Особенности моделирования отказа оконечного каскада мощного транзисторного радиопередатчика с помощью графа состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

°.М. Булгаков, Ю.С. Никитина

доктор технических наук, доцент,

заместитель начальника Воронежского института МВД России по учебной работе

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОТКАЗА ОКОНЕЧНОГО КАСКАДА МОЩНОГО ТРАНЗИСТОРНОГО РАДИОПЕРЕДАТЧИКА С ПОМОЩЬЮ ГРАФА СОСТОЯНИЙ FEATURES OF FAILURE MODELLING OF THE POWERFUL TRANSISTOR RADIO TRANSMITTER TERMINAL CASCADE BY MEANS OF THE STATE GRAPH

Показана применимость представления транзисторного каскада усиления мощности системой типа “m из n ” при анализе его надёжности, в частности моделировании частичного отказа. При этом минимально достаточное количество работоспособных транзисторных ячеек и вероятность перехода частичного отказа в полный может определяться не только значениями интенсивности отказа ячеек, но и комбинациями номеров отказавших ячеек.

Applicability of representation of the power amplifier transistor cascade by system “m from n ” type is shown at the analysis of its reliability, in particular, modelling ofpartial failure. The minimum number of efficient transistor cells and probability of transformation of partial failure in the breakdown is thus can be defined not only cells offailure intensity values, but also the refused cells number combinations.

Граф состояний системы полностью определяется её структурой, надёжностью компонентов и их ремонтопригодностью. Поэтому граф состояний часто используется для моделирования надёжности системы. Граф состояний сложной системы может иметь большое число узлов. В этом случае при построении графа рассматривается большое число возможных сочетаний отказавших элементов. Основным преимуществом такого представления системы является наглядность и сравнительная простота. В то же время в моделях надёжности оконечных каскадов высокочастотных транзисторных усилителей мощности и мощных ВЧ (СВЧ) транзисторов граф состояний практически не используется, так как в них обычно рассматривается только два состояния —

работоспособное и отказ. Однако представление транзисторного каскада усиления мощности набором параллельно соединённых по входу и выходу усилительных модулей [1] делает востребованным граф состояний для моделирования отказа каскада, в частности описания наиболее вероятного сценария отказа и определения вероятности перехода частичного отказа в полный [2].

Эквивалентная схема надежности ВЧ (СВЧ) транзисторного каскада усиления мощности (ТКУМ) может быть представлена N соединенными параллельно идентичными усилительными блоками, каждый из которых включает в себя М модулей (конструкционных элементов, рис. 1) [3].

Система может находиться в большом числе состояний, характеризующихся отказами различных блоков. В процессе длительной эксплуатации, система, переходя из одного состояния в другое, в дискретные моменты времени может побывать в каждом из возможных состояний. Тогда её функционирование может быть описано графом, узлам которого приписываются состояния системы, а ветвям — возможные переходы из состояния в состояние. Если в графе имеется п узлов, то среди них будет к узлов, соответствующих отказовым состояниям, и (п-к) — исправным.

Хц Х12 Ххм

Рис. 1. Система, состоящая из N идентичных параллельных блоков

Вид графа зависит от структуры системы (эквивалентной схемы надёжности). Узлы графа нумеруются, и крестом отмечаются те, которые соответствуют отказовым состояниям системы. На графе также указываются значения вероятности или интенсивности переходов, численно равной интенсивности отказов Х(^, которая является наиболее универсальным показателем надёжности сложных систем и их элементов.

Интенсивность отказов связана с вероятностью безотказной работы системы Р(^ и плотностью распределения времени безотказной работы Д£):

М>) = ^. (1)

Применительно к ВЧ (СВЧ) ТКУМ под работоспособным состоянием следует понимать как исходное, со всеми работающими блоками, так и состояние квазиста-бильного частичного отказа. Квазистабильные частичные отказы характеризуются отношениями действующих величин факторов отказа, например выходной мощности, усилительных блоков к критическим значениям: Р/Ркр, обеспечивающими приемлемо малые значения вероятности последующих частичных отказов. Неразвитие частичного отказа в полный, т.е. переход системы в состояние квазистабильного частичного отказа, должно быть обусловлено повышением равномерности распределения фактора отказа по сохранившим работоспособность. усилительным блокам или снижением величины

фактора отказа. Применительно к выходной мощности в первом случае стабилизация отказа может возникнуть за счёт уменьшения индукционных и тепловых взаимодействий усилительных блоков (транзисторных ячеек) вследствие их пространственного разделения из-за отказа блоков (ячеек), расположенных в центре ряда. Во втором случае механизмом стабилизации может быть уменьшение входной мощности за счёт изменения входного сопротивления оконечного каскада и её частичного отражения в предоконечный каскад [4]. Отказовые состояния системы отождествляются как полный отказ или такие частичные отказы, которые с вероятностью, близкой к единице, предшествуют полному отказу по сценарию ускоряющихся частичных отказов [5].

