Распределение функционалов от некоторых процессовс независимыми приращениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4

А. Н. Бородин

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ*

1. Постановка задачи. В работе рассматривается задача о вычислении распределений функционалов от процесса, представляющего собой сумму броуновского движения с линейным сносом и сложного пуассоновского процесса. Пусть W(t), t > 0,— процесс броуновского движения, W(^)(t) = ¡t + aW(t) —броуновское движение с линейным сносом. Положим

N (t)

Z(t) := WYk,

k=i

где N(t), t > 0, — пуассоновский процесс с параметром Ai, а Yk, к = 1, 2,..., — независимые одинаково распределенные величины. Предполагается, что броуновское движение, пуассоновский процесс и величины {Yk}^°=i не зависят в совокупности. Пуссоновский процесс N(t) можно представить в виде

i ж i

N(t) = max jl : ^ тк < t} = ^ l(o,TO^t - ^ Tk k=i i=i k=i

где Tk, к = 1, 2,..., —независимые одинаково распределенные моменты с показательным распределением с параметром Ai, т.е. P(Tk > t) = e-Xlt.

Изучается вопрос о распределении неотрицательного интегрального функционала

A(t):= f f (Z(s)) ds, f > 0, (1.1)

o

и функционалов инфимума и супремума inf Z(s), sup Z(s).

0<s<t 0<s<t

Для броуновского движения задача о вычислении распределений функционалов (1.1) впервые была решена М.Кацем [1], [2], для процессов с независимыми приращениями рассматривалась в монографии А. В. Скорохода [4].

Для того, чтобы вычислить распределения в момент t, сначала нужно рассмотреть независящий от процесса экспоненциально распределенный момент времени вместо неслучайного, а затем обратить преобразование Лапласа, отвечающее такому моменту. Пусть т — не зависящий от процесса {Z(s), s > 0} случайный момент остановки с показательным распределением с параметром A > 0, т.е. Р(т > t) = e-Xt.

Основной результат работы позволяет вычислять совместное распределение величин А(т) и inf Z(s), sup Z(s). Поскольку т отвечает преобразованию Лапласа с

0<s<t 0<s<T

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00911), РФФИ-ННИО (грант №04-01-04000), Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ 2258.2003.1), ИНТАС (грант №03-51-5018) и Программой фундаментальных исследований РАН «Современные проблемы теоретической математики».

© А. Н. Бородин, 2005

параметром Л, для вычисления такого совместного распределения в неслучайный момент нужно обратить преобразование Лапласа по Л. Это непростая задача и решаться она должна отдельно для каждого конкретного случая. Рассмотрены примеры применения полученных результатов для вычисления конкретных распределений.

Изучению распределений супремума и инфимума процессов с независимыми приращениями, не имеющих положительных скачков, посвящена работа [5]. Эта тема нашла отражение в параграфе 23 монографии А. В. Скорохода [4]. При некоторых аналитических ограничениях на характеристическую функцию процесса Бакстер и Донскер [3] нашли двойное преобразование Лапласа по времени и уровню вероятности супремума процесса. Явные формулы распределения для супремума процесса, являющегося суммой броуновского процесса с линейным сносом и сложного пуассоновского с экспоненциально распределенными скачками нашел Мордецкий [6].

Для произвольных случайной величины п и события Q обозначение Е{п; Q} служит компактной записью для Е{п1 д}. Будем для краткости обозначать Рх и Ех вероятность и математическое ожидание по броуновскому движению при условии

Ш М(0) = ж.

Замечание 1.1. Решение дифференциального уравнения вида

^сг2и"(х) +/1,и'(х) - Н(х)и(х) =-д(х), х £ (а,Ь), (1.3)

где Н(х) и ц(х) — кусочно непрерывные функции понимается следующим образом: на интервалах непрерывности функций Н и ц оно удовлетворяет (1.3), а в точках разрыва функций Н и ц решение и его первая производная предполагаются непрерывными.

Замечание 1.2. Если в дополнение к уравнению (1.3) налагается условие на скачок первой производной вида

и '(г+) — и '(г-) = -2Л, г € (а, Ь), (1.4)

то при х = г решение понимается согласно замечанию 1.1, а в точке 2 наряду с (1.4) налагается условие непрерывности решения.

