Оценка работоспособности инженерных инфраструктур при произвольной топологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378.1:685.8

ОЦЕНКА РАБОТОСПОСОБНОСТИ ИНЖЕНЕРНЫХ ИНФРАСТРУКТУР ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ С.А. Баркалов, О.В. Саар, В.Г. Тельных

Проблемы определения надежности инженерных сетей тесно связаны с их топологией. В работе приводятся алгоритмы определения маршрутов и путей в графе произвольной структуры и разрезов в планарном графе. На основе этого можно построить оценки надежности инженерных инфраструктур произвольного вида

Ключевые слова: инженерная инфраструктура, надежность, последовательное и параллельное соединение элементов, диаграмма Эйлера-Венна, неприводимая структура, планарный (плоский) граф, пути в графе, маршруты в графе, разрезы в графе, матрица смежности, перечисление путей и маршрутов в графе, двойственная сеть

Введение

Успешность функционирования

инженерных инфраструктур зависит от степени успешности выполнения конкретным элементом своих функций.

Система взаимосвязей между элементами произвольной структуры может быть отображена с помощью соответствующего графа. Возможные схемы инженерных сетей представлены на рис. 1.

Р

П1 III Л2 11]

Рис. 1. Возможная топология инженерных сетей

В целях первичного анализа надежности инженерных коммуникаций предположим, что топологическое построение инженерных сетей состоит из комбинации последовательных и параллельно соединенных участков. При более сложной топологии сети, их, скорее всего, не удастся свести к последовательно-параллельным видам соединений.

Из [1, 2] известно, как определяется надежность в последовательных и параллельных структурах. Но вот в том случае, когда топологию сети невозможно привести к последовательнопараллельному случаю, определение надежности

Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, тел. (473) 276-40-07

Саар Ольга Владимировна - РГСУ, аспирант, тел. 8-928-212-72-15

Тельных Виталий Геннадьевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (473) 276-40-07

вызывает затруднения. В данном случае приходится прибегать к процедурам полного перебора, что при достаточно больших структурах, насчитывающих несколько десятков элементов, приводит к необходимости перебора нескольких миллионов вариантов.

Следовательно, возникает задача определения надежности структур произвольного вида. Для решения этой задачи рассмотрим алгоритмы определения надежности для структур последовательного и параллельного типа.

1. Надежность структур

последовательного и параллельного типа

В теории надежности последовательной называется такая система, отказ хотя бы одного элемента которой приводит к отказу всей системы.

Для описания состояния элементов инженерной сети введем двоичную переменную хг, которая принимает значение равное 1 в том случае если г-ый элемент системы

работоспособен и 0 в противном случае.

В целом состояние системы, состоящей из произвольного числа элементов, будем характеризовать вектором, размерность которого равна числу элементов системы, то есть

Х = {Х1, Х2,...,ХИ}.

Все множество состояний, в которых может находиться система в зависимости от комбинации состояний ее отдельных элементов, можно разделить на два подмножества: первое подмножество будет объединять состояния системы, в которых она будет находиться в работоспособном состоянии и второе - в неработоспособном.

В этом случае состояние системы можно будет описать булевой функцией Ф(хь х2,...,хя) принимающей значение равное 1, если система находится в работоспособном состоянии и 0 в противном случае.

Критерием работоспособности системы будем наличие хотя бы одного пути, соединяющего вход и выход сети.

Очевидно, что такой критерий отказа соответствует тому, что для системы, состоящей из последовательно соединенных элементов,

подмножество состояний работоспособности будет состоять всего из одного состояния Х=1, а все остальные состояния образуют подмножество состояний отказа. Структурная функция в этом случае примет вид

Ф(Х )= I х,

1<г<п

Здесь через I обозначено логическое произведение булевых переменных, т. е.,

п

1<г<п

Поскольку событие

«работоспособность» эквивалентно событию «не отказ», можно записать структурную функцию для последовательных элементов в двойственном виде

Ф(Х )= и

х

1<г<п

Здесь через и обозначена логическая сумма булевых переменных, т. е.

