Оценка функций Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 2, С. 50-56

УДК 512.542.52

ОЦЕНКА ФУНКЦИЙ Ф. ХОЛЛА НА ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА РАНГА 11

Ю. Ю. Ушаков

В 1936 г. Ф. Холл ввел на конечных группах обобщенную п-ю функцию Эйлера и взаимосвязанную функцию, называемую п-й функцией Холла. Значения последней оцениваются в статье на трех из четырех серий простых групп лиева типа ранга 1. При п = 2 найденные оценки подтверждают для указанных групп гипотезу Уайголда.

Ключевые слова: п-базы группы, обобщенная функция Эйлера, функция Холла, группа лиева типа.

Введение

Ф. Холл [1] в 1936 г. ввел понятие п-й функции Эйлера ^>п на конечных группах О. По определению, ^>п(О) есть число всех п-баз группы О, т. е. число упорядоченных наборов из п ее элементов, порождающих О. Когда О — циклическая группа, р1(О) совпадает со значением на |О| обычной теоретико-числовой функции Эйлера.

Как показал Ф. Холл [1], для любой конечной простой неабелевой группы О и натурального числа п существует наибольшее число ё = ёп(О) такое, что прямая степень ОЛ порождается п элементами. Согласно [1, п. 1.3],

^п(О)= йп(О) |Ап1 О|. (1)

Вопрос вычисления значений ¿2 (О) для конечных простых групп О записан в Коуров-ской тетради [2, вопрос 12.86]. Значения функции ^>2 вычислены в [1] явно для групп РБЬ2(р) (р — простое число) и некоторых групп подстановок малых степеней. Рекуррентное описание чисел й2(О) для групп Сузуки Бг(2т) и РБЬ2(2т) получили Н. М. Сучков и Д. М. Приходько [3].

Уайголд высказал следующую гипотезу (см. [2, вопрос 17.116] и [4]): Если О — конечная простая неабелева группа, то

<12 (С) > \fiG\- (2)

Гипотеза исследовалась для знакопеременных групп [5] и групп РБЬп(д) [6]. См. также [7-9]. В [4] она подтверждена для симплектических групп РБр2т(ц) при 2 ^ т ^ 5, т ^ 10 и q ^ 2.

© 2012 Ушаков Ю. Ю.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00968-а.

В настоящей работе оценивается п-я функция Холла йп на трех из четырех серий групп лиева типа ранга 1. Основным результатом является

Теорема 1. Пусть О есть одна из простых групп Р5Х2(д), групп Сузуки Зг(22к+1) или групп Ри И,е (32к+1). Тогда

г1п(С) > |С|га-§ {п> 2). (3)

Гипотеза Уайголда для групп из теоремы 1 вытекает из (3) при п = 2.

1. Схема доказательства теоремы 1

Следующая лемма редуцирует доказательство теоремы 1 к доказательству гипотезы Уайголда для тех же групп.

Лемма 1.1. Если О — конечная простая неабелева группа, то

ёк(О) ^ |О|к-2¿2(О) (к > 2). (4)

< Если группа О порождается упорядоченной последовательностью (а 1 ,а2,...,ак) ее элементов, то О порождается также любой последовательностью (а1,а2,... ,ак, х), х £ О. Поэтому ^>к+1(О) ^ |О|^к(О) и, следовательно, ^>к(О) ^ |О|к-2^>2(О). Отсюда для ёк имеем оценку:

Заметим, что число упорядоченных пар элементов конечной группы О равно |О|2, причем каждая пара либо порождает О, либо лежит в одной из максимальных подгрупп в О. Поэтому справедлива

Лемма 1.2. Для любой конечной группы О выполняется неравенство

МО) > |О|2 - £ |М|2, (5)

м

где суммирование ведется по всем максимальным подгруппам группы О.

Далее через О(д) будет обозначаться группа РБЬ2(д) над конечным полем ОР(д) порядка д характеристики р, группа Ри И,е(д), д = 321+1 (тип 2О2), или группа Сузуки &г(д), д = 221+1 (тип 2В2).

Группа О(д) для любого подполя ОР(т) с ОР(д) имеет подгруппу О(т). Обозначим через М множество максимальных подгрупп группы О(д), не изоморфных нормализатору N(О(т)) подгруппы О(т) в О(д) для любого подполя ОР(т) с ОР(д). Также положим

й = 1, 1, НОД (2, д - 1) (6)

для групп 5г(д), Яе(д), РБЬ2(д) соответственно.

