Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОЦЕНКА КОМПОНЕНТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ В ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ1

© 2008 А.С.Рябенко2

Рассматривается начально-краевая задача, описывающая в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой стратифицированной жидкости. На основе принципа локализации получена оценка скорости стабилизации решения задачи при г ^то.

Ключевые слова: начально-краевая задача, линейное приближение, вязкость, сжимаемость, стратифицированная жидкость.

1. Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с частными производными

dV(t,x) v d2V(t,x) , 1 dP(t,x) _ g

----т--1----1--q(t, x) = F(t, x),

dt po(x) dx2 po(x) dx po(x)

dq(t, x) iN2(x) 2\ , dV(t, x) n

1 + gc Po(x)V(t, x) + po(x)—t-l— = 0, (1)

дг \ ^ / дх

дг дг g

с начальными и граничными условиями

V(г, х)|г=о = Р(г, х)|г=о = х)|(=о = 0, У(г, х)|х=о = У(г, х)|х=те = 0. (2)

Система дифференциальных уравнений (1) описывает в линейном приближении малые одномерные (в направлении однородного поля тяготения) акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости (см. [1]).

Использованы следующие обозначения: У (г, х) — скорость движения частицы, находящейся в момент г > 0 в точке х > 0; д(г, х), Р(г, х) — отклонения

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором И.А. Блатовым.

2Рябенко Александр Сергеевич (alexr-83@yandex.ru), кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г.Воронеж, Университетская пл., 1.

от стационарной плотности и давления; ро(х) — стационарная плотность; V — коэффициент вязкости; с — скорость распространения звука; g — ускорение свободного падения; Ж2(х) = -(р0(х)р-1(х) + gc-2)g — частота Вейсяля—Брен-та.

Модель (1) отличается от рассмотренной в работах [2-4] наличием переменных коэффициентов, обусловленным отказом от предположения Бус-синеска относительно стационарной плотности ро(х).

2. Основной целью работы является получение оценки скорости стабилизации решения при г ^то на основе принципа локализации, развитого в работах [4-6] для систем уравнений гидродинамического типа с постоянными коэффициентами и в работах [7, 8] для начально-краевой задачи уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Результаты получены на основе установления связи между скоростью убывания решения задачи и геометрией области аналитичности образа Лапласа (Ь^у) решения. Аналитичность образа решения устанавливается на основе априорных оценок образа решения. На этой же основе доказана однозначная разрешимость как исходной задачи (1)-(2), так и задачи в образах. В работе приводятся оценки скорости стабилизации при г ^то компоненты решения V(г, х).

Сформулируем условия, используемые в работе.

Условие 1: Будем говорить, что функция ро(х) удовлетворяет условию

1, если ро(х) е С2 [0, то) и существуют Е1, ё2, С1 > 0 такие, что при х е [0, то) выполнены неравенства Ё1 ^ р0(х) ^ £2, |р0(х)| ^ С1.

Условие 2: Будем говорить, что функция F(t, х) удовлетворяет условию

2, если F(t, х) непрерывна по совокупности переменных х е [0, то), г > 0 и F(t, х)е6г е ¿4(Л++) при некотором 6 > 0.

Условие 3: Будем говорить, что функция F(t, х) удовлетворяет усло-

дк¥(1, х)

вию 3, если для функций

дгк

Р(г, х)|г=0 = 0,

д¥(1, х)

1г=0 = 0 и (1 + х)

где к = 0,1,2, выполнено условие 2,

то

д^ (г, х)

/

дгк

еыйг е Ь2 [0, то), где к =

= 0,1,2.

Определение: Будем говорить, что функции Vl(t, х), ^(г, х), Р1(г, х) принадлежат классу Та, если справедливы следующие оценки:

д^1(г, х)

дгк д^(г, х)

дхк дкд1(г, х)

дгк дкР1(г, х)

дгк

< с2еаг (к = 0,1),

< с2еа (к = 1,2),

< с2еа (к = 0,1),

< с2еаг (к = 0,1),

дР1(г, х)

дх

< с2еа (к = 0,1).

Ниже преобразования Лапласа ) функций V(t, х), ц(г, х), Р(г, х), F(г, х) будем обозначать у(у, х), р(у, х), р(у, х), /(у, х) соответственно.