Замечание 1.3. Если а и Ь конечны, то задаются граничные условия в этих точках, а если либо а = —ж, либо Ь = ж, то соответствующее граничное условие заменяется на условие ограниченности функции и(х) при х — —ж или х — ж.

Для неотрицательных функций Н(х) и ограниченных ц(х) удовлетворяющие этим требованиям решения являются единственными.

2. Броуновское движение со сложным пуассоновским процессом. Процесс Z представим в виде суммы броуновского движения с линейным сносом и сложного пуассоновского процесса. Этот процесс является процессом с независимыми приращениями. Так как рассматриваются лишь неотрицательные интегральные функционалы А, особое значение в вычислении распределений имеют преобразования Лапласа распределений А. Следующий результат позволяет вычислять совместное распределение функционала А и функционалов инфимума и супремума до экспоненциально распределенного момента времени т.

Теорема 2.1. Пусть Ф(х), /(х), х € [а,Ь], —кусочно непрерывные функции. Предположим, что / — неотрицательна.

Тогда функция

Q(х) := ЕЛ Ф(^ (т ))ехр( — ( / (^ (в)) ¿в); а < М Z (в), вир Z (в) < ь| I ^ Уо ' 0<я<т 0<8<т )

является единственным непрерывным решением уравнения

/ж

ЕОх(г - Уг) Q(z) ¿г,

-ж

где М(х) является единственным решением .задачи

^а2М"(х) + цМ'{х) - (А + А1 + /(х))М(х) = -АФ(х),

М (а) = 0, М (Ь) = 0,

а Ох(г) является единственным решением .задачи

(2.1)

х € (а,Ь), (2.2)

1

а2С"(г) - цО'(г) - А + Л + I(г))О(г) =0, г € (а, Ь) \ {х}, С'(х + 0) - С'(х - 0) = -2А1/а'2,

С(а) =0,

С(Ь) = 0,

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

при этом полагаем М(х) = 0; Ох(г) = 0 при х, г € (а, Ь).

Замечание 2.1. Функцию Q(x) можно рассматривать как единственное решение уравнения

/ж

Ох (г) EQ(z + Уг) ¿г. (2.7)

ж

Замечание 2.2. Функция Ох(г) является функцией Грина соответствующей задачи. Поэтому для произвольной кусочно непрерывной функции Н(х), х € [а, Ь], функция

/ж

Ох(г) Н(г) ¿г

-оо

является единственным решением задачи

1

а2Ц"(х)+^и'(х) - (А + Аг + I(х))и(х) = -А1Н(х), х € (а,Ь), (2.8)

2

и (а) = 0, и (Ь) = 0. (2.9)

В силу замечания 2.1 при к(х) = EQ(x + У\) выполняется равенство

Q(x) = М (х) + и (х). (2.10)

Доказательство теоремы 2.1. Положим

М(х) :=Ех{Ф^Ы(т))<жр( - А + I^^(в))) ¿^ ;

а < М Ж^(в), вир Ж^(в) < Л.

0<э<т 0<я<т )

Согласно классическому результату М.Каца функция М является единственным решением задачи (2.2), (2.3).

Положим

Gx{z) := exp ( - £ (А + f(W^(s))) ds) ;

a < inf W (s), sup W (s) < b,W (^)(т1) <z\.

0<s<Ti 0<s<Ti J

Согласно результату М.Каца функция Gx является единственным решением задачи (2.4)-(2.6).

Поскольку процесс Пуассона непрерывен слева, Z(ti) = W(m)(ti). В силу определения процесса Z, при предположении, что выполнены условия W(m)(ti) = z и Y1 = y, процесс Zi(s) = Z(s + ti), s > 0, распределен так же, как процесс Z(s) при условии W(^(0) = z + y. Имеем

