CC BY
8II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 621.382
-,2
Alexander A. Musaev1, Mikhail M. Fenin
INVESTIGATION OF INERTIALITY OF DYNAMIC PROCESSES IN GASODYNAMIC CHAOTIC ENVIRONMENTS
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr. 26, St. Petersburg, 190013, Russia. e-mail: mmf_spb@mail.ru
A typical example of chaotic processes is the fluctuation of the phase point of a technological process in the vicinity of the value specified by the regulations on its operating modes. Chaotic oscillations are usually due to the nonstationartty of gas-dynamic and hydrodynamic processes occurring in various process units and associated with chemical, petrochemical, oil refining and other industries of this type. The question of the principle possibiitty to form a corrective stabilization control under the specffied conditions arises. This article is devoted to the study of this problem.
Keywords: chaotic process, dynamic process, smoothed process, gas-dynamic and hydrodynamic process, inertness, statistical analysis, trend search.
Введение
Проблема инерционности хаотических процессов является ключевой с точки зрения принципиальной возможности построения управления, основанного на прямом экстраполяционном прогнозе эволюции объекта управления и взаимодействующей с ним среды погружения.
Идеальный хаотический процесс не имеет и не может иметь инерционности, под которой понимается способность сохранять обнаруженную тенденцию развития в течение некоторого интервала времени. Наличие какой-либо инерционности означает локальную предсказуемость динамики развития, что противоречит постулату о непрогнозируемости хаотических процессов. Однако идеальный хаос, как и любой другой идеальный объект, в природе либо не существует, либо встречается крайне редко. Всеобщий диалектический принцип
А.А. Мусаев1, М.М. Фенин2
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНЕРЦИОННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗОДИНАМ ИЧЕСКИХ ХАОТИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия. e-mail: mmf_spb@mail.ru
Типичными примерами хаотических процессов является флуктуация (разовой точки технологического процесса в окрестности значения, заданного регламентом режимов его работы. Хаотические колебания обычно обусловлены нестационарностью газодинамических и
гидродинамическихм процессов, протекающих в различных технологических установках и связанных с химическими, нефтехимическими,
нефтеперерабатывающими и другими производствами такого типа. Возникает вопрос о принципиальной возможности формирования корректирующего стабилизационного управления в указанных условиях. Изучению этого вопроса посвящена настоящая статья.
Ключевые слова: хаотический процесс, динамический процесс, сглаженный процесс, газодинамический и гидродинамический процесс, инерционность, статистический анализ, поиск тренда.
«отрицания отрицания» неизбежно приводит к снижению энтропии хаоса и к возникновению в хаотических средах локальных упорядоченных структур [1, 2], простейшими и наиболее наглядными из которых являются тренды.
Наличие в реальном хаосе таких локальных трендов вызывает естественное стремление использовать их для формирования управляющих решений. Наличие множества различных определений хаоса требует уточнения данного понятия в контексте исследований, описанных в настоящей статье.
Понятие хаотичности связано с более высоким уровнем неопределенности, чем в схеме, описываемой вероятностно-статистической парадигмой. В случае если эволюция состояния изучаемого динамического объекта находится под влиянием непрерывно меняющейся нестационарной среды, нарушается основополагающее
1. Мусаев Александр Азерович, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. системного анализа и информационных технологий, декан факультета информационных технологий и управления, e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Alexander A. Musaev, Dr. Sci. (Eng.), professor; Head of Department System Analysis and Information Technologies, Dean of Information Technologies and control systems faculty
2. Фенин Михаил Михайлович, студент 4 курса, фак-т информационных технологий и управления, e-mail: mmf_spb@mail.ru Mikhail M. Fenin Student of the 4th course, Faculty of of Information Technologies and control systems
Дата поступления - 18 мая 2018 года
предположение теории вероятностей о возможности повторных наблюдений событий в неизменных условиях. В модели детерминированного хаоса [3-6] возникновение непредсказуемых изменений нелинейного процесса обусловлено наличием точек бифуркаций [7], определяющих зоны параметрической неустойчивости в динамике развития открытых систем. В частности, такие процессы характерны для турбулентных гидро- и газодинамических систем.
В рамках настоящей статьи под хаотическим процессом будем понимать колебательный непериодический ряд наблюдений с аддитивной чисто случайной нестационарной составляющей. Такая модель достаточно характерна, например, для динамики изменения параметров технологического процесса. Под влиянием многочисленных информационных воздействий наблюдения рядов изменения параметров образуют нелинейный динамический процесс очень сложной природы.
Другим важным понятием, нуждающимся в уточнении, является инерционность хаотического процесса. Понятие «инерционности», относится, прежде всего, к материальным субстанциям - веществу и энергии. Традиционное определение инерционности, как способности физического тела продолжать равномерное прямолинейное движение, не допускает прямой перенос на информационные процессы, допускающие, в силу своей нематериальности, мгновенные изменения состояния. Соответствующим примером могут служить процессы изменения параметров, вариации которых определяются через плохо формализуемые психологические, экономические, политические, военные и другие факторы. Поэтому под инерционностью таких информационных процессов будем понимать способность сохранять тенденцию как общее или усредненное направление развития в течение некоторого ограниченного интервала времени.