После применения преобразования Лапласа (Ьг^у) к задаче (1)-(2) и некоторых вычислений мы получаем, что

(3)

(4)

1 (М2(х) _Л р0(х) ду(у, х)

2 с2 И2( х)р0( х)

р(у, X) = с р(у, х)--у(у, х),

gY

а функция у(у, х) является решением следующей задачи: д /уу + ро(х)с2 ду(у,х)\

т---т- - уроОМу, х) = -/»(у, х),

д х \ у д х /

у(У, х)|х=0 = v(Y, х)|х=то = 0,

где /»(у, х) = р0(х)/(у, х).

3. Справедливы следующие леммы и теоремы.

ду(у, х) д2v(Y, х)

Теорема 1: Пусть функции /*(у,х), у(у, х), -, --— принадле-

дх дх2

жат пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном

Y е В, где В — это некоторая область в комплексной плоскости, функция у^, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для любого е >0 существует у > 0,5п такое, что при

Y е В П (((|Y| ^ е) П Y| ^ ^0) и (^ Y| ^ У2)), где у < 0,5п, справедлива следующая оценка:

2

д2v(Y, х)

дх2

+

дv(Y, х)

дх

М ||v(Y, х)\\ < сз \\/(Y, х)\\ ,

где сз = сз(уь^2) : 0 < ез < сз(уь< е4.

Доказательство теоремы 1 проводится с помощью умножения уравнения (4) на ?(у,х) и интегрирования по х от 0 до оо с последующими оценками.

Лемма 1: Пусть функции х), у^, х),

ду^, х) д2v(Y, х)

, принадлежат

д х д х2

пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном Y е В, где В — это некоторая область в комплексной плоскости, функция у^, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для достаточно малых Y, лежащих между кривой 1(у) = -у^-1р!с2 + + г^-1р!с2у (здесь у е [-6,0) и (0,6]) и мнимой осью (включая точки, лежащие на I и мнимой оси) и принадлежащих В, выполнена оценка

1 2 ду^, х) 2 1 L |2

д2у^, х)

дх2

8Ш 0,5у

дх

+ ^ (яп0,5у)2 \у(у, х)\\ <

^ с4 \\х)

+

Доказательство леммы 1 проводится на основе теоремы 1.

Лемма 2: Пусть функции (1 + x)/»(у, x), v(y, x),

dv(y, x) dzv(y, x)

, принад-

дх дх2

лежат пространству ¿2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном у е D, где D — некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для достаточно малых у, лежащих между контуром ¡(у) и мнимой осью (включая точки, лежащие на контуре ¡(у) и мнимой оси), верна оценка

d2v(y, x)

д x2

öv(y, x)

д x

+

|y|2 \\v(Y, x)f < es \\/»(у, x)(1 + x)f ,

а при достаточно малых у е D и таких, что ф < 0,5п, где ф = arg у, верны оценки

■|2 (cos ф)2Х

<92v(y, х) 2 , | | <9v(y, Х)

дх2 + [ л cos ф д x

dv(y, x)

д x

Х \\v(y, x)\\2 < c6((|y| cos ф) 1 + (cos ф) 2 + 1) \\/»(у, x) + |у| cos ф \\v(y, x)\2 < С7 \\/»(у, x)(1 + x)\2 .

Пусть 6 > 0, а > 0, в > 0. В дальнейшем через ^ будем обозначать контур следующего вида: ^ = ¡0 и I и ¡;, где I = -^2а + г^Р при ^ е [-6,6], ¡0 = -—62а - г(6 + £)Р при £ е [0, то), ¡; = -62а + г(6 + £)Р при £ е [0, то).

Теорема 2: Пусть функция /*(у, х) принадлежит пространству ¿2 [0, то) по переменной х при Иеу ^ —е, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда найдется контур ^'Рз такой, что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ^ 'Рз, у задачи (4) существует единственное решение из Я2[0, то).

Доказательство: Обозначим ре(х) = р0(ех). Рассмотрим задачу

д /уу + р е(х)с2 ду( у,х)\ ч

дх \-у--дх~) ~ = х)'

v(Y' х)|х=0 = v(Y, х)|х=то = 0.

