Оценка логистических показателей в условиях ограниченной информации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ОЦЕНКА ЛОГИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ

И.Б. Арефьев, д.т.н. (Морская академия Польши, г. Щецин); А.А. Клавдиев, к.т.н. (Северо-Западный технический университет, г. Санкт-Петербург, [email protected])

В статье обоснован метод оценки логистических показателей в условиях ограниченной информации о параметрах функционирования транспортной системы.

Ключевые слова: логистический показатель, нормальный закон распределения, инвариантная статистика, стохастический супериндикатор.

К настоящему времени накоплен известный опыт разработки и применения отдельных математических приемов для обоснования решений при выборе рациональных схем построения транспортных узлов. Однако до сих пор не сложилась единая методическая основа для получения дискриминационных функций. Задача осложняется тем, что решения корректны только при условии учета совокупности характеристик, между которыми возможна стохастическая связь. Связь эту необходимо не только выявить и оценить, но и учесть в процессе решения задачи.

В общем случае грузопоток характеризуется рядом параметров перемещаемых объектов: вес, габариты, период поступления и др. В силу того, что характер грузов не поддается строгому регулярному описанию, для формализации имеет смысл воспользоваться элементами теории вероятности. Введя в рассмотрение случайный характер исследуемых параметров х^ можно применять известные приемы их формального описания. Очевидно, что наиболее полную информацию о случайном процессе несет плотность распределения его координат: Дхь х2, ..., хп). Однако сложность использования многомерных распределений заключается в трудностях их идентификации и ограниченности форм явного описания. Так, пожалуй, единственным обобщением многомерного распределения в явном виде является многомерная плотность нормального закона:

Г(х1,х2,...,хп)=Се-0(х "а2'-'хп -ап),

- положительно

где 0(х1,х2,-хп) = 2 Чыхкх 1

определенная квадратичная форма; аь а2, ..., ап -математические ожидания случайных величин хь х2, ..., хп; коэффициенты С и выражаются

через дисперсии а2,а2,...,а2 и коэффициенты

корреляции рк между Хк и Х;.

Нормальное распределение играет фундаментальную роль в теории вероятности и математической статистике, так как основные положения этих разделов математики основываются на предположении о нормальном распределении генеральной совокупности. Однако информационная ситуация, в условиях которой принимается решение, часто не позволяет однозначно постулировать допущение о нормальном распределении.

Сложность и неоднородность условий реализации грузопотока обусловливает необходимость исследования, в основу которого должны быть положены специфические методы статистического анализа. Опыт проведения подобных исследований в различных областях науки и техники позволил выявить ряд моментов, которые можно учитывать при исследовании динамики процессов грузооборота. Однако быстрое устаревание информации и ее ограниченный объем обусловливают применение методов, использующих инвариантные статистики теории стохастической индикации [1].

Данный подход заключается в том, что по малым выборкам, представленным в виде вариационного ряда, практически всегда можно найти такое преобразование, в результате которого получится статистика, не зависящая от параметров распределения генеральной совокупности. Функцию распределения этой статистики целесообразно определять в результате статистического моделирования, если ее аналитическое построение затруднено. То есть данный подход относится к классу непараметрических методов проверки гипотез о виде закона распределения. Основой построения преобразования для формирования инвариантной статистики служит вариационный ряд

x,

(m) <x2m) <...< x^, составленный из выборки неза-

1 — х2

висимых случайных величин х1? х2, ..., хт. Плотность Дх^ х2, ..., хт) совместного распределения членов вариационного ряда определяется выраже-

т

нием 1Хх1,х2,...,хт)=т!ПГ((х,), где ^(х^ - плот-1=1

ность распределения случайной величины х1; т - количество наблюдений в выборке.

Избавиться от параметров распределения генеральной совокупности можно, промежуточно преобразовав члены вариационного ряда. Так, например, для выборки случайных величин х1 объемом т=2 из генеральной совокупности с экспоненциальным законом распределения такое преобразование имеет вид к=, х1 — х2 .