В контексте решаемой задачи, инерционность рассматривалась, как способность процесса сохранить обнаруженный тренд от уровня, на котором он был фиксирован (т.е. обнаружен) до некоторого другого априори заданного уровня (уровня подтверждения), находящегося по направлению установленного тренда. В случаях, когда процесс разворачивается и достигает противоположного по знаку уровня подтверждения, соответствующий фрагмент эксперимента будет рассматриваться как событие, противоречащее гипотезе инерционности.
При использовании выбранного определения инерционности и статистического подхода к оценке свойств изучаемого процесса, в качестве критериального показателя наличия инерционности естественно использовать оценку вероятности (точнее, частоту) события, заключающегося в том, что процесс пересечет уровень подтверждения наличия тренда раньше, чем уровня отрицания.
Заметим, что апостериорное наблюдение реализаций хаотических процессов, отражающих динамику изменения параметров технологического процесса, на визуальном уровне подтверждает предположение о наличии локальных участков с явно выраженными трендами, допускающими полиномиальное описание невысокого порядка. Однако данный факт еще не подтверждает гипотезу о наличии инерционности процесса, скорее здесь следует говорить о способности хаоса генерировать различные упорядоченные структуры. Это вполне соответствует мифологическим концепциям
разных народов, в соответствии с которыми хаос являлся праматерией, из которой возник материальный мир [8].
Наличие участков, сохраняющих определенную направленность развития процесса, дает возможность использовать традиционные алгоритмы статистического описания таких участков.
Для изучения поставленного вопроса в настоящей работе проведен ряд вычислительных экспериментов.
Математическая постановка задачи
Варианты формализации задачи прогностического управления в квазихаотических средах, основанные на анализе трендов, рассматривались во многих научных трудах. При этом процедура управления в этой ситуации всегда основывалась на явном или неявном предположении о наличии последействия (т.е. инерционности) наблюдаемого процесса. В случаях, когда объектом наблюдения являлся информационный процесс, например изменение котировок рыночных активов, учитывалась его нематериальная природа, в частности, способность мгновенно (с точностью до временного дискрета наблюдения) менять направление движения. Таким образом, как уже указывалась выше, инерционность таких процессов носит условный характер и понимается, как способность в среднем сохранять тенденцию развития в течение некоторого ограниченного интервала времени, достаточного для фиксации заданного порогового уровня.
Задача управления в хаотических средах на основе анализа и использования трендов естественно разделяется на два этапа: обнаружения и подтверждения тренда.
На первом этапе осуществляется обнаружение тренда, т.е. подтверждается факт наличия участка наблюдений с усредненной однонаправленностью тенденции развития изучаемого процесса. При проведении количественного анализа обнаружение тенденции, в простейшем случае, осуществляется фиксацией события, заключающего в переходе объекта анализа из состояния у(к) в состояние
У (к + т) = У (к) ± йЬ, где аь - параметр перехода. Знак
«+» соответствует положительной тенденции, знак «-» -отрицательной.
Выбор значения параметра обнаружения тренда йЬ достаточно сложен, поскольку слишком маленькое его значение может привести к росту статистических ошибок второго рода, когда небольшая хаотическая флуктуация воспринимается как тренд. С другой стороны, увеличение значения йЬ существенно снижает вероятность подтверждения тренда, т.к. сокращает оставшийся интервал времени, на котором тенденция еще сохраняется. По существу увеличение параметра обнаружения тренда может привести к росту статистических ошибок первого рода, когда гипотеза о наличии тренда ошибочно отвергается.
Таким образом, речь идет о традиционном для математической статистики компромиссе между допустимыми уровнями ошибок первого и второго рода. Однако в отличие от статистических методов точного решения в условиях хаотической динамики построить не удается. Реально выбор значения йЬ для хаотических процессов можно осуществить только эмпирически, путем последовательного перебора значений этого параметра на различных участках наблюдения.
На втором этапе статистического анализа осуществляется подтверждение или опровержение гипотезы о наличии тренда, совпадающее с
подтверждением или опровержением предположения о наличии инерционности обнаруженной тенденции.
Единичное событие, подтверждающее наличие инерционности на отдельной реализации, если движение продолжилось в направлении обнаруженной тенденции и достигло некоторого уровня у (k) + dL + dC (для
положительного тренда) раньше, чем, развернувшись, он перейдет на уровень у(k) + dL - dC ■ Для отрицательной
тенденции гипотеза об инерционности подтверждается при достижении уровня у (k) - dL - dC или не
подтверждается при переходе на уровень у (k) - dL + dC ■ Здесь dC - уровень подтверждения гипотезы о наличии тренда, соответствующий значению TP в задачах трейдинга.
Естественно считать, что инерционность процесса отсутствует, если после обнаружения, например, положительного тренда процесс с равной вероятностью достигает уровней у(k)+dy+dC и у (k) + dY - dC ■ Таким
образом, статистическая проверка гипотезы об отсутствии инерционности наблюдаемого процесса сводится к проверке гипотезы H0 : fn = 0,5, где fn = m/n - частота опытов, подтверждающих ее отсутствие, m - число опытов, подтверждающих отсутствие инерционности, n -общее число опытов. Соответственно, альтернативной гипотезой является предположение о наличии инерционности наблюдаемого процесса, в виде H1 : fn > 0,5. Частота наблюдаемых событий при достаточном числе повторения опытов рассматривается как оценка вероятности соответствующего предположения.