(5)

При е = 1 задача (5) переходит в задачу (4). При е = 0 существует контур ¡а!'Р; такой, что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ¡а;'Р;, у задачи (5) существует единственное решение из И2 [0, то)

(см. [4]). Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур ^'Р2 такой, что равномерно по е е [0,1] при каждом фиксированном у, лежащем правее контура ¡¡О^2, для решения задачи (5) выполнена оценка

д^Е(у, x)

dx2

дve(y, x)

д x

+ \к(у, x)\\ ^ ев \\/»(у, x)

2

2

+

2

+

2

+

При помощи метода продолжения по параметру из последней оценки получаем, что при каждом фиксированном Y, лежащем правее некоторого контура /О*3^3, задача (4) разрешима в Я2 [0, то).

д / х) ду^, х) д2у^, х)

Теорема 3: Пусть функции /(у, х), -, у(у,х), -, --— при-

дY дх дх2

надлежат пространству Ь2 [0, то) по переменной х при каждом фиксированном Y, лежащем правее некоторого контура ^, функция у^, х) является решением задачи (4), для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда существует контур /О*4 в4 такой, что при каждом фиксированном Y, лежащем

,а4,Р4 , , \ дv(Y, х) д2v(Y, х)

правее контура , функции у(у, х), -, --— аналитичны по у

64 дх дх2

при каждом х е [0, то).

Доказательство: Рассмотрим задачу

Оу + ро(х)с2)——-— + С2р0(х)—---у2р0(х)1Ф>(у, х) =

д х д х

д /х) д 2 у(у, х)

= -ро(х)Лу, х) - уро(х)—---V——— + 2уро(х>(у, х),

2

д Y

(6)

д х2

х)|х=0 = ^ х)|х=то = 0.

Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур /О*4^4 такой,

что при каждом фиксированном Y, лежащем правее контура /О*4 в4, справедливо неравенство

д 2 v(Y, х)

д х2

2

д у^, х)

дх

2

v(Y, х)\\2 < с9| |ДY| X

X \\/^ + ДY, х)\2 + \\/(Y + ДY, х) - х)

/(Y, х) -

(7)

д / х)

д Y

ч + х) ~ х) /- ч Т( л /(У + Ау, X) - /(у, х) где у(у,х) =----и<у,х), /(у, х) =---. Из (7)

дY дY

следует утверждение теоремы.

Лемма 3: Пусть для функции у^, х) выполнена оценка 22

д2v(Y, х)

дх2

+ А

ду^, х)

дх

+

А2 ||v(Y, х)\\2 < сю \\/(Y, х)\2

при А > 0, п = 0;1 и некоторых Y, тогда при тех же Y, равномерно по х е [0, то), будут справедливы оценки (п = 1)

у^, х)| < с11 А-3/4 \\/х)\\,

дv(Y, х)

дх

< с12А-1/4 \\/х)\

и (п = 0)

|v(Y, х)| < с1зА-1/2 \\/(Y, х)\\.

+

+

2

+

2

+

п

Доказательство: Пусть n = 1. Воспользуемся неравенством, полученным в [9]:

sup

örv(y, x)

д xr

^ е

2s-2r-1

dsv(y, x)

д xs

+ С14e-2r-1 \\v(y, x)||2 ,

где 0 ^ г < 5 - 0,5, е > 0, норма берется в Ь [0, то) по переменной х. С помощью последнего неравенства получаем следующие оценки:

A3/2 sup (|v(y, x)|)2 ^ Ak

xe[0,^)

d2-kv(y, x)

+

C15A2 \v(Y, x)\\2 , k = 0, 1.

(8)

dx2 k

Из (8) следует первая из оценок леммы. Остальные оценки доказываются аналогично.

Лемма 4: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3. Тогда функция /(у, x) = Lt^y [F(t, x)] аналитична по у при Rey ^ —е, где е < 5, причем верна оценка \\/(у, x)\\ ^ схб(1 + |у|)—2.

Теорема 4: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3, для функции ро(x) выполнено условие 1. Тогда функции V(t, x), q(t, x), P(t, x) такие, что V(t, x) = L—^t [v(y, x)], q(t, x) = L—^t [p(y, x)], P(t, x) = L—^t [^(y, x)], являются классическим решением задачи (1)—(2) и принадлежат классу Ta при любом a > 0.

