CC BY
8II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК < A.A. Musaev
MULTIREGRESSION
ESTIMATION
OF CURRENCY COST
St-Petersburg State Institute of Technology (Technical University) Moskovsky pr. 26, St-Petersburg, 190013, Russia
e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
The problem of the construction and application of traditional multiregression estimates in the conditions of chaotic dynamics is considered. For the range of data a time series of currency observations are used. The current relation of currency pair costs is subject to an assessment. The most significant ones in the electronic currency market financial instruments (EURUSD, EURJPY and USDJPY) are chosen as predictors.
Keywords: the chaotic processes, multiregression estimates, evolutionary modeling, trend.
L.382
A.A. Мусаев1,
МУЛЬТИРЕГРЕССИОННАЯ ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ФИНАНСОВОГО ИНСТРУМЕНТА
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26 Санкт-Петербург, 190013, Россия е-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Рассмотрен вопрос построения и применения традиционных мультирегрессионных оценок в задачах оценивания в условиях хаотической динамики. В качестве полигона данных используются временные ряды наблюдений валютных инструментов. Оценке подлежит текущее отношение стоимостей валютной пары. В качестве предикторов выбраны наиболее значимые на электронном валютном рынке финансовые инструменты -EURUSD, EURJPY и USDJPY.
Ключевые слова: хаотические процессы, мультирегрес-сионные оценки, управляющая стратегия.
Введение
Принципиальной особенностью эволюции состояния рынков капитала является их хаотическая природа, не допускающая построения эффективного прогноза на основе традиционных статистических методов обработки данных [1, 2]. Достаточно очевидно, что если бы поиски философского камня, облаченного в форму устойчивой выигрышной управляющей стратегии, оказались успешными, то это однозначно привело бы к гибели всей системы современной биржевой торговли. По крайне мере - в ее нынешней форме.
Тем не менее, число биржевых алхимиков и искателей чаши Грааля не уменьшается. При этом основными инструментами технического анализа (ТА) остаются индикаторы, в той ли иной степени, базирующиеся на вероятностно-статистической методологии [3]. Главное несоответствие такого подхода состоит в концепции повторяемости опыта, т.е. относительной стабильности условий протекания этих опытов. Реальные процессы, протекающие на рынках капитала (и не только) в принципе не отвечают условию повторяемости, т.е. относятся к более высокому уровню неопределенности - уровню хаоса. Несоответствие структуры исходных данных совокупности комфортных (для чистых математиков) условий, в рамках которых реализуется вероятностно-статистическая парадигма, приводит к полной или частичной неприменимости статистических алгоритмов обработки реальных данных.
В то же время нельзя отрицать тот факт, что существует определенный процент успешных трейдеров, получающих в результате спекулятивных операций относительно небольшой регулярный выигрыш. Вопрос о регулярности остается открытым. Не исключено, что состав команды любимцев фортуны является переменным. Сам
факт наличия успешных трейдеров также требует анализа. Действительно, если на рынке играют сотни тысяч (а то и миллионы) трейдеров, то какой-то их процент, в силу вероятностной структуры распределения выигрыша, всегда может оказаться в зоне успешности. И все же надежда на возможность получения системного выигрыша должна умереть последней.
Будем полагать, что успешные трейдеры все-таки существуют. По-видимому, их деятельность связана с совместной обработкой результатов фундаментального анализа, особенно в части обработки новостной информации, и технического анализа. Несомненным достоинством ТА анализа является то, что он основан на обработке временных рядов, отражающих в интегральной форме всю совокупность факторов влияния. Вопрос состоит в том, насколько математический инструментарий ТА, так или иначе связанный со статистическим подходом, может быть использован при построении управляющей стратегии.
В частности, одним из перспективных классов инструментов ТА являются осцилляторы, позволяющие определить соответствие текущей котировки валютного актива его реальной текущей рыночной стоимости. В настоящей статье рассмотрена задача построения и анализа эффективности такого осциллятора, основанного на мультирегрессионной оценки стоимости валютного инструмента для различных параметров и условий его формирования.
