CC BY
9УДК 621.382
Andrey A. Musaev1, Mikhail M.Fenin2
PROACTIVE STABILIZATION CONTROL FOR NON-STATIONARY ENVIRONMENT BASED ON HYBRID DATA ANALYSIS ALGORITHMS
1St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Science, 39, 14 Line, St. Petersburg, 199178, Russia
2St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia. e-mail: mmf_spb@mail.ru
Thie problem of proactive control of complex non-stationary systems is considered. The problem is charactersstic for technological processes with gas-dynamic and thermodynamic environment.
Traditional control technologies, based on statistical data analysis, as a rule, contain a number of a priori assumptions related to the probabilistic nature of the temporal observation series generated by monitoring systems. In particular, it is assumed that the observed processes correspond to the conditions of stationary independence, Gaussianity, homoscedasticity etc. A simple verification of those hypotheses, carried out for real processes, for example, for the results of monitoring of chemical-technological processes, shows the failure of those hypotheses. As a result of that, the real accuracy of statistical forecasting algorithms is significantly reduced, and the estimates obtained may turn out to be ineffective and untenable.
The use of the latest computer mathematics algorithms based on evolutionary, genetic, neural network and other similar technologies in the conditions of non-stationary dynamics also does not guarantee obtaining effective estimates. Moreover, the results obtained are extremely difficult to interpret.
In this regard, in this work, we propose a variant of the hybrid pro-active control algorithm, in which the traditional regression computational scheme with subsequent correction based on the technology of evolutionary modeling is taken as the basis.
Keywords: proactive control, statistical estimation, non-stationary processes, multi-regression estimation, data
analysis, numerical studies, evolutionary modeling.
Э01 10.36807/1998-9849-2020-53-79-100-106
Введение
Традиционная модель временных рядов наблюдений 1к = Ук + Ук, к = 1,..п, гк = Ук + ук, к = 1 ,. . . п, формируемых системой мониторинга,
Мусаев А.А.1, Фенин М.М.2
ПРОАКТИВНОЕ СТАБИЛИЗАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ ГИБРИДНЫХ АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА ДАННЫХ
1Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН, 14 линия В.О., 39, Санкт-Петербург, 199178, Россия. 2Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: mmf_spb@mail.ru
Рассмотрена задача проактивного управления сложными нестационарными системами, характерная для технологических процессов с газодинамическими и термодинамическими средами.
Традиционные технологии управления, основанные на статистическом анализе данных, как правило, содержат целый ряд априорных предположений, относящихся к вероятностной природе временных рядов наблюдений, формируемых системами мониторинга. В частности, предполагается, что наблюдаемые процессы отвечают условиям стационарности, независимости, гауссовости, гомоскедастичности и т.п. Простейшая проверка данных гипотез, проведенная для реальных процессов, например, результатов мониторинга химико-технологических процессов, показывает
несостоятельность этих гипотез. В результате этого реальная точность статистических алгоритмов прогноза существенно снижается, а полученные оценки могут оказаться неэффективными и несостоятельными. Применение новейших алгоритмов компьютерной математики, основанных на эволюционных, генетических, нейросетевых и других подобных технологиях, в условиях нестационарной динамике также не гарантирует получение эффективных оценок. При этом получаемые результаты крайне сложны для интерпретации.
В связи с этим в настоящей работе предложен вариант гибридного алгоритма проактивного управления, в котором за основу взята традиционная регрессионная вычислительная схема с последующей коррекцией на основе технологии эволюционного моделирования.
Ключевые слова: проактивное управление, статистическое оценивание, нестационарные процессы, мульти-регрессионная оценка, анализ данных, численные исследования, эволюционное моделирование.
Дата поступления -16 марта 2020 года
предполагает аддитивное разделение наблюдаемого процесса на системную составляющую Yk, k = \,...n,
образованную неизвестным детерминированным
процессом, и случайную компоненту vk, k = \,...n,
формируемую совокупностью множества неизвестных факторов влияния. Идентификация системной составляющей позволяет реализовать алгоритм прогнозирования, представляющий собой
необходимую составляющую процесса проактивного управления. В газодинамических системах эта задача является особенно сложной, т.к. системная составляющая у, к = \,..л образована реализацией
хаотического процесса [1-3], а случайная, как правило, носит нестационарный характер.