На рис. 2 представлен граф состояний системы, изображённой на рис. 1. Совокупность состояний, когда в системе отказало к блоков, будем называть к-м уровнем графа. На нулевом уровне все блоки исправны, на нижнем уровне отмечаются крестом узлы, которые соответствуют отказовым состояниям системы.

На рис. 2 — интенсивность перехода системы на ]-й уровень с ]-1-го уровня

за счёт отказа і-го блока; і,] = 1,...,^ Очевидно, величины зависят от ранее отказавших блоков, т.е.:

^, т) = Ь k) * (Л k)* Ь q), (2)

где p,q,m,n — номера отказавших блоков.

............. 111111 | I I I | I 111111

ФФФФФФ &&&&&& - фффф&ф - <&(£)(£)(£)(£)(&)

Рис. 2. Граф состояний системы

Для описания квазистабильного частичного отказа наиболее приемлема задача о надёжности систем типа “т из п”, часто встречающихся в электрических и связных системах, а также при структурном резервировании. Отказ такой системы произойдёт, если из п элементов, соединённых параллельно, работоспособными окажутся менее т элементов (т < п).

Расчёты показателей надёжности проводятся в предположении, что как вся система, так и любой её элемент могут находиться только в одном из двух возможных состояний — работоспособном и отказовом. Работоспособность или отказ системы определяется состоянием элементов и их сочетанием. Расчёт безотказности системы сводится к перебору всех возможных комбинаций состояний элементов, определению вероятности каждого из них и сложению вероятностей работоспособных состояний системы [6].

Для расчёта надёжности систем типа “т из п” при сравнительно небольшом количестве блоков используют метод прямого перебора. Работоспособность системы определяется лишь количеством работоспособных элементов. По теореме умножения вероятностей вероятность любого состояния определяется как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы. С учётом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний.

Расчёт надёжности системы “т из п” производится и комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биномиального распределения дискретной случайной величины к — числа появлений некоторого события в серии из п опытов, если в от-

дельном опыте вероятность появления события составляет р [7]. При этом вероятность появления события ровно к раз определяется:

Рк = Скрк (1 - р)п к, (3)

где биномиальный коэффициент С^ — число сочетаний по к из п:

. п!

Скп =----п----. (4)

п к!(п - к)!

Поскольку для отказа системы “т из п” достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше т, вероятность отказа может быть найдена по теореме

сложения вероятностей для к = 0,1, ... (т -1):

т-1 т-1

ч = 2 Р = 2 С‘рк (1 - р)п-к. (5)

к=0 к=0

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму вероятностей, определяемых выражением (3) для к= т, т+1,.. ,,п:

п п

Р =Ё Рк = 2 С‘рк (1 - р)п-к. (6)

к= т к=т

Так как Ч+Р=1, в расчётах следует выбирать ту из формул (5) или (6), которая в данном конкретном случае содержит меньшее число слагаемых.

Очевидно, при т=1 система превращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при т=п — с последовательным соединением.

Рассмотренный выше метод прямого перебора практически универсален и может использоваться при расчёте любых систем. Однако при большом количестве элементов системы п такой путь становится неудобным ввиду большого объёма вычислений. Так, для графа, изображённого на рис. 2, количество переходов с нулевого уровня на уровень с номером N-m, обеспечивающий минимально необходимое количество т работоспособных блоков, количество востребованных для расчётов значений интенсивностей отказов ^ с учётом выражения (2):

Т^,т) = N +1 ( ^ ) . (7)

V ’ ' 2к=2^-к) ^

Так, Т(5,2) = 45, Т(10,6) = 2935, и т.д.

Существенно сократить объёмы вычислений можно, исключив из рассмотрения маловероятные переходы.

Введём обозначение: Хшах j — максимальная интенсивность отказов при переходе системы на ¡-й уровень:

= тах{ц (р,...^)}= тах{ц ¡рг-1;м}}; 1,РЛ = .