Постановка задачи
В работе [4] было показано, что наиболее эффективной моделью для описания рядов наблюдений котировок валютных инструментов является аддитивная модель вида
1 Мусаев Александр Азерович, д-р техн. наук, профессор, декан фак. информационных технологий и управле-ния e-mail: amusaev@technolog.edu.ru Musaev Aleksandr A., Dr Sci. (Eng.), Professor, dean of the Information technologies and management faculty,. e-mail: amusaev@technolog.edu.ru
Дата поступления - 17 ноября 2014 года Received November 17, 2014
ii. информационные системы. автоматизация и системы управления
Известия СПбГТИ(ТУ) №28 2015
где {У!к, к = 1,...п} представляет собой системную составляющую (т.е. используемую для построения управляющей стратегии), а {ук, к = 1,...п} - шумовую составляющую. Системная компонента образуется колебательным непериодическим (или хаотическим) процессом. Шумовая компонента представляет собой нестационарный процесс, грубо описываемый гауссовской моделью с изменяющимися параметрами.
Наблюдаемый процесс {Ук> к = 1,...п} не отвечает концепции эффективного рынка [5] и, как сугубо информационный процесс, не обладает инерционностью [6]. Последнее утверждение приводит к полной несостоятельности управляющих стратегий, базирующихся на механистической пролонгации обнаруженных трендов. В то же время в хаотической динамике котировок можно найти полезные закономерности, связанные с многомерностью рыночных процессов.
В частности, при увеличении интервала наблюдения можно наблюдать достаточно устойчивые корреляционные связи между различными инструментами валютного и других рынков [7]. Данное явление позволяет построить взаимные статистические зависимости, что, в свою очередь, дает возможность оценить текущее значение валютного инструмента по группе значений коррелированных с ним инструментов. Отсюда возникает реальная возможность построения осциллятора, значение которого в каждый момент времени будет определяться разностью между текущим значением котировки валютного инструмента и его оценкой, построенной по коррелированной с ним группе. При этом наиболее естественным механизмом построения такой оценки является многомерная линейная регрессия (мультирегрессия), базирующаяся на традиционном методе наименьших квадратов (МНК). Подробности применения техники регрессионного анализа для оценки индикаторов фондового рынка приведены в [7].
Достаточно очевидно, что применение разности между оценкой и текущей стоимостью актива для управления биржевой торговлей может осуществляться путем использованием разнообразных критериев, определяющих моменты времени открытия и закрытия торговых позиций. При этом в условиях хаотической динамики аналитические методы сравнения этих критериев реализовать невозможно. Отсюда возникает задача численного исследования управляющих стратегий, основанных на регрессионной оценке стоимости валютного инструмента, рассмотренная в настоящей статье.
Мультирегрессионное оценивание состояния рынка
В качестве базового примера, используемого в настоящей статье, рассмотрим задачу оценки стоимости валютного инструмента USDCHF. В роли регрессоров первоначально используем три валютных инструмента, наиболее значимых с точки зрения представляющих их национальных валют: EURUSD, EUTJPY и USDJPY. На рисунке 1 представлены временные графики наблюдений котировок перечисленных выше валютных пар на участке наблюдения в 5 дней.
Нетрудно видеть, что оцениваемый валютный инструмент находится в корреляционной связи со всеми базовыми регрессорами, причем с валютными парами EURUSD и EUTJPY корреляция является отрицательной. Это легко объяснимо значимой взаимозависимостью швейцарского франка и европейской валюты.
В общем случае, многомерная линейная регрессионная модель имеет вид
Рисунок 1. Пример реализации наблюдений котировок валютного инструмента USDCHF и базовых регрессоров EURUSD, EUTJPY и USDJPY на временном участке 5 дней
Уравнение регрессии представляет собой гиперплоскость в (т +1)-м пространстве. При этом используется типовые допущения вида:
В дальнейшем для описания многомерной линейной регрессии будем использовать матричную нотацию [8, 9]:
1=1
+ £•,., 1 = 1.....П.