Хаотический характер системной компоненты крайне затруднит процессы проактивного управления, основанного на применении статистических алгоритмов оценивания и прогнозирования. Тем не менее, любые физические процессы обладают инерционностью, позволяющей реализовать краткосрочной прогноз с некоторой, не всегда удовлетворительной точностью. Важным
направлением совершенствования статистических алгоритмов прогнозирования является использование взаимных корреляционных связей, т.е. переход в область многомерного анализа данных [4, 5]. Совместный анализ поведения конкретного прогнозируемого параметра на фоне динамики связанных с ним других наблюдаемых параметров среды взаимодействия создает возможность для построения краткосрочного прогноза на основе использования локальных упорядоченных структур -коррелированных групп наблюдения.
Текущее значение параметра может существенно отличаться от его оценки, восстановленной на основе регрессии с указанной коррелированной группой наблюдений [5]. Это связано с наличием естественных статистических флуктуаций, обусловленных большим числом полностью или частично неконтролируемых факторов. В этом случае среда взаимодействия сама устранит данное несоответствие и не требует корректирующих воздействий. Указанное свойство служит основой для построения прогностических оценок контролируемого параметра. В случае, если регрессионная оценка совпадает или близка к результатам мониторинга, наличие отклонения, выходящего за пределы критической области, означает существенную разладку и необходимость корректирующего управления, возвращающего в рабочую область в окрестности выбранного технологического регламента.
Пример построения мультирегрессионной (MR, multiregression) оценки параметра, основанной на использовании совокупности группы связанных с ним регрессоров и исследование ее эффективности приведен в [5]. В этой же работе приведены примеры, иллюстрирующие влияние размера окна наблюдения на качество оценки в задаче прогнозирования состояния технологического процесса (ТП) первичной ректификации нефти. Очевидно, что механистический выбор регрессоров, не учитывающий реального уровня их корреляционной связи с наблюдаемым параметром, существенно снижает эффективность
соответствующего алгоритма управления. В связи с этим в настоящей работе рассмотрена задача адаптивного оценивания наблюдаемого параметра на основе группы параметров, наиболее коррелированных с оцениваемым.
Важно заметить, что значения корреляционной матрицы вектора состояния
наблюдаемого процесса изменяются во времени, что подтверждает его нестационарный характер. Однако ее изменения, в отличие от исходного процесса динамики отдельных параметров, достаточно инерционны. Это позволяет перейти к адаптивной схеме, основанной на периодическом пересчете корреляционной матрицы параметров ТП, и, при необходимости, к изменению состава группы регрессоров.
Другое важное замечание связано с математической некорректностью применения алгоритмов обработки данных, основанных на вероятностно-статистической парадигме, к хаотическим процессам. В этом случае нарушается основное требование вероятностной аксиоматики, предполагающее повторяемость опытов в идентичных условиях. В свою очередь, некорректность применения статистических алгоритмов оценивания неизбежно приводит к снижению точности формируемого прогноза, и, как следствие, к снижению эффективности управления.
Отсюда возникает необходимость перехода к гибридным алгоритмам обработки, позволяющим осуществлять процедуру формирования адаптивных статистических оценок в сочетании с их последовательной коррекцией методами современной компьютерной математики. В настоящей работе такая коррекция осуществлялась на основе технологии эволюционного моделирования [7].
Постановка задачи
Пусть {Ук, к = 1,..п} - дискретный временной ряд наблюдений текущих значений оцениваемого параметра ТП. Физически процесс, отвечающий стабилизируемому параметру, подвержен случайным флуктуациям, приводящим к возможным отклонениями величины параметра от номинального значения, заданного технологическим регламентом. Оценка текущего значения параметра основана на регрессионной схеме вида [8]
т
Ук = £ с]Хк], к = 1,...,п ,
]=1
где Xк - значения группы из т регрессоров на А-й момент времени наблюдения, образующие матрицу наблюдений X = {Хщ, к = 1,..п, 7 = 1,...,т},
с = (е1,с2,...,ст)Т - вектор коэффициентов регрессии. Наличие оперативной оценки текущего значения параметра {Ук, к = 1,..п} позволяет построить вариант стабилизирующего управления в направление знака разности
{ёк = Ук -Ук, к = 1,...п} В дальнейшем для описания многомерной линейной регрессии будем использовать матричную нотацию вида У = Хс .