В § 2 доказывается

Лемма 1.3. Для функции Эйлера ^>2 на группах О(д) верно неравенство:

МО(д)) > \а(д)\(\а(д)\-Зс12^Ш\) - Е Iм!2-

м ем

Далее, оценка последнего слагаемого в (7) опирается на известные описания максимальных подгрупп для групп лиева типа ранга 1.

Как и в [14], в группе О(д) определяем подгруппу Бореля Б с унипотентным радикалом и и мономиальную подгруппу Н X (т), где Н — диагональная подгруппа, а т — подходящая инволюция. Группа О(д) допускает разложение Брюа

О(д) = Б(т)Б, Б = и X Н, т2 = 1, тНт = Н.

Разложение Брюа и каноническая форма элементов [14, теорема 8.4.3] приводят к следующей формуле порядка группы О(д):

|О(д)| = |и ||Н |(1 + |и |). (8)

Известно, что

|Н| = (д - 1)/ё, |Аи О(д)| = ёп |О(д)| (д = рп), (9)

|и| определяется для группы О(д) = И,е(д), 5^(д) или РЙХ2(д) равенством:

|и| = д3, д2 или д (10)

соответственно.

В группах РЙХ2 (д) и Яе (д) существует подгруппа А1 порядка, соответственно, (д + 1)/ё и (д + 1)/4. В группах 5^(д) и Яе (д) выделяют еще циклические холлов-ские подгруппы А2 и А3, причем |А2| = д + 1 + г, |А3| = д + 1 — г, где г2 = д. Отметим, что

|и | + 1 = ¿|А1| при О(д) = Р&^д), |и | + 1 = |А2 ||Аз | при О(д) = &г(д), |и | + 1 = 4|А1 ||А2 ||Аз | при О(д)=Ие(д).

В § 3 доказательство теоремы 1 распадается на три случая в зависимости от особенностей подгруппового описания группы О(д) каждого типа.

2. Доказательство леммы 1.3

Если д — простое число, то группа О(д) не имеет собственных подгрупп О(т), поэтому утверждение леммы сразу следует из неравенства (5). Далее в этом параграфе считаем д = рп, р — простое число, п > 1.

Если О^(т) в (12) есть собственное подполе поля О^(д), то д = т® для натурального числа V > 1. Для доказательства леммы 1.3 нам потребуется следующее вспомогательное соотношение:

\С(</д)\ < УШИ- (П)

Будем использовать очевидные для произвольных натуральных чисел а, Ь неравенства:

у/а -1 ^ ч/аТ^Т, 1/^ТЬ < 1/Е + </Ь. Если О(д) = Яе (д), то легко находим

л/Ф-1 ^ „т </д6-1

</я + Я + 1

Для групп Сузуки и Р5Р2(д) доказательство аналогично.

Перейдем к доказательству леммы 1.3. Из неравенства (5) вытекает

¥>2(ОД) ^ |ОД|2 - Е |М|2 - Е (С(т))|2|ад : N(С(т))|,

м ем се(™)ссе (?)

где ст — число различных попарно несопряженных подгрупп, изоморфных С(т). Согласно [12, 13], все подгруппы, изоморфные С(т), сопряжены в случае С(д) = или С(д) = Ие (д). В случае С(д) = РЙХ2(д), если V — четное, то существует две несопряженные подгруппы, изоморфные N(С(т)), а при нечетном V — только одна. Следовательно, ст ^ В силу соотношений

N(С(т))||С(д) : N(С(т))| = |С(д)|, |N(С(т))| < й|С(га)|

получаем:

^2(ад) > |С(д)|2 - Е |М|2 - ^|С(д)| Е №)|- (12)

м ем се (т)сСЕ (?)

Выберем наименьший делитель > 1 числа п. Положим также к2 = при = п, а если < п, то через к2 обозначаем наименьший делитель числа п, больший . Наконец, кз — наименьший делитель числа п, больший к2, или кз = к2 при к2 = п. Положим п' = п/кз, если к3 > к2 > к1, и п' = 0 в противном случае. Тогда

Е,—л 1 1 1

|с(т)|< Е |ад|-^|ад|^ + |ад|^

га/

+Е1ад|^|ад|^ + |ад|^ + 1|ад|^

¿=0

п 1

Поскольку ^ ^ 24 ^ ^/д ^ |С(д)|4, то отсюда получаем

Е №)| < |ад|^ + |ад|^ +1 |ад|^ < 3|ад|^.