и

х, = х1 V х2 V ... V хп

Действительно, выражение, стоящее под общим оператором отрицания, представляет собой событие «произошел отказ хотя бы одного элемента системы», т. е. произошел отказ системы. Следовательно, это же событие, но с отрицанием означает, что отказ системы не произошел. Это же утверждение получают и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Если вероятность безотказной работы г-го элемента обозначить через Яг, то общая вероятность безотказной работы системы п последовательно соединенных элементов будет составлять

г =1

И теории надежности параллельной называется такая система, работоспособность хотя бы одного элемента которой обеспечивает работоспособность всей системы.

Сформулированный таким образом критерий отказа соответствует тому, что подмножество состояний отказа параллельной системы состоит всего из одного состояния: Х=0, а все остальные образуют подмножество состояний работоспособности. Для параллельной системы структурная функция имеет вид

Ф(X ) и

х,

Используя понятие дополнительного события, вместо данного выражения можно записать следующее эквивалентное выражение:

Ф(Х )= п

1<г <п

Если вероятность безотказной работы г-го элемента обозначить через Яг, то общая вероятность безотказной работы системы п

параллельно соединенных элементов будет составлять

Япарал = 1 - П ^г ■

г=1

где Qг = 1 — я, - вероятность отказа в работе 1-го элемента.

Топология инженерных коммуникаций может иметь достаточно сложный характер, который может быть описан как последовательно - параллельная система. Эта система

представляет собой совокупность последовательных подсистем, соединенных параллельно. Пусть в системе имеется N последовательных подсистем, ¡-я подсистема включает в свой состав элементы с индексами ¡1 ¡2, ..., Структурная функция такой системы

Ф(Х)= и и х, .

1<j<N \<г<п)

А вероятность безотказной работы такой структуры будет определяться следующим

выражением:

Яп

^ I -у

= 1—П11—П Я

¡=1 V г=1 У

В том случае если система представляет собой совокупность параллельных подсистем, соединенных последовательно, тогда в такой системе имеется М параллельных подсистем, ¡-я подсистема включает в свой состав элементы с индексами¡1 ¡2, ¡т,.

Структурная функция параллельно-

последовательной системы

Ф(Х)= п и

х,.

1<] <М 1<г<т]

Вероятность безотказной работы такой структуры будет определяться следующим выражением:

м ( т'] Л

Япарал—пос | | I 1 ^ | Qг I

1 =1 V г =1 У

Но, к сожалению, топология реальных инженерных коммуникаций может носить достаточно сложный характер, который не позволяет свести их к некоторой произвольной комбинации последовательных и параллельных подсистем, для которых возможно привести простые расчетные формулы расчета надежности такой системы. Такие системы, следуя [2] будем называть неприводимыми.

Основная идея, лежащая в основе определения надежности таких систем, заключается в нахождении всех возможных путей соединяющих вход и выход рассматриваемой системы. Напомним, что в сети могут существовать пути и маршруты. Путь отличается от маршрута тем, что не содержит повторяющихся вершин. Система будет функционировать, если хотя бы один из путей, соединяющих вход и выход системы, будет работоспособен. Таким образом, для определения

х, = х, Л х2 Л ... Л х

1<г <п

надежности систем произвольного вида, необходимо определить перечень путей, соединяющих входи и выход системы.

С другой стороны, система приходит в нерабочее состояние в том случае, если вход не соединен с выходом системы. Этого можно достичь в том случае, если найти все разрезы графа, представляющего топологическую структуру инженерных коммуникаций. Следовательно, необходимо так же определять перечень разрезов в структуре произвольного вида.

Таким образом, в целях определения надежности структур неприводимого вида необходимо определять количество возможных путей или разрезов в графе, изображающем соответствующую организационную системы. Поэтому рассмотрим возможные алгоритмы пересчета путей и маршрутов.

2. Задача пересчета путей, маршрутов и разрезов в графе.