Q(x) = E^ Ф(W(^ (t ))х

х exp ( - f (W M(s)) ds); a < inf WM (s), sup WM ( s) < Ь,т < ti > +

^ J0 ' 0<s<T 0<s<T J

+ / eJ Ф^(т))ехр( -f 1 f(W(^ (s)) ds -f f (Z (s)) ds); a < inf W(^ (s),

J-ж I V J 0 J Ti 7 0<s<Ti

, a

sup W(m) (s) < b,W(m) (ti) € dz, a < inf Z(s), sup Z(s) < b,T\ < t> =

0<s<Ti Ti<s<T Ti<s<T J

= M (x) + Ex< exp

(-/ (A + f (W(^(s))) ds) ; a < inf WM(s),

J-ж I V J0 J 0<s<Ti

<up W(^(s) < b,W(^(ti) € dzje|ez+fi{Ф(Zl(т))exp( - f (Zi(s))ds);

a < inf Z1(s), sup Z1(s) < b)l = M(x)+ i Gx(z) EQ(z + Y1) dz.

0<s<f 0<s<f > ) J-ж

В предпоследнем равенстве мы воспользовались независимостью момента т от процесса Z(s) и ti. Это позволило сделать замену т — ti на т, где т — экспоненциально распределенный с параметром A момент времени, не зависящий от процесса Zi(s), s > 0. В связи с такой заменой появилось слагаемое A перед функцией f в показателе первой экспоненты. Теорема доказана. □

3. Примеры вычисления распределений инфимума и супремума. Рассмотрим примеры вычисления вероятностей

Px (a < inf Z(sH , Pj sup Z(s) < b).

\ 0<s<T J \0<s<T J

Такие вероятности играют важную роль в теории разорения.

Пусть Hb = min{s : Z(s) > b} — момент первого превышения уровня b. Тогда

Px ( sup Z (s) >b) = Px(Hb < т ) = Exe-XHb. (3.1)

\0<s<T J

Момент Нь можно трактовать как момент разорения, если расходы Z превысили наличный капитал b.

Рассмотрим задачу о распределении супремума. Для инфимума задача решается аналогично. Для вычисления функции Q(x) = Рх ( вир Z(в) < Ъ ) применим теоре-

\0<я<т )

му 2.1 при Ф = 1, ] = 0 и а = —ж. В этом случае функция М является единственным ограниченным решением задачи

^а2М"(х) +цМ'(х) - (Х + Х1)М(х) = -А, х е (-оо,6), (3.2)

М (Ъ) = 0. (3.3)

Решение задачи (3.2), (3.3) имеет вид

При этих же предположениях функция Ох(г) является единственным ограниченным решением задачи

^а2С"(г)+1лС'(г)-(Х + Х1)С(г)= 0, г £ (~оо,Ъ) \ {х}, (3.4)

С'(х + 0)— С'(х — 0) = —2xx1а2, (3.5)

С(Ъ)=0. (3.6)

Тогда несложно получить

с(г) = __# (^{г-х) \г-х\л/(2Х + 2 Хг)а2 + ц2

х(г> у1 (2Л + 2Х\)а2 + ¡л2 1 6ХР

— - —

/и(г-х) (26 - г - х)у/(2Х + 2Х1)а2 + и2\\ , , , , , ,

-ехр ; - ^- а2 ))1(-оо,ь](д)1(-оо,ь](^)- (3.7)

Решения интегрального уравнения в явном виде найти непросто. Поэтому мы выделим целый класс решений, которые можно найти методом подстановки. Это решения, представимые в виде суммы постоянной и линейной комбинации экспоненциальных функций. В связи с этим важную роль играют явные выражения для следующих интегралов. При х < Ъ имеем

2Х /

Важной особенностью является то, что

М(х) + = 1 - ехр - (Ь-х)^^2^^ (з д)

Отсюда, в частности, будет следовать, что постоянная величина в представлении решений равняется единице. Выполнение этого равенства можно установить с помощью

замечания 2.2. Несложно убедиться, что решением задачи (2.8), (2.9), a = —ж, для h(x) = epx является функция, стоящая в правой части (3.8).

