CC BY
41
Шаяхметов В.В.1, Саитов Р.И.2, Аскаров А.М.3, Абдеев Э.Р.2
1Башкирского государственного университета 2Уфимский филиал Оренбургского государственного университета 3Оренбургского государственного университета E-mail: shayakhmetov@mail.ru
МЕТОДОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА ПРИ АНАЛИЗЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Представлен аналитический метод решения, в котором достигаются экстремумы в виде ступенчатых функций распределения (ФР) с ограниченным числом точек роста. Исследуются специальные функции, для нахождения ФР и граничных значений области изменения параметров. Эти оценки могут быть использованы при анализе надежности технических систем различного целевого назначения при наличии ограниченной априорной информации.
Рассмотрим задачу нахождения глобального экстремума интеграла Стилтьеса
Q
I ( F,t) = J g( )dF ( x ) (1)
0
от заданной ограниченной (сверху и снизу) дважды дифференцируемой функции g(x,t) (t -вектор вещественных параметров функции g) с переменной интегрирующей функцией F(x) из класса К ФР F(x) таких, что
F(0-) = 0, F(Q + 0) = 1, F(x) = F(x + 0) ,
0 < Q << ^ ,
Q
jx'dF(x) = Si , i = 1,2 , S12 < S2 < S1Q (2)
0
Вещественные величины и S2 удовлетворяют неравенствам
0 < S1 < Q , S12 < S2 < S1Q .
Пусть функция g(x, t) определена для всех x > 0 при каждом значении вектора параметров t и limg( x,t) = 0. При указанных ограничениях на функцию g(x, t) и моменты Sj и S2 функционал (1) существует, непрерывен и имеет на К наибольшее и наименьшее значение для каждого фиксированного t. Требуется исследовать зависимость инфимума и супремума функционала I(F,t) от параметров задачи S1, S2, t. Множество K может быть пустым, содержать один элемент F(x) (тогда верхняя и нижняя границы I(F, t) совпадают) или содержать бесконечно много ФР F(x) (только в последнем случае задача может иметь нетривиальное решение).
В решении задачи нахождения глобальных экстремумов
(I* = inf I (F ,t) и I * = sup I (F ,t) )
FeKi FeK
функционала (1) важную роль играют следующие три результата, на которые опирается все дальнейшее изложение.
Результат 1. При каждом фиксированном значении параметра t=t0 функция распределения F(x, t) из множества K2 является крайней точкой этого множества [2] тогда и только тогда, когда она является ступенчатой с числом точек роста не более трех, так, что для каждой ФР F(x, t) из K2 с точками роста x1, x2, x3 и скачками в них F1, F2, F3 выполнены условия:
XP = 1 , XXJPj = S1 , XX2jPj = S2, j=1 j=1 j=1
для всех j Pj < 0 .
Обозначим через Е. множество крайних точек выпуклого множества K..
Результат 2. Глобальный экстремум линейного функционала на множестве ФР K. совпадает с глобальным экстремумом на множестве крайних точек этого множества [1], т.е.
inf I(F,to ) = inf I (F,to )[sup I(F,to ) = sup I(F,to )]
FeKi FeEi FeK, FeEi ’
где E. множество ступенчатых ФР с не более, чем тремя точками роста (при i=2).
Результат 3. Для того, чтобы инфимум (супремум) функционала I(F, t), F г Et, t=t0 вычисляется на ФР F0 е El с точками роста Xj(to0) (/=1, или/=1.2, или j = 1,3 ) [2] необходимо и достаточно, чтобы существовал многочлен не выше второй степени U(x, t0, F0) [U(x,ZoFo)] со следующими свойствами:
U(xj ,to,Fo ) = g(Xj ,to )[U(Xj ,to ,Fo ) = g(Xj ,to )], (3)
U(x,to,Fo ) < g(x,to )[U(x,to,Fo ) > g(x,to )]. (4) Скажем, что инфимум (супремум) функци-
онала I(F, t) при F г Kt, t = t0, t0 е [0,Q] вычисляется на ФР F0 е Ег-, если
3
inf (SUp) = Х ,to )P/(x,to) .