х2

Действительно, применив обратное преобразование Н.В. Смирнова к случайным величинам х1

1п(1-а1)

и x2, получим выражение к =

ln(1-a2)

которое не

n

зависит от параметров экспоненциального распределения. Оно зависит только от случайных величин а1<а2, равномерно распределенных с совместной плотностью вероятности Га (а^а?)=2!

Аналогично можно показать, что для выборки объемом т=3 из генеральной совокупности с равномерным законом распределения промежуточное

х(3)-х(3) а -а

преобразование имеет вид К=—^—=—-1,

х33) - х((3) аз -а1

где а1<а2<а3 - упорядоченные случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0,1].

Для выборки того же объема из генеральной совокупности с нормальным законом распределе-

(3) „(3)

ния получим К =

2 - X

х(3) „(3)' х3 х1

П? -П

, где П1 ^П?

П -П1

- упорядоченные случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону.

Увеличение наблюдений в выборке позволяет строить совокупность промежуточных преобразований по аналогичной схеме. Такая совокупность характеризуется интегральной функцией совместного распределения О(К}), 1=1,т - г, где г - число параметров распределения генеральной совокупности. В силу неоднозначного расположения

критических зон для К},1=1,т-г при заданном

значении О представляется целесообразным применить метод стохастической индикации, согласно которому О(К}), 1=1,т - г, выступает в роли супериндикатора [1, 2].

Стохастический супериндикатор 8 представляет собой вероятность события, исход которого зависит от соотношения двух или нескольких случайных величин. В описываемом варианте супериндикатор выступает в роли непараметрического критерия согласия. Правомерность его использования базируется на следующем утверждении.

Пусть требуется проверить гипотезу Н0:О(8)=, где О1(х) - функция гипотетического распределения случайной величины „. Введем в рассмотрение случайные величины 8=О(х) и 81=О1(х). Тогда, если выполняется равенство О(х)=О1(х), то справедливо выражение Н0:Е(8)=Е^), где Е(8) и Е^О - функции распределения супериндикаторов 8 и 81. Следовательно, проверка гипотезы Н0 равносильна проверке гипотезы НО.

Процесс формирования супериндикатора 8, его функции распределения Е(8) и основанного на нем непараметрического критерия согласия для некоторых основных законов распределения генеральной совокупности, а также исследование его мощности подробно изложены в [1].

Заметим, что подобным образом могут быть сформированы супериндикаторы для различных

законов распределений. Однако получить конечные аналитические зависимости не всегда возможно. В таких случаях задача может быть решена численными методами. Кроме того, при наличии некоторых априорных данных о классе распределения генеральной совокупности (например, параметров предполагаемого закона) проверить гипотезу можно, преобразовав имеющиеся случайные величины в равномерные, нормальные или экспоненциальные. После чего достаточно воспользоваться соответствующим супериндикатором для идентификации преобразованных случайных величин.

Действительно, пусть дана выборка х1п)...хПп) случайных величин из генеральной совокупности с нормальным законом распределения ^т,а), где т - математическое ожидание; а - среднеквадра-тическое отклонение [3, 4].

Если последовательность случайных величин Ип)

х((П)...х:

х(п) < ...< х^ < ...< х^ , где хк

п представить в виде вариационного ряда

п—1

Е х}"

1=1

(п)

(п)

(п)

к

и к=п-2,

плотность совместного распределения отношения

(п) лИп)

К=-

хкп) - х:

х

(п)

вид: ДК)=

, Не [0,1], п=3,...^ , будет иметь

х1(п)

к+1 к "

-К

К2-2К+

к+1 к

-2К+¥)

Доказательство

В рассмотрение введем случайные величины:

_(п)

у=пг-

п(п) _(п) Пк__п(п) Пк_

,2 , К= Л"

■пГ

(п)

пп)

ппп)-пГ

Тогда

п1п)=У1

.,2

1

пкп)=У^

1+-1 - -

Следовательно,

У2

якобиан

п(,п) =11.