Для проверки гипотезы H0 может использоваться известное правило u < u, где u = (fn - 0,5)(0,25/n)1/2. Критическое значение u для правостороннего критерия находят по таблице функции Лапласа Ф из соотношения Ф^*) = (1 - 2у)/2 Здесь у - уровень значимости нулевой гипотезы.
В заключение математической формализации задачи заметим, что для визуального анализа тенденций часто используется не исходный ряд наблюдений Y(t), а его системная составляющая Y(t), свободная от чисто случайной, флуктуационной составляющей v(t). Речь идет о двухкомпонентной модели наблюдений у (?) = у (?)+v(t),
где системная составляющая YJ^t) представляет собой сглаженный колебательный непериодический процесс, используемый в процессе выработки управляющих решений. Для формирования системной составляющей обычно используются алгоритмы сглаживания. В частности, в вычислительной практике хорошо зарекомендовал себя несложный экспоненциальный фильтр вида
уд = ау(1) + руд-1), р = 1 -«■
При использовании коэффициента передачи в пределах а = 0,01-0,02 остаточный член v(t) оказывается близким к случайному стационарному процессу с гауссовским распределением. При уменьшении коэффициента передачи, v(t) становится нестационарным.
Наличие системной компоненты позволяет решать задачу анализа инерционности не только для исходного ряда наблюдений Y(t), но и для Y(t), тем самым уменьшив влияние чисто случайной шумовой компоненты процесса наблюдения.
Алгоритмика базовых вычислительных экспериментов для анализа инерционности хаотического процесса.
В соответствии с предложенной схемой проверки инерционности трендов, возникающих в хаотическом процессе, реализующая ее программа включает в себя два режима: обнаружения и подтверждения тренда.
Для наглядной визуализации решаемой задачи разделим область изменения исследуемого процесса У{С) на равномерные сектора размера сИ. Первоначально, для упрощения задачи, величину С будем использовать и в качестве уровня обнаружения, и в качестве уровня подтверждения тренда, т.е. сСС = а.
Предположим, что немонотонно возрастающий процесс перешел с уровня Ц до вышерасположенного уровня Ц+1. Данный факт можно грубо интерпретировать как наличие положительного тренда. Обозначим такой переход Ц —Ц+1. Наоборот, переход Ц —Цкл будем рассматривать как факт обнаружения отрицательного тренда.
Задача состоит в подтверждении (или опровержении) гипотезы об инерционности процесса У{С), определяемой достижением последующего уровня в направлении, соответствующем установленному тренду.
Будем оценивать вероятность положительных исходов, то есть перехода процесса Цпосле того, как он осуществил переход — Ц. Отрицательным исходом будет обратный переход на нижестоящий уровень Ц — Ц-1 сразу после ранее обнаруженного возрастающего перехода — Ц. В силу симметрии аналогичные оценки исходов имеют место и для убывающего перехода. Таким образом, полная группа событий состоит из двух положительных исходов, подтверждающих наличие инерционности в отдельном эксперименте
(Lk
* Lk+i \ Lk-i'
yLk), (Lk ^ 4-il Lk+
>h)
и двух отрицательных, опровергающих эту гипотезу
С^к ^ ^к-\\ Ц,-1 ^ ^к) ' к ^ ^к+1 ^ ^к ) '
В качестве иллюстрации на рисунке 1 приведен пример динамики результатов наблюдения шумовой компоненты нормированного диагностичсекого параметра ТП АТ6 на 10-дневном интервале наблюдения. Нормированные и центрированные значения процесса измеряются в унифицированных условных величинах, называемых пунктами {п.).
1 dl. 1min >'»'
Рисунок 1. Пример динамики результатов наблюдения
шумовой компоненты на 10-дневном интервале наблюдения
1 1.05 1,1 1,15 1Л 1,25
t dt S 1min xio4
1,65 1.7 1.75 1.8 18- 1,8 1.95 2 2,05 t dt = 1min xio4
Рисунок 2. Примеры реализации положительного исхода
Рисунок 3. Примеры реализации отрицательного исхода
Заметим, что на графике представлен как сам процесс у(), так и его сглаженная версия У(£). Сглаживание осуществлялось простым экспоненциальным фильтром с коэффициентом передачи а = 0,02.
Примеры реализации положительных исходов приведены на рисунке 2, а отрицательных - на рисунке 3.
Предположим, что проведено N экспериментов, в каждом из которых зафиксирован тренд, как направление перехода с одного уровня на другой. В случае, если направление движения сохранится вплоть до пересечения со следующим по направлению тренда уровнем, то такой исход следует воспринимать как событие, подтверждающее наличие тренда. Наоборот, если процесс развернется и достигнет предшествующего уровня, то такой исход рассматривается как негативный, отрицающий наличие тренда.
Предположим, что в результате N последовательно проведенных экспериментов, М исходов подтверждают гипотезу о наличии тренда, а N - М исходов ее отрицают. Тогда предположение о наличии тренда может трактоваться как альтернатива н : р ф р0 - 0.5 к нулевой гипотезе но: р - р0 - 0.5 об его отсутствии.
Вычислительный эксперимент 1. Анализ инерционности для исходного хаотического процесса
Для того чтобы охватить как можно больше типов вариаций шумовой хаотической динамики, отражающей различные физические параметры состояния ТП, рассматривались пять 100-дневных участков для трех наиболее часто применяемых параметров - температура верха колонны, расход орошения и давления внутри колонны, представленных в форме нормированных значений. В качестве размера межуровневого интервала использовалась величина сИ = 100 пунктов.