FeEi Fe£; j=1
Таким образом, при поиске экстремальных значений функционала (1) необходимо и достаточно показать, что существует многочлен U(x, t0, F0), совпадающий с подынтегральной функцией g(x, t0) в точках роста ФР F0 (условие (3)). Значения этого многочлена должны быть меньше (больше) значений функции g(x, t0) при поиске инфимума (супремума) функционала I(F, t) (условие (4)). Если такой многочлен существует, тогда экстремальные значения I(F, t) определяются из (5).
Опишем более подробно ФР из множества ступенчатых ФР с не более чем тремя точками роста (результат 2), которые понадобятся нам в дальнейшем. Множеству Е2 принадлежит одноступенчатая ФР с единичным скачком в точке 5.. Этому множеству также принадлежит однопараметрическое семейство двухступенчатых ФР со скачками P1 и Р2 в точках x1 и x2, где точка x1 е [0,Sj ], а x2 связана с x1 соотношением
S2 -Sjx
x2 = „ . Скачки Р. и Р2 равны
Sj Xj 1 2
D = X2 - S1 D = S1 - X1
P1 = ,... P2 = .
x2 - X1 ’ x2 - x1
Для сокращения обозначений введем функцию B(x):
B(x) = -S1X, xе{[0Д ]U[B(0),Q]}. (5)
S1 X
Тогда для точек указанного семейства справедливо:
x2 = B(Xj), Xj = B(x2), Xj е [0,Sj ], x2 е [B(0),Q].
Кроме однопараметрического семейства двухступенчатых ФР (с указанной связью между точками x. и x2) множеству Е2 принадлежит двухпараметрическое семейство двухступенчатых ФР с точками роста у. и у2 такими, что
0 < y < S1, S1 < у2 < B(y1), P = P2 = .
У2 - У1 У2 - У1
Множеству Е2 принадлежат также трехступенчатые ФР, которые образуют трехпараметрическое семейство с точками роста x.<x2<x3, удовлетворяющими неравенствам
0 < x1 < B(x3) < x2 < B(x1) < x3 < Q, (6)
которые эквивалентны неравенствам
р (х) > 0, i = 1,3 где х вектор точек роста х = (х1, х21х3), Р (х) - скачки ФР F0 в точках х,, ] = 1,3 . Эти скачки определяются из мо-
ментных условий по формулам:
е
_ |^/(х Ж(х)
Р(х) = ' =1,3 ’ (7)
где
V,- (х) = ^(х) , V(х) = (х _ х1)(х _ х2 )(х _ х3) х _ х,
Из свойств функции В(х) (см. (2.5)) следует:
0 < В(х3) < В(е) < ^ < В(0) < В(х1) < е (8)
Неравенства (6), (8) показывают, что первая и третья точки роста всех ФР из множества трехступенчатых ФР отделены конечным интервалом, а первая и вторая или вторая и третья могут неограниченно приближаться к общей границе В(х3) или В(х1) соответственно.
Для конкретных функций g(x, Ь) и ФР р условие (5) результата 3 может быть сильно ослаблено. Так, часто бывает достаточно требовать выполнения неравенства (4) в окрестности одной, двух точек х (а не для всех х) из отрезка [0, (2], а иногда даже и этого не надо - достаточными оказываются лишь условия существования соответствующих ФР F0 или многочлена
и(х,р).
Сформулируем необходимые условия того, чтобы соответствующая ФР, р, i = 1,4 доставляла инфимум функционалу (1), определенному на множестве ФР F с двумя фиксированными моментами 51 и 52, и проиллюстрируем как эти условия производят разбиение области параметров задачи на подобласти, каждой из которых соответствует своя «подозрительная на экстремум» ФР р (параметрами являются моменты 51 и 52 и параметры, входящие в функцию g(x, Ь). Для этого потребуются следующие обозначения:
Цх) = /(х) + /(В(х)) + 2[*(В)(_ ^В(х))], х 6 [0Д ].
В(х)_х
¿(51) = ^,(51), В(х) определяется выражением (6);
м(х) = /(х)х _ £(х) + ^(0), х 6 [^1,В(0)].