Пример 3.1. Пусть случайные величины Yk, к = 1, 2,..., принимают лишь отрицательные значения. Это означает, что момент первого превышения уровня b превратится в момент первого попадания. Процесс Z является процессом с независимыми приращениями и скачками лишь отрицательного знака. Кумулянта процесса K(v) определяется из представления Леви—Хинчина

EeiaZ(t) = etK(a), а € R,

и, в данном случае, при Rev > 0 кумулянта имеет вид

2

K(-iv) = у V2 + pv + Ai (EevYl - 1). Вероятность Q(x) = Px( sup Z(s) < b) как решение уравнения (2.7) ищем в виде

0<s<T

Q(x) = (l — Ae-p(b-x>) 1-^] (x), p> 0. (3.10)

В этом представлении вместо единицы можно взять произвольную постоянную, однако, в силу (3.8), (3.9), она будет равной единице. Это ясно и из вероятностных соображений, поскольку Q—ж) = 1. Ясно также, что A =1, так как Q(b) = 0, однако мы в этом убедимся с помощью подстановки (3.10) в (2.7). В силу неотрицательности Yi при x < b имеем

EQ(x + Yi) = El-^b-x](Yi) — Ae-p(b-x)E{epYlt-^b-x](Yi)} = = 1 — Ae-p(b-x)EepY.

Подставляя это выражение в (2.7) и учитывая (3.8), (3.9), получаем

1 _ Ae-PС*-*) = i _ I b " (6 " V/(2A + 2A1)a2+M2

■ exp

— - i —

2AjAEepYl / _p{b_x) _ /p(b — x) _ (6-x)V(2A + 2A1)a2+M2

2A + 2Ai — p2a2 — 2pp &XP

Приравнивая коэффициенты при e p(b x), получаем, что p является решением уравнения

2X1EePYl 2А + 2Ai - p2a2 - 2pp ~ ' или, что эквивалентно, уравнения

2

YP2+VP+ Ai(Ee"Fl -1) =A. (3.11)

Приравнивая коэффициенты при другой показательной функции, получаем A = 1.

Используя определение кумулянты процесса, окончательный ответ можно записать в виде

Px ( sup Z(s) < b ) =1 — e-p(b-x), где K(—ip) = X.

\0<s<r J

Уравнение в правой части имеет единственный неотрицательный корень. Другой подход к вычислению этой вероятности приведен в монографии Гихмана и Скорохода [7], стр.458.

Пример 3.2. Пусть функция распределения случайных величин Ук, к = 1, 2,..., на отрицательной полуоси произвольна, а на положительной при у > 0 имеет плотность

4~Р(У1 <у) = ТО > 0)??е-™. ау

Вероятность Q(x) = Рх( вир Z(в) < Ь) как решение уравнения (2.7) в этом случае

0<в<т

ищем в виде

Q(x)=(l - А1в-Р1(ь-Х) - Л2в-р2(-Ь-х)у{-жМ(х), рк > 0. (3.12)

При х < Ь имеем

2

EQ(x + У1) = Е1 (-то,ь-*]№) Акв-р«(Ь-х)Е{вр«¥П-«^(УО} =

к=1 2

1-Р(У1 >0) 1-

V к=1 V - рк

-ЕЛ (Р(У1>°)?? + Е{е»* 1 № <0} }) е-*»™.

к=1 К П - Рк ~ '

Подставляя это выражение в (2.7) и учитывая (3.8), (3.9), получаем

1-^-^=0 (3.13)

п - Р1 п - Р2

1 = 1 - ехр _

к=1

2

п-оь 1 {Г1-0|/У 2Л + 2Л1 -п2а2 -2оки\

(р{Ъ-х) (Ь -х)^/(2Х + 2Х1)а2 + р2

— ^ х I - —

■ ехр .

Приравнивая коэффициенты при вРкх, получаем, что рк, к = 1, 2, являются решениями уравнения

/Р(У1 >0)7? г ру А 2Л!

I П-р +Е{е {у1<°} }) 2\ 2Лх — р2а2 — 2рр =

или, что эквивалентно, уравнения

^р* + рр + Л1Е{(е^ - 1)1№<0}} + Л1РУ1 > °)Р = А. (3.14)

2 п - р

Важно отметить, что у этого уравнения существуют ровно два положительных корня, и при этом 0 < р2 < п < р1.

