Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОЦЕНКА КОМПОНЕНТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ В ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ1

© 2008 А.С.Рябенко2

Рассматривается начально-краевая задача, описывающая в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой стратифицированной жидкости. На основе принципа локализации получена оценка скорости стабилизации решения задачи при г ^то.

Ключевые слова: начально-краевая задача, линейное приближение, вязкость, сжимаемость, стратифицированная жидкость.

1. Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с частными производными

дУ(г,х) у д2У(1,х) 1 дР(г,х) g _

<9? ро(х) дх2 роМ дх ро(*)^ ’ ’ ’

дд(г, х) / И2(х) _2\ ЗУ (г, х)

+ р0(х)У(1, х) + р0(х)— ---= 0, (1)

dt \ g ) дх

= *>о. ,>о,

dt dt g

с начальными и граничными условиями

V(t, x)|t=o = P(t, x)|t=o = q(t, x)|t=o = 0, V(t, х)Х=о = V(t, х)Х=те = 0. (2)

Система дифференциальных уравнений (1) описывает в линейном приближении малые одномерные (в направлении однородного поля тяготения) акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости (см. [1]).

Использованы следующие обозначения: V(t, х) — скорость движения частицы, находящейся в момент t > 0 в точке х > 0; q(t, х), P(t, х) — отклонения

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором И.А. Блатовым.

2Рябенко Александр Сергеевич (alexr-83@yandex.ru), кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

от стационарной плотности и давления; ро(х) — стационарная плотность; V — коэффициент вязкости; с — скорость распространения звука; g — ускорение свободного падения; Ж2(х) = -(р0(х)р-1(х) + gc~2)g — частота Вейсяля—Брента.

Модель (1) отличается от рассмотренной в работах [2-4] наличием переменных коэффициентов, обусловленным отказом от предположения Бус-синеска относительно стационарной плотности ро(х).

2. Основной целью работы является получение оценки скорости стабилизации решения при г ^то на основе принципа локализации, развитого в работах [4-6] для систем уравнений гидродинамического типа с постоянными коэффициентами и в работах [7, 8] для начально-краевой задачи уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Результаты получены на основе установления связи между скоростью убывания решения задачи и геометрией области аналитичности образа Лапласа (Ь^у) решения. Аналитичность образа решения устанавливается на основе априорных оценок образа решения. На этой же основе доказана однозначная разрешимость как исходной задачи (1)-(2), так и задачи в образах. В работе приводятся оценки скорости стабилизации при г ^то компоненты решения V(г, х).

Сформулируем условия, используемые в работе.

Условие 1: Будем говорить, что функция ро(х) удовлетворяет условию

1, если ро(х) е с2 [0, то) и существуют £1, £2, С1 > 0 такие, что при х е [0, то) выполнены неравенства £1 ^ р0(х) ^ £2, |р0(х)| ^ С1.

Условие 2: Будем говорить, что функция F(г, х) удовлетворяет условию

2, если F(г, х) непрерывна по совокупности переменных х е [0, то), г > 0 и F(г, х)е6г е Ь1(Я+_+) при некотором 6 > 0.

Условие 3: Будем говорить, что функция F(г, х) удовлетворяет усло-

д^(г, х)

вию 3, если для функций

дгк

где к = 0,1,2, выполнено условие 2,

то

дkF (г, х)

е Ь2 [0, то), где к =

дF(г, х) Г

^(г,х)|г=0 = 0, ———1(=0 = 0 и (1 + х) J

0

= 0,1,2.

Определение: Будем говорить, что функции ^(г, х), ^(г, х), Р1(г, х) принадлежат классу Та, если справедливы следующие оценки:

д^1(г, х)

дгк д^1(г, х)

дхк

дкд1(г, х)

дгк

дкР1(1,х)

дгк

< С2еа О = к(

< С2еа 2) = (к

< С2еа (к = 0,1),

< С2еШ О = (к

дР1(г, х)

дх

< С2еа (к = 0,1).

Ниже преобразования Лапласа (Ьг^у) функций V(г, х), ц(г, х), Р(г, х), F(г, х) будем обозначать у(у, х), р(у, х), р(у, х), /(у, х) соответственно.

