Оценка надежности организационных структур управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.67

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ

В.Н. Колпачев, Н.П. Курочка, А.Ю. Струков, В.Г. Тельных

В статье оценивается надежность организационных систем путем приведения их к агрегируемым графам, то есть в виде комбинации последовательных и параллельно соединенных участков для описания и решения которых существуют широко известные методы

Ключевые слова: надежность, система, управление, структура

Организационные структуры управления имеют ярко выраженный персонифицированный характер, то есть эффективность их функционирования зависит от состава исполнителей, находящихся на различных иерархических уровнях, рассматриваемой системы. Иными словами, качество выполнения конкретным исполнителем своих функций сказывается и на качестве функционирования всей организационной структуры управления.

Схемы возможной организации совместного труда исполнителей представлены на рис. 1. По аналогии с техническими системами, состоящими из многих элементов, будем полагать, что выполнение функций, относящихся ко всему подразделению, осуществляется при последовательной или параллельной работе исполнителей.

/?7 пг ПЧ

Рис. 1. Схемы организации труда исполнителей в подразделении

В теории надежности последовательной называется такая система, отказ хотя бы одного элемента которой приводит к отказу всей системы. Поэтому примем, что работа исполнителей будет последовательной в том случае, когда продукт труда одного исполнителя (т. е. информация, явившаяся результатом его работы) становится предметом

Колпачев Виктор Николаевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07

Курочка Николай Павлович - ВАИУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Струков Алексей Юрьевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Тельных Владимир Геннадьевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

труда другого исполнителя (т. е. исходной информацией для его работы). При такой организации взаимосвязей общая (для подразделения) проблема разделяется на части (в соответствии с количеством исполнителей в подразделении), каждая из которых решается самостоятельно одним исполнителем, но так, что начало работы последующего исполнителя зависит от окончания работы предыдущего.

Для описания состояния элементов организационной системы введем двоичную переменную х,, которая принимает значение равное 1 в том случае если /-ый элемент системы работоспособен и 0 в противном случае.

Очевидно, что такой критерий отказа соответствует тому, что подмножество состояний работоспособности последовательной системы состоит всего из одного состояния Х=1, а все остальные состояния образуют подмножество состояний отказа. Структурная функция в этом случае примет вид

ф(х)= П х

1</<п

Здесь через П обозначено логическое произведение булевых переменных, т. е. ,

П Х = Х1 А х2 Л ... л хп

1</<п

Поскольку событие «работоспособ-

ность» эквивалентно событию «не отказ», его можно записать и в двойственном виде

ф(х )= и х

1</<п

Здесь через и обозначена логическая сумма булевых переменных, т. е.

и Х1 = х1 V х2 V ... V хп

1</<п

Действительно, выражение, стоящее под общим оператором отрицания, представляет собой событие «произошел отказ хотя бы одного элемента системы», т. е. произошел отказ системы. Следовательно, это же событие, но с отрицанием означает, что отказ системы не произошел. Это же утверждение получают и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Если вероятность безотказной работы /-го элемента обозначить через Я,, то общая вероятность безотказной работы системы п последовательно соединенных элементов будет составлять

Япрос =ПЯ/ .

/=1

Работу исполнителей будем считать параллельной, если в процессе совместного труда два (и более) работника структурного подразделения являются взаимозаменяемыми и общая проблема (или какая-то ее часть) решается ими сообща.

В теории надежности параллельной называется такая система, работоспособность хотя бы одного элемента которой обеспечивает работоспособность всей системы.

Сформулированный таким образом критерий отказа соответствует тому, что подмножество состояний отказа параллельной системы состоит всего из одного состояния: Х=0, а все остальные остальные образуют подмножество состояний работоспособности. Для параллельной системы

структурная функция имеет вид

ф(х )и х

1</<п

Используя понятие дополнительного события, вместо данного выражения можно записать следующее эквивалентное выражение:

ф(х)= П х

1</<п

Если вероятность безотказной работы /-го элемента обозначить через Я,, то общая вероятность безотказной работы системы п параллельно соединенных элементов будет составлять

п

Япарал 1 11 2, .

/=1

где = 1 - Я - вероятность отказа в работе 1-го элемента.

Организационные структуры могут иметь достаточно сложный характер, который может быть описан как последовательно - параллельная система. Эта система представляет собой совокупность последовательных подсистем, соединенных параллельно. Пусть в системе имеется N последовательных подсистем, ]-я подсистема включает в свой состав элементы с индексами ^ ]2, ..., Структурная функция такой системы

ф(х)= и их,.

1< j<N 1</<п/

А вероятность безотказной работы такой структуры будет определяться следующим выражением:

Яп

Яп

У=1

= П|1 -п 2,

= 1 -П|1 -П я,

У=1

В том случае если система представляет собой совокупность параллельных подсистем, соединенных последовательно, тогда в такой системе имеется М параллельных подсистем, ]-я подсистема включает в свой состав элементы с индексами ]2,

•••, ]щ.