Задача определения числа путей (маршрутов) длины 2 между всеми парами вершин графа может быть решена простым возведением в квадрат его матрицы смежности. Аналогично, количество маршрутов длины 3 может быть получено из матрицы A3 и вообще количество маршрутов длины і между вершинами vi и vj равно соответствующему элементу матриц Al. Наконец количество маршрутов длиной не более p между всеми парами вершин определяется как сумма [3]

Р

A + A2 + A +... + Ap = £ А

і=1

Рис. 2. Система с неприводимой структурой

Рассмотрим число возможных путей для структуры неприводимого вида, представленной на рис. 2. Матрица смежности для

рассматриваемой сети приведена в табл. 1.

Таблица 1

Матрица смежности для сети, приведенной

на рис. 2

Вершины 1 2 3 4

1 0 1 1 0

2 0 0 1 1

3 0 1 0 1

4 0 0 0 0

Так как число вершин в сети равно 4, то есть п=4, то максимально возможная длина пути будет содержать не более трех дуг. Поэтому не имеет смысла возводить матрицу смежности в

степень больше трех. Результат такой операции приведен в табл. 2.

Таблица 2

Матрица смежности, возведенная в третью степень для сети, приведенной на рис. 2

Вершины 1 2 3 4

1 0 2 1 2

2 0 0 1 1

3 0 1 0 1

4 0 0 0 0

Учитывая, что входом сети,

представленной на рис. 2, является вершина 1, а выходом вершина 4, то нам необходимо найти число путей, связывающих 1 вершину с 4. По формуле получаем:

А + А2 + А +... + Ар =£ А = 0 + 2 + 2.

і=і

Таким образом, имеется четыре пути, соединяющих 1 вершину с 4.

К сожалению, таким образом, определяется число маршрутов связывающих пару вершин, а не число путей, которые представляют наибольший интерес. Количество путей можно определить, если найти все маршруты и отбросить те из них, где есть повторяющиеся фрагменты, т.е. необходимо решать задачу перечисления маршрутов. Прежде чем перейти к этой задаче, отметим два факта касающихся задачи пересчета:

1. Отличные от нуля диагональные

элементы матриц указывают на присутствие в графе соответствующего количества циклов длины I. Например, в матрице А2 (при

вычислениях не приводилась, но может легко

быть получена) диагональный элемент а(^ = 1 • Это значит, что в графе есть один цикл длиной 2 дуги, включающий вершину 2. Непосредственно по рисунку находим: 2 ^-3^-2.

2. Поскольку длина пути в графе не

может превышать

п—1 дуг, то не имеет смысла возводить А в более высокую степень.

Теперь рассмотрим алгоритм перечисления маршрутов и путей.

Матричный подход, использованный выше, легко адаптируется к задаче о перечислении маршрутов [4]

Пусть Р (1) - матрица всех маршрутов с I промежуточными вершинами (длины 1+1), элементы которой определяются как

(і) ^

р() = 1 2 ■■■ ^

к=1

где Укі это і-я по порядку промежуточная вершина маршрута связывающего уі и а q - количество таких маршрутов. Если маршрутов

длины 1+1 между и Уі нет, то р() = 0.

Слагаемые Ук1 Ук2 ... Укі представляют собой

"произведения" вершин, лежащих на некотором маршруте между уі и Их можно рассматривать

как размещения без повторений или с повторениями из п элементов по I в зависимости от того, является маршрут путем или нет

Например, для графа на рис. 1.

р(^ = 2 • 3 + 3 • 2 и значит из вершины 1 в вершину 4 есть два маршрута: 1^2^3^4, 1^3^2^4 которые являются путями, так как не содержат повторяющихся вершин. В наличии указанных маршрутов легко убедиться непосредственно по графу, а их количество равно

значению элемента 0^ в матриц Л2. Кроме Р®,

используем вспомогательную матриц Р', в

которой элемент р! равен если в графе есть

дуга уур и 0, если дуга отсутствует. Поскольку ¡-столбец Р(1-Г) отражает все маршруты длины I, с началом в ук (к=1,2,...,п) и концом в уа 1-строка

Р' - концы всех дуг вида угук (к=1,2,...,п), то сумма

п / N

I Р'кРк; ,

к=1

отражает все маршруты из у, в у- длины 1+1. Следовательно, матрица маршрутов Р® может

быть получена как Р' х Р(г-1), при этом сомножители в произведениях не переупорядочиваются и не используется

степенная запись повторяющихся

сомножителей, чтобы не потерять информацию о порядке следования вершин. Таким образом, может быть сформирован ряд матриц Р(1), Р(2), Р(3), ..., Р(?-1), в совокупности определяющих все маршруты длины не больше q для любой пары вершин.