и

Приравнивая коэффициенты при другой показательной функции, мы получаем Ai + A2 = 1. Решая это уравнение совместно с (3.13), получаем

А = 12(11 - у) А = pi(v - pi)

Г]{Р1~Р2)' V(Pl~P2)'

Окончательный ответ имеет вид

р, ( SUP Z(s) <b)= 1 - Р^-^ -Мь-*) _ Pi(v-P2) Mb-*). (3.15)

\0<в<т J 'П(Р1 - P2) 'П(Р1 - P2)

Другой подход к вычислению этой вероятности приведен в работе Мордецкого [6].

4. Примеры вычисления совместных распределений инфимума и супремума. Рассмотрим примеры вычисления совместных вероятностей

Px ( a < inf Z(s), sup Z(s) < b ) . (4.1)

0<я<т 0<я<т

При Ф = 1, I = 0 функция М является единственным решением задачи

^а2М"(х) +цМ'(х) - (Х + Х1)М(х) = -А, х е (а,Ь), (4.2)

М (а) = 0, М (Ь) = 0. (4.3)

Положим для краткости Т = ^(2А + 2Х\)<т2 + ¡л?. Решение задачи (4.2), (4.3) имеет вид

,„.. . ( А Ав^а-х)/а2 вЪ((Ь - х)Г/а2 ) + Ав^Ь-х)/а2 бЬ((х - а)Т/а2) \ . . ЩХ) = --(Х + Х1)вЦ(Ъ-а)Г/а2)-

При этих же предположениях функция Ох(г) является единственным ограниченным решением задачи

- (Х + ХгЩг) = 0, г&(а,Ъ)\{х}, (4.4)

О'(х + 0)- О'(х - 0) = -2А\/а2, (4.5)

О(а) = 0, 0(Ь)=0. (4.6)

Тогда можно получить, что

Х1е^-^2(сН(Ь-а,-\г-х\)Г/а2)-сН(Ь+а,-г-х)Г/а2)) =-ГвЦ(Ъ-а)Г/а1)-1[о,ы(х)1[о,ч(г).

Как и для вычисления распределения супремума явные выражения играют важную роль для следующих интегралов. При а < х < Ь имеем

Gx(z) dz =

A1 A1(e^(a-x)/a sh((b - x)Y/a2) + e^(b-x)/a sh((x - a)Y/a2))

x

A + A1 (A + A1)sh((b - a)Y/a2)

Особо отметим, что

eKa-x)/°2 sh((b - x)Y/a2) + e^b-x)/a2 sh((x - a)Y/a2)

Gx(z) dz = 1 -

-OO

sh((b - a)Y/a2) 14

OO

Имеем при а < х < Ь

2Л /

Сх(г)ерг ¿г = -^-( ерх-

хК > 2Л + 2Л! -р2а2 -2рр\

ераеКа-х)/а'2 8щь — х)Г/а2) + врЬе^(Ь-х)/^2 бЬ((х — а)Т/а2)

вЪ((Ь — а)Г/а2)

Справедливость (4.7) можно проверить с помощью замечания 2.2.

Пример 4.1. Пусть плотность распределения случайных величин Ук, к = 1, 2,

имеет вид

АР(У1 <у)=\ ^

¿У 1(1 — к)пе-пу, у > 0,

где 0 < к < 1, в> 0, п> 0. Вероятность

Q(х) : = Рх а < Ш Z(в), вир Z(в) < Ь

0<в<т 0<в<т

ищем в виде

Q(х) = ^ — АкеРк^ 1[а,ь] (х). (4.8)

При а < х < Ь имеем

4

EQ(х + У1) = Е1 {а-х,ь-х](У1) — ^Акер«хЕ{еРк¥Па-х—]^)} =

к=1

= 1 - М - £ е-(-) - (1 - X) (г - £ е-п(ь-Х)

4 ( нв ^ ^ ~ н^

к=1 ^в + рк П — Рк Подставляя это выражение в (2.7) и учитывая (4.7), получаем

£^ = 1, = (4.9)

¿1 в + ¿1 Ч-Р*

Приравнивая коэффициенты при еРкх, получаем, что рк, к = 1, 2, 3, 4, являются решениями уравнения

+ _^_= 1 (410)

ц- р в + р) 2А + 2А1 - р2а2 -2рр ' К ' '

