CC BY
16
Серия «Математика»
2013. Т. 6, № 1. С. 101-107
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 512.542.52
Вторая функция Эйлера — Холла на группах лиева типа ранга 1
Ю. Ю. Ушаков
Сибирский федеральный университет
Аннотация. Для случая проективных специальных унитарных групп исследуется вопрос Сыскина о вычислении второй функции Эйлера - Холла.
Ключевые слова: конечная простая группа; группа лиева типа; функция Эйлера -Холла.
Введение
Ф. Холл назвал п-базой группы О любой порождающий её упорядоченный набор из п элементов. Он обозначает число всех п-баз в О через рп(О) и рп называет п-й функцией Эйлера. С другой стороны, й = йп (О) обозначает максимальный показатель п-порожденной прямой степени Ол группы О. Для простой конечной неабелевой группы О в [11] доказана формула
Рп(О)= йп (О) -\ Ап1 О\,
послужившая основанием для изучения функций йп, прежде всего, для п = 2; см. в Коуровской тетради [3] вопрос 12.86 о нахождении значений й,2(О), записанный С. А. Сыскиным, и вопрос 17.116 об оценке чисел й,2(О), известный как гипотеза Уайголда.
Решение вопроса 12.86 в классе групп О лиева типа ранга 1, кроме унитарного случая, дано в работах [6, 4, 5]; при тех же ограничениях на О в [7] получена оценка чисел йп(О). Недавно решение вопроса 17.116 было завершено, см. Тамбурини [14].
В настоящей статье вопрос Сыскина исследуется для оставшихся простых групп лиева типа ранга 1 — унитарных групп.
Отметим, что группы 2G2(q) (группы Ри) и 2A2(q) (унитарный случай) лиева типа ранга 1, в отличие от типов 2B2 и Ai, обладают неразрешимыми подгруппами с неединичным разрешимым радикалом.
І. Основная теорема
Решение вопроса Сыскина для простых групп Ри Re(q) = 2G2(q), q = зЗ2п+1 получено в [4, 5] в два этапа. Доказанная в [4] теорема редуцировала нахождение значения p2(Ke(q)) к перечислению пар элементов, лежащих в подгруппе с неединичным разрешимым радикалом. Описание значений p2(Re(q)) в [5] завершила следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Re(q) (q = Зп, n > 1) — конечная простая группа Ри типа 2G2. Тогда для простых чисел n имеем d2(Re(q)) = (1/n)-p(q), где
P(q) = (q - З) (q6 + 2q5 + 6q4 + 18q3 + 53q2 + 160q + 464) .
Если число n — составное, то
d2{Re{q)) = ~[p{q) - ^ t • d2{Re{3*))].
n
t\n, n>t>1
Следуя этой же схеме, мы реализуем в этой статье первый этап решения вопроса Сыскина для групп PSU3(q2), т. е. групп 2A2(q2).
Напомним, что проективная специальная унитарная группа PSU3(q2) над конечным полем порядка q2 является простой, когда q > 2.
Далее, G(q) = PSU3(q2), q = p2'r > 2, где число r — нечетное. Степень расширения K поля F, как обычно, обозначается через (K : F). Как и в [9, 8.4], G(q) = PU3(q2) есть расширение группы G(q) с помощью диагональных автоморфизмов.
Пусть W — множество пар элементов группы G(q) (аналогично, W в G(q)), лежащих в подгруппе из G(q) (соответственно, из G(q)) с неединичным разрешимым радикалом. Положим
5 = НОД^ + 1, З), є = 2 - НОД^, 2),
s(q) = З851 + 21252 + 240653 + 11454, где 5i = 1 или 0, соответственно, когда верно или не верно i-е условие:
1) q = ±1 mod 10; 2) q = 11, 29 mod ЗО;
3) p = 5 и n нечетно; 4) q = З, 5,1З mod 14.
Основной в статье является следующая редукционная теорема.
