CC BY
6II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 621.382 А.А. Мусаев1
ОЦЕНКА ИНЕРЦИОННОСТИ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С УЧЕТОМ КАЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛОКАЛЬНЫХ ТРЕНДОВ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Московский пр., 26
Статья посвящена исследованию инерционности квазихаотических процессов, определяющей принципиальную возможность экстраполяционного прогнозирования и управления в динамических системах. Даная проблема играет фундаментальную роль в задачах управления в турбулентных газо- и гидродинамических средах, в нестационарных задачах контроля и диагностики технических систем, в задачах прогнозирования состояния рынков капитала и т. п. Основное отличие от предшествующих исследований состоит в формулировке условия обнаружения тренда, учитывающей как количественные, так и качественные признаки его наличия. На примере результатов анализа последовательностей реальных наблюдений установлено, что гипотеза о наличии инерционности подтверждается лишь для сглаженного процесса
Ключевые слова: хаотические процессы, тренд, инерционность, проверка статистических гипотез
Введение
В общем случае под хаотическим процессом понимается колебательный непериодический процесс, обладающий предельно высоким уровнем непредсказуемости [1]. Генезис такого явления связан с системной параметрической неустойчивостью некоторых классов открытых нелинейных систем. В частности, такие процессы достаточно характерны для турбулентных газо-и гидродинамических, информационных, некоторых технических и социально-экономических систем. Однако в прикладных задачах обработки хаотических наблюдений чаще встречаются последовательности данных, которые описываются двухкомпонентной аддитивной моделью, относящейся к категории стохастического хаоса [2]. Указанная модель состоит из аддитивной смеси системной и шумовой составляющих. Системная компонента процесса, подлежащая прогнозированию, представляет собой колебательный непериодический (т. е. хаотический процесс), а шумовая компонента — чисто случайный процесс, обусловленный собственными шумами системы и погрешностями системы мониторинга. В ряде случаев шумовая составляющая может оказаться нестационарной. Такая модель достаточно характерна, например, для описания динамики рабочей точки, описывающей изменение состояния многомерного динамического объекта, находящегося под воздействием нестационарного потока разнородных возмущающих факторов.
Заметим, что понятие хаотичности связа-
но с более высоким уровнем неопределенности, чем в модели, описываемой вероятностно-статистической парадигмой. В ситуациях, когда изучаемый процесс находится под влиянием непрерывно меняющейся нестационарной среды погружения, нарушается основополагающее предположение теории вероятностей о возможности повторных наблюдений событий в неизменных условиях. При этом традиционные оценки качества статистического прогноза и отвечающего ему управления оказываются не соответствующими реальности. В этих условиях основным инструментом анализа данных являются численные исследования на больших объемах ретроспективных наблюдений, образующих полигоны данных.
Понятие «инерционности» обычно соотносится с материальным объектами. Традиционное определение инерционности, как способности физического тела продолжать равномерное прямолинейное движение, не допускает прямой перенос на информационные процессы. Поэтому под инерционностью нематериальных (информационных) процессов будем понимать способность сохранять тренд, как общее направление развития, в течение некоторого ограниченного интервала времени.
В контексте решаемой задачи, инерционность определяется как способность исследуемого процесса сохранить обнаруженную тенденцию от уровня, на котором этот тренд был обнаружен, до момента времени его пересечения следующего (по направлению установленного тренда) уровня. В случаях, когда процесс раз-
1 Мусаев Александр Азерович, д-р техн. наук, профессор, каф. автоматизации процессов химической промышленности, декан фак. Информационных технологий и управления, e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Дата поступления - 24 июля 2014 года
ворачивается и достигает противоположного уровня, соответствующий фрагмент эксперимента будет рассматриваться как событие, противоречащее гипотезе инерционности. При использовании такого подхода в качестве статистического показателя инерционности естественно выбрать оценку вероятности (или частоту) события, заключающегося в том, что процесс пересечет уровень подтверждения наличия тренда раньше, чем уровень отрицания. При этом в силу симметрии исходов значения обоих уровней должны быть равны по модулю и противоположны по знаку.
Следует заметить, что апостериорное наблюдение реализаций реальных хаотических процессов на визуальном уровне подтверждает предположение о наличии локальных участков с явно выраженными трендами, допускающими полиномиальное описание невысокого порядка. Иными словами, имеет место некоторый аналог инерционности, и, следовательно, процесс является квазихаотическим, т. е. допускающим, в принципе, локальный прогноз. В случае математического подтверждения этого факта, можно будет сделать вывод о локальном снижении степени хаотичности исследуемого процесса, что открывает возможность создания прогностических алгоритмов управления.