Таблица 1. Частота положительных исходов при ,ЗЬ = 100
Временной интервал, сутки Параметры состояния ТП
1 2 3
1-100 0,552 0,484 0,444
101-200 0,507 0,536 0,465
201-300 0,533 0,552 0,560
301-400 0,494 0,452 0,465
401-500 0,446 0,545 0,444
В качестве оценка вероятности наличия инерционности будем использовать частоту положительных исходов, то есть отношение числа положительных исходов к общему числу экспериментов. Соответствующие результаты вычислительного эксперимента представлены в таблице 1.
Из данных таблицы 1 наглядно видно полное отсутствие какой-либо инерционности в динамике изменения параметров ТП. Последнее утверждение можно проверить методами статистической проверки гипотез. Как указывалось выше, проверяется нулевая гипотеза Н0: р - 0.5 против альтернативы щ : р ф ^.
В качестве примера, рассмотрим эксперимент для 100-дневного интервала наблюдений за параметром 1 с уровнем сегментации области изменений dL = 100п. В результате эксперимента было зафиксировано n = 76 обнаружений тенденций, из которых в m = 42 случаях условие инерционности подтверждалось. Относительная частота m/n = 552 соответствует значению решающей статистики.
и =
n Ро J 0.052>/76
= 0.91
Здесь
¡роЧо >/°25
до = 1 - Ро, и е N(0,1), т.е. подчинена стандартному
гауссовскому распределению с параметрами (0,1). Предположение о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением г—). В общем
случае предположение дополнительной проверки.
о нормальности требует
Таблица 2. Частота положительных исходов при подтверждении или опровержении теории о наличии тренда сглаженной траекторией
Временной интервал, Параметр 1
сутки а = 0.005 а = 0.01 а = 0.02
1-100 0,652 0,652 0,593
101-200 0,698 0,706 0,696
201-300 0,686 0,707 0,688
301-400 0,612 0,612 0,582
401-500 0,567 0,534 0,574
Критическая область для симметричной конкурирующей гипотезы щ : р Ф р0 определяется на
основе выбранного уровню значимости а. Для двухсторонней критической области икр определяется по таблице значений функции Лапласа из условия
ФК) =
-1 -£ = 1^ =0005, где а = 0'99
2 2 2
Из таблиц распределения функции Лапласа определяем и* = 2,85. Следовательно, расчетное значение статистики и = 0,91 принадлежит области принятия гипотезы Но об отсутствии инерционности наблюдаемого процесса.
Вычислительный эксперимент 2. Анализ инерционности для сглаженного процесса с уменьшенным уровнем сегментации
Решение об отсутствии инерционности в предыдущем эксперименте может быть обусловлено излишне большим интервалом подтверждения С = 100п. Проверим, можно ли рассчитывать на наличие инерционности для меньших уровней сегментации.
Замечание. Следует иметь ввиду, что исследуемый процесс обладает существенной чисто случайной составляющей. Если рассматривать случайный разброс значений относительно сглаженного процесса с У5() с а = 0,02, то его среднеквадратическое отклонение (ско) наблюдения для разны>/х нормированных параметров ТП колеблется в диапазоне 11-14п. При уменьшении коэффициента передачи экспоненциального фильтра а до 0,01, соответствующее ско будет изменяться в пределах 15-20п., что связано с меньшей степенью сглаженности и.
следовательно, меньшей разностью между исходным и сглаженными процессами.
Таблица 3. Частота положительных исходов при dL=50
Временной интервал, сутки Параметры ТП
1 2 3
1-100 0.539 0.568 0.522
101-200 0.524 0.528 0.497
201-300 0.529 0.503 0.537
301-400 0.503 0.550 0.534
401-500 0.493 0.548 0.552
Наличие разброса наблюдений приводит к возникновению случайных решений, не отвечающих системным процессам динамики состояния ТП, и, следовательно, искажает вывод об отсутствии инерционности исследуемой динамики. Таким образом, для получения корректного вывода о наличии инерционной составляющей величина шага сегментации (системной динамики) должна заметно превышать случайную составляющую.
В качестве примера с допустимо минимальным шагом сегментации для приведенных значений ско, рассмотрим ту же задачу с а = 50п. Частоты положительных исходов, подтверждающих инерционности процесса, приведены в таблице 3.
Полученные результаты, как и в предыдущем случае, подтверждают отсутствие инерционности. Незначительная положительная асимметрия слишком мала, чтобы принять нулевую гипотезу о значимости отличия частоты положительного исхода от 50 %.
Вычислительный эксперимент 3. Анализ инерционности для сглаженного процесса
Отличие от первого эксперимента состоит в том, что фиксация начала каждого этапа динамики процесса осуществляется при пересечении уровня сегментации не самим процессом, а его сглаженной версией. Закрытие позиции (т.е. установка факта признания или не признания инерционности в каждом опыте) осуществляется самим процессом У(1).
Очевидно, что чем выше степень сглаженности, тем в меньшей степени получаемый результат будет зависеть от случайных пересечений уровней флуктуационной составляющей процесса. С другой стороны, более высокая степень сглаженности неизбежно приводит к задержке сглаженного процесса относительно исходного, вызывающей искажения результирующих оценок. В качестве компромисса будем использовать диапазон значений а = 0,005 - 0,02. Шаг сегментации, как и в первом эксперименте, равен 100п.