Минимизируя сумму квадратов ошибок:
п
=еТ8 = (У - Хс )Т (У - Хс),
1=1
приходим к системе нормальных уравнений, решение которых, в свою очередь, позволяет определить хорошо известное соотношение для оценки
параметров регрессии по методу наименьших квадратов (МНК) С = (ХТХ)~1ХТУ .
Для оценки векторного коэффициента
передачи С будет использоваться скользящее окно наблюдения
= г = (т + ,
позволяющее снизить влияние нестационарности на качество обработки данных. Организация скользящего окна наблюдения и отвечающая ему схема структуризации данных представлена в [9]. При этом информационная платформа анализа формируется в виде таблицы, разделённой по вертикали на две части. В левой части таблицы представлены данные наблюдений за регрессорами, правая часть таблицы представлена столбцом с наблюдениями за стабилизируемым параметром.
параметрами на временном
Величину разности
= Уг - Уг,
где
% = С Хх
оценка контролируемого параметра ТП,
сформированная на основе текущих значений регрессоров, можно использовать для формирования задачи стабилизационного управления.
В силу хаотичности, а, следовательно, и нестационарности ряда наблюдений, корреляционная
матрица параметров ТП Ну = сог(Уг,Уу) изменяется
во времени. Следовательно, оптимальный состав фиксированной по размеру группы регрессоров
{Хк], к = 1,..п, ] = 1,...,т} также будет
меняться и его необходимо корректировать. В связи с этим используется адаптивная схема регрессионного оценивания с периодической коррекцией состава указанной группы регрессоров.
В качестве модели среды ТП используем группу из 8-ти наиболее часто используемых для управления параметров, представленных в табл. 1. В дальнейшем для обозначения параметров будем использовать их номера в этой таблице.
Таблица 1. Наблюдаемые параметры
№ 1 2 3 4
Параметр Т1, °С Т2, °С Т3, °С Т4, °С
№ 5 6 7 8
Параметр Р1, бар Р1,ккал/ч Р2, ккал/ч Р3, ккал/ч
Для оценки коэффициентов корреляции между параметрами ТП будем использовать известное
Я'
соотношение
Гу =соV
соу СоУ
где
СОУ,
■ у, г,] = 1,...,т - коэффициенты ковариации, образующие в совокупности матрицу ковариаций
Соу = ХТX/(п -1) = {соу^р г,] = 1,...,т}.
В качестве оптимальной группы регрессоров выбираются т параметров ТП, обладающих наибольшими значениями коэффициента корреляции со стабилизируемым параметром.
Анализ корреляций
В качестве предварительной задачи рассмотрим оценку матрицы корреляций
Н = {, х,] = 1,...,т} для совокупности
из рассмотрения выводе о наличии
наблюдений за 8 интервале в 10 дней.
Тональное представление матриц корреляций между восемью параметрами ТП приведено на рис. 1. Наиболее светлые тона соответствуют сильной положительной корреляционной связи, а наиболее темные - отрицательной.
Практический вывод тональной матрицы состоит в значительного разброса значений коэффициента корреляции для различных параметров ТП. Достаточно очевидно, что если коэффициент корреляции между регрессором и контролируемым параметром колеблется в пределах (-0.5, +0.5), то такой регрессор использовать нельзя, его значения практически не содержат полезной информации, используемой для процедуры оценивания.
Корреляционная матрица
I3
ш 4
2- 5
8
0.8 0.6 0.4
0.2
-0.2 -0.4 -0.6
2 4 6 8
Параметры . .
Рис. 1. Тональное представление матриц корреляций между 8 параметрами ТП.