или, что эквивалентно, уравнения

+-= А. 4.11

2 в + р п — Р

Рк х

Важно отметить, что у этого уравнения существуют ровно два положительных и два отрицательных корня. Можно считать, что р4 < рз < 0 < р2 < Р1. Приравнивая коэффициенты при функциях

еКа-х)/«2 вЬ((Ь _ х)г/а2), еКЬ-х)/«2 вЬ((х - а)Г/а2),

получаем

44

ерк а = 1, еРкЬ = 1- (4'12)

к=1 к=1 Эти условия отвечают естественным вероятностным требованиям, согласно которым Q(a) =0 и Q(b) = 0. В результате искомая вероятность выражается формулой (4.8), где Рк, к =1, 2, 3,4, являются решениями уравнения (4.11), а коэффициенты Ак являются решениями системы алгебраических уравнений (4.9), (4.12).

Приведем явное решение этой задачи для следующего частного случая, в котором процесс Z будет симметричным, т. е. ^(£),£ > 0} распределен так же как {—Z(£),£ > 0} при условии Z(0) = 0.

Пример 4.2. Пусть р = 0 и плотность распределения случайных величин Ук, к = 1, 2,..., имеет вид

-^-Р{Г1<у) = \г1е-^, г] > 0.

ау 2

В этом случае Z(£) = аШ(£) + ^=1 Ук, и уравнение (4.11) преобразуется к виду

^ + -А. (4.13)

2 п2 _ Р2

Корни у этого уравнения следующие:

/А + Л! п2 //А + А1 п2л2 2ЛТ72Л1/2

А + А! //А + А! 2\п2 \ 1/2

+ У " V + ~2

и р4 = —р1, рз = — р2.

Решение можно искать в виде Г)/ .._, А бЪ((Ь — х)р1) + В вЬ((х — а)р1) (1 — А^Ь^Ь — х)р2) + (1— В^Ь^х — а)р2)

бЬ((ь — а)р1) БЬ((ь — а)р2)

В таком представлении уже учтены условия (4.12), т.е. Q(a) =0 и Q(b) = 0.

Можно доказать, и при этом проявляется свойство симметрии процесса, что А = В и, следовательно, решение преобразуется к виду

АсЦ(Ъ + а -2х)Р1/2) _ (1 - А) сЬ((6 + а- 2х)р2/2) ^ } сЬ((Ь — а)р\/2) сЬ((6 - а)р2/2) ' 1 ' >

Условия (4.9) по отношению к такому представлению являются эквивалентными и из них следует, что

1 п + р2 М(Ь — а)р2/2)

2

А =_V_V ~ Р2

77 + Р1 Щ((Ь - а)р1/2) Г1 + Р2 1ЩЬ-а)р2/2) '

Г]2 - р\ Г]2 - р\

Окончательно имеем

/ / N(3) \ / N(3)

Рх и < иш(в) + !3 Ук) . о^ир \аш< ь) =

1 - " + сЬ((Ь + а - 2* Ы2)

:__^_т -г4_/_

-2-2---2-2- сЬ((Ь ~ а)р1/2)

\ п2 — р2 п2 — р2 '

п + Р1 th((Ь — а)р1 /2)

Г* + Р1ШЬ-а)Р1,г) 14 + а _

V п2 — Р1 п/

+ Ш((Ь - а)р1/2) 'П + Р2 Щ(Ъ - а)р2/2)\ ' -2---- ) сЬ((Ь ~ а)Р2/2)

(4.15)

п2 — Р1 п2 — Р2

Отметим один частный случай этой формулы, который получается при а ^ 0. В этом

1

случае р2 ~ = , р\ ~ —а/2Л + 2Л1. В результате при а < х < Ь имеем

V Л + Л1 а

( ( N(3) \ N(3)

Р ^ < С^Йг ^ + ^ ^] ' ^ + ^ ^ < 6

= 1 _ (л2 -р2)сН(Ь+а-2х)р/2) = гуУЛ

г](г] + рЩ(Ь-а)р/2))сЬ((Ь-а)р/2)' 9 1 ' ;

В частности, при а сю и х < Ь получаем

^ ^ ^ / уГк \ { {Ъ-х ^

к=1

и?;«Н'И-'-таЬ№ • «417»

5. Распределение локального времени. У процесса Z(в), в > 0, с вероятностью единица существует локальное время, т. е. для всех у € И. и £ > 0 существует предел

1 Г*

е2(г,у) = Ьт- 1[у^у+е){г{8))й8.