Доказательство: Из теорем 1, 2 и леммы 4 следует, что при Rey ^ a у задачи (4) существует единственное решение v(y, x) из H2 [0, то). Из теоремы вложения С1[0; то) с H2[0; то) следует, что v(y, x) один раз непрерывно дифференцируема по x. Из (4) и условия на функцию F(t, x) следует, что v(y, x) дважды непрерывно дифференцируема по x. Из теорем 1, 3 и леммы 4 следует, что v(y, x) аналитична по y при ReY ^ a. Из теоремы 1, лемм 3 и 4 получаем, что при ReY ^ a справедливы следующие оценки:

dv(Y, x)

|v(Y, x)| < C17(1

11/4

д x

< C17(1 +

4-9/4

Из (3), (4) и (9) следуют неравенства

p(Y, x)1 + |p(Y, x)| < C18(1

13/4

d2v(Y, x)

д x2

< C19(1 +

-7/4

(9)

(10)

Из оценок (9), (10) следует, что функции V(t, x), q(t, x), P(t, x) (где a > 0) принадлежат классу Ta.

Из (9) и предельной теоремы о преобразовании Лапласа следует, что

lim V(t, x) = lim |yv(y, x)| = 0.

t^+0 1 1

Равенства lim p(t, x) = lim P(t, x) = 0 доказываются аналогично. Также t^+0 t^+0

из оценки (9) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что V(t, x)|x=0 = V(t, x)|x=M = 0.

Теорема 5: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3, для функции р0(x) выполнено условие 1. Тогда решение V(t, x), q(t, x), P(t, x) задачи (1)—(2) единственно в классе функций Ta при произвольном a > 0.

2

2

2

+

Доказательство проводится при помощи априорной оценки из теоремы 1.

Теорема 6: Пусть функция F(t, х) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1. Тогда для компоненты V(t, х) решения задачи (1)—(2) справедлива при г ^то оценка |V(г, х)| ^ с21г-1/4 с постоянной с21 > 0, равномерной по х е [0; то).

Доказательство: Из интегральной теоремы Коши, теорем 1-3 и лемм 1-4 следует, что справедливо представление

V(t, x) =

25 /

x)dy.

(11)

та4 ,ß4

После параметризации контура ?a4'ß4 с учетом представления (11) и оценок,

lÖ4

полученных в теореме 1 и леммах 1-4, имеем, что

|V(t, x)| < C2Q

о

J е-ае ^-1/2 dz + Q(e~65t)

< C21t-1/4'

где а > Q, 65 > Q.

8

4

Литература

[1] Бреховских, Л.М. Введение в механику сплошной среды / Л.М.Брехов-ских, В.В.Гончаров. - М.: Наука, 1982. - 335 с.

[2] Глушко, А.В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А.В. Глушко // Доклады РАН. -1999. - Т. 365. - №1. - С. 26-30.

[3] Глушко, А.В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А.В. Глушко, А.С.Рябенко // Вестн. ВГУ Сер.: Физика, Математика. - 2008. -№1. - С. 226-231.

[4] Глушко, А.В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики / А.В. Глушко — Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2003. - 300 с.

[5] Глушко, А.В. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О.Рыбаков // Сибирский математический журнал. - 1992. - Т. 33. - №1. - С. 32-43.

[6] Глушко, А.В. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнения динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О.Рыбаков // Сибирский математический журнал. - 1992. - Т. 33. - №4. - С. 43-58.

[7] Рябенко, А.С. Оценка при t ^то решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности / А.С.Рябенко // Вестн. ВГУ. Сер.: Физика, Математика. - 2007. -№1. - С. 95-99.

[8] Рябенко, А.С. Оценка при t ^ то решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности / А.С. Рябенко // Труды математического факультета. - Воронеж, 2007. - Вып. 11. - С. 175-185.

[9] Глушко, В.П. Неравенства для норм в пространствах Lp с весом /

B.П.Глушко, С.Г.Крейн // Сиб. мат. журн. - 1960. - Т. 1. - №3. -

C. 343-382.

Поступила в редакцию 29/ VIII/2008; в окончательном варианте — 29/VIII/2008.

COMPONENTS ESTIMATION FOR THE SOLUTION OF COMPRESSIBLE STRATIFIED VISCOUS FLUID OSCILLATIONS PROBLEM3

© 2008 A.S. Ryabenko4

Initial boundary-value problem for small acoustical-gravitational oscillations of stratify fluid in linear approximation is discussed. Due to localization principle the estimation of stabilization rate of the solution while t is obtained.

Keywords and phrases: initial boundary-value problem, linear approximation,

viscosity, compressibility, stratify fluid.

Paper received 29/ VIII/2008.

Paper accepted 29/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) I.A. Blatov.

4Ryabenko Alexandr Sergeevich, Dept. of Partial Differential Equations and Probability Theory, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.