У2

э(пп4п),ппп>) _

Э(У!,У2,К) =

1 1 У1

У2-К у2

1+--1] У? К 1 -Уъ/к у2 Ух

У? у2

У1

у2_ у(к2'

Значит, 1

Г(У1,У2,К)=-L-f(п1n>,-пkn>,-пnn> )х

СН

1___

ут 1+-1 -1

. У( К

У(

11 у(

1± «.2

1/к - -^^к

у( к--!( 0 у(

(2пК2у(К2св

п

2

2

0

а=

ПоЭтому Г(У2'К) = ПСН7^,

у2 (к82 - 2к8+к+1)+у2 (к82 - 2к8+ к+1)+к82 + 28

где

у2*2

Далее вводятся обозначения: а = к82 - 2к8+ +к+1; Ь=2к82-2к8-28; с=282+к82;

Ь1 = Ь/а 3

с1 = с/а. Тогда '(у2,8)= 8у2ч/к

пСН а^(у2 +Ь!У2 +

Следовательно, '(8) = ^ -Ьку^ и

па^аСН [ 2

3л/к8-4(2к82 - 2к8-28)

Ц8)=-Ц=---, где Ь2 - 4ас=

пСН^а(Ь2 - 4ас)

=482{-282к+2кК-(к+1)} .

Значит,

'(8)=

к+1 к

пСН

пС,

,^82 -28+кк+1^82 -28+к+1'

Учитывая, что р(8)= 6 агс^ пСн

Сн = —аг^^к , п

82-28+к±1

к+1

жение для

'(8)=

аг^л/к|282-28+-к:1^у282-28+ к

к+1

агс1&-

Следовательно, Г(8)=-

82-28+к+1

агс

Проверка гипотезы о принадлежности выборки генеральной совокупности заключается в следующем.

По выборке случайных величин Х1п) ...Х^'

строится вариационный ряд Х(п) < ...< Хк"' <

г(п).

п—1

<...< Хпп), где ХГ =

2 Х(

(п)

(п) =

и к=п-2, и вычисля-

(п) (п)

ется 8

Х'кМ| - Х Х(п) - х(П)

Рассчитывается значение супериндикатора: * 8

= Г(8)=-

V

е-28+^ к

агс^>/к

Определяется критическое значение супериндикатора ЯКР=а, где а - уровень значимости.

Сравниваются расчетное и критическое Якр значения супериндикатора. При этом, если ЯР<ЯкР, гипотеза о нормальном законе распределения исходной выборки отвергается; если 8Р>ЯкР, то нет оснований отвергать выдвинутую гипотезу.

Литература

1. Мартыщенко Л.А., Воловик А.В., Клавдиев А.А. Идентификация нормальных совокупностей малого объема. СПб: МО, 1990.

2. Клавдиев А.А., Воловик А.В., Гайфутдинов В.А. Метод идентификации марковских процессов по ограниченной информации // Стандартизация военной техники. 1993. № 2. С. 58-69.

3. Клавдиев А.А., Соскин А.В., Соскин С.В. Метод непараметрической идентификации функций потребности и стоимости грузозахватных средств транспортных терминалов // Анализ, прогнозирование и управление в сложных системах (АР8-2006): тр. Российско-польской конференции. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2006.

4. Клавдиев А.А. и др. Устройство для идентификации выборки. Патент на полезную модель № 65664 от 10.08.2007.

и

к

и

к

УСКОРЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ВЫЯВЛЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РЕШЕНИЙ

Д.С. Портоне (ЗАО «ОВИОНТ», г. Москва, [email protected])

В статье описывается метод формализации предпочтений, основанный на совмещении традиционных методов (взвешенной суммы и идеальной точки) скаляризации векторного критерия и метода предпочтений, реализованного в СППР В88/иТБ8, для построения ранжирований.

Ключевые слова: система поддержки принятия решений, ЬЗЗ/иТЕЗ, функция предпочтений.

С увеличением количества информации, которую необходимо обработать для принятия любого значимого решения в управлении, возрастает роль поддержки принятия решений. При анализе и принятии решений руководители в различных

сферах пользуются рейтингами объектов. Опора на рейтинги при принятии решений требует контроля над их построением и предъявляет различные требования в соответствии с особенностями ранжируемых объектов [1]. Например, при приня-