Постановка задачи
Вопрос о принципиальной возможности прогностического управления в квазихаотических средах, основанного на анализе трендов, рассматривался, например, в [3-8] и многих других работах. При этом процедура управления в этой ситуации всегда основывалась на явном или неявном предположении о наличии последействия (т. е. инерционности) наблюдаемого процесса. Чаще всего соответствующие прикладные задачи связаны с анализом информационных процессов, обладающих принципиальной возможностью мгновенно (с точностью до временного дискрета наблюдения) менять направление движения. При этом под инерционностью таких процессов понимается способность в среднем сохранять тренд как направление развития в течение некоторого ограниченного интервала времени, достаточного для фиксации заданного порогового уровня.
В рамках количественного анализа обнаружение тенденции осуществлялось программной фиксацией события, заключающего в переходе объекта анализа из состояния Y(к) в состояние Y(к + т) = Y(к) ± dY, где dY
— параметр перехода. Гипотеза о наличии инерционности подтверждается на отдельной реализации, если движение продолжилось в направлении обнаруженной тенденции и достигло некоторого уровня Y (к) ± dY + dI (для положительного тренда) раньше, чем, развернувшись, он перейдет на уровень Y (к) ± dY - dI. Для отрицательной тенденции это означает достижение уровней Y (к) -dY - dI (событие, подтверждающее инерционность) или Y (к) - dY + dI (отрицание наличия инерционности).
Формализацию данной задачи удобнее осуществить в виде гипотезы об отсутствии инерционности наблюдаемого процесса Н0: ^ = 0.5, где ^ = т/п — частота опытов, подтверждающих ее отсутствие, т — число опытов, подтверждающих отсутствие (или, наоборот, наличие в силу симметричности задачи) инерционности, п
— общее число опытов. Соответственно, альтернативной гипотезой является предположение о наличии инерционности наблюдаемого процесса, в виде Н^ ^ > 0.5. Частота наблюдаемых событий при достаточном числе повторения опытов рассматривается как оценка вероятности соответствующего предположения. Для подтверждения гипотезы о наличии тренда в такой постановке может использоваться известное правило и < и*, где и = (^
— 0.5)(0.25/п)1'2. Критическое значение и' для правостороннего критерия находят по таблице функции Лапласа Ф из соотношения Ф (и*) = (1 — 2а)/2. Здесь а — уровень значимости нулевой гипотезы.
Недостатком приведенной схемы анализа, использованной в [8], является отсутствие учета качества соответствующих переходов. Например, переход Y (к) Y (к) + dY может происходить в течение длительного времени, с колебаниями и с большим отрицательным «провисанием» (нужно только, чтобы он не развернулся и не достиг уровня Y (к) — dY). Такой процесс достаточно сложно трактовать как тренд. Тем не менее, в соответствии с приведенной выше формализацией, такой переход также будет интерпретирован как факт наличия положительной тенденции.
В связи с этим в работе [9] рассмотрена аналогичная задача, в которой факт наличия тренда устанавливается при превышении значения коэффициента линейной аппроксимации некоторого критического значения V > V*. Расчет коэффициента V осуществлялся на скользящем временном окне наблюдения w (к — Д?, к). В той же работе рассматривались и более сложные правила обнаружения тенденции. В частности, рассматривался вариант с коэффициентами линейной аппроксимации, вычисленными на двух окнах наблюдения разной длины и вариант с использованием аппроксимации второго порядка.
Оба вышеуказанных подхода приводят к выводу о том, что предложенные критерии не позволяют обнаружить инерционность для исходного наблюдаемого хаотического процесса Y (?). Однако, системная составляющая этого процесса Ys (к), полученная выделением из исходного временного ряда наблюдений путем сглаживания, обладает инерционностью, хотя и незначительной.
Заметим, что наличие инерционности у сглаженного графика не означает очевидной возможности построения эффективной управляющей стратегии в силу задержки сглаженной компоненты. При этом уменьшение степени сглаживания снижает задержку, но приводит к пропорциональному росту статистических ошибок второго рода — ложным обнаружениям тренда.
Естественным развитием перечисленных выше исследований является их объединение, в котором для обнаружения тенденции используются оба условия. Количественное подтверждение осуществляется установкой факта перехода на следующий уровень Y (к) Y (к) + dY или Y (к) Y (к) — dY, а качественное подтверждение — путем оценки интенсивности перехода. Очевидно, что при фиксированном значении dY качество тренда может быть оценено временем перехода dT на уровень Y (к) ± dY. Изучению вопроса установления инерционности хаотического процесса по совокупности количественного и качественного показателей обнаружения тренда и посвящена настоящая статья.
Алгоритмическая схема вычислительного эксперимента
Статистический анализ выявления (или отсутствия) инерционности осуществлялся на примере котировок валютной пары EURUSD. Общий временной интервал, образующий числовой полигон вычислений, составил более 500 дней наблюдений.