Минимизируя сумму квадратов ошибок
приходим к системе нормальных уравнений, решение которых, в свою очередь, позволяет определить хорошо известное соотношение для МНК-оценки параметров регрессии с = (ХТХГ' хТу.
Для оценки векторного коэффициента передачи с будет использоваться скользящее окно наблюдения -ДА ¡ = (т + 1),...,п, позволяющее снизить влияние нестационарности на качество обработки данных. Организация скользящего окна наблюдения и отвечающая ему схема структуризации данных представлена в [10]. При этом информационная платформа анализа формируется в виде двумерной таблицы, в левой части которой представлены данные наблюдений за регрессорами, в роли которых, в данном случае, выступают валютные инструменты рынка Forex. Правая часть таблицы представлена наблюдениями за оцениваемым активом.
Величину разности = Уг - Уг, где у, = с1Х1 -оценка стоимости актива, сформированная на основе текущих значений регрессоров, можно использовать для анализа текущего состояния наблюдаемого валютного инструмента.
На рисунке 2 приведены графики наблюдений котировок валютного инструмента USDCHF в течение 7 суток с интервалом наблюдения в 1 минута и его регрессионная оценка, построенная по указанной выше триаде базовых инструментов.
терия К: \di\> й*. Если й 1 > й*, то это означает, что У1 > У., т.е. валютный инструмент переоценен рынком и следует ожидать снижения его стоимости. Наоборот, если <-й*, т.е. Уг < , означает недооценку инструмента и, следовательно, можно ожидать повышение его котировки.
Статистический подход означает определение критического значения й* исходя из таблиц его распределения (или распределения связанной с ним статистики) и заданного уровня доверия. Однако в условиях хаотической динамики такой подход неприемлем и критическое значение приходится выбирать приблизительно, исходя из предварительного анализа ретроспективной информации на достаточно большом интервале наблюдений. В качестве примера рассмотрим изменение статистики й =у - у для того же валютного инструмента USDCHF на интервале наблюдения в 100 дней с шагом 5 минут. Соответствующий график, а также его сглаженная версия и уровни принятия решения приведены на рисунке 4. В качестве уровней принятия решения приняты значения среднеквадратического отклонения (ско). Здесь оценка ско разностного процесса э = 27.7, а для сглаженного процесса - э = 21.5.
Рисунок 2. Котировки USDCHF и их регрессионные оценки на интервале наблюдения в 7 дней.
На рисунке 3 представлена отвечающая первому графику разность г= 1,...,п между котировками USDCHF и их регрессионными оценками, а также сглаженная версия этого процесса. Сглаживание осуществлялось простейшим экспоненциальным фильтром с коэффициентом передачи а = 0.05.
Рисунок 4. Процесс d; , его сглаженная версия и уровни ско
На рисунке 5 приведена гистограмма г = 1,...,п, демонстрирующая слабую сходимость плотности распределения указанной разности к гаус-совскому распределению. Данная картина является статичной, при рассмотрении ее в динамике видно, что все моменты распределения изменяются во времени, а следовательно процесс является сугубо нестационарным.
Рисунок 3. Разность и сглаженная разность между котировками USDCHF и их регрессионными оценками Исследуем вопрос о простейшем применении указанной разности для построения управляющей стратегии.
Реализация вычислительной схемы мультирегрессионного оценивания
Простейшая управляющая стратегия, основанная на использовании вычислительной схемы регрессионного оценивания, может быть построена на базе кри-
Рисунок 5. Гистограмма сглаженного процесса
Далее рассмотрим совмещенные графики исходного процесса и критериальной статистики (осциллятора) г = 1,...,п (рисунок 6).