После применения преобразования Лапласа (Ьг^у) к задаче (1)-(2) и некоторых вычислений мы получаем, что

(3)

(4)

1 /№-(х) _2\ р0(х) ду(у, X)

|ро(*Му,х)- —---------,

2 С2Ж2(х)р0(х)

Р(У, *) = с Р(У.*)--------------*)>

gY

а функция у(у, х) является решением следующей задачи:

5 /уу + р0(х)с2ду(у,х)\

Т------------------7---- - УРоОМУ, х) = -/,(у, х),

д х \ у д х /

у(у, х)|х=0 = у(у, х)|х=то = 0,

где /*(у, х) = Р0(х)/(у, х).

3. Справедливы следующие леммы и теоремы.

ду(у, х) д2у(у, х)

Теорема 1: Пусть функции /*(у, х), у(у, х), -----------, ------— принадле-

дх дх2

жат пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном у е В, где В — это некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для любого £ >0 существует ^1 > 0,5п такое, что при у е В П (((|у| ^ £) П (^ у1 ^ уО) и (^ у1 ^ ¥2)), где ¥2 < 0,5п, справедлива

следующая оценка:

2

д2у(у, х)

дх2

+

ду(у, х)

дх

М х)|| < Сз \\/*^ х)\\ ,

где Сз = Сз(уь¥2) : 0 < £3 < Сз(уь¥2) < £4.

Доказательство теоремы 1 проводится с помощью умножения уравнения (4) на у(у, х) и интегрирования по х от 0 до со с последующими оценками.

Лемма 1: Пусть функции /*(у, х), у(у, х),

ду(у, х) д2у(у, х)

, принадлежат

д х д х2

пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном у е В, где В — это некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для достаточно малых у, лежащих между кривой 1(у) = -у^-1р!С2 + + г^-1р1С2у (здесь ¥ е [-6,0) и (0,6]) и мнимой осью (включая точки, лежащие на I и мнимой оси) и принадлежащих В, выполнена оценка

1 2 ду(у, х) 2 1 и2 п с„л2

^ С4 II/*(у, х)

+

Доказательство леммы 1 проводится на основе теоремы 1.

Лемма 2: Пусть функции (1 + х)/*(у,х), у(у, х),

ду(у, х) д2у(у, х)

, принад-

дх дх2

лежат пространству [0, то) по переменной х при каждом фиксированном

у е В, где В — некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для достаточно малых у, лежащих между контуром /(у) и мнимой осью (включая точки, лежащие на контуре /(у) и мнимой оси), верна оценка

д2у(у, х)

д х2

ду(у, х)

дх

|У|2 |Ну, х)||2 ^ С5 ||/,(у, х)(1 + х)||2 ,

а при достаточно малых у е В и таких, что |ф| < 0,5п, где ф = агд у, верны оценки

д2у(у, х) 2| || || <Му, х)

дх2 + ^ л сое ф дх

+

’|2 (С08 ф)2Х

ду(у, х)

дх

Х |^(у, х)|| ^ Сб((|у| СОв ф) 1 + (сое ф) 2 + 1) ||/*(у, х; + |у| С08 ф ||у(у, х)^2 ^ С7 ||/*(у, х)(1 + х)||2 .

Пусть 6 > 0, а > 0, в > 0. В дальнейшем через ^ будем обозначать контур следующего вида: ^ = ^0 и I и /1, где I = -^2а + г^Р при ^ е [-6,6], /0 = -—62а - г(6 + ^)Р при ^ е [0, то), /1 = -62а + г(6 + ^)Р при ^ е [0, то).

Теорема 2: Пусть функция /*(у, х) принадлежит пространству Ь2 [0, то) по переменной х при Rey ^ -£, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда найдется контур ^’Рз такой, что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ^’Рз, у задачи (4) существует единственное решение из И2 [0, то).

Доказательство: Обозначим р£(х) = р0(£х). Рассмотрим задачу д (уу + рЕ(х)с2 ду(у,х)\

дх \-----у-------дх~) ~ х^ = х

v(y, х)|х=0 = у(у, х)|х=то = 0.