ВТОРАЯ ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА - ХОЛЛА НА ГРУППАХ ЛИЕВА ТИПА 103 Теорема 2. Верны рекуррентные соотношения:
Р2(ОШ =
= |с(,)|Чич-| сш(ь- Е ^Раьт + ЫРЗь<т)) +
' СЕ (т)сСЕ (я) \ 2 ( )'
Р2(О(т)) 5 - 1 ^ р2(О(т))
+ Е нт^+^- Е ,
(СР(д):СР(т))\г ^ 3(СР(д):СР(т))\г 1^(т)1 '
Р2(С(д)) =
=\8ш2-\№\-\ёш(е е У2(рсь1р1+г„:1Г,М2(ш))+
' СЕ (т)сСЕ (я) \ 2( )\
у- р2{С{т)) + р2{С{т)) |
(СР(д):СР(т))\г 1^(т)1
2. Подгрупповые описания
Унитарные группы определяются над полем ^, обладающим инво-лютивным автоморфизмом _. Если конечное поле ^ обладает инволю-тивным автоморфизмом, то его порядок является квадратом, \Е\ = ц2 (д = рп), а инволютивный автоморфизм определяется равенством а = ая.
По классическому определению, общая унитарная группа ип(ц2) есть подгруппа группы СЬп(д2), состоящая из п х п-матриц М с условием ММТ = к1 для всевозможных к € СР(д2)^, где I — единичная матрица. Её матрицы с определителем 1 образуют специальную унитарную группу Бип(ц). Центр Z(ип(ц)) состоит из скалярных матриц XI с условием А9+1 = 1. Факторизуя по центру, получаем проективные группы:
РПп(ц2) := ип(ц2)^(ип(ц2)),РЗип(ц2) := Би^ц2)^(Пп(ц2))ПБПп(ц2).
См. также в [9, 1.4] определение специальной ортогональной группы Б03(ц) и её коммутант Б03(д)' =: Б^з(ц).
Согласно [1], Б03(ц) ~ РОЬ2(д).
Нам потребуется описание из [13, 12] подгрупп группы О(д).
Пусть Б обозначает подгруппу в О(д), состоящую из образов матриц (]\щ(а,а-2,а) с условием а3(я+1 = 1. Подгруппа Б имеет индекс 3 в подгруппе Б группы О(ц), состоящей из образов матриц diag(a,b,a),
aq+1 = bq+1. Централизатор прообраза D в группе SU3(q2) изоморфен
U2(q2).
Напомним также, что группа Матье Мщ содержит с индексом 2 подгруппу, изоморфную знакопеременной группе Аб. Следующие две леммы несложно выводятся из работ Митчелла [13] и Хартли [12].
Лемма 1. Максимальная подгруппа группы G(q), имеющая неединичный разрешимый радикал, G(q)-сопряжена с одной из следующих подгрупп:
а) нормализатор силовской р-подгруппы;
б) нормазизатор диагональной подгруппы порядка (q + 1)2/5;
в) нормализатор циклической подгруппы порядка (q2 — q + 1)/5;
г) норм,ализатор самоцентрализуемой элементарной абелевой подгруппы порядка 9, когда q = 2 mod 3;
д) централизатор C(D).
Лемма 2. Если подгруппа группы G(q) не лежит ни в одной из подгрупп а)-д) леммы 1, то она G(q)-сопряжена точно с одной из следующих подгрупп:
а) при (GF(q) : GF(m))\r подгруппа G(m) ;
б) при GF(m) С GF(q), р > 2 подгруппа SO3(m) или SQ3(m);
в) при 3(GF(q) : GF(m))\r норм,ализатор N(G(m)), содержащий G(m) с индексом 3;
г) при q = ±1 mod 10 подгруппа, изоморфная А5;
д) при q = 11, 29 mod 30 подгруппа, изоморфная Аб;
е) когда q — нечетная степень числа 5, подгруппа, изоморфная Аб,
А7 или М10;
ж) при q = 3, 5,13 mod 14 подгруппа, изоморфная PSL2(7).