Функции Ь и М обладают многими интересными свойствами, но здесь нам понадобятся некоторые из них:
¿(0) = Л 0) -и((0)
(9)
где и1 (х) - многочлен не выше 2-ой степени, определяемый равенствами:
^(0) = g(0), адо)), ВД0)) = g'(5(0)) (10)
М (В( 0)) =
2
ЦТ х)
(11)
М(51) = g (0) _ £7з(0),
£7з(х) = g (51) + g '(51)( х _ 5!) (12)
Обозначим и2 (х) - многочлен не выше 2-ой степени и и4(х) - многочлен не выше 1-ой степени, определяемые равенствами (13) и (14) соответственно
и2(х°1) = g(х01), и2(В(х°1)) = g(В(х01)),
и2(х01) = g'(х01), (13)
и4(0) = g(0), и4 (у02 ) = g(y02 ) , (14)
где х01 - корень уравнения ¿(х) = 0, х 6 [0,51 ]; у0 2 - корень уравнения М(х)= 0 при х 6 [51;В(0)].
Условие 1. Для того, чтобы ФР Р1 с точками роста 0,В(0) доставляла инфимум функционалу /(Т), Р 6 К2, необходимо выполнение неравенств:
Г^(0) > 0, |М(5(0) < 0.
(15)
Условие 2. Для того, чтобы ФР Т2 с точками роста х01, В( х01) ( х01 - корень уравнения ¿(х) = 0, х 6 [0,51 ]) доставляла инфимум функционалу /(Т), Р 6 К2, необходимо, чтобы функция Ь(х) меняла знак с «-» на «+» при переходе через точку х01, т.е. необходимо выполнение неравенств:
(16)
где 0 < у1 < х01 < у2 < 51.
Условие 3. Для того, чтобы ФР Т3 с единственной точкой роста ^ доставляла инфимум функционалу /(Т), Р 6 К2, необходимо выполнение неравенств:
{¿(51) < 0, (17)
[М (51) > 0. (17)
Условие 4. Для того, чтобы ФР Т4 с точками роста 0, у0 2 ( у0 2 - корень уравнения М(х)=0, х 6 [51 ,В(0)]) доставляла инфимум функционалу /Т), Р 6 К2, необходимо, чтобы функция М(х) меняла знак с «-» на «+» при переходе через точку у0 2, т.е. необходимо выполнение неравенств:
ГМ (Zx) < 0,
[М (^2) > 0,
(18)
где 51 < Z1 < у02 < Z2 < 5(0).
Необходимые условия супремума формируются точно так же, как и для инфимума, только в каждом неравенстве знак меняется на противоположный, в условиях 2 и 4 знак функций Ь и М меняется с «+» на «-».
Известно (результат 3), что общим достаточным условием того, чтобы ФР Р доставляла инфимум интегралу /(Т), Р 6 К2, является неотрицательность функции (х) = g(х) - и (х)
для всех х > 0, где и.(х) - многочлен, связанный с ФР Р и функцией g(x) формулами (10), (12), (14), (13) при i = 1,4 соответственно.
Приведенные необходимые и достаточные условия существования экстремальных значений линейных функционалов, характеризуют надежность систем с резервом времени, и условия, производящие разбиение области параметров на непересекающиеся подобласти, каждой из которых отвечало бы свое семейство ФР, не котором могут достигаться (или вычисляться) наибольшее и наименьшее значения этих функционалов.
Определим двухсторонние оценки функционалов, характеризующих надежность систем с пополняемым резервом времени.
При анализе и прогнозировании надежности объектов радиоэлектронной техники в условиях наличия ограниченной априорной информации при формализации задачи удается представить показатели надежности в виде интегралов вероятностей. В этом случае становится возможным привлечь для нахождения верхних и нижних оценок этих показателей методы теории моментов, связанные с решением экстремальных задач. Используя приведенные выше необходимые и достаточные условия существования точных границ линейных функционалов, получим двухсторонние оценки некоторых характеристик, которые наиболее часто используются при определении показателей надежности систем с резервом времени различных классов. Особый интерес вызывают ситуации в которых резерв времени является постоянной величиной, случайной величиной с известным законом распределения, случайной величиной с неизвестным законом распределения.
Резерв времени - постоянная величина
Оценки 1.