(5)

При £ = 1 задача (5) переходит в задачу (4). При £ = 0 существует контур /а;Р1 такой, что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ^,Р1, у задачи (5) существует единственное решение из И2 [0, то)

(см. [4]). Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур ^’Р2 такой, что равномерно по £ е [0,1] при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ^а^2, для решения задачи (5) выполнена оценка

2

2

+

+

2

2

При помощи метода продолжения по параметру из последней оценки получаем, что при каждом фиксированном у, лежащем правее некоторого контура /аз3,р3, задача (4) разрешима в И2 [0, то).

д/(у, х) ду(у, х) д2у(у, х)

Теорема 3: Пусть функции /(у, х), ---------, у(у, х), , ---------— приду-----------------------------------------дх-------------дх2

надлежат пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном у, лежащем правее некоторого контура /0’Р, функция у(у, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда существует контур ^’Р4 такой, что при каждом фиксированном у, лежащем

,04,04 1 , ч ду(у, х) д2у(у, х)

правее контура и , функции у(у, х), -----------, ------— аналитичны по у

64 дх дх2

при каждом х е [0, то).

Доказательство: Рассмотрим задачу

/ , / ч 2лд2™(У’Х'> , 2 ,, ,ды(у,х) 2 / \ / ч

Оу + ро(х)с2)——— + С2р0(х)— ----------------у2ро(хМу, х) =

д х д х

д / (у, х) д 2 у(у, х)

= “РоОЖу,х) - УРоО)—^----------------V——— + 2ур0(х)у(у, х),

2

д у

(б)

д х2

^(У, х)|х=0 = ^(у, х)|х=то = °.

Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур /о4’04 такой,

что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ^0^ Р4, справедливо неравенство

д 2 у(у, х)

д х2

2

д у(у, х)

дх

2

Чу, х)||2 ^ сЛ |Ду| Х

Х ||/(У + Ду, х)( + ||/(у + Ду, х) - /(у, х)

(7)

+

/(У, х) -

д / (у, х)

д у

у(у + Ду, х) - у(у, х) г /(у + Ду, х) -/(у, х) тт

где У(у,х) =-----------------------И<у,х), /(у,х) =---------------------. Из (7)

Ду Ду

следует утверждение теоремы.

Лемма 3: Пусть для функции у(у, х) выполнена оценка

-А2 ||^(у, х^ ^ С10 ||/(у, х)||2

при А > 0, п = 0;1 и некоторых у, тогда при тех же у, равномерно по х е [0, то), будут справедливы оценки (п = 1)

Иу, х) ^ СиА-3/4 ||/(у, х)| ,

д2у(у, х) 2 + А <Му, х)

дх2 дх

ду(у, х)

дх

^ С12А 1/4 /(у, х)|

и (п = 0)

+

+

2

+

2

Доказательство: Пусть п = 1. Воспользуемся неравенством, полученным в [9]:

вир

хе[0,то)

дгу(у, х)

д хг

д*у(у, х)

д х*

+ С14£ 2г 1 ||у(у, х)| ,

где 0 ^ г < * - 0,5, £ > 0, норма берется в Ь2 [0, то) по переменной х. С помощью последнего неравенства получаем следующие оценки:

А3/2 8ир ф(у, х)|)2 ^ Ак

хе[0,то)

д2 ку(у, х)

+

С15А2 ||у(у, х)||2 , к = 0, 1.

(8)

дх2-к

Из (8) следует первая из оценок леммы. Остальные оценки доказываются аналогично.

Лемма 4: Пусть функция ¥(г, х) удовлетворяет условию 3. Тогда функция /(у, х) = [¥(г, х)] аналитична по у при Rey ^ -£, где £ < 6, причем

верна оценка ||/(у, х)|| ^ С1б(1 + |у|)-2.

Теорема 4: Пусть функция ¥(г, х) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда функции V(г, х), д(г, х), Р(г, х) такие, что V(г, х) = Ь-—? [у(у, х)], ц(г, х) = Ц——? [р(у, х)], Р(г, х) = Ь-—? [р(у, х)], являются классическим решением задачи (1)—(2) и принадлежат классу Та при любом а > 0.