е|0 £ J0

е|0 £

Этот предел существует, поскольку аналогичный предел существует для броуновского процесса с линейным сносом.

Следующий результат позволяет вычислять совместное распределение интегрального функционала А и локального времени процесса Z до момента времени т.

Теорема 5.1. Пусть Ф(х), /(х), х € [а,Ь], —кусочно непрерывные функции. Предположим, что / —неотрицательна и 7 > 0. Тогда функция

Я(х) := Е^Ф^(т)) ехр ( — ^" /^(в)) ¿в — ^(т, г)) }

является единственным непрерывным ограниченным решением уравнения

/ж

ЕОх(г — У1) Q(z) ¿г, (5.1)

-Ж

где М(х) является единственным ограниченным решением .задачи

^а2М"(х) +цМ'(х) - (А + А1 +/(х))М(х) = -ХФ(х), х ф г, (5.2)

М '(г + 0)— М '(г — 0) = 2^М(г)/а2, (5.3)

а Сх(г) является единственным ограниченным решением .задачи

^а2С"(г) - 1лС'(г) - (Хг+Х +/(г))С(г) = 0, ,гбК\{ж}, (5.4)

С'(х + 0)— С'(х — 0) = —2Х1/а2, (5.5)

С'(г + 0)— С'(г — 0) = 2^С(г)/а2. (5.6)

Замечание 5.1. Поскольку Сх(г) является функцией Грина соответствующей задачи, то для произвольной непрерывной ограниченной функции к(х), х € И.,

Сх(г) Н(г) ¿г

-ж

является единственным ограниченным решением задачи

^а2и"(х) +ци'(х) - (А + А1 + /(ж))£/(ж) = -А^ж), ж € И, (5.7)

и '(г + 0) — и '(г — 0) = 2^П(г)/а2. (5.8)

В силу замечания 2.1 при Н(х) = EQ(x + У\) выполняется равенство (2.10).

Пример 5.1. Вычислим распределение локального времени 1%(т, г). Пусть ¡л = 0 и функция распределения случайных величин Уь, к = 1, 2,..., имеет вид

-^Р{Г1<у) = \г1е-^, г] > 0.

¿у 2

В этом случае процесс будет симметричным, что значительно упрощает задачу.

Рассмотрим сначала задачу о вычислении преобразования Лапласа локального времени, т.е. функции Q(x) = Ехе Для этого применим теорему 5.1.

При Ф = 1, ] = 0 функция М является единственным ограниченным решением задачи

^а2М"(х) - (Х +Х1)М(х) =-X, же Б., (5.9)

М '(г + 0) — М '(г — 0) = 2^М(г)/а2. (5.10)

Решение задачи (5.9), (5.10) имеет вид

М(х) = —V---„ ^ -|,-г|У2Л+2Л7/^ (511)

^ у Л + А! (А + А1)(7 + ^2А + 2А1/а) ^ У

Мы не будем вычислять функцию Сх(г), а воспользуемся сразу замечанием 5.1 и вычислим функцию и(х) при Н(х) = е-1х-г1р. Эта функция является единственным ограниченным решением задачи

^а2и"(х) - (А + Х1р(х) = -Хге-^-^Р, х е И., (5.12)

и '(г + 0) — и '(г — 0) = 2^и(т)/а2. (5.13)

Решение задачи (5.12), (5.13) имеет вид

Сх(г)е-1г-г1р ¿г = и(х) =

-ОО

= 2Л1 (е~\х-г\р__1 + Р р-\х-г\у/2Х+2Х1/<т

2А + 2Лх — а2 р2 V 7 + л/2А + 2\\/а

Функцию Q(х) = Ехе (т'г) как решение уравнения (5.1) ищем в виде

(5.14)

Q(х) = 1 — А1е-р11х-г1 — А2е-р21х-г1, рх > р2 > 0. (5.15)

Учитывая симметричность распределения величин У1, имеем

2

Т?,р-р\х+Уг-г\ _ V -р\х-г\ _ РУ -п\х-г\

— о о п о е

п2 — р2 п2 — р2

и, следовательно,

А1П2 _-р, |х-г| А1р1Л -п\х-г

п2 — р12 п2 — р21

+ _ ф^-^-гЛ . (5.16)

п2 — р22 п2 — р22

Коэффициент при е-п1х-г1 полагаем равным нулю, т.е.