Здесь р, ..., д — номера ранее отказавших ¡-1 блоков; \рг-1.1Я } - г-е множество комбинаций ¡-1 номеров отказавших блоков из их общего количества N.

Учитывая, что работоспособное состояние системы соответствует отказу любых из s<ш блоков, для текущего ]-1-го уровня системы:

Лтах = таХ(Л ^...Л^ І=1,...,М,

где М = N-¡+1 — количество работоспособных блоков системы и одновременно количество возможных переходов в системе из одного состояния в другое для рассматриваемой пары смежных уровней.

Тогда из рассмотрения могут быть исключены переходы, характеризующиеся относительно малой интенсивностью отказов:

^1<< ^шах, 1=1,.,М.

Маловероятные переходы системы на j -й уровень с их количеством к<М образуют подмножество множества всех возможных переходов: к} є [км }• Тогда при отказе произвольной комбинации j-1 блоков:

к}=и к к-.}} є (л,}=и к к-1}}

г г

Исключение q переходов с (]-1_-го уровня на j-й уменьшает количество переборов на величину:

AT(N,m) j,q = q

1 + - z ((N j) \

. 2k=2 (N - k - j) !

(8)

Из выражения (8) видно, что для сокращения объёма вычислений особенно важно исключить маловероятные переходы с нулевого уровня на первый и с первого на второй. Так, исключение q переходов с нулевого уровня на первый уменьшает количество вычислений при анализе надёжности системы типа “т из п” в q раз.

Важной особенностью моделирования частичного отказа ТКУМ при представлении его системой типа “т из п” является зависимость минимально достаточного количества работоспособных транзисторных ячеек т не только от их общего количества N. системы конструкционных {С^ и технологических } параметров, а также харак-

теристик режима эксплуатации {Ек}, но и от набора отказавших ячеек \р^-1.м }.

Так, при отказе центральных ячеек будет не только меньше, по сравнению с отказом периферийных ячеек, вероятность перехода частичного отказа ТКУМ в полный по сценарию лавинообразных последовательных отказов ячеек, но и меньше количество т работоспособных ячеек, при которых ТКУМ сохраняет работоспособность. Величина т должна быть определена для каждого множества \р]-1.1Я }, исходя из приемлемого соотношения Р/Ркр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков О.М., Никитина Ю.С., Обухова О.А. Особенности построения схем надёжности и моделирования частичных отказов систем с параллельными взаимосвязанными каналами // Вестник Воронежского института МВД России. — 2008. — №4. — С. 49 — 56.

2. Булгаков О.М., Никитина Ю.С. Прогнозирование частичных и полных отказов мощных транзисторных усилителей с модульной структурой // Вестник Воронежского института МВД России. — 2008. — №2. — С. 91 — 96.

3. Булгаков О.М., Никитина Ю.С., Петров С.А. Декомпозиционная модель катастрофического отказа мощного ВЧ (СВЧ) транзистора // Вестник Воронежского института МВД России. — 2007. — №4. — С. 1l6 — 119.

4. Проектирование радиопередатчиков / под ред. В.В. Шахгильдяна. — М.: Радио и связь, 2000. — 656 с.

5. Декомпозиционный подход к моделированию катастрофического отказа мощного ВЧ (СВЧ) транзистора / О.М. Булгаков, В.В. Лупандин, Ю.С. Никитина, С.А. Петров // Твёрдотельная электроника и микроэлектроника: межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007. — Вып.6. — С.200 — 205.

6. Бобров В.И. Надёжность технических систем. — М.: МГУП, 2004. — 236 с.

7. Сотоков Б.С. Основы теории надёжности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. — М.: Высшая школа,1970. — 270 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ СТАТЬИ:

Булгаков Олег Митрофанович. Заместитель начальника по учебной работе. Доктор технических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: [email protected]

Россия, 394065, г.Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (4732) 312-821.

Никитина Юлия Сергеевна. Адъюнкт кафедры радиотехники.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: [email protected]

Россия, 394065, г.Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (4732) 476-432.

Bulgakov Oleg Mitrofanovich. The Deputy chief on study. Doctor of technical sciences, assistant professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (4732) 312-821.

Nikitina Yuliya Sergeevna. Post-graduate cadet of chair of a radio engineering.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (4732) 476-432.

Ключевые слова к статье: интенсивность отказов; частичный отказ; полный отказ; транзисторный каскад усиления мощности; транзисторная ячейка; граф состояний системы.

Keywords: failure rate; partial failure; breakdown failure; the transistor cascade of power amplification; transistor cell; system state graph.

УДК 621.382