НКС2 соответствует распределение Вейбулла F(t) = =1- вхр(-(и)т), а времени восстановления работоспособности НС этой системы соответствует гамма-распределение FB(t)= 1(к,^). Требуется найти формулу для расчета вероятности безотказного функционирования рассматриваемой стратеющей нейроком-пьютерной системы.

Проведя ряд подстановок в формулу для вычисления Р0(М3, р) и соответствующих преобразований согласно [1,5], имеем

= ехр\

* ((л*)"')1 * ] + х

;=1 I! ]=1

где коэффициенты а; определяются по рекуррентному соотношению [5]

т(1-]+1),

т(1+]-у-1)+1

в котором В{х,у)= Г{х)Г{у)/Г{х +у)— бета-функция Эйлера.

Ограничивая число членов ряда для Р 1 (( X ^ )™, ^ р) легко получить с требуемой точностью выражение для расчета вероятности безотказного функционирования НКС2 .

Теперь не представляет больших трудностей составить расчетные формулы для вычисления среднего времени наработки до первого отказа Тср^р) и среднего суммарного времени простоя Т ^3) рассматриваемой нейрокомпьютерной системы.

Пример 2. Будем теперь полагать, что у НКС2

время безотказной работы и время восстановления работоспособности НС после отказа соответствуют гамма-распределению, то есть F(t) = 1(к,М-) и FB(t) = = 1(к2,^).

Тогда вероятность безотказного функционирования нейрокомпьютерной системы НКС2 подсчитывается по формуле

+ У 1{к-.!.иг, ) [Цк-!./Л:)- 1(к.1 + к. ,/.г: )].

г-1

Используя последнее выражение для Р^3, ^ можно получить по известным правилам, при условии сделанного предположения относительно функций распределения F(t) и FB(t), формулы для расчета Тср^р) и Т ^) рассматриваемой стареющей НКС2.

Работа выполнена при поддержке РФФИ.

Библиографический список

1. Потапов И.В. Новый подход к оценке надежности нейрокомпьютерных систем с временной избыточностью// Омский научный вестник.-2006.-№1(34).-С.148-151.

2. Потапов В.И., Потапов И.В. Отказоустойчивые ней-рокомпьютерные системы на базе логически стабильных искусственных нейронных сетей // Омский научный вестник. - 2004. - № 3(28). - С. 119-123.

3. Потапов В.И., Потапов И.В. Математические модели, методы и алгоритмы оптимизации надежности и технической диагностики искусственных нейронных сетей. — Омск: Изд-во ОГПУ. — 2004. — 220с.

4. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. — 235с.

5. Черкесов Г.Н. Надежность технических систем с временной избыточностью. М.: Сов.радио, 1974. — 296с.

6. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/В.С.Королюк, Н.И.Портенко, А.В.Скороход, А.Ф.Турбин. —М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 640с.

7. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надеж-ности//пер. с англ. М.: Сов. радио, 1969.-488с.

8. Герцбах И.Б., Кордонский Х.Б. Модели отказов.М.: Сов.радио, 1966.- 184с.

ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и вычислительной техники.

Дата поступления статьи в редакцию: 14.01.2008 г.

© Потапов В.И.

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