Структурная функция параллельно-

последовательной системы

ф(х)= П и х,

1< у<м 1</<ту

Вероятность безотказной работы такой структуры будет определяться следующим выражением:

Функция надежности системы управления производством (иначе функция вероятности безотказной работы) записывается следующим образом:

/ ч - ки

Я() = е ', (1)

где /и и к — постоянные величины, характеризующие в общем случае качественные стороны некоторого вероятностного процесса; сущность этих констант для нашего конкретного случая будет рассмотрена несколько ниже; t — время от получения задания на разработку решения конкретной задачи до принятия этого решения.

Функция (1) полностью соответствует следующим общим свойствам функций распределения [1]:

а) функция распределения Е(х) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х2>х1 функция Е(х2)> ¥(х1). В нашем случае Я^2)>Я^1) при t2>t1, так как

б) на минус бесконечности (— &) функция распределения равна нулю, т. е. ^(— &)=0 [1];

в) на плюс бесконечности (+ & )функция распределения равна единице, т. е. ^(+ & )=1. В нашем случае при t= & функция надежности Я(^ = 1, так как

я( ) =

-к- -к- -0

е t = е & = е = 1.

Таким образом, функция распределения (1) не противоречит условиям, которым должны удовлетворять функции распределения вообще.

Определим математическое выражение интенсивности отказов в случае распределения (1).

Функция интенсивности отказов Я фМ [2] имеет следующий смысл: это вероятность того, что система, проработавшая время At, откажет в интервале времени ^^+А^. В данном случае Я - это вероятность того, что система, не отказавшая при работе в течение времени t, не откажет в интервале времени (^А)

Согласно принятому в теории надежности обозначению

Р( )

а -к, к и -к7 ту/Л --е t ^-ге t

^=4), 4)= ^—=-^—=к и

-кЕ t2

е е

Математическим выражением функции интенсивности отказов будет

Я()= ки (2)

Таким образом, интенсивность отказов системы управления производством убывает пропорционально квадрату времени.

Так как кии — величины постоянные (для каждого конкретного исполнителя, структур-

и

и

к—

к—

?2 > е t

е

N

ного подразделения, системы), то Л,() —функция только времени.

На рис. 1 обозначены: Р—руководитель подразделения; П1 П2, П3, П4— его подчиненные. Для упрощения расчетов предполагаем, что надежности исполнителей равны (RH=0,5200; И и =0,654ч).

Для схемы рис. 1а, характеризующей последовательную работу всех исполнителей (руководитель — тоже исполнитель) подразделения в процессе выработки общего решения на основе частных решений, принятых каждым исполнителем в отдельности в пределах порученной работы, надежность подразделения определяется по формуле

R0 = R Rl rR

где Rp — надежность руководителя.

При Rlu = Rl = R3 = R4 = 0,52 и

И = Ир = н1 = ИР = 0,654 (ч).

- к И

R = е t = ^-(0,654+0,654+ 0,654+0,654) =

е-2-626 = 0,0724 (при t = 1; к = 1)

Для схемы рис. 16, характеризующей независимую друг от друга работу исполнителей (подчиненных) при выработке общего решения, в нашем случае надежность подразделения определяется как

R„ = minjR RP; R RP; RXP } (3)

но так как мы предполагаем

Rl = Rl = R3 = R4 = 0,52, то

- k И

D k t -(0,654+0,654) -1,308 n 07аг

R = e t = e^ - e = 0,2705

(при t = 1; к -1)

Для схемы рис. 1в, показывающей, что общее решение в подразделениях вырабатывается на основе двух частных решений, принятых в результате независимой работы двух пар исполнителей (исполнители каждой пары работают параллельно и являются взаимозаменяемыми), надежность подразделения

R0 = mrnfc2R„P; RlARP l (4)

но так как Rl = R2 = R3 = Rp = RP = 0,5200, то

Rl’2 = Rl + R2 - R1 • R2; R3-4 =

где

i3’4

U

= Rl + r4 - R3 • R

но так как Яи = Яи = Яи = Я4 = Я\р = 0,52, то

Я2 • яр = Я3’4 • Яр =

(0,5200 + 0,5200 - 0,5200 х 0,5200) х

х 0,5200 = 0,4002;

Я0 = 0,4002 (при t = 1; к = 1).

Для схемы рис. 1г, изображающей такую организацию труда работников подразделений, при которой все подчиненные работают параллельно (т. е. взаимозаменяемы), надежность подразделения в общем случае выразится формулой

Я0 =1 - (1 - [) - яр) - Яр)1 - Я4)] (5)

R0 =

[1 -(1 - Rp )4 ]

RP =

-[1 -(1 - 0,5200 )4 ]0,5200 =

= 0,4924 (при 1 = 1; к = 1).