Для проверки гипотезы Н>: fN = 0.5 об отсутствии тренда против альтернативы Н.: fN > 0.5 осуществлялся подсчет частоты событий, подтверждающих факт наличия тренда.
Структурная схема программы анализа инерционности хаотического процесса приведена на рисунке 1.
Установление данного события проводилось в два этапа. На первом этапе осуществлялось обнаружение локального тренда. Наличие тренда подтверждалось, если состояние котировки изменилось на величину | dY| за время, не превышающее критическое значение dT'.
Рисунок 1. Блок-схема программы проверки гипотезы о наличии инерционности хаотического процесса
На втором этапе осуществлялось подтверждение факта наличия инерционности. Данное событие состояло в том, что процесс продолжал развиваться в выявленном направлении и достигал уровня принятия положительного решения раньше, чем, развернувшись, он прошел бы это же расстояние в противоположном направлении.
В соответствии с указанными этапами, программа последовательно реализует два режима работы. Первый режим соответствует обнаружению тренда, второй режим — подтверждения. По завершению установленного временного цикла осуществляется подсчет частоты подтверждения тренда и для заданного уровня доверия (обычно а = 0.95) проверяется гипотеза Ho о безынерци-онности наблюдаемого процесса.
Тестирование программы
Для проверки дееспособности программы использовалась тестовая задача управления на временном интервале изменения состояния объекта анализа длительностью в 5 дней. Результаты анализа приведены на рисунке 2.
Tools №11EURUSD
Рисунок 2. Результат анализа инерционности на 5-дневном интервале наблюдения
Звездочками отмечены значения процесса Y (к), соответствующие обнаружению тенденции вверх или вниз. Ромбики отвечают значениям процесса, при которых произошло подтверждение тренда, а кружочки — противоположному событию (тренд не подтвердился).
Приведенные на графике результаты полностью подтверждают дееспособность программы и ее соответствие алгоритму управляющей стратегии.
Численный анализ инерционности хаотического процесса
Методика оценки инерционности, в соответствии с вышеописанной формализованной постановкой задачи, состоит в оценке вероятности подтверждения обнаруженного тренда. С этой целью соответствующая программа осуществляет расчет частоты указанного события для пяти достаточно больших участков наблюдения (по 100 дней) динамики изменения состояния наблюдаемого объекта.
Для сравнения использовались 7 различных групп установочных параметров, представленных в таблице 1.
Таблица 1. Группы параметров, определяющих уровни фиксации и подтверждения трендов
Группы 1 2 3 4 5 6 7
dY 75 100 50 75 75 75 75
dl 75 75 75 100 50 75 75
dT 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1500
Если рассматривать первый вариант, как базовый, то все остальные варианты получаются из него путем увеличения и уменьшения одного из параметров.
Результаты анализа инерционности наблюдаемого процесса на основе предложенной методики приведены в таблице 2.
Таблица 2. Частота подтверждения инерционности для различных временных интервалов наблюдения для исходных данных
Интервал наблюдения Группа параметров 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500
1 0.51 0.54 0.46 0.47 0.52
2 0.36 0.54 0.54 0.47 0.50
3 0.49 0.45 0.43 0.49 0.49
4 0.57 0.59 0.46 0.55 0.50
5 0.58 0.51 0.46 0.42 0.53
6 0.61 0.81 0.84 0.41 0.43
7 0.56 0.55 0.47 0.45 0.48
Представленные данные демонстрируют совершенно устойчивый результат, подтверждающий гипотезу Н0 об отсутствии сколько либо значимой инерционности у наблюдаемых реализаций хаотического процесса.
Следует учесть существенное влияние на приведенный результат чисто случайной составляющей изучаемого временного ряда. В то же время, при реализации управляющих стратегий, как правило, пользуются системной составляющей, образованностью разностью между исходным рядом наблюдений и отфильтрованной случайной компонентой. На рисунке 2 указанная системная компонента выделена черным цветом на фоне сильно флуктуирующего ряда исходных наблюдений. Фильтрация случайной компоненты осуществлялась простым экспоненциальным фильтром с коэффициентом передачи а = 0.02
Заметим, что понятия «системная» и «случайная» составляющие в контексте настоящей работы имеют нестандартный смысл. И та, и другая компонента представляют собой реализации случайного процесса. Под случайной составляющей здесь понимается более высокочастотный процесс, хорошо аппроксимируемый при малых а традиционной гауссовской моделью. Оставшаяся часть, именуемая в работе системной компонентой, представляет собой хаотический (т. е. колебательный непериодический) процесс. Однако на практике, при росте коэффициента передачи фильтра, случайная компонента также не может рассматриваться как чисто случайной процесс, т. к. будет иметь свою квазисистемную составляющую. При этом структура модели (в частности, использование двух- или трехкомпонентной моделей) должна определяться не принятым в теории управления критерием подобия модели и реального процесса, а сугубо субъективным фактором эффективности выбранной стратегии управления, базирующейся на данной модели. Подробнее эти вопросы были рассмотрены в [2].