Рисунок 6. Гоафики изменения котировки валютного инструмента и решающей статистики (осциллятора) на интервале 5 дней
Для наглядности взят относительно небольшой интервал наблюдения (5 дней) и значение осциллятора и его критического значения увеличены в 1.5 раза.
В соответствии с описанной выше простейшей стратегией, позиция открывается вверх, если значение осциллятора превышает пороговое значение, т.е. ds(t) > d*. И наоборот, позиция открывается вниз, если ds (t) <-d*. Закрывать позиции можно при обратном пересечении порогового уровня d*, или традиционным способом, устанавливая уровни фиксации прибыли TP (take profit) потерь SL (stop loss).
Из графика нетрудно видеть, что устойчивого подтверждения тенденции в сторону, соответствующую переоценке или недооценке актива нет. Причина этого явления также очевидна: движение в направлении, указанном осциллятором, определяется его оценкой относительно цен финансовых инструментов, выступающих в роли рег-рессоров. В то же время существуют и другие, внешние факторы, вызывающие появление динамических трендов. Совокупность этих движений даст окончательный вид динамики, направленность которой определяется векторной суммой разнородных и слабо прогнозируемых факторов влияния.
Можно сделать предположение, что на боковом тренде («флэте») мультирегрессионный осциллятор будет работать достаточно эффективно при правильно выбранных значениях параметров управляющей стратегии. Однако при наличии сильного тренда, обусловленного внешними по отношению к рынку факторами, будет преобладать соответствующая тенденцию, мажорирующая влияние фактора несоответствия текущей цены актива по отношению к его рыночной стоимости.
Субоптимальная эволюционная оценка параметров управляющей стратегии
Для проведения дальнейших исследований необходимо выяснить вопрос о существовании выигрышной стратегии, основанной на использовании регрессионных оценок. С этой целью необходимо найти параметры описанной выше игровой стратегии, при которой терминальный итог управления активами на заданном промежутке игрового времени окажется положительным.
Строгое решение задачи оптимизации по критерию максимального выигрыша для хаотических процессов получить не удается. Однако возможно найти численное субоптимальное решение данное задачи для временных последовательностей ретроспективных данных. В частности, в данном разделе рассматривается вариант построения субоптимального решения на основе метода эволюционного моделирования, предложенного в [11].
По существу, метод эволюционного моделирования можно рассматривать как модификацию случайного поиска, имитирующего процесс дарвиновской эволюции. Пример применения эволюционного моделирования в задаче оптимизации управляющей стратегии приведен в [12]. Базовая параметрическая модель характеризуется набором модифицируемых параметров, образующих в совокупности вектор-геном С . В данном случае
С1 = [п1¥,а, В],
где п\¥ - размер скользящего окна данных, используемых для построения регрессионной оценки , а - коэффициент передачи сглаживающего экспоненциального фильтра, В - граничное (критическое значение), используемое в схеме принятия решения по управлению электронной торговлей.
Критерий принятия решения, как представлено выше, имеет вид
К: \~1\> В = й*,
где й - сглаженное значение разности между текущей оценкой и текущим значением наблюдаемого процесса.
По результатам предварительного численного анализа ретроспективных данных осуществляется формирование базового (неоптимального) генома .
в0 = [п№0,а0,В0].
В качестве критических значений использовалось среднеквадратические отклонения (ско) соответствующих параметров (генов) на указанном интервале времени наблюдения. Как правило, на диапазон
изменения параметров генома накладываются ограничения, отвечающие их физической или математической природе.
Структурная схема программы эволюционной оптимизации приведена на рисунке 7.
Рисунок 7. Структурная схема программы эволюционной оптимизации
В рамках настоящей работы рассматривается три вида параметрической модификации генома:
1. Небольшие единичные изменения (LSM, little single modification). В каждом из родительских геномов осуществляются относительно небольшие (в пределах ско) изменения только одного параметра. Выбор параметра осуществляется случайным розыгрышем.
2. Небольшие групповые изменения (LGM, little group modification). Осуществляется аналогично LSM, но изменения вносятся не в один, а сразу во все параметры.