д=т'

Подставляя в (12) последнюю оценку, приходим к неравенству (7). Это завершает доказательство леммы 1.3.

3. Завершение доказательства теоремы 1

Для завершения доказательства основной теоремы оценим сумму ^мем М |2 в (7) отдельно для каждого типа групп С(д).

Случай группы РЙХ2(д). Из известного подгруппового описания группы Р5Р2 (д) (см. [11, гл. 12]) вытекает

Лемма 3.1. Максимальная подгруппа группы РЙХ2(д) либо изоморфна нормализатору N(РЙХ2(т)) подгруппы РЙХ2(т) в РЙХ2(д) (СР(т) есть подполе СР(д)), либо сопряжена одной из следующих подгрупп:

1. подгруппа В, N(Н) или N(А1);

2. при д = 8 Л ± 1 — одна из двух несопряженных подгрупп, изоморфных симметрической группе

3. при д = 10Л ± 1 — одна из двух несопряженных подгрупп, изоморфных знакопеременной группе А5;

4. при д = 8 Л ± 3 — подгруппа, изоморфная знакопеременной группе А4.

Перейдем к оценке значений функции ¿2 на группах О(д) = РЙХ2(д). Пусть 5 есть число всех пар элементов, лежащих в одной из максимальных подгрупп, изоморфных , А4 или А5, и не изоморфных N(О(т)) для О^(т) с О^(д), Б, N(Н) или N(А1). Тогда в силу леммы 3.1

5 < 2 |О(д)|(|^4| + |А5|) =168 |О(д)|. Поэтому из лемм 1.3 и 3.1 вытекают неравенства:

¿2(С(?)) > - 6^|С(?)|§ - |£|2|ОД : В\

— |N(Н)|2|О(д) : N(Н)| — |N(А )|2|О(д) : N(Ах)| — ^

1 fq3~q „,з г- q2-q 2(д - 1) 2(д + 1)

= —5--3daVr-9---j---1---1--168

dn \ d d d d

> ~q2 ~ 24 - 4g - 168 j.

С другой стороны, = \/q3 — q ^ q2 ■ Введем функцию

/(<?) = ^ (V - - 24^ - 4g - 168) - g!.

Учитывая неравенства ^ ^ w ^ | q-1/10, получаем

Дифференцируя функцию f (q) три раза по q, находим:

4 8-92 125-qs

Поскольку значения f (16) ~ 1.88, f'(16) ~ 16.1 и f"(16) ~ 3.41 также положительны, то функции f (q), f'(q) и f''(q) возрастают и положительны при q ^ 16. Поэтому неравенство (2) доказано для случая q ^ 16. В оставшихся случаях неравенство подтверждаем, вычислив значения d2(G(q)) с помощью GAP [15]:

d2 (G(4)) = d2 (G(5)) = 19; d2 (G(7)) = 57; d2(G(8)) = 213; d2 (G(9)) = 53; d2 (G(11)) = 660; d2(G(13)) = 495.

Тем самым, доказательство неравенства (2) для групп РЙХ2(д) завершено.

Случай группы 5^(д). Максимальные подгруппы группы Сузуки 5^(д) описаны в статье М. Сузуки [13].

Лемма 3.2. Максимальная подгруппа группы 5г(д), д = 22к+1, сопряжена одной из подгрупп Б, N(Н), N(А), N(А), &г(т), где О^(т) с О^(д).

Из лемм 1.3 и 3.2 следует оценка:

> - 3|С(?)|§ - \В\2т) : В\ - |Ж(Я)|2|С(д) : ЩН)\

|Аи С(д)|

-\М(А2)\2\0(д) : М(А2)| - |ДГ(А3)|2|ОД : ДГ(А3)|) = ±(|С(?)| - 3|С(д)|§ -|5| - |ЛГ(Я)| - \М(А2)\ - |Ж(А3)|) ^ ^ (д5 - д4 - Зд§ - Юд - б). Для функции

/(д) = | (д5 - - - 10(7 - б)

выполняется неравенство (12(С(о)) — ^ д-^/(д). С другой стороны, дифферен-

цируя функцию /(д) шесть раз по д, находим

„^ , 225 52416

/ (<?) =-- +-гг > 0 при д > 0.

128 дг 15625 д~

Отсюда, как и выше, функция /(д) и ее производные порядка ^ 5 возрастают и положительны при д ^ 8. Таким образом, оценка (2) подтверждена для групп 5г(д).