Используя сглаженную («системную») компоненту только для обнаружения тренда, получим результаты анализа инерционности, приведенные в таблице 3.
Таблица 3. Частота подтверждения инерционности для сглаженного хаотического процесса и различных интервалов наблюдения
Интервал наблюдения Группа параметров 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500
1 0.49 0.50 0.52 0.46 0.31
2 0.46 0.46 0.48 0.45 0.57
3 0.45 0.46 0.55 0.50 0.47
4 0.41 0.52 0.51 0.48 0.50
5 0.49 0.48 0.45 0.47 0.35
6 0.49 0.46 0.51 0.44 0.40
Аналогичные результаты для сглаженной компоненты (используемой и для обнаружения, и для подтверждения тренда) представлены в таблице 4.
Таблица 4. Частота подтверждения инерционности для сглаженного хаотического процесса и различных интервалов наблюдения
Интервал наблюдения Группа параметров 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500
1 0.55 0.82 0.85 0.46 0.44
2 0.22 0.68 0.88 0.27 0.43
3 0.69 0.81 0.83 0.54 0.39
4 0.47 0.72 0.77 0.24 0.31
5 0.55 0.76 0.87 0.54 0.33
6 0.61 0.81 0.84 0.45 0.44
7 0.56 0.86 0.90 0.45 0.71
В первом случае крайне незначительное отклонение среднего от теоретического значения \/ - /0\= 0.016 подтверждает гипотезу Н0 об отсутствии инерционности. Во втором случае данное отклонение \/-/0\= 0.101 более существенно и при выбранном уровне доверия и ско (s = сс = 0.2082) гипотеза Н0 должна быть отвергнута.
Заключение
Основным выводом из приведенных в настоящей работе материалов является полное отсутствие инерционности у хаотических процессов, рассмотренных в приведенных примерах. Это, в частности, означает бесперспективность задачи построения эффективных управляющих стратегий, основанных исключительно на анализе трендов.
Наличие инерционности у сглаженного процесса не меняет полученного вывода о возможности построения эффективного прогностического управления. Это связано с тем, что процесс сглаживания основан на использовании ретроспективных данных. Следовательно, сглаженная кривая неизбежно обладает задержкой по отношению к исходному ряду наблюдений, что, в свою очередь, приводит к задержке управляющих решений. Такие опоздания в условиях безынерционной динамики однозначно приводят к существенной потере эффективности управления. Разумеется, можно сократить глубину памяти сглаживающего (или прогнозирующего) фильтра, однако в этом случае возникает поток статистических ошибок 2-го рода (так называемых, «ложных тревог»). Прокрустово ложе «Задержки — Ложные тревоги») хорошо знакомо специалистам в области технического анализа данных.
Прикладное значение приведенных в статье исследований состоит в рекомендации проведения предварительного анализа наличия инерционности в исходных временных последовательностей в соответствии с описанной в статье методикой. В случае отрицательного решения не рекомендуется использовать прогностические управляющие стратегии, основанные на анализе трендов. В качестве альтернативы можно воспользоваться известными технологиями управления, основанными на фундаментальном анализе, аналитических исследованиях, осцилляторных оценках и т. п.
Литература
1. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: УРСС, 2001. 256 с.
2. Мусаев А. А. Quod est Veritas. Трансформация взглядов на системную составляющую наблюдаемого процесса // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 53—74.
3. Lien K. Day Trading the Currency Market: Technical and Fundamental Strategies to Profit from Market Swings. NY: John Wiley & Sons, Inc., 2005. 256 p.
4. Peters E. E. Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility (2nd ed.). NY: John Wiley & Sons, 1996. 288 p.
5. Kaltwasser P.R. Uncertainty about fundamentals
and herding behavior in the Forex market // Physica A. Statistical Mechanics and its Applications. 2010. V. 389. № 6. P. 1215-1222.
6. Bosse T., Treur J., Jonker C.M. Formal analysis of design process dynamics // AI EDAM. 2010. V. 24. № 3. Р. 397-423.
7. Гринблат Д. Из прошлого в будущее. // Forex magazine. 2014. № 523/15. C. 22-24.
8. Мусаев А. А. Статистический анализ инерционности хаотических процессов // Труды СПИИРАН, 2014. Вып. 2(33). С. 48-59.
9. Мусаев А. А. Численное исследование управляющих стратегий, основанных на анализе трендов. // Труды СПИИРАН, 2014. В печати.