Как уже отмечалось, изменение значений параметров ТП, содержащего сложные газодинамические процессы, является хаотическим процессом, а его вероятностная структура не стационарна. Это приводит к изменению значений корреляционных связей во времени. При этом данное изменение происходит относительно медленно и нет необходимости пересчитывать значения
корреляционной матрицы на каждом шаге наблюдений.
В качестве грубого приближения будем использовать период между такими пересчетами в 1-3 ч. Об оптимальности выбора такого интервала говорить сложно, поскольку, в силу хаотичности наблюдаемых процессов, любая оптимальная совокупность параметров будет условной и привязанной к определенному временному интервалу ретроспективных наблюдений. Смена интервала наблюдений (даже при очень больших размерах наблюдений) неизбежно приведет к изменению значений оптимальных параметров.
Реализация стабилизационного управления с адаптивной мР оценкой
Рассмотрим в качестве примера изменения группы оптимальных регрессоров для одного из наблюдаемых параметров. На рис. 2 представлена динамика изменения его значения течение 10 дней на фоне изменения трех связанных с ним параметров,
наиболее коррелированных с ним на указанном интервале наблюдения.
выбранного режима, и нормировано оценкой среднеквадратического отклонения (СКО) s.
Интервалы Номеров
Наблюдения (размер? Час, регрессоров
день?)
1-7 2 3 8
8-10 2 4 8
11 2 4 7
12-14 2 3 8
15-17 2 3 7
18-20 2 4 8
Из приведенных данных видно, что в течение рассмотренных интервалов наблюдения оптимальная группа регрессоров меняется достаточно незначительно. Отсюда следует, что интервал адаптации в 3-4 дня является вполне приемлемым для формирования регрессионных оценок с заданным составом регрессоров.
На рис. 3 представлен пример изменения параметра газодинамической среды внутри ректификационной колонны. Для удобства значение параметра центрировано заданным значением, определенным технологическим регламентом
Рис. 2. Динамика изменения параметра 1 и группы из 3-х наиболее коррелированных параметров ТП
Соответствующая группа образована параметрами с номерами (3, 5, 7). Заметим, что один из элементов ведет себя противофазно по отношению к изучаемому процессу, что означает сильную отрицательную корреляционную связь. В этом случае соответствующий коэффициент в схеме линейной регрессии будет иметь отрицательный знак.
В рамках принятых ограничений, будем осуществлять пересчет корреляционной матрицы среды взаимодействия (т.е. всех 3-х параметров). Из полученной матрицы выбирается строка, соответствующая номеру оцениваемого параметра, и упорядочивается по убыванию значений модулей. Наблюдения полученного вариационного ряда со 2-го по (т+1)-й определяют группу регрессоров с наибольшими по модулю значениями корреляционных связей. Соответствующие результаты, полученные для 24-х непересекающихся 2-часовых интервалов наблюдения, представлены в таблице 2.
Таблица 2. Изменения перечня наиболее коррелированных
регрессоров
Рис. 3. График изменения значений параметра ТП и его МР оценки
Нетрудно видеть, что в большинстве случаев выход параметра за пределы области допустимых значений обусловлен естественной случайной флуктуацией, В этой ситуации следует ожидать естественного возвращения значения параметра в зону допустимых регламентом отклонения. В данном случае размер этой зоны определяется величиной СКО я вариаций параметра.
В тех случаях, когда выход из области допустимых значений подтверждается значимым отклонением его регрессионной оценки, полученной по совокупности наблюдений за другими коррелированными с ним параметрами этого же процесса, то такое отклонение следует рассматривать как системную разладку, требующую использования корректирующего управления.
Таким образом, реализации простейшего стабилизационного управления, основанного на адаптивной Ик-оценке определяется следующим правилом: в случае, если
- значение контролируемого параметра выходит за пределы области допустимых значений IК |> У*, определяемых регламентом ТП и,
значения разности Ск =\Ук — Ук1 между
текущим значением стабилизируемого не превышает пороговое значение
оценкой и параметра
Ск < С*,
то осуществляется корректирующее управления, возвращающее значение параметра в допустимую зону изменений.