Результаты оценки вероятности положительного исхода, подтверждающего альтернативу Н1Н, для пяти
стодневных интервалов наблюдения и различных значениях коэффициента передачи а экспоненциального фильтра представлены в таблице 4.
Таблица 4. Частота положительных исходов при подтверждении
теории о наличии тренда сглаженной траекторией
Временной интервал, сутки Параметры ТП
а = 0.005 а = 0.01 а = 0.02
1-100 0.667 0.681 0.618
101-200 0.771 0.791 0.667
201-300 0.606 0.706 0.612
301-400 0.612 0.653 0.618
401-500 0.648 0.581 0.574
Замечание. Возможны/ сбои в переобозначении уровней, если при прохождении У(1) уровня открытия, сам процесс У(1 выйдет за пределы^Сц, т.е. окажется выше зоны/ и или ниже ¿Вп. Тогда для закрытия позиции ему нужно вернуться и снова пересечь соответствующую границу, что может произойти очень нескоро и открыться в неверном сточки зрения инерционности направления.
Вычислительный эксперимент 4. Анализ инерционности сглаженной составляющей хаотического процесса
Рассмотрим вопрос об инерционности тренда на меньших участках фиксации. В частности, исследуем вышеприведенную задачу с вычислительной схемой 3, в которой подтверждение или опровержение гипотезы о наличии тренда происходит на основе сглаженной кривой с тремя уровнями коэффициента передачи:а = 0,02, 0,01, 0,005.
В качестве примера будем рассматривать шумовую динамику тех же параметров состояния СТС, что и в предыдущем случае. Результаты моделирования приведены в таблице 5.
Таблица 5. Частота положительных исходов _для вычислительной схемы/ 3
Временной Параметр 1, dL=75 Параметр 2, dL=75
интервал,
сутки а = 0.02 0.01 0.005 0.02 0.01 0.005
1-100 0.69 0.61 0.71 0.57 0.62 0.68
101-200 0.72 0.76 0.75 0.72 0.74 0.81
201-300 0.66 0.66 0.65 0.70 0.73 0.78
301-400 0.55 0.57 0.60 0.67 0.70 0.79
401-500 0.58 0.59 0.63 0.68 0.71 0.79
Временной интервал, сутки Параметр 3, dL=50 Параметр 4, dL=50
а = 0.02 0.01 0.005 0.02 0.01 0.005
1-100 0,58 0,63 0,70 0,63 0,70 0,71
101-200 0,70 0,72 0,80 0,75 0,76 0,82
201-300 0,71 0,76 0,78 0,72 0,76 0,80
301-400 0,66 0,67 0,72 0,70 0,71 0,75
401-500 0,65 0,67 0,68 0,70 0,73 0,77
Из приведенных результатов видно, что увеличение коэффициента передачи сглаживающего фильтра приводит к росту инерционности системной составляющей процесса. Однако искусственность такого подхода может привести к некорректным выводам при формировании управляющих стратегий в силу неизбежного отставания динамики сглаженной кривой Yt
Вычислительный эксперимент 7. Исследование инерционности тренда для различных уровней подтверждения тренда
Основное достоинство бессегментной схемы определяется ее гибкостью, позволяющей использовать различные, не равные друг другу параметры обнаружения dL и подтверждения dC тренда. Рассмотрим задачу анализа инерционности для различных сочетаний этих параметров на примере наблюдений первого параметра состояния ТП с использованием сглаженной кривой с а = 0,01.
Для статистического анализа гипотезы об инерционности рассмотрим диапазон изменения уровня подтверждения инерционности dC от 25 до 75 пунктов.
Таблица 6. Частота положительных исходов для вычислительной схемы 3 и различных уровней подтверждения тренда
Таблица 7. Частота положительных исходов для вычислительной схемы 3 и различных уровней фиксации тренда
Временной интервал, сутки Параметр 1, dL=75 Параметр 2 , dL=50
dC=75 II 00 dC=25 C = 5 ll dC =25
1-100 0,57 0,70 0,74 0,67 0,68 0,71
101-200 0,72 0,73 0,84 0,75 0,75 0,84
201-300 0,70 0,74 0,78 0,69 0,72 0,80
301-400 0,67 0,69 0,80 0,68 0,70 0,80
401-500 0,68 0,71 0,79 0,66 0,70 0,78
Одной из причин негативного результата является загрубленная методика обнаружения снижения уровня подтверждения тренда сС с 100п. до 75п., и далее до 50п., как это видно из данных, приведенных в таблицах 7, 8, оказывает крайне незначительное влияние на оценку вероятности, подтверждающую гипотезу И При этом заметно явное превышение частоты достижения уровня фиксации тренда над уровнем 50 %, соответствующем подтверждению гипотезы И об отсутствии системной составляющей. Тем не менее, данный результат остается крайне слабым с точки зрения теоретической платформы для построения управляющей стратегии. Прямое использование инерционности зафиксированной тенденции неизбежно ведет к результирующему проигрышу.
Одной из причин негативного результата является загрубленная методика обнаружения тренда, требующая только перехода шумового процесса /. ^ /. + С раньше, чем /. ^ /. - С (положительный тренд) или наоборот, /. ^ /. - С раньше, чем /. ^ /. + С (отрицательный тренд). В то же время качество самого перехода никак не учитывалось. Для исследования этого вопроса проведем очередную серию вычислительных экспериментов.