Как видно из примера, уже при небольших значениях I матрицы могут быть весьма громоздкими. Однако, если цель поиска -пути, объем вычислений можно существенно

уменьшить, отбрасывая произведения с

повторяющимися вершинами. Очевидно также, что в этом случае I < (п—2), так как путь в графе не может содержать более чем п—2 промежуточных вершин. Кроме того, с

увеличением длины количество путей в общем случае должно сокращаться.

Для определения числа разрезов в графе воспользуемся свойством двойственности, характерным для планарных (плоских) графов [7]. Напомним, что планарный (плоский) граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. В этом случае, возможно построить сеть, двойственную к исходно, но в которой пути будут представлять разрезы для исходной сети [5].

Рассмотрим планарный граф (например, представленный на рис. 2). Необходимо найти количество разрезов и перечислить их.

Эта задача, конечно, может быть решена непосредственно прямым перебором. Но, оказывается, ее можно решить проще: разрез в

исходной сети соответствует некоторому пути в сети, двойственной к ней [6].

Алгоритм перечисления путей и маршрутов в двойственной сети будет совпадать с уже приведенным выше.

Двойственная сеть строится следующим образом. Сначала чертится дуга, соединяющая вход и выход в исходной сети. Получится плоская сеть с п узлами. Плоскость чертежа окажется разделенной на грани (области, ограниченные ребрами и не содержащие внутри себя ни вершин, ни ребер). Дуга (1, 4) будет разделять две грани, одна из которых является внешней. Поместим по одному узлу в каждую из этих граней и обозначим их через 5 и £ Аналогично, поместим по одному узлу в каждую из граней, разделенных дугой (г, ¡), и обозначим их через соответствующими буквенными обозначениями. Проведем в двойственной сети дуги, которые связывают узлы двойственной сети и при этом пересекают дуги исходной сети, как это показано на рис. 3.

Каждой дуге (г; ¡) исходной сети будет соответствовать дуга двойственной сети. Каждому разрезу, разделяющему вершины 1 и 4 в исходной сети, будет соответствовать некоторый путь из а в £ При этом оказывается, что пропускная способность с^ дуги (г; ¡) равна длине соответствующей дуги в двойственной сети. В этом случае кратчайший путь из 5 в / будет соответствовать минимальному разрезу, разделяющему 5 и /. Рис. 2 иллюстрирует

описанное построение.

Рис. 3. Сеть, двойственная к исходной плоской сети

Получив сеть, двойственную к исходной, определяем количество возможных путей и их перечисление. Применение алгоритма определения количества путей, позволяет

установить, что путей длиной в две дуги будет 2 (я^-а^ и я^Ь^Г), а путей длиной в три дуги - 2 (я^-а^-Ь^ и я^Ь^а^Г). Таким образом, всего путей, соединяющих вход двойственной сети с выходом будет 4.

Эти пути в двойственной сети будут соответствовать разрезам исходной сети:

[(1 - 2), (1 - 3)]; [(2 - 4), (3 - 4)]; [(1 - 2), (2 - 3), (3 - 4)];

[(1 - 3), (3 - 2), (2 - 4)].

3. Надежность инженерных

инфраструктур произвольной топологии

Использование путей и разрезов в сети произвольной структуры предполагает, что для успешного функционирования инженерной структуры произвольной топологии необходимо чтобы вход и выход сети были бы достижимы. Это возможно либо в том случае, когда существует хотя бы один путь, соединяющий вход системы с ее выходом либо же, когда полностью отсутствуют разрезы, отделяющие вход от выхода. Тогда в этом случае получается, что любую произвольную структуру можно представить в виде параллельного соединения путей в исходной сети, либо же в виде последовательно соединенных разрезов.