Рассмотривается случай, когда в системе предусмотрен резерв времени ЬД=сожЬ. В выражение вероятности того, что отказ объекта приведет к отказу всей технической системы (2) входит величина Тв(Ьд). Сформулируем задачу следующим образом:
найти верхнюю и нижнюю границы изменения функционала
Т ^
I(Р) = Р(Т) = |¿Р(х) = |g(х,Т)аР(х), (19)
где §( х,Т) =
I и^м 0 < х < Т,
0 ирм х > Т,
Оценки 2. Рассматривается функционал 11 (Г)
т IX.
І1 ( Р ) = | ( х - Т )й?Р ( х ) = | §( х УР ( х ),
где §(х)=
х - Т, и^м 0 < х < Т, 0, и^м х > Т.
Оценки 3. Рассматривается функционал 12(Г)
12 (Р ) = ] [1 - Р(х)]/(1 - Р (Т)) .
0
Для получения двухсторонних оценок представим его в «стандартном» виде, т.е.
12 ( Р ) =
| [1 - Р ( х Жх | £і( х,Т )й?Р ( х )
.о____________х _0_______= 1 /( Р )
1 -Р(Т) 7 ( Т) ,Р( ) ПР)’
] §2 (х,Т)^Р(х)
где
§1 (х,Т ) =
х, ирм 0 < х < Т, Т, ирм х > Т,
<§2 (х,Т) =
0, и^м 0 < х < Т,
1, и^м х > Т.
Оценки 4. Рассмотривается функционал 13(Г)
13(Р) = |х^Р(х)/(1 -Р(Т)) .
Предположим, что время восстановления не ограничено ( б = 7 ) или не может принимать значений, больших (2, т.е. Г(0+0)=1 .
бх
Тогда, для функционала І3 (Р) = | —
1
х^Р (х)
Т1 _ Р (Т)
можно получить двухсторонние оценки его изменения в зависимости от параметров при условии, что Р(х) 6 К2.
Резерв времени - случайная величина с известным законом распределения
Пусть резервное время тд распределено по закону Д х) = Р{тд) < х} = 1 - (1+ух)е _“, V > 0, а время восстановления ЬВ имеет ФР Т(х). Вид этой ФР неизвестен, а известно только, что Р 6 К2 , где
К =
Р: Р(0-) = 0, Р(7),
|х^Р(х) = 5,, і = 1,2 ,0 < 51 < 7, 5^ < 52 <7
Вероятность q в этом случае определяется выражением
q = Р{тд < ?в} = ] 1 _ (1 + vx)e_Vx]
0
¿Р (х) = 1(Р). (20)
Необходимо получить точные верхние и нижние оценки этой вероятности при условии Р (х ) 6 К 2 .
При распределении времени Тд по экспоненциальному закону с параметром у функционал /(Т) имеет вид
I(р) = | 1 _ е] ]р(х).
0
Используя аналогичные рассуждения, несложно показать, что в этом случае минимальное значение
52 51252
а максимальное sup I(Р) = 1 - ехр(-у / 51). Опи
РєК2
сание множества ФР К2 аналогично приведенному для предыдущего случая. Эти оценки совпадают с приведенными в [3], которые получены другим путем.
Резерв времени - случайная величина с неизвестным законом распределения
Пусть известны виды ФР как времени восстановления, так и резерва времени. Тогда задача построения двухсторонних оценок вероятности того, что отказ объекта приведет к отказу всей системы, сводится к исследованию на экстремум интеграла
I (ВД) = ] Р2 (х )^( х) (21)
0
при условии, что ФР Т1(х) и Т2(х) известны, а фиксированы только математические ожидания
51 =| [1 - Р1 (х)] ¿х и т1 =| [1 - Р2 (х)] ¿х.
00 Замечание 1. При х1=0 инфимум равен (х2-т1)/х2 при 51 < х2 < е и равен
x2 - m1 „ Q - S1 + S1 - x2
Q - x2 Q - x2
при m1 < x2 < S1.
Замечание 2. Неравенство (Q - x1)(x2 - m1)
( x2 x1 )
<1
(или противоположное), возникает при доказательстве экстремальности ФР Т1(х).