Для схемы рис. 1д, отражающей такую организацию труда в подразделении, при которой все исполнители, включая руководителя, работают параллельно и являются взаимозаменяемыми, надежность подразделения определится в общем случае по формуле

я0 =[1 -(1 - Я )(1 - Я )(1 - Я )(1 - я4 )(1 - яр)] (6)

а при Я = Я2 = Яр = Я4 =... = ЯП = яр — по формуле

Я0 = 1 -(1 - Яр )п где щ — число работников подразделения.

В вашем случае при Яи = 0,5200; п = 5; 1=1;

к=1)

Я0 = 1 - (1 — 0, 5200)5 = 0,9745.

Простое сравнение показывает, что наиболее надежно структурное подразделение, в котором труд исполнителей организован в соответствии со схемой рис. 1д. Увеличение же числа работников при организации их труда по схеме рис. 1а снижает надежность подразделения, при организации по схеме рис. 1б — на надежность практически не влияет, при организации по схемам рис. 1г, д с увеличением количества работников надежность подразделения повышается. Однако в случае рис. 1г надежность не может быть выше 0,5200 (в общем

случае — выше надежности руководителя Яр), а в

случае рис. 1д надежность возрастает, приближаясь к единице.

Приведенные на рис. 1 организационные структуры относятся к классу простейших. Более сложные организационные структуры могут быть получены путем комбинации последовательных и параллельных участков. В этом случае возможна декомпозиция исходной структуры на конечное множество последовательно - параллельных и параллельно - последовательных участков. Это можно осуществить при помощи следующей регулярной процедуры: рассматривается одиночный элемент, т. е. простейшая двухполюсная система; элемент заменяется на простейшую структуру (последовательную или параллельную); далее элемент в структуре, полученной на первом шаге, заменяется на соответствующую последовательную или параллельную структуру и т. д. В результате через некоторое число шагов может быть получена довольно сложная структура, которая, однако, путем соответствующих обратных трансформаций (т. е. путем замены отдельных чисто последовательных или чисто параллельных подсистем в этой системе некоторыми эквивалентными подсистемами) может быть опять сведена к простейшей двухполюсной системе, т. е. к элементу. То есть если граф, определяющий конкретную организационную структуру, является агрегированным, то используя форму-

лы для последовательной и параллельной структур и их комбинации, возможно определить надежность исходной организационной структуры.

Но далеко не все организационные структуры могут быть представлены в виде комбинации последовательно и параллельно соединенных элементов. Пример такой структуры приведен на рис. 2.

Однако в данном случае возможно получение оценочных решений на основе понятия агрегированного графа. В работах В.Н. Буркова [2] показано, что сети, достаточно общего вида, могут быть приведены к виду, допускающему агрегирование.

Это возможно на основании следующего алгоритма [2].

1 шаг. Определяем все последовательные множества дуг и заменяем их одной дугой.

2 шаг. Определяем все параллельные множества дуг и заменяем их одной дугой.

3 шаг. Берём произвольную вершину (исключая вход и выход) рис. 3.

Заменяем эту вершину на три вершины

(рис. 4).

Мы получили два последовательных множества дуг. Агрегируя их, получаем сеть рис. 2.4.3.

Действуя аналогично, мы приходим к сети, изображенной на рис. 6, не содержащей вершины і . Далее процедура повторяется для любой другой вершины, кроме входа и выхода.

Как показано в работах В.Н. Буркова такое агрегирование в результате приводит к сетям, эквивалентным исходным, то есть каждому пути в исходной сети будет соответствовать некоторый путь в преобразованной сети.

Применяя алгоритм приведения исходного графа, изображенного на рис. 2 к агрегированному виду получаем следующий граф

Рис. 7. Преобразованный граф

Данные граф уже будет агрегируемым, то есть его можно представить в виде комбинации последовательных и параллельно соединенных участков. В этом случае надежность такой системы будет определяться следующим выражением:

Я0 = 1 - {1 - Я12 [1 - (1 - Я25 Я54 )(1 - Я24 )]Х1 - Я,3 Я34) (7) Так если предположить, что вероятность безотказной работы всех элементов организационной структуры составляет 0,5, то согласно формуле (7) общая надежность функционирования такой системы составит 0,4843. Для этого случая известно точное решение, которое составляет 0,5. Это дает ошибку в размере 3,125 %.

Литература

1. Кулибанов В. С. Современные методы управления строительным производством. Л., Стройиз-дат, 1976. 214 с.

2. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.:

ИПУ РАН, 1999. - 55 с.

3. В.И. Алферов, Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н., Хорохордина Н.В., Шипилов В.Н. Прикладные задачи управления строительными

проектами. - Воронеж «Центрально - Черноземное

книжное издательство» 2008. - 712 с.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Воронежский авиационный инженерный университет

ESTIMATION OF RELIABILITY OF ORGANIZATIONAL STRUCTURES OF MANAGEMENT

V.N. Kolpachev, N.P. Kurochka, A.Yu. Strukov, V.G. Telnykh

In clause reliability of organizational systems by their reduction aggregated columns, that is in the form of a combination of the consecutive and in parallel connected sites for the description and which decisions exist widely known methods is estimated

Key words: reliability, system, management, structure