3. Сильные единичные изменения (SSM, strong single mutation) или параметрическая мутация. В каждом из родительских геномов осуществляются значительные (в пределах трех ско) изменения только одного параметра. Выбор параметра (гена) осуществляется случайным розыгрышем.
Внесением слабых модификаций типа LSM формируется первое поколение родителей. Далее, с
использованием всех типов модификаций формируется группа геномов-потомков, образующих вместе с геномами родителями первое поколение параметрически отличающихся игровых стратегий. Каждая из стратегий тестируется на одном и том же полигоне данных. По результатам тестирования, в соответствии со значениями достигнутого выигрыша, формируется рейтинг геномом. В процессе селекции и отбора наихудшие геномы отсеиваются, а из лучших геномов формируется новая группа стратегий-родителей. Далее, в цикле по числу поколений в процессе модификаций, селекции и отбора осуществляется последовательная оптимизация геномов. При этом строгая оптимальность не гарантируется, однако наличие параметрических мутаций обычно позволяет вывести процесс из областей локальных экстремумов.
Существенным отличием от традиционного случайного поиска является сохранение на каждой итерации не единственного наилучшего решения, а целой группы геномов-родителей. Данный подход соответствует одному из базовых положений системного анализа, согласно которому наилучшее терминальное решение получается из последовательности промежуточных неоптимальных шагов.
Пример реализации субоптимальной управляющей стратегии
В качестве числового примера использования эволюционного подхода рассмотрим сформулированную выше, в разделах 2, 3 задачу управления активом на основе его мультирегрессионной оценки. В роли актива выступает валютная пара иБОС^, в роли регрессоров - та же триада < EURUSD, ЕиТ)РХ USDJPY >.
В качестве генома использовался вектор параметров
в = [п№,сс,В/.
Начальные значения модифицируемых параметров
в0= [0.5,0.03, 4]
представляют собой оценки, сформированные на основе анализа динамики котировок валютного инструмента иБОС^ на интервале в один год и интервале отсчетов т = 1' (одна минута). Первый параметр оценивается в днях, второй - безразмерный, третий - в пунктах (или пипсах) измерения котировки. Ограничения, накладываемые на вариации параметров генома, задавались матрицей
0.1 10
Trpshnld =
0.001 0.1 1 30
В процессе эволюционной оптимизации использовалось относительно небольшое число смены поколений =7. При переходе от одного поколения к другому сохранялось N = 4 генома-родителя. Для каждого родителя проводилось И§ = 3 ^М-модификаций (т.е. каждая модификация соответствовала изменению одного гена), по одной LGМ -модификации всех параметров и по одной сильной SSМ-модификации одного параметра в каждом геноме-родителе. Таким образом, каждое поколение включало в себя вместе с родителями 24 модификации генома.
Далее, в соответствии с алгоритмом, описанном в предыдущем разделе, осуществлялось тестирование всех геномов на одном полигоне данных, осуществлялась селекция и отбор 4-х наиболее успешных стратегий и формировалось следующее поколение геномов-родителей. Данная процедура повторялась на семи итерациях. График выигрыша для наилучших на каждой итерации стратегий приведен на рисунке 8.
Best result of generation
145 1 .
135 130
120 115 110 105 100 SS
.......
№ of generation
Рисунок 8. Рост выигрыша управляющей стратегии в процессе ее эволюции
Для наглядности следующего графика первоначально использовался короткий полигон длительностью 24 часа. График реализации управляющей стратегии, отвечающей наилучшему геному, сформированному на 7 итерациях (сменах поколений) приведен на рисунке 9.
Tools N27 I USDCHF
\ ? / \
1 f^1 -л- Ü пК
W W 1 / гчА. 1 1
1 ; V Г
h * ( I V/Vvl : N
О 100 200 300 « 500 600 700 800 900 1000 NPIayDays = 1 days; dt=1min
Рисунок 9. Пример реализации управляющей стратегии, полученной на основе эволюционной оптимизации в цикле из 7 поколений
На графике приведены графики самого наблюдаемого процесса Y(t), график критериальной статистики dt(t) (в увеличенном для наглядности масштабе), а также график уровень принятия решения B (горизонтальные линии).