Анализ инерционности хаотических процессов на основе качественных характеристик локальных трендов: постановка задачи.
Недостатком предложенной схемы анализа является отсутствие учета качества соответствующих переходов. Например, переход ук) ^ ук) + сСУ может происходить в течение длительного времени, с колебаниями и с большим отрицательным «провисанием» (нужно только, чтобы он не развернулся и не достиг уровня ук) - сСУ). Такой процесс достаточно сложно воспринимать как тренд. Однако в соответствии с приведенной выше формализацией, такой переход также будет интерпретирован как факт наличия положительной тенденции.
В связи с этим имеет смысл перейти к более сложному критерию обнаружения тренда, основанному, например, на средней скорости изменения состояния
процесса на скользящем временном окне наблюдения размера /
Д Y(к, l)=Y9к — l + 1, к) = [Y(k — l + 1), Y(к — l + 2 ),. . . Y( k)] .
Обнаружение тренда в этом случае соответствует событию, заключающемуся в превышении значения коэффициента линейной аппроксимации a1(k), вычисленному на участке наблюдений ДY(k,I), некоторого критического значения a1(k) > a .
Данный подход можно обобщить и на более сложные правила обнаружения тренда. В частности, можно рассмотреть вариант обнаружения тренда на основе коэффициентов линейной аппроксимации, вычисленных на двух окнах наблюдения разной длины ДУ(к,1), и Д^Ш 1 > 2 или вариант с использованием скользящей аппроксимации полиномом второго порядка.
Вторая половина методики выявления инерционности хаотического процесса, а именно, вопрос о подтверждении факта наличия тренда остается неизменным. Гипотеза H0 об отсутствии инерционности обнаруженного тренда означает, что процесс, после его обнаружения в момент времени t0 достигает пороговых значений Y(t0) + dL и Y(to) - dL с одинаковой вероятностью H0 : p = p0 = 0,5. Здесь Y(to) - значение наблюдаемого процесса на момент обнаружения тренда.
Альтернативная гипотеза, указывающая на инерционность тренда, а, следовательно, на принципиальную возможность построения выигрышной управляющей стратегии, основанной на трендах, будет иметь вид Hi : p * PoH: p ф p0 = 0.5 ■
Как и в предыдущих экспериментах, помимо основного хаотического процесса Y(t) будем использовать его сглаженную версию YJ(t) : Y(t) =а Y(t) + ß Y(t-1), где ß = 1 - а, а = 0,01-0,02. Процесс Y(t), имитирующий системную составляющую хаотической динамики, позволяет выделить чисто случайную составляющую исходного шумового хаотического процесса v(t) = Y(t) -Y(t), которая носит характер центрированного случайного процесса с распределением, близким к гауссовскому. Значение дисперсии остаточного процесса £(v(t)), в свою очередь, позволяет оценить нижнюю границу параметра dL, определяющего уровень подтверждения или отрицания гипотезы о наличии тренда.
Методика проведения вычислительных экспериментов близка к своему вышеописанному прототипу. В качестве полигона хаотических данных, как и прежде, рассматривается временной ряд, образованный наблюдениями параметра 1 на различных непересекающихся 100-дневных интервалах наблюдений. Далее, формируется скользящее окно наблюдений ДУ(к) размером , на котором вычисляются аппроксимирующие полиномы P(q,/). На основе сопоставления оценок коэффициентов полиномов a с критическими значениями a вырабатывается решение о наличии тренда. Для реализации статистической проверки инерционности определяется число исходов, соответствующих достижению процессом заранее установленного уровня dL (в терминологии трейдеров уровни CL). В силу симметричности задачи отрицательный результат состоит в развороте тренда и достижении уровня -dL (или уровня FL).
В случае, если отношение числа достижения уровня dL к общему числу открытий позиций m/n (частота события) близка к 0,5, то это означает подтверждение гипотезы H0 об отсутствии инерционности обнаруженных тенденций. Это, по сути, будет означать невозможность построения управляющих стратегий на основе прямого обнаружения трендов.
Временной интервал, сутки Параметр 1, dL=100 Параметр 2 , dL=100
dC=75 dC=50 dC =25 dC=75 dC=50 dC=25
1-100 0,63 0,67 0,74 0.64 0.79 0.75
101-200 0,75 0,75 0,90 0.75 0.79 0.84
201-300 0,72 0,73 0,79 0.66 0.65 0.84
301-400 0,62 0,63 0,76 0.55 0.68 0.81
401-500 0,60 0,61 0,72 0.59 0.63 0.83
Параметрами вычислительного эксперимента являются величины окна наблюдений / степень сглаживающего полинома ц пороговые значения трендов а, уровень подтверждения наличия тренда сИ.
Вычислительный эксперимент 8
Используется простейшая схема линейной аппроксимации ?( £) = а0 + a1t на скользящем окне наблюдения ДУ( к,1).
Фиксация тренда осуществляется при выполнении условия превышения линейным коэффициентом аппроксимации а/ заранее установленное значение а* : а1 > а*. Подтверждение или отрицание факта наличия тренда осуществляется при выполнении условия У{С) = У ± сСС где У = УК) - значение процесса в момент фиксации тренда 0 сСС = 30,50,100 - уровни подтверждения тренда. Размер окна наблюдения I варьируется в диапазоне (0,1-0,5) суток.