Случай группы И,е(д). Известно, что в группе Яе (д) все инволюции (даже все 2-подгруппы одного порядка) сопряжены. Ее максимальные подгруппы перечислены в [12, теорема 1].

Лемма 3.3. Максимальная подгруппа группы Яе (д) сопряжена одной из следующих подгрупп: централизатор С(т) инволюции т; С(ш), где д = ш", V — простое число; В; N (А1); N (А2); N (Аз).

Отсюда для групп С(д) = Яе (д) имеем оценку:

1 , 3 <№(?)) > |АиШ(д)|(|С(д)|2 - 3|С(д)| 2 - |Р|2 • : £|С(т)|2 |С(д) : С(г,)\

-|N (А1 )|2 |С(д) : N (А1 )| - |N (А2 )|2 |С(д) : N (^)| - |N (Аз )|2 |С(д) : N (Аз )|

> 1(|С(д)| - 3|С(?)|* - \В\ - ^(АО! - |ДГ(А2)| - |ДГ(А3)| - |С(т)

= - (V - д6 - 2д4 - Зд5 + д3 - 17д - 18 п

Для функции

/(<?) = 1(д7-д6- 2д4 - Зд^ + д3 - 17д - 1в) - д^

имеем (12(0(о)) — д/|С(д)| ^ д_1^/(д)- С другой стороны, продифференцировав /(д) шесть раз по д, имеем:

/^»= 840 + ^^ + 943481 при всех д > 0.

256 д2 78125 д~

Как и в предыдущих двух случаях, функция / (д) и ее производные порядка ^ 5 возрастают и положительны при д ^ 27. Отсюда следует справедливость оценки (2) для групп Яе(д).

Таким образом, доказательство теоремы 1 полностью завершено.

Литература

1. Hall Ph. The Eulerian functions of a group // Quart. J. Math.-1936.-Vol. 7.—P. 134-151.

2. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 17-е, дополненное.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.—219 с.

3. Сучков Н. М., Приходько Д. М. О числе пар порождающих групп L2 (2m) и Sz(22k+1) // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 5.—С. 1162-1167.

4. Erfanian A., Rezaei R. On the growth sequence of PSp(2m,q) // Intern. J. Algebra.—2007.—Vol. 1, № 2.—P. 51-62.

5. Erfanian A. A note on growth sequences of alternating groups // Arch. Math.—2002.—Vol. 78, № 4.— P. 257-262.

6. Erfanian A. A note on growth sequences of PSL(m, q) // Southeast Asian Bull. Math.—2005.—Vol. 29, № 4.—P. 697-713.

7. Левчук Д. В. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавк. мат. журн.—2008.— Т. 10, № 1.—С. 37-39.

8. Ушаков Ю. Ю. Оценка второй функции Эйлера на группах лиева типа ранга 1 // Тр. конф. «Алгебра, логика и приложения».—Красноярск: СФУ, 2010.—С. 101-102.

9. Приходько Д. М. О числе пар порождающих элементов некоторых групп L2 (q) // Материалы 34-ой науч. студ. конф.—Красноярск: КрасГУ, 2001.—С. 91-102.

10. Erfanian A. Growth Sequence of Free Product of Alternating Groups // Int. J. Contemp. Math. Sc.—2007.—Vol. 2, № 14.—P. 685-691.

11. Dickson L. E. Linear groups.—Leipzig, 1901.

12. Левчук В. М., Нужин Я. Н. О строении групп Ли // Алгебра и логика.—1985 —Т. 24, № 1.—С. 2641.

13. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math.—1962.—Vol. 75, № 1.—P. 105-145.

14. Carter R. W. Simple Groups of Lie Type.—London: Wiley and sons, 1972.—346 p.

15. http: // www.gap-system.org.

Статья поступила 15 января 2011 г.

Ушаков Юрий Юрьевич Сибирский федеральный университет, аспирант каф. алгебры и мат. логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: [email protected]

AN EVALUATION OF THE PH. HALL FUNCTION ON RANK 1 GROUPS OF LIE TYPE

Ushakov Yu. Yu.

In 1936 Ph. Hall introduced the generalized n-th Eulerian function on finite groups and the associated function that is called the n-th Hall function. The values of the latter are estimated in the article for three of the four series of Lie type groups of rank 1. When n = 2, these evaluations confirm the Wiegold conjecture for the groups.

Key words: n-base of a group, generalized Eulerian function, Hall function, Lie type group.