Повышение эффективности стабилизационного управления адаптивного МР индикатора на основе эволюционной оптимизации процедуры прогнозирования.
Как уже отмечалось, статистические методы оценивания искомого параметра предполагают множество известных ограничений (требования независимости, стационарности, гауссовости и т.п.), которые часто не выполняются на практике. В связи с этим используются гибридные алгоритмы, в которых базовый алгоритм статистического оценивания дополнен процедурой последовательной коррекции. Вариантом реализации такой вычислительной схемы
является технология эволюционного моделирования, предложенная в [7], и нашедшая широкое применение в задачах численной оптимизации [10-14].
В качестве примера рассмотрена задача оптимизации алгоритма стабилизационного управления, который был описан ранее. Речь идет об алгоритме, при котором корректирующее воздействие включается при условии пересечения
Ук, к = 1,...,п порогового значения У* ± В и не
превышения разности йк =| У - Ук \ между оценкой и текущим значением стабилизируемого параметра, пороговое значение йк < й*.
Список оптимизируемых параметров процедуры управления О = [пЖ, а, В] (в
терминах эволюционного моделирования - геном G) включает в себя размер скользящего окна наблюдения пЖ , на котором производится регрессионная оценка, коэффициент экспоненциального сглаживания а и
уровень принятия решения В .
На начальном этапе путем внесения малых (в пределах СКО соответствующих параметров) вариаций во все параметры формируется группа геномов-
предков или анцесторов (ГА) размером Nа . Далее, в цикле по числу поколений N^, формируется новое
поколение, состоящее из уже сформированной группы геномов-предков и формируемой группы геномов-потомков или дескендеров (ГД). Геномы потомки формируются из геномов-предков тремя основными способами [20], включающими в себя:
1. Небольшие единичные изменения, вносимые в один из параметров ГА. Выбор параметра осуществляется случайным подбором. Если же предполагается вносить изменения последовательно в
каждый параметр, то каждый ГА получает mg модификаций, где mg - размер генома. В этом случае
возникает ^й1 = Namg потомков с заданным типом
модификации, причем в каждом из них модифицируется только один параметр (ген). В данном
случае mg =3, следовательно, если в каждом
поколении сохранять Na = 4 наилучших вариантов
версий ГД первого
N1 = 12
(предков), получим типа.
2. Небольшие групповые изменения. Осуществляется аналогично SSM, но изменения вносятся не в один, а сразу во все параметры. Таким
образом, возникает еще
Nd2) = 4 версии ГД с
медленными изменениями во всех генах.
3. Сильные единичные изменения или параметрическая мутация. Выбор ГА и номера гена осуществляется случайным подбором. С вероятностью
N
(3)
параметрической мутации 1 рт получает й потомков, в каждом из которых модифицируется один
ген в диапазоне \ А .
В качестве примера использовалась
программа с числом смены поколений Ngc = 9 на
одном и том же временном интервале в 10 дней. В качестве начального генома использовался вектор
G0 = [nW0,a0,B0] = [5,0.01,0.6] . При
формировании модифицированных геномов использовались грубые оценки СКО трех
перечисленных параметров SkoG = [3, 0.02, 0.5].
Для сравнения потенциальной эффективности вариантов корректирующих управлений, основанных на МР оценке стабилизируемых параметров рассматривались два варианта:
1. Вариант с фиксированной группой из трех регрессоров, выбранных перед началом управления на основе критерия максимальной коррелированности с рабочим инструментом. Корреляционная матрица для 8 параметров ТП оценивалось на основе наблюдений в течение 5 часов, предшествующих началу управления.
2. Вариант с последовательной коррекцией группы регрессоров. Коррекция осуществлялась на основе того же критерия максимальной коррелированности с рабочим параметром с интервалом в 2-3 ч.
Поскольку оценка положительного исхода осуществлялась с использованием варианта случайного поиска, можно говорить лишь о некотором приближении к оптимальному решению, которое теоретически можно было бы получить путем полного перебора значений параметров управления.