Обнаружение тренда осуществляется в случае выполнения условия |а1| > а*, подтверждение тренда -соответственно, при достижении уровней = У0 ± С
Результаты оценки вероятности (частоты) достижения уровня подтверждения тренда для его различных значений С = 25,50,75,100, для окна наблюдения I = 0,1, 0,25, 0,5 суток и для пороговых значений фиксации тренда /1 = 0,05, 0,075, 0,1 на интервале наблюдения в 100 дней приведены в таблице 8.
Таблица 8. Частота подтверждения тренда для различных
_значений параметров
Частота подтверждения тренда
а dL, n,\ l, дн 0,025 0,05 0,075 0,1
0,025 25 0,50 0,48 0,49 0,49
0,025 50 0,51 0,50 0,51 0,50
0,025 75 0,50 0,50 0,50 0,51
0,025 100 0,50 0,51 0,51 0,51
0,05 25 0,50 0,48 0,48 0,50
0,05 50 0,50 0,50 0,51 0,50
0,05 75 0,50 0,50 0,51 0,50
0,05 100 0,50 0,51 0,51 0,51
0,075 25 0,50 0,49 0,49 0,49
Представленные данные с полной очевидностью показывают полное отсутствие инерционности процесса У{С) в широком диапазоне изменения значений интенсивности, уровней фиксации и уровней подтверждения тренда.
Недостатком данного эксперимента является фиксированный уровень скользящего окна наблюдения I Большое окно вызывает существенную задержку времени обнаружения тренда, что приводит к запаздывающему решению и, как следствие, к некорректной оценке вероятности подтверждения тренда. Соответствующий этому случаю пример приведен на рисунке 4.
vА h \ /V
1400 1600 1800 2000 2200 2400 26 0 dt -1 min
Рисунок 4. Примеры неправильного заключения о наличии тренда, связанного с запаздыванием принятия решения
Небольшое окно приводит к повышенной чувствительности процедуры обнаружению тренда к
случайной составляющей, что приводит к статистическим ошибкам 2-го рода («ложные тревоги»), то есть к обнаружению несуществующего тренда.
В связи с этим имеет смысл рассмотреть постановку задачи обнаружения тренда на основе сложного критерия с использованием двух скользящих окон наблюдения разных размеров.
Вычислительный эксперимент 9
В отличие от предыдущего эксперимента, рассматриваются два тренда. При этом используются линейные аппроксимации ц = 1 для двух скользящих окон наблюдения размером / и /., причем /1 > /2. Очевидно, что первый тренд более инерционный с более сильными сглаживающими характеристиками, второй - более чувствительный как к системным изменениям процесса, так и к «ложным тревогам».
Пусть / = 300, / = 90 минутных отсчетов, критические значения коэффициента линейной регрессии а2 = 0,0 5 ,«2=° , 1, уровень подтверждения тренда С = 75. Решение о наличии тренда принимается, если оба коэффициента линейных регрессий превышают по
модулю свои критические значения.
Пример реализации такой схемы приведен на рисунке 5.
Рисунок 5. Пример схемы принятия решения с двумя трендами
Более длинные тренды соответствуют большим окнам наблюдения.
Рассмотрим результат применения данной программы для 4-х стодневных интервалов с разными уровнями подтверждения тренда С = 25 : 25 : 100. Соответствующие данные приведены в таблице 9. Нетрудно видеть, что организованная модификация не дала положительного эффекта.
Таблица 9. Частота подтверждения тренда для различных
_временных интервалов
Частота подтверждения тренда
dL, п.\Д7" 1-100дн, 101-200дн, 201-300дн, 301-400дн,
25 0,48 0,49 0,48 0,47
50 0,53 0,46 0,48 0,48
75 0,53 0,50 0,49 0,45
100 0,55 0,50 0,52 0,47
Очевидно, что недостатки предыдущей версии в этой программе сохранились. Кроме того, программа, в этом случае, обнаруживает тренд, как правило, в момент подтверждения (или отрицания) предыдущего тренда. В то же время в течение времени подтверждения нового обнаружения тренда не происходит, для этого нужна программа с одновременным анализом нескольких тенденций.
Приведенные данные достаточно наглядно иллюстрируют крайне незначительные флуктуации частоты подтверждения тренда относительно величины 0,5. Указанный вывод легко подтверждается на основе традиционной технологии проверки статистической гипотезы Н0 : р = 0,5 об отсутствии инерционности тренда
с использованием и - статистики и уровнем доверия
а = 0 ,9 9.
Вычислительный эксперимент 11
Методика анализа инерционности, в соответствии с вышеописанной формализованной постановкой задачи, состоит в оценке вероятности подтверждения обнаруженного тренда и проверки гипотезы Н о равенстве этой вероятности 0,5. С этой целью соответствующая программа осуществляет расчет частоты указанного события для пяти достаточно больших участков наблюдения (по 100 дней каждый) изменения состояния наблюдаемого объекта. Для сравнения использовались 7 различных групп установочных параметров, представленных в таблице 10.
Таблица 10. Группы параметров, определяющих уровни фиксации
и подтверждения трендов
Группы 1 2 3 4 5 6 7
dC 75 100 50 75 75 75 75
dL 75 75 75 100 50 75 75
dT 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1500
Если рассматривать первый вариант, как базовый, то все остальные варианты получаются из него путем увеличения и уменьшения одного из параметров.