Подгрупповое описание группы G(q) даёт
Лемма 3. Любая подгруппа группы G(q) либо лежит в подгруппе с неединичным разрешимым радикалом или в G(q), либо сопряжена G(m), когда (GF(q) : GF(m)) \ r и 3(GF(q) : GF(m)) \ r.
Доказательство. Пусть H — подгруппа в G(q), не входящая в G(q). Тогда подгруппа H0 = H П G(q) нормальна в H и \H : H0\ = 3. Кроме того, подгруппа H изоморфна некоторой подгруппе группы G(q3).
Подгруппа из леммы 2, имеющая нормальную подгруппу индекса 3, изоморфна G(m). Подгруппы группы G(q), изоморфные G(m), не имеют нормальных подгрупп индекса 3, так что они лежат в G(q) и сопряжены в G(q). Поэтому в G(q) сопряжены и их нормализаторы, изоморфные G(m). □
Для доказательства теоремы 2 также потребуется
Лемма 4. В группе Cq^D) нет подгрупп, изоморфных одной из следующих групп:
А5 при р = 5, Аб при q = 9k, PSL2(7) при р = 7,
PSL2(q) и PGL2(q) при р > 2, р = 5,р = 7,q = 9k; А7, Mw, G(q), G(q).
Доказательство. Пусть D — подгруппа группы G(q3) проективных образов диагональных матриц d\ag(a, a-2, a) с условием a3(q +1) = 1. Поскольку группа G(q) изоморфна подгруппе в G(q3), то группа Cq^D) изоморфна подгруппе группы CG(q3)(Dl). Поэтому достаточно доказать,
что группа Cc(q)(D) из C^(q)(D) не содержит перечисленных в лемме подгрупп.
Группа U2(q2), являющаяся проективным прообразом централизатора CG(q)(D), есть подгруппа группы GL2(q2). Любая неразрешимая подгруппа H в GL2(q2) имеет нормальное пересечение H0 с SL2(q2). Так как факторгруппа H/H0 абелева, то H0 — неразрешимая подгруппа, как и её проективный образ H1 в PSL2(q2). Подгрупповое описание группы PSL2 (q2) (например, [2]) показывает, что H1 изоморфна либо А5 при р = 5 или q = ±1 mod 10, либо PSL2(m), либо PGL2(m).
Остаётся заметить, что известные подгрупповые описания групп GL2(q) (например, [8, Теоремы 3.4-3.5]) показывают, что при нечетном q группа GL2(q2) и её образ при гомоморфизме с ядром порядка 3 не содержат подгрупп, изоморфных Л5, PSL2(m) или PGL2(m). □
3. Доказательство теоремы 2
Пусть К (аналогично, Я) — множество пар элементов группы С(ц) (соответственно, С(ц)), порождающих подгруппу в С(ц) (соответственно, С^)), изоморфную одной из подгрупп а)-в) леммы 2, а Б — множество пар элементов группы С(ц), порождающих подгруппу, изоморфную г)-ж) из леммы 2.
Лемма 5. Для функции р2 на группах С(ц) и С(ц) верны равенства:
Р2 (С(ц)) = \СШ2 -\Б \-\K\-\W\, Р2(с(ц)) = \С(ц)\2 -Б \-\K\-\W\.
Доказательство. По леммам 1, 2, 3, каждая пара элементов группы С(ц) (соответственно, С(ц)), не порождающая С(ц) (С(ц)), лежит хотя бы в одном из множеств К, Б, W (соответственно, К, Б, W). По определению, множество Б не пересекается со множествами К и К.