Определяя вероятность такого состояния, приходим к соотношению вида для возможных путей в графе

N ( Щ \

Я=1 -П 1 -П я I,

!=1 V г=1 )

где N - число путей в графе, соединяющих вход и выход; п - число дуг в ¡-м пути.

Аналогично получаем вероятность работоспособного состояния системы для случая использования разрезов

R

парал -пос

M

п

j=1

где М - число разрезов в графе; п - число дуг, входящих в в ¡-ый разрез.

Заключение.

Таким образом, в работе были рассмотрены оценки надежности инженерных коммуникаций произвольной структур. В качестве критерия работоспособности организационной структуры принималось

вероятность того, что вход системы соединен с ее выходом. Показано, что нахождение надежности структур представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно

взаимодействующих элементов не вызывает сложности. Но в тоже время подчеркивается, что на практике чаще встречаются структуры,

которые нельзя привести к системе последовательно и параллельно соединенных элементов. В этом случае задача определения надежности приводится к задаче перечисления путей и разрезов в графе, описывающем заданную инженерную инфраструктуру. Приведен алгоритм подсчета и перечисления путей в графе произвольного вида. Показано, что благодаря свойству двойственности этот же алгоритм может быть применен и для подсчета числа разрезов и их перечисления, но уже только для планарного графа.

Литература

1. Кулибанов, В. С. Современные методы управления строительным производством. [Текст] / В.С. Кулибанов // Л., Стройиздат, 1976. 214 с.

2. Райншне, К. Оценка надежности систем с использованием графов. [Текст] / К. Райншне, И.А. Ушаков И.А. // М.: Радио и связь, 1988. - 208 с.

3. Курочка, П. Н. Оценка надежности элементов организационной системы [Текст] / П.Н. Курочка, С.В. Молозин, В.Г. Тельных // Вестник Воронежского госуд. технического университета, Том 6 № 7, 2010. - С. 27 - 31.

4. Алферов, В.И. Прикладные задачи управления строительными проектами. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, Н.В. Хорохордина, В.Н. Шипилов // Воронеж «Центрально - Черноземное книжное издательство», 2008. - 712 с.

5. Алферов, В.И. Механизмы агрегирования последовательных и параллельных моделей на сетевые графики [Текст] / В.И. Алферов, П.Н. Курочка // Известия Тульского гос. Университета, Выпуск 13, Тула, 2009. - С. 222 - 231.

6. Курочка, П.Н. Разработка механизмов комплексной оценки надежности обеспечения ресурсами в строительстве [Текст] / П.Н. Курочка, А.Ю. Пинигин, В.Н. Шипилов // ВеСтНИК Воронежского государственного технического университета Том 5 № 4, 2009. - С. 168 - 172.

7. Курочка, П.Н. Модель выбора альтернативных вариантов управления недвижимостью в условиях риска [Текст] / П.Н. Курочка, М.А. Ефремов М. А., А.М. Дудин // ВЕСТНИК Воронежского института высоких технологий №2 2007. - С. 15 - 21.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Ростовский государственный строительный университет

AN ESTIMATION OF WORKING CAPACITY OF THE ENGINEERING INFRASTRUCTURES AT ANY TOPOLOGY S.A. Barkalov, O.V. Saar, V.G. Telnih

Problems of definition of engineering reliability networks are closely connected with their topology. In work it is resulted algorithms of routes definition and ways in the column of any structure and cuts in the planar count. On the basis of it, it’s possible to construct estimations of engineering reliability infrastructures of any kind

Key words: an engineering infrastructure, reliability, consecutive and parallel connection of elements, Euler-Venna diagram, not resulted structure, the planar (flat) count, ways in the column, routes in the column, cuts in the column, a contiguity matrix, transfer of ways and routes in the column, a dual network