Доказательство: Из теорем 1, 2 и леммы 4 следует, что при Rey ^ а у задачи (4) существует единственное решение у(у, х) из И2 [0, то). Из теоремы вложения С1[0; то) с И2[0; то) следует, что у(у, х) один раз непрерывно дифференцируема по х. Из (4) и условия на функцию ¥(г, х) следует, что у(у, х) дважды непрерывно дифференцируема по х. Из теорем 1, 3 и леммы 4 следует, что у(у, х) аналитична по у при Rey ^ а. Из теоремы 1, лемм 3 и 4 получаем, что при Rey ^ а справедливы следующие оценки:

ду(у, х)

|у(у, х) ^ С17(1 + |у|) 11/4,

дх

Из (3), (4) и (9) следуют неравенства

|р(у, x)| + |р(у, х)| ^ С18(1

л-13/4

д2у(у, х)

д х2

-7/4

(9)

(10)

Из оценок (9), (10) следует, что функции V(г,х), д(г,х), Р(г, х) (где а > 0) принадлежат классу Та.

Из (9) и предельной теоремы о преобразовании Лапласа следует, что

Иш V(г, х) = Иш |уу(у, х)| = 0.

г—+0 |у|^то

Равенства Иш р(г, х) = Иш Р(г, х) = 0 доказываются аналогично. Также г—>+0 г—>+0

из оценки (9) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что V(г, х)|х=0 = V(г, х)|х=то = 0.

Теорема 5: Пусть функция ¥(г, х) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда решение V(г, х), д(г, х), Р(г, х) задачи

(1)—(2) единственно в классе функций Та при произвольном а > 0.

2

2

+

Доказательство проводится при помощи априорной оценки из теоремы 1.

Теорема 6: Пусть функция ¥(г, х) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для компоненты V(г, х) решения задачи (1)—(2) справедлива при г — то оценка V(г, х)| ^ С21г_1/4 с постоянной С21 > 0, равномерной по х е [0; то).

Доказательство: Из интегральной теоремы Коши, теорем 1-3 и лемм 1-4 следует, что справедливо представление

V (г, х) =

х)^у.

(11)

та4 ,в4

После параметризации контура ?0|’в4 с учетом представления (11) и оценок, полученных в теореме 1 и леммах 1-4, имеем, что

IV(г, х)| ^ С20

где а > 0, £5 > 0.

6

4

Литература

[1] Бреховских, Л.М. Введение в механику сплошной среды / Л.М.Брехов-ских, В.В. Гончаров. - М.: Наука, 1982. - 335 с.

[2] Глушко, А.В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А.В. Глушко // Доклады РАН. -1999. - Т. 365. - №1. - С. 26-30.

[3] Глушко, А.В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А.В. Глушко, А.С.Рябенко // Вестн. ВГУ Сер.: Физика, Математика. - 2008. -№1. - С. 226-231.

[4] Глушко, А.В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики /

А.В. Глушко — Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2003. - 300 с.

[5] Глушко, А.В. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. - 1992. - Т. 33. - №1. - С. 32-43.

[6] Глушко, А.В. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнения динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. - 1992. - Т. 33. - №4. - С. 43-58.

[7] Рябенко, А.С. Оценка при г — то решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности / А.С.Рябенко // Вестн. ВГУ. Сер.: Физика, Математика. - 2007. -№1. - С. 95-99.

[В] Рябенко, А.С. Оценка при t — то решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводно-

сти j А.С.Рябенко jj Труды математического факультета. - Воронеж, 2007. - Вып. 11. - С. 17Б-1ВБ.

[9] Глушко, В.П. Неравенства для норм в пространствах Lp с весом /

B.П. Глушко, С.Г. Крейн jj Сиб. мат. журн. - 1960. - Т. 1. - №3. -

C. З4З-ЗВ2.

Поступила в редакцию 29j VIIIj2008; в окончательном варианте — 29j VIIIj2008.

COMPONENTS ESTIMATION FOR THE SOLUTION OF COMPRESSIBLE STRATIFIED VISCOUS FLUID OSCILLATIONS PROBLEM3

© 2008 A.S. Ryabenko4

Initial boundary-value problem for small acoustical-gravitational oscillations of stratify fluid in linear approximation is discussed. Due to localization principle the estimation of stabilization rate of the solution while t — to is obtained.

Keywords and phrases: initial boundary-value problem, linear approximation,

viscosity, compressibility, stratify fluid.

Paper received 29/ VIII/2008.

Paper accepted 29/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) I.A. Blatov.

4Ryabenko Alexandr Sergeevich, Dept. of Partial Differential Equations and Probability Theory, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.