Результаты анализа инерционности
наблюдаемого процесса на основе предложенной методики приведены в таблице 11. Представленные данные демонстрируют совершенно устойчивый результат, подтверждающий гипотезу Н об отсутствии сколько либо значимой инерционности у наблюдаемой реализации хаотического процесса.
Таблица 11. Частота подтверждения инерционности для различ-
ных временных интервалов наблюдения для исходных данных
Интервал наблюдения 1-100 101-200 201- 301-400 401-500
Группа параметров 300
1 0,51 0,54 0,46 0,47 0,52
2 0,36 0,54 0,54 0,47 0,50
3 0,49 0,45 0,43 0,49 0,49
4 0,57 0,59 0,46 0,55 0,50
5 0,58 0,51 0,46 0,42 0,53
6 0,61 0,81 0,84 0,41 0,43
7 0,56 0,55 0,47 0,45 0,48
Следует учесть существенное влияние на приведенный результат чисто случайной составляющей изучаемого временного ряда. Как правило, пользуются системной составляющей с отфильтрованной случайной компонентой.
Используя сглаженную («системную») компоненту только для обнаружения тренда, получим результаты анализа инерционности, приведенные в таблице 12.
Таблица12. Частота подтверждения инерционности для сглаженного хаотического процесса и различных ^ интервалов наблюдения
Интервал наблюдения 1- 101- 201- 301- 401-
Группа параметров 100 200 300 400 500
1 0,49 0,50 0,52 0,46 0,31
2 0,46 0,46 0,48 0,45 0,57
3 0,45 0,46 0,55 0,50 0,47
4 0,41 0,52 0,51 0,48 0,50
5 0,49 0,48 0,45 0,47 0,35
6 0,49 0,46 0,51 0,44 0,40
7 0,75 0,49 0,48 0,69 0,44
Аналогичные результаты для сглаженной компоненты (используемой и для обнаружения, и для подтверждения тренда) представлены а таблице 13.
Таблица 13. Частота подтверждения инерционности для сглаженного хаотического процесса и различных ^ интервалов наблюдения
Интервал наблюдения 1- 101- 201- 301- 401-
Группа параметров 100 200 300 400 500
1 0,49 0,50 0,52 0,46 0,31
2 0,46 0,46 0,48 0,45 0,57
3 0,45 0,46 0,55 0,50 0,47
4 0,41 0,52 0,51 0,48 0,50
5 0,49 0,48 0,45 0,47 0,35
6 0,49 0,46 0,51 0,44 0,40
7 0,75 0,49 0,48 0,69 0,44
В первом случае крайне незначительное отклонение среднего от теоретического значения |/ -/о| = 0, 0 1 6 подтверждает гипотезу H0 об отсутствии инерционности. Во втором случае данное отклонение |/ — /о | = 0, 1 0 1 более существенно и при выбранном уровне доверия и ско (s = д = 0,2082) гипотеза H0 должна быть отвергнута.
Заключение
Основным выводом из приведенных в настоящей работе материалов является полное отсутствие инерционности у хаотических процессов, рассмотренных в приведенных примерах. Это, в частности, означает бесперспективность задачи построения управляющих стратегий, основанных исключительно на анализе трендов.
Наличие инерционности у сглаженного процесса не меняет полученного вывода о возможности построения эффективного прогностического управления. Это связано с тем, что процесс сглаживания основан на использовании ретроспективных данных. Следовательно, сглаженная кривая неизбежно обладает задержкой по отношению к исходному ряду наблюдений, что, в свою очередь, приводит к задержке управляющих решений. Такие опоздания в условиях безынерционной динамики однозначно приводят к существенной потере эффективности управления. Разумеется, можно сократить глубину памяти сглаживающего (или прогнозирующего) фильтра, однако в этом случае возникает поток статистических ошибок 2-го рода (так называемых, «ложных тревог»). Прокрустово ложе «Задержки -Ложные тревоги»).
Прикладное значение приведенных в статье исследований состоит в рекомендации проведения предварительного анализа наличия инерционности в исходных временных последовательностях в соответствии с описанной в статье методикой. В случае отрицательного решения не рекомендуется использовать прогностические управляющие стратегии, основанные на анализе трендов. В качестве альтернативы можно воспользоваться известными технологиями управления, основанными на фундаментальном анализе, аналитических исследованиях, осцилляторных оценках и т.п.
Литература
1. Lorenz E.N. The essens of chaos. Washington: University of Washingtoh Press, 1995. 240 р.
2. Prigogine /.The philosophy of instability // Futures. 1989. Vol. 21. Р. 396-400.
3. Wiggins S. Introduction to Applied Nonlinera Dynamical Systems and Chaos/ New York, Berlin,
Heidelberg, London, Paris, Tokyo, and Hong Kong: SpringerVerlag, 1990. 128 p.
4. Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. Chaos: an introduction to dynamical systems. New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, and Hong Kong: SpringerVerlag, 1997. 603 p.
5. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd ed.). New York: Westview Press, 2003. 335 p.
6. Goiiub J. P., Baker G. ¿.Chaotic dynamics. Cambridge University Press, 1996. 256 p.
7. Poincaré Jules Henri Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Divergence des séries de M. Lindstedt // Acta Mathematica. 1890. Vol. 13. P. 1-270.
8. Clenow A. F Following the Trend: Diversified Managed Futures Trading. Wiley & Sons, 2012 300 p.