Рассмотрим еще один практически важный случай наличия ограниченной информации при построении экстремальных значений функци-
Т
онала 12(Р) = |[1 - Р(х)]/(1 -Р(Т)).
Пусть изве0стны первый и второй начальные моменты СВ с ФР Т2(х), равные соответственно
т1 = |х^Р2(х), т2 = |х2^Р2(х) ,
0 0
причем т2 > т12. Тогда задача
Т
13 (Р) = | х^Р (х )/(1 - Р (Т)) примет вид
inf J F2( x)dF1( x) =
^(Q) 0
m2)
Q
= inf J F2( x)dFi( x) • (22)
^£i(Q) о
^2є£2(ті, m2)
Этот инфимум будет вычисляться на одно-, двух- и трехступенчатых ФР F2 из класса £2 и на
одно- и двухступенчатых ФР из класса £г В этом случае классу Б1 дополнительно принадлежит и множество трехступенчатых ФР с точками роста х1, х2, х3. Скачки в них определяются из (7) и равны
m2 - m1 (x2 + x3) + x2x3
(x1 - x2)(x1 - x3)
m2 - m1 (x1 + xj) + x1x3
(x - xi)(x - x3) '
m2 - m1 (x1 + Л2) + x1x3
(x3 - xi)(x3 - xi)
Результат решения задачи нахождения
inf j F2 (X x1. X2> X3 )dF1(x)
F^K (Q) 0 ,
F2 е K2 (m1, m2 )
где F2(x, x., x2, x3) - трехпараметрическое семейство ступенчатых ФР из множества Е2 с точками роста x., x2, x3, удовлетворяет неравенствам (6).
Полученные результаты позволяют разбить область параметров задачи на непересе-кающиеся подобласти, каждой из которых отвечает свое экстремальное распределение и, таким образом, найти гарантированные оценки вероятности того, что отказ объекта приведет к отказу всей системы при наличии ограниченной информации о случайной величине времени восстановления и резерва времени.
Оценки функции распределения
суммы двух случайных величин
При анализе и прогнозировании надежности систем с резервом времени в условиях априорной неопределенности при различных способах контроля работоспособности объекта, при случайном режиме его использования и в других практически важных случаях необходимо оценивать ФР сумм двух независимых СВ | и п с ФР соответственно G(x) = p{% < x} и F(x) = р{п < x}, т.е. ФР
1(F,G) = p{^ +п < x} = t t
= j G(t - x)dF (x) = j F (t - x)dG( x). (23)
0 0
Для получения двухсторонних оценок функционала I(F,G) при известных средних значения СВ | и п, m. и 5. соответственно
2
mi = I Li -
J[1 - G(x)]dx, Si = I[1 - F(x)]dx,
/(F,G) ^ inf(sup)
GeK ( m ),F eK (S1 )
0
0
и произвольных видах ФР G(x) и F(x) с фиксированными МОЖ.
необходимо решить задачу
22.03.2011
Список литературы:
1. Вольперт А.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.:Наука, 1975 г. 394с.
2. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 167 с.
3. Стойкова Л.С. О некоторых новых необходимых условиях экстремума интеграла Лебега-Стилтьеса в классе функций распределения //Кибернетика 1991, N2, с. 53-57, 90.
Сведения об авторах:
Шаяхметов В.В., доцент Башкирского государственного университета, кандидат технических наук, доцент Саитов Р.И., профессор Уфимского филиала Оренбургского государственного университета,
доктор технических наук, профессор Аскаров А.М., аспирант Оренбургского государственного университета Абдеев Э.Р., преподаватель Уфимского филиала Оренбургского государственного университета 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, тел.: (3472) 226105, 645555, e-mail: shayakhmetov@mail.ru
UDC 519.688
Shayakhmetov V.V., Saitov R.I., Askarov A.M., Abdeev E.R.
THIS IS PROBLEM OF DECISION OF STEELTIECE INTEGRAL FOR RELIABILITY ANALYSIS OF TECHNICAL SYSTEMS
We present the analytic method of decision where we achieve extremes in the form of graded functions of distribution (FD) with limited number of points of increase. We examine special functions for finding FD and extremes in the sphere of parameters modifications. These values can be used in the analysis of technical systems reliability with different purposeful destination according to the limited information a priori.