Если подгруппа М группы С(ц) не лежит в С (Б) и имеет неединичный разрешимый радикал, то она разрешима. Также разрешима подгруппа М группы С(ц), содержащая М как нормальную подгруппу с индексом 3. Поэтому М не содержит неразрешимых подгрупп из леммы 2. По лемме 4, подгруппы Сс(я)(Б) и Сс(д)(Б) также не содержат
подгрупп леммы 2. Следовательно, множества W и W не пересекаются со множествами К, К, Б. Лемма доказана. □
Заметим, что N(Аб) = Мщ, когда ц есть нечетная степень числа 5. Остальные подгруппы г)-з) из леммы 2 самонормализуемы в С(ц). Согласно Холлу [11],
<Р2(Аь) _ <Р2(Аб) _ (р2{РБЬ2(7))
|Л>| ’ Ш ’ \РБЬ2(7)\ '
Используя лемму 2 и вычисленные с помощью [10] значения,
^мм) + ^2 = 2зоо_
|Мю| \Ат\
находим:
|5| = |ё(,)| + + +
^1(Лц|М'°)+ж))-'а»»
Аналогичные рассуждения дают порядки множеств К и К и завершают доказательство теоремы 2.
Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задачи и внимание к работе.
Список литературы
1. Артин Э. Геометрическая алгебра / Э. Артин. - М. : Наука, 1969. - 285 с.
2. Бусаркин В. М. Конечные расщепляемые группы / В. М. Бусаркин, Ю. М. Горчаков. - М. : Наука, 1968. - 111 с.
3. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). - 15-е изд. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 2002.
4. Левчук Д. В. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 / Д. В. Левчук // Владикавказ. мат. журн. - 2008. - Т. 10, вып. 1. - С. 37-39.
5. Левчук Д. В. Функции Эйлера - Холла на группах Ри / Д. В. Левчук, Ю. Ю. Ушаков // Сиб. мат. журн. - 2013. - Т. 56, вып. 2.
6. Сучков Н. М. О числе пар порождающих групп L2(2m) и Sz(22k+1) / Н. М. Сучков, Д. М. Приходько // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, вып. 5. - С. 1162-1167.
7. Ушаков Ю. Ю. Оценка функций Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 / Ю. Ю. Ушаков // Владикавказ. мат. журн. - 2012. - Т. 15. - Вып. 2. - С. 50-56.
8. Bloom D. The subgroups of PSL3(q) for odd q / D. Bloom // Trans. Amer. Math. Soc. - 1967. - Vol. 127 (1967), issue 1. - P. 150-178.
9. Carter R. W. Simple Groups of Lie Type / R. W. Carter. - London : John Wiley and Sons, 1972.
10. URL: http://www.gap-system.org.
11. Hall Ph. The Eulerian functions of a group / Ph. Hall // Quart. J. Math. - 1936. -Vol. 7. - P. 134-151.
12. Hartley R. W. Determination of ternary collineation groups whose coefficients lie
in the field GF(2n) / R. W. Hartley // Annals of Maths. - 2nd series. - 1925. -
Vol. 27, issue 2. - P. 140-158.
13. Mitchell H. H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups / H. H. Mitchell // Trans. Amer. Math. Soc. - 1911. - Vol. 12, issue 2. - P. 207-242.
14. Maroti A. A solution to a problem of Wiegold / A. Maroti, M. C. Tamburini //
Comm. in Algebra. - 2013. - Vol. 41, issue 1. - P. 34-49.
Yu. Yu. Ushakov
The 2nd Euler — Hall function on groups of lie type of rank 1
Abstract. For the case of projective special unitary groups the Syskin problem of calculation of the 2nd Euler - Hall function is investigated.
Keywords: finite simple group; group of Lie type; Euler - Hall function.
Юрий Юрьевич Ушаков, аспирант, Институт математики, Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, пр. Свободный, 79, тел. (391)2062076 ([email protected])
Yuriy Ushakov, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Svo-bodny pr., 79, Phone: (391)2062076 ([email protected])