На рис. 4 представлен пример реализации наилучшего варианта параметров стабилизационного управления, полученный в результате эволюционной параметрической оптимизации в течение 10 поколений. Приведенный график на рисунке 4 соответствует варианту с фиксированным выбором набора из 3-х регрессоров. На рисунке 5, приведена зависимость роста положительного исхода в зависимости от номера поколения для фиксированного выбора регрессоров.
Рис. 4. Пример реализации субоптимальной управляющей стратегии с неадаптивным МР оцениванием
Эффективность стабилизационного управления 1-1-1-1-1-1-1-1-1-
0.95- .......... .............................i...........
Ой-.-.-.-.-.-.-.-,-
123466769 10
№ поколения
Рис. 5. Зависимость роста эффективности управления в зависимости от номера поколения без адаптации
Эффективность управления оценивалась степенью близости к оптимальному варианту, формируемому в идеальных условиях (стационарный гауссовский шум).
Аналогичные графики реализации субоптимального стабилизационного управления и зависимости положительного исхода от номера поколения для второго варианта, основанного на последовательной коррекции списка регрессоров, приведены, соответственно, на рис. 6 и 7.
Управляемый параметр и его МР оценка
2.5
-2.5'-'---
0 500 1000 1500
число дней наблюдений = 1; сК=1
Рис. 6. Пример реализации субоптимального управления с
адаптивным МР оцениванием
Эффективность стабилизационного управления
Рис. 7. Зависимость роста выигрыша в зависимости от номера поколения для адаптивной стратегии
Сравнение двух приведенных примеров показывает, что наличие адаптации при выборе группы регрессоров позволяет повысить качество регрессионной оценки и, как следствие, повышает уровень эффективности управления в среднем примерно на 15-20 %.
Разумеется, отдельный пример не дает объективной картины положительного исхода. Для объективизации результата использовалось усреднение по 100 однодневным участкам наблюдения за процессом стабилизационного управления. При этом усреднение по реализациям в данном случае не эквивалентно усреднению по одному участку длиной, равной сумме отдельных реализаций. Это связано с тем, что хаотический процесс газовой динамики ТП не является эргодичным.
Заключение
Оценка эффективности адаптивной технологий в задачах построения стабилизационного управления, ориентированного на функционирование в условиях нестационарной динамики, является неоднозначной и зависит от особенностей контролируемой газодинамической среды. В рассмотренном случае инерционность физической среды позволяет замкнуть контур адаптации настолько быстро, что система управления успевает подстраиваться под изменяющиеся характеристики наблюдаемого динамического процесса. При этом адаптация к вариациям корреляционной структуры многомерной динамики среды взаимодействия может точность оценивания стабилизируемого параметра, и как следствие, повысить эффективность управления.
Тем не менее, применение адаптивных схем и связанных с ними гибридных алгоритмов в каждом отдельном случае требует предварительного анализа инерционныхсвойств среды погружения управляемой системы.
Финансирование
Исследования, выполненные по данной тематике, проводились при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ (№ 17-29-07073, 18-0701272, 18-08-01505, 19-08-00989, 20-08-01046), в рамках бюджетной темы № 0073-20190004, проекта «Инновационные информационные технологии для анализа негативного воздействия на леса приграничного региона (KS1309 InnoForestView)» Программы приграничного сотрудничества «Россия -Юго-Восточная Финляндия 2014-2020».
Литература
1. Мищенко Е.Ф, Садовничий В.А., Колесов А.Ю, Розов Н.Х. Многоликий хаос. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 432 с.
2. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: Ленанд, 2015. 282 с.
3. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. М.: Ленанд, 2011. 320 с.
4. Boich B.W., Huang, C.J. Multivariate statistical methods for business and economics. N.J.: Englewood Cliffs, 1974. 317 p.
5. Кендалл М, Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. 375 с.
6. Мусаев А.А. Мультирегрессионная оценка стоимости валютного инструмента // Известия СПбГТИ(ТУ). 2015. № 28(54). С. 78-85.
7. Fogel L.J., Owens A.J., Walsh M.J. Artificial intelligence through simulated evolution. N.Y.: John Wiley & Sons, 1966. 231с.
8. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 302с.
9. Мусаев А.А., Барласов И.А. Оценивание состояния фондовых рынков на основе многомерной регрессии на скользящем окне наблюдения // Труды СПИИРАН. 2012. Вып. 19. С. 243-254.
10. Аверченков ВИ, Казаков П.В. Эволюционное моделирование и его применение. 2-е изд., стереотип. М.: ФЛИНТА, 2011. 200 с.
11. Курейчик В., Гладков Л,, Курейчик В. Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы. Lambert Academic Publishing, 2011. 260 с.
12. Карпов В.Э. Методологические проблемы эволюционных вычислений // Искусственный интеллект и принятие решений. 2012. № 4. C. 95-102.
13. Мусаев А.А. Эволюционное моделирование в задаче оптимизации управляющей стратегии // Научный вестник НГТУ. 2014. Т. 56. № 3. С. 132-142.
14. Mukhopadhyay A.A., Maulik U, Bandyopadhyay S, Coello C.A. Survey of Multiobjective Evolutionary Algorithms for Data Mining: Part I // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2014. V. 18. N 1. P. 4-19.
References
1. Mishchenko E.F., Sadovnichij V.A., Kolesov A.YU, Rozov N.H. Mnogolikij haos. M.: FIZMATLIT, 2012. 432 s.
2. Grinchenko V.T., Macypura V.T., Snarskij A.A. Vvedenie v nelinejnuyu dinamiku: Haos i fraktaly. M.: Lenand, 2015. 282 s.
3. Magnickij N.A. Teoriya dinamicheskogo haosa. M.: Lenand, 2011. 320 s.
4. BoCch B.W., Huang, C.J. Multivariate statistical methods for business and economics. N.J.: Englewood Cliffs, 1974. 317 p.
5. Kendall M,, St'yuart A. Mnogomernyj statisticheskij analiz i vremennye ryady. - M.: Nauka, 1976. 375 p.
6. Musaev A.A. Mul'tiregressionnaya ocenka stoimosti valyutnogo instrumenta // Izvestiya SPbGTI(TU). 2015. № 28(54). S. 78-85.
7. Fogel LJ, Owens A.J., Walsh M.J. Artificial intelligence through simulated evolution. N.Y.: John Wiley & Sons, 1966. 231c.
8. Demidenko E.Z. Linejnaya i nelinejnaya regressii. M.: Finansy i statistika, 1981. 302s.
9. Musaev A.A., Barlasov I.A. Ocenivanie sostoyaniya fondovyh rynkov na osnove mnogomernoj regressii na skol'zyashchem okne nablyudeniya // Trudy SPIIRAN. 2012. Vyp. 19. S. 243-254.
10. Averchenkov V.I, Kazakov P.V. Evolyucionnoe modelirovanie i ego primenenie. 2-e izd., stereotip. M.: FLINTA, 2011. 200 s.
11. Kurejchik V,, Gladkov L, Kurejchik V. Evolyucionnoe modelirovanie i geneticheskie algoritmy. Lambert Academic Publishing, 2011. 260 s.
12. Karpov V.E. Metodologicheskie problemy evolyucionnyh vychislenij // Iskusstvennyj intellekt i prinyatie reshenij. 2012. № 4. C. 95-102.
13. Musaev A.A. Evolyucionnoe modelirovanie v zadache optimizacii upravlyayushchej strategii // Nauchnyj vestnik NGTU. 2014. T. 56. № 3. S. 132-142.
14. Mukhopadhyay A.A., Maulik U, Bandyopadhyay S., Coello C.A. Survey of Multiobjective Evolutionary Algorithms for Data Mining: Part I // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2014. V. 18. N 1. P. 4-19
Сведения об авторах:
Мусаев Андрей Александрович, аспирант, Andrey A. Musaev, Postgraduate student
Фенин Михаил Михайлович, магистр 2 курса факультета информационных технологий и управления; Mikhail M.Fenin, 2nd year Master of the IT faculty, e-mail: mmf_spb@mail.ru