Л1Р1 А2р2 , . -2-2+Т-2=0- (5-17)

п2 — р12 п2 — р22

Подставляя (5.16) в выражение (2.7), которое эквивалентно (5.1), и учитывая (5.14), получаем

I _ е—1- _ ^ _ ^__^ _р-|ж-г|У2Л+2Л1/(7_

7 + а/2А + 2Х\/а

_ V_2Л1 'П2^_(е-\х-т\рк _ 1 + Рк -\х-г\,/2\+2\л!<т

^>(г/2-р2)(2\ + 2\1-а2р2)\ 7 + л/2А + 2\\/а

Приравнивая коэффициенты при еРкх, получаем, что р1, р2 являются неотрицательными решениями уравнения (4.13). Из равенства коэффициентов при другой экспоненте следует

А1(п + р1)+А2(7 + р2 ) = 1. (5.18)

Алгебраическая система уравнений (5.17), (5.18) имеет следующее решение:

1р1('п2 — р2 )

А2

А1

(р1 — р2)(1('П2 + р1р2) + р1р2(р1 + р2)) '

_712(11 - у2)_

(Р1 - Р2)Ь(у2 + Р1Р2) + Р1Р2(Р1 + Р2)) '

В результате имеем

Ехв-7eZ(r,r) = 1 _ / Ipijpj - V2) ^ ^c-Pi\x-r\

(pi - P2)(Y(n2 + Р1Р2) + PlP2(Pl + P2))

-P2\x-r\

YPi(n2 - P2)

e

(5.19)

(р1 — р2)(7(П2 + р1р2)+р1р2(р1 + р2)) Обращая преобразование Лапласа по 7, получаем

-^РхЫт,г) <у) =

= М + р1(г12 - рре-Р*^ ехр / _ УР1Р2(Р1+Р2)\

(Р1 ~ Р2)(Г]2 + Р1Р2)2 ^ V2 + Р1Р2 '

р (р , , Р2(Р1 I +р1(г12

Рх(Ыг,г) = 0) = 1--(Р1 - р^2 + Р1Р2)-' (5'21)

Вычитая из (5.21) вероятность (3.15) при Ь = г и используя симметрию процесса Z, получаем

Рх((т, г) =0, и существует хотя бы один перескок через уровень г) =

Р1Р2{Р1 Р2)

V(P1 ~ P2)(v2 +Р1Р2)

e-p2lx-r\ - e-pi\x-r\ ). (5.22)

Summary

A. N. Borodin. Distributions of functionals of some processes with independent increments.

The paper deals with the methods for the computations of distributions of functionals of the process which is the sum of Brownian motion with linear drift and compound Poisson process. For symmetric process the exact formulae for the joint distribution of minimum and supremum is derived.

Литература

1. Kac M. On distribution of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math. Soc. Vol.65. 1. 1949. P. 1-13.

2. Kac M. On some connections between probability theory and differential and integral equations // Proc. Second Berkeley Symp. Math. Stat. Probab. 1951. P. 189-215.

3. Baxter G., Donsker M. D. On distribution of the supremum functionals for processes with stationary independent increments // Trans. Amer. Math. Soc. Vol.85. 1. 1957. P. 73-87.

4. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

5. Золотарев В. М. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятн. и ее примен. Т. 9. Вып. 4. 1964. С. 724-733.

6. Mordecki E. Ruin probabilities for Levy processes with mixed exponential negative jumps // Theory Prob. Appl. Vol.48. 1. 2003. P. 188-194.

7. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 2. М.: Наука, 1973.

Статья поступила в редакцию 1 сентября 2005 г.