Звездочками на графике Y(t) обозначены его состояния, отвечающие моментам времени пересечения графика dt(t) уровней ±B. Данные моменты соответствуют открытию позиции в направлении пересечения уровней ± B. Закрытие позиции, отвечают ие обратному пересечению уровней ±B процессом dt(t), отвечают ромбики (при выигрышном закрытии позиции) или кружочки ( в случае проигрыша).
Из приведенного графика можно видеть, что далеко не всегда найденная стратегия позволяет получить
положительный результат. Тем не менее, применение данной стратегии позволило получить за сутки выигрыш в количестве 144 пунктам.
Заключение
Полученные в статье материалы позволяют сделать вывод о том, что применение мультирегрессионных оценок позволяет построить осцилляторную оценку и отвечающую ему простейшую стратегию, допускающую принципиальную возможность получения положительного результата.
Существенным отличием данного подхода является отсутствие требования к выявлению и использованию тренда наблюдаемого процесса. Это позволяет отказаться от традиционной пролонгационной схемы прогнозирования, что принципиально важно при работе с хаотическими или квазихаотическими процессами.
По существу, происходит замена прямого прогнозирования нестационарного процесса косвенным предсказанием значений параметров управляющей стратегии. Такой подход существенно повышает устойчивость прогноза к хаотическим вариациям динамики котировок. Тем не менее, существует достаточно много ситуаций, в которых предложенная технология, как и другие алгоритмы осцилляторов, приводят к негативному результату. В частности, осцилляторная переоценка актива во время сильного положительного тренда при механистическом подходе может привести к проигрышу. Для преодоления таких ошибок необходимо использовать комплексный подход к анализу состояния рынка. Технология такого предсказания, также, как и анализ альтернативных, более сложных стратегий, основанных на мультирегрессионных оценках, составляют предмет дальнейших исследований.
Литература
1. Peters E. E. Chaos and order in the capital markets: a new view of cycles, prices, and market volatility / 2nd ed. NY: John Wiley & Sons, 1996. 288 p.
2. Williams B.M. Trading chaos. NY: John Wiley & Sons, Inc. 2002. 251 р.
3. Колби Р. Энциклопедия технических индикаторов рынка. М.: Альпина Бизнес Букс, 2011. 837 c.
4. Мусаев А.А. Quod est Veritas. Трансформация взглядов на системную составляющую наблюдаемого процесса // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 53-74.
5. Мусаев А.А. Статистический анализ инерционности хаотических процессов // Труды СПИИРАН. 2014. Вып. 2(33). С. 48-59.
6. Мусаев А.А. Корреляционный анализ процессов изменения состояния фондовых и валютных рынков // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 18. С. 5-18.
7. Мусаев А.А., Барласов И.А. Оценивание состояния фондовых рынков на основе многомерной регрессии на скользящем окне наблюдения. // Труды СПИИРАН. 2012. Вып. 19. С. 243-254.
8. Болч Б., Хуань К. Многомерные статистические методы для экономики / пер. с англ. под ред. С.А. Айвазяна. М.: Статистика, 1979. 317 с.
9. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.
10. Мусаев А.А., Барласов И.А. Анализ динамических характеристик состояния рынка ценных бумаг // Труды СПИИРАН. 2008. Вып. 6. С. 150-160.
11. Fogel L.J., Owens A.J., Walsh M.J. Artificial intelligence through simulated evolution. N.Y.: John Wiley & Sons, 1966. 231 р.
12. Мусаев А.А. Эволюционное моделирование в задаче оптимизации управляющей стратегии // Научный вестник НГТУ. 2014. Т. 56. № 3. С